磁场区域的最小面积问题

磁场区域的最小面积问题

考题中多次出现求磁场的最小范围问题，这类题对学生的平面几何知识与物理知识的综合运用能力要求较高。其难点在于带电粒子的运动轨迹不是完整的圆，其进入边界未知的磁场后一般只运动一段圆弧后就飞出磁场边界，运动过程中的临界点（如运动形式的转折点、轨迹的切点、磁场的边界点等）难以确定。下面我们以实例对此类问题进行分析。 一、磁场范围为树叶形

例1．如图所示的直角坐标系第I 、II 象限内存在方向向里的匀强磁场，磁感应强度大小B =0.5T ，处于坐标原点O 的放射源不断地放射出比荷6104?=m

q C/kg 的正离子，不计离子之间的相互作用。

⑴求离子在匀强磁场中运动周期；

⑵若某时刻一群离子自原点O 以不同速率沿x 轴正方向射出，求经过6106

-?πs 时间这些离子所在位置

构成的曲线方程；

⑶若离子自原点O 以相同的速率v 0=2.0×106m/s 沿不同方向射入第I 象限，要求这些离子穿过磁场区域后都能平行于y 轴并指向y 轴正方向运动，则题干中的匀强磁场区域应怎样调整（画图说明即可）？并求出调整后磁场区域的最小面积。

15（16分）解：⑴根据牛顿第二定律 有 2

mv qvB R

=２分

运动周期22R m

T v qB ππ==610s π-=? ２分 ⑵离子运动时间6

11066

t s T π-=?= ２分

根据左手定则，离子沿逆时针方向作半径不同的圆周运动，

转过的角度均为126

3

π

θπ?=

＝ １分

这些离子所在位置均在过坐标原点的同一条直线上， 该直线方程tan

2

3

y x x θ

==

２分

⑶离子自原点O 以相同的速率v 0沿不 同方向射入第一象限磁场，均做逆时 针方向的匀速圆周运动 根据牛顿第二定律 有

2

mv qv B R =００ ２分

mv R qB

=1=ｍ １分

这些离子的轨道圆心均在第二象限的四分之一圆弧AC 上，欲使离子穿过磁场区域后都能平行于y 轴并指向y 轴正方向运动，离开磁场时的位置在以点（１,０）为圆心、半径Ｒ＝１m 的四分之一圆弧（从原点Ｏ起顺时针转动90?）上，磁场区域为两个四分之一圆的交集，如图所示 ２分

调整后磁场区域的最小面积2

2min

22()422

R R S ππ-=?-=m

2

２分

例2．如图所示的直角坐标系中，在直线x=-2l 0到y 轴区域内存在着两个大小相等、方向相反的有界匀强电

场，其中x 轴上方的电场方向沿y 轴负方向，x 轴下方的电场方向沿y 轴正方向。在电场左边界上A （-2l 0，-l 0）到C （-2l 0，0）区域内的某些位置，分布着电荷量+q ．质量为m 的粒子。从某时刻起A 点到C 点间的

x

O

y

粒子，依次以相同的速度v0沿x轴正方向射入电场。若从A点射入的粒子，恰好从y轴上的A′（0，l0）沿x轴正方向射出电场，其轨迹如图所示。不计粒子的重力及它们间的相互作用。

（1）求匀强电场的电场强度E：

（2）若带电粒子通过电场后都能沿x轴正方向运动，请推测带电粒子在AC间的初始位置到C点的距离。

（3）若以直线x=2l0上的某点为圆心的圆形区域内，分布着垂直于xOy平面向里的匀强磁场，使沿x 轴正方向射出电场的粒子，经磁场偏转后，都能通过直线x=2l0与圆形磁场边界的一个交点处，而便于被收集，求磁场区域的最小半径及相应的磁感应强度B的大小。

