系统的复频域分析实验报告

实验六 系统的复频域分析

信号)(t x 的拉普拉斯变换

?∞

∞--=dt e t x s X st )()( （6.1）

是连续时间傅立叶变换地推广。连续时间傅立叶变换在研究连续时间信号与系统中是很有用的。然而，许多信号不存在傅立叶变换而存在拉普拉斯变换，这使得拉普拉斯变换成为线性时不变系统分析的一种有用方法。对一大类信号来说，它们的拉普拉斯变换可以表示为s 的多项式之比，即 )

()

()(s D s N s X =

这里)(s N 和)(s D 分别称作分子和分母多项式。能表示成多项式之比的变换称为有理变换，这里作为满足线性常系数微分方程的LTI 系统的系统函数中常常出现。除了一个标量因子外，有理变换是完全由多项式)(s N 和)(s D 的根决定的，这些根分别称为零点和极点。由于这些根在LTI 系统的研究中起着重要的作用，所以它们以零极点图的方式展现出来的是很方便的。这一章将用拉普拉斯变换在复频域研究LTI 系统的一些性质。

§6.1 MATLAB 函数lsim （用于系统函数） 目的

用lsim 仿真由系统函数表征的因果LTI 系统的输出。 相关知识

第二章所讨论的是如何用lsim 命令仿真一个输出满足一个线性常系数微分方程的因果LTI 连续时间系统。因为系统函数唯一地表征了关联系统输入和输出的微分方程。所以由系统函数表征的因果LTI 系统的输出也能够用lsim 仿真。如果系统函数给出如下形式： )

()1()1()()1()1()(N a s N a s a M b s M b s b s H N M +-+++-++=

（6.2）

那么，对输入地系统)(t x 的系统输出就能用lsim(b,a,x,t)仿真，其中MATLAB 向量b 和a 包含了分子分母s 多项式的系数。

例如，考虑系统函数2

2

1)(-+=

s s s H ，其系数由向量b=[1 1/2]和a=[1 -2]定义。命令lsim(b,a,x,t)将系统对由向量x 给出的输入，在向量t 给定的时刻上的系统的时间响应应存入向量y 中，向量y 和输入向量x 有相同数量的元素。 基本题

1．定义系数向量a1和b1用以描述由下面系统函数表征的因果LTI 系统： 2

2

)(1+-=s s s H a1=[1 -2]; %分子系数 b1=[1 2]; %分母系数

2．定义系数向量a2和b2用以描述由下面系统函数表征的因果LTI 系统： 3.03

)(2+=s s H a2=[0 3]; %分子系数 b2=[1 0.3]; %分母系数

3．定义系数向量a3和b3用以描述由下面系统函数表征的因果LTI 系统： 8.02)(3+=s s

s H a3=[2 0]; %分子系数 b3=[1 0.8]; %分母系数

4．利用lsim 和前面部分定义的向量求这些因果LTI 系统对由t=[0:0.1:0.5]，x=cos(t)给出的输入的输出。 代码： a1=[1 -2]; b1=[1 2]; a2=[0 3]; b2=[1 0.3]; a3=[2 0]; b3=[1 0.8]; t=[0:0.1:0.5] x=cos(t); y1=lsim(a1,b1,x,t);

y2=lsim(a2,b2,x,t); y3=lsim(a3,b3,x,t); [t',x',y1,y2,y3] 结果： ans =

0 1.0000 1.0000 0 2.0000 0.1000 0.9950 0.6334 0.2948 1.8366 0.2000 0.9801 0.3261 0.5779 1.6667 0.3000 0.9553 0.0692 0.8468 1.4910 0.4000 0.9211 -0.1444 1.0991 1.3105 0.5000 0.8776 -0.3205 1.3323 1.1262 §6.2作连续时间的零极点图 目的

这一节要学习如何在一个零极点图上展现有理系统函数的零极点。 相关知识

一个有理系统函数的零极点能用函数roots 计算出。例如，对于系统函数为 2

31)(2++-=

s s s s H

的LTI 系统，其零极点可用执行如下命令而计算出： >> b=[1 -1]; >> a=[1 3 2]; >> zs=roots(b) zs = 1 >> ps=roots(a) ps = -2 -1

一个简单的零极点图可以用在复数s 平面内，在每个极点的位置放一个'x'，在每个零点的位置放一个'ο'来完成，也即 >> plot(real(zs),imag(zs),'o'); >> hold on

>> plot(real(ps),imag(ps),'x'); >> grid

>> axis([-3 3 -3 3]) 基本题

1．下列每个系统函数都对应于稳定的LTI 系统。用roots 求每个系统函数的零极点，如上所示的利用plot 画出零极点图并作适当标注。 (i) 3

25)(2

+++=s s s s H (ii) 10

21252)(22++++=s s s s s H

(iii) )

2)(102(1252)(2

2+++++=s s s s s s H

代码： a1=[1,5]; b1=[1,2,3]; a2=[2,5,12]; b2=[1,2,10]; a3=[2,5,12]; b3=[1,4,14,20]; zs11=roots(a1); ps11=roots(b1); zs21=roots(a2); ps21=roots(b2); zs31=roots(a3); ps31=roots(b3); subplot(3,1,1)

plot(real(zs11),imag(zs11),'o');

hold on;

plot(real(ps11),imag(ps11),'x'); subplot(3,1,2)

plot(real(zs21),imag(zs21),'o'); hold on;

plot(real(ps21),imag(ps21),'x'); subplot(3,1,3)

plot(real(zs31),imag(zs31),'o'); hold on;

plot(real(ps31),imag(ps31),'x');

若干不同的信号能有相同的拉普拉斯变换有理表达式，但有不同的收敛域。例如，具有单位冲激响应为)()(),()(t u e t h t u e t h at ac at c --==--的因果和反因果LTI 系统就有相同的分子和分母多项式的有理系统函数为 a s a

s s H c ->+=

)R e ( 1

)( a s a

s s H ac -<+=

)Re( 1

)(

然而，它们有不同的系统函数，因为它们有不同的收敛域。2．对1中每个有理表达式，确定它们的收敛域。

a1=[1,5];

b1=[1,2,3];

a2=[2,5,12];

b2=[1,2,10];

a3=[2,5,12];

b3=[1,4,14,20];

zs11=roots(a1);

ps11=roots(b1);

zs21=roots(a2);

ps21=roots(b2);

zs31=roots(a3);

ps31=roots(b3);

abs(zs11)

abs(zs21)

abs(zs31)

结果

ans =

5

ans =

2.4495

2.4495

ans =

2.4495 2.4495

3．对输入和输出满足下面微分方程：

)(5)

(2)()(3)(2

2t x dt t dx dt t x d t y dt t dy ++=- 的因果LTI 系统，求系统函数的零点和极点，并完成一幅适当标注的零极点图。 a=[1,-3]; b=[1,2,5]; zs=roots(a); ps=roots(b);

plot(real(zs),imag(zs),'o'); hold on;

plot(real(ps),imag(ps),'x'); grid;

axis([-4 4 -3 3]);

§6.3 MATLAB 函数freqz

目的

学习用函数freqz 绘制LTI 系统的频率响应。 相关知识

一个稳定的LTI 系统可以完全用它的频率响应)(ωj H 来表征。若)(ωj X 是系统输入的CTFT ，那么)()()(ωωωj X j H j Y =。就给出了系统输出的CTFT 。输入和输出满足线性常系数微分方程的LTI 系统是一类重要的系统，其部分原因是因为这些系统的频率响应很容易求得。即满足下面微分方程的LTI 系统：

∑∑===

M

m m

m m

N

k k

k k

dt t x d b

dt t y d a

)

()

(

其频率响应可直接得出为 0

1110111)()()()()()()(a j a j a j a b j b j b j b j H N N N N M M M M ++++++++=

----ωωωωωωω

函数freqz(b,a)能用于计算并画出这个频率响应，其中向量b 和a 分别包含系数m b 和k a 。在b 和a 中系数的排列次序与对lsim 输入所要求的次序是完全相同的。 现考虑一阶微分方程