【解析】

二、磁场范围为圆形

例1．如图所示，在真空室中平面直角坐标系的y 轴竖直向上，x 轴上的P 点与Q 点关于坐标原点O 对称，PQ 间的距离d =30cm 。坐标系所在空间存在一匀强电场，场强的大小E =1.0N/C 。一带电油滴在xOy 平面内，从P 点与x 轴成30°的夹角射出，该油滴将做匀速直线运动，已知油滴的速度v =2.0m/s 射出，所带电荷量

q =1.0×10-7

C ，重力加速度为g=10m/s 2。 （1）求油滴的质量m 。

（2）若在空间叠加一个垂直于xOy 平面的圆形有界匀强磁场，使油

滴通过Q 点，且其运动轨迹关于y 轴对称。已知磁场的磁感应强度大小为B=2.0T ，求：

a ．油滴在磁场中运动的时间t ；

b ．圆形磁场区域的最小面积S 。

【 解析】（1）对带电油滴进行受力分析，根据牛顿运动定律有

0qE mg -= 所以81.010qE

m g -==?kg……（4分）

（2）带电油滴进入匀强磁场，其轨迹如图所示，设其做匀速圆周运动

设圆周运动的半径为R 、运动周期为T 、油滴在磁场中运动的时间为t ，根据牛顿第二定律：

所以 20.10mv mv

qvB R R qB =?==m

所以 20.1R

T v

==ππs

设带电油滴从M 点进入磁场，从N 点射出磁场，由于油滴的运动轨迹关于y 轴对称，如图所示，根据几何关系可知60MO N '∠=，所以，带电油滴在磁场中运动的时间

20.166

T t ==

π

s 由题意可知，油滴在P 到M 和N 到Q 的过程中做匀速直线运动，且运动时间相等。根据几何关系可

知，sin 30

2cos30d

R PM NQ -===

所以 油滴在P 到M 和N 到Q

过程中的运动时间13PM t t v ===s

则油滴从P 到Q

运动的时间1230.1

)s 6

t t t t π=++=+0.17≈s……（8

分） （3）连接MN ，当MN

为圆形磁场的直径时，圆形磁场面积最小，如图所示。根据几何关系圆形磁场的半

径

sin 300.05r R ==m

其面积为20.0025S r ==ππm 2827.910m -≈? m 2

………………（6分） 三、磁场范围为矩形

例1：如图所示，直线OA 与y 轴成30θ?

=角。在AO y 范围内有沿y 轴负方向的匀强电场，在AOx 范围内有一个矩形区域的匀强磁场，该磁场区域的磁感应强度0.2T B =，方向垂直纸面向里。一带电微粒电荷量14

210

C q -=+?，质量20410kg m -=?，微粒在

y 轴上的某点以速度o v 垂直于y 轴进入匀强电场，并以速度4

v 310m/s =?垂直穿过直线OA ，运动中经过矩形磁场区域后，最终又垂直穿过x 轴。不计微粒重力，求：(结果保留两位有效数字)

（1）带电微粒进入电场时的初速度o v 多大?

（2）带电微粒在磁场中做圆周运动的半径r

（3）画出粒子运动轨迹图并求出最小矩形磁场区域的长和宽。

解析：带电微粒做类平抛运动4

cos30 2.610m/s o v v ?==? ①

（2）洛仑兹力提供向心力，有

2

v qvB m r = ②

0.30m mv r qB

== ③

（3）画出粒子的运动轨迹如图所示 ④ 设最小矩磁场区域的长为a 、宽为b ，由数学知识可知 20.60m a R == ⑤

cos30b r r ?=+ ⑥ 0.56m b = ⑦

例2：如图所示，第四象限内有互相正交的匀强电场E 与匀强磁场B 1，E 的大小为0.5×103V/m ，B 1大小为0.5T ；第一象限的某个矩形区域内，有方向垂直于纸面向里的匀强磁场B 2，磁场的下边界与x 轴重合。一个质量m =1×10-14kg 、电荷量q =1×10-10C 的带正电的微粒以某一速度v 沿与y 轴正方向成60°角从M 点沿直线运动，经P 点进入第一象限内的磁场B 2区域。一段时间后，小球经过y 轴上的N 点并沿与y 轴正方向成60°角的方向飞出。M 点的坐标为(0，-10)，N 点的坐标为(0，30)，不计粒子重力，取g =10m/s 2。

(1)请分析判断匀强电场E 的方向并求出微粒的运动速度v ； (2)匀强磁场B 2为多大?

(3)B 2磁场区域的最小面积为多少? 解析：（1）1q B qE =v ,所以31

1.010E

B ==?v m/s E 方向如图

（2

）r ==由2m r qB =v

，得2B =T

（3

）最小面积如图阴影部分：0.20.13150

S =??=m 2

四、磁场范围为三角形及其他形状 例1．如图所示，在倾角为30°的斜面OA 的左侧有一竖直档板，其上有一小孔P ，OP=0.5m.现有一质量

m =4×10－ 20kg ，带电量q =+2×10－

14C 的粒子，从小孔以速度v 0=3×104m/s 水平射向磁感应强度B=0.2T 、方向垂直纸面向里的一圆形磁场区域．且在飞出磁场区域后能垂直打在OA 面上，粒子重力不计．求： （1）粒子在磁场中做圆周运动的半径； （2）粒子在磁场中运动的时间；

（3）圆形磁场区域的最小面积．

（4）若磁场区域为正三角形且磁场方向垂直向里，粒子运动过程中始终不碰到挡板，其他条件不变，求：此正三角形磁场区域的最小边长。

解析：（1）由r v m qvB 2=，v

r

T π2=得：m qB mv r 3.0== （2）画出粒子的运动轨迹如图，可知T t 6

5

=

，得： s s qB m t 551023.5103

535--?=?==ππ

（3）无确定解，圆形面积只能无限接近)(09.02

2

m r s ππ== （4）由数学知识可得：?

?

+=

30cos 30cos 2r r L 得：

m qB mv L 99.010

334)134(=+=+=

例2．如图所示，虚线MO 与水平线PQ 相交于O ，二者夹角θ=30°，在MO 左侧存在电场强度为E 、方向

竖直向下的匀强电场，MO 右侧某个区域存在磁感应强度为B 、垂直纸面向里的匀强磁场，O 点处在磁场的边界上.现有一群质量为m 、电量为+q 的带电粒子在纸面内以速度v(0E

v B

≤≤

)垂直于MO 从O 点射入磁场,所有粒子通过直线MO 时，速度方向均平行于PQ 向左.不计粒子的重力和粒子间的相互作用力，求： （1）速度最大的粒子自O 点射入磁场至返回水平线POQ 所用的时间.

（2）磁场区域的最小面积. （3）根据你以上的计算可求出粒子射到PQ 上的最远点离O 的距离，请写出该距离的大小（只要写出最远距离的最终结果，不要求写出解题过程）

【答案】(1)

t 或 qB

m

3236π+

(2)

22

24

m E S q B ?=或22

24()34m E

q B π- (3)d=2)2134(qB mE + （qB

mv 2134+ 【解析】（1）(11分)粒子的运动轨迹如图所示，设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径为R ，周期为T ，

粒子在匀强磁场中运动时间为t

1

则 2mv qBv R = 即mv

R qB

= 2m T qB π= 113t T =

最大速度v m 的粒子自N 点水平飞出磁场，出磁场后做匀速运动至OM ，设匀速运动的时间为t 2， 有：θ

tan v m 2R

t =

过MO 后粒子做类平抛运动，设运动的时间为3t ， 则：233122qE R t m =

又由题知最大速度v m=

B

E

则速度最大的粒子自O 进入磁场至重回水平线POQ 所用的时间123t t t t =++ (1分)

解以上各式得：t = 或 qB

m

3236π+

（2）由题知速度大小不同的粒子均要水平通过OM ，则其飞出磁场的位置均应在ON 的连线上，故磁场范围的最小面积S ?是速度最大的粒子在磁场中的轨迹与ON 所围成的面积。

扇形'OO N 的面积21

3

S R π=

'OO N ?的面积为：

2002

'cos30sin 30S R R ==

又'S S S ?=-

联立得：22

24

m E S q B

?=或22

24(34m E

q B π- （3）(4分)粒子射到PQ 上的最远点离O 的距离d=2

)2

134(qB mE + （qB

mv 2

134+扣2分）

例3．如图甲所示，直角坐标系中直线AB 与横轴x 夹角∠BAO=30°，AO 长为a 。假设在点A 处有一放射

源可沿∠BAO 所夹范围内的各个方向放射出质量为m 、速度大小均为v 、带电量为e 的电子，电子重力忽略不计。在三角形ABO 内有垂直纸面向里的匀强磁场，当电子从顶点A 沿AB 方向射入磁场时，电子恰好从O 点射出。试求：

（1）从顶点A 沿AB 方向射入的电子在磁场中的运动时间t ； （2）磁场大小、方向保持不变，

改变匀强磁场分布区域，使磁场存在于三角形ABO 内的左侧，要使放射出的电子穿过磁场后都垂直穿过y 轴后向右运动，试求匀强磁场区域分布的最小面积S ； （3）磁场大小、方向保持不变，