)(3)(3)

(t x t y dt

t dy =+，它描述的是一个因果、稳定的LTI 系统的输入输出关系。这个系统的频率响应是ω

ωj j H +=33)(。如果对freqz(b,a)

没有提供宗量，那么将自动画出)(ωj H 的幅值和相位。执行如下命令： >> a=[1 3]; >> b=3; >> freqs(b,a)

就可得到下图。可用其频率特性表达式自行确认下图的幅值和相位是正确的。 命令freqz 自动选择画出)(ωj H 的频率范围。如果想要)(ωj H 在特定的ω值上画出，或者在一个不同于由freqz 自动选定的频率范围画出)(ωj H ，可以将这些频率作为输入给出。例如，执行如下命令 >> w=linspace(0,3*pi); >> H=freqz(b,a,w)

就产生在πω30≤≤区间内，100个等间隔ω上的)(ωj H 。

基本题

1．利用freqz 画出微分方程)(5)()()(4)(3

222

2t x dt

t x d t y dt t dy dt t y d +=++描述的一个因果、稳定的LTI 系统的频率响应的幅值和相位。 代码： a=[3,4,1]; b=[1,0,5]; freqs(b,a);

§6.4 系统的时域和频域特性 目的

考虑几个由线性常系数微分方程描述的稳定的LTI 系统，对这些系统要求计算它们的单位冲激响应和频率响应。尽管用频率响应或单位脉冲响应都足以完全表征一个LTI 系统，但是将会明白有时候既从时域，又从频域来考虑系统特性是很有利的。 相关知识

因为系统对任意输入)(t x 的响应)(t y 由卷积)()()(t x t h t y *=给出,所以一个LTI 系统的单位冲激响应)(t h 完全表征了该系统。如果系统是稳定的，那么该系统的一个等效表示就由它的频率响应)(ωj H 给出，这时连续时间傅立叶变换是由

)()()(ωωωj X j H j Y =关联的。

基本题

考虑由下面微分方程给出的一类因果LTI 系统

)()()

(00t x a t y a dt

t dy =+

其中00>a 以保证稳定性。定义系统I 是满足上式，30=a 的系统，系统II 是3

10=a 的系统。

1． 用解析法导出对应于上式的稳定LTI 系统的频率响应，同时确定这个频率响应的幅值和相位。 分析：

本系统的频率响应特性为H(jw)=a0/(jw+a0)，幅值为a0*a0/(w*w+a0*a0),相位为-actan (-w/a0)。

2．定义w=linspace(0,10)，利用freqz 计算系统I 和系统II 在w 频率上的频率响应，在单一的图上画出这两个频率响应的幅值。这两个幅值图与解析表达式中频率响应的幅值一致吗？ 代码：

w=linspace(0,10); a=[3]; b=[1 3]; a1=[1/3]; b1=[1 1/3]; subplot(211) H=freqz(a,b,w) plot(abs(H)); subplot(212) H1=freqz(a1,b1,w) plot(abs(H1));

分析：

由图形与表达式可知，这两个幅值图与解析表达式中频率响应的幅值一致3．用函数impulse计算系统I和系统II在向量t=linspace(0,5)所定义的时间样本点上的单位冲激响应。

代码：

t=linspace(0,5)

a=[1,3];

b=3;

a1=[1 1/3];

b1=1/3;

subplot(211),impulse(b,a,5),grid;

subplot(212),impulse(b1,a1,5),grid;

4．单位冲激响应随时间衰减的速率与频率响应幅值随频率下降的速率之间是什么关系？CTFT中的何种性质说明这一关系？

分析：a0=3时幅值随时间衰减的速率比a0=1/3时要快，而单位冲激响应随时间衰减的速率却要慢。因此，单位冲激响应随时间衰减的速率与频率响应幅值随频率下降的速率之间是相反的。CTFT中的尺度变换性质说明这一关系。