现改变匀强磁场分布区域，使磁场存在于y 轴与虚线之间，示意图见图乙所示，仍使放射出的电子最后都垂直穿过y 轴后向右运动，试确定匀强磁场左侧边界虚线的曲线方程。

解：（1）根据题意，电子在磁场中的运动的轨道半径R=a

由evB=mv2/a 得：B=mv/ea

由T=2πm/eB

t=T/6=πa/3v

（2）有界磁场的上边界：以AB方向发射的电子在磁场中的运动轨迹与AO中垂线交点的左侧圆弧

有界磁场的下边界：以A点正上方、距A点的距离为a的点为圆心，以a为半径的圆弧

故最小磁场区域面积为：

（3）设在坐标（x，y）的点进入磁场，由相似三角形得到：

圆的方程为：

消去（y+b），磁场边界的方程为：

例4.如图所示，方向垂直纸面向里的匀强磁场的边界，是一个半径为r的圆，圆心O1在x轴上，OO1距离等于圆的半径。虚线MN平行于x轴且与圆相切于P点，在MN的上方是正交的匀强电场和匀强磁场，电场强度的大小为E，方向沿x轴的负方向，磁感应强度为B，方向垂直纸面向外。有一群相同的正粒子，以相同的速率，在纸面内沿不同方向从原点O射入第Ⅰ象限，粒子的速度方向在与x轴成θ=30?角的范围内，其中沿x轴正方向进入磁场的粒子经过P点射入MN后，恰好在正交的电磁场中做直线运动。粒子的质量为m，电荷量为q（不计粒子的重力）。求：

（1）粒子的初速率；

（2）圆形有界磁场的磁感应强度；

（3）若只撤去虚线MN上面的磁场B，这些粒子经过y轴的坐标范围。

6.解析：

（1）Eq =qv 0B 1分

得：v 0=E

B

1分

（2）设正粒子在圆形有界磁场中做匀速圆周运动的半径R ，有： R =r 1分

qv 0B ′=mv 02

R

1分

得：B ′=mE

qBr

1分

（3）沿x 轴正方向进入圆形有界磁场的粒子经电场E 偏转后，过y 轴上点的坐标最大

r =12 Eq

m t 12 1分 Δy 1=v 0t 1 1分 y 1=Δy 1＋r

得：y 1=r ＋E B 2mr Eq

1分 沿与x 轴正方向成θ=30?角进入圆形有界磁场的粒子经电场E 偏转后， 过y 轴上点的坐标最小 12r =12 Eq m

t 22 1分

Δy 2=v 0t 2 1分

y 2=Δy 2＋r

得：y 2=r ＋E B mr

Eq

1分

即：r ＋E B mr Eq ≤ y ≤r ＋E B 2mr

Eq

1分

例5．如图所示，在 xy 坐标系中的一个矩形区域里，存在着沿y 轴负方向的匀强电场，场强E ＝1.0×10２

N/C ，该区域的水平宽度为L ＝3.0ｍ，竖直宽度足够大．一带电粒子从y 轴上的A 点（纵坐标为h ＝2.0m ）以初

动能E k ＝1.0×10－8J 沿x 轴正方向射出，粒子的带电量为q ＝1.0×10－

10 C ，为使粒子通过x 轴上的B 点（横坐标为d ＝ 4.0m ），则该电场区域应处于何位置，求出其左边界位置对应的横坐标？（不计粒子的重力作用）

8．解析：设粒子的质量为m ，初速度为v 0．则 2

02

1mv E K =

① 粒子在电场内的运动规律为 m qE

a =

② 2

2

1at y = ③

t v x 0= ④

由以上各式解得

K

E q E x

y 42= ⑤

讨论：

（1）若粒子从匀强电场内通过B 点，则 h y = ⑥ 代入数据解得

22=x m=2.8m ⑦

因为x < L ，且x < d ，所以粒子能从匀强电场内B 点通过

第19题图

这种情况下电场区左边界位置对应的横坐标 x d x -=1=1.2m ⑧

（2）若粒子穿过完整的电场区，因为x = L ，所以y > h ，粒子不能通过B 点 （3）若粒子开始时处于电场区内射出，离开电场时 at v y = ⑨

''t v y h y y =-= ⑩

''0t v x d x =-= ⑾

由以上各式代入数据解得

224-=x m=1.2m ⑿

这种情况下电场区左边界位置对应的横坐标 L x x -=2=－1.8m ⒀

例6． 如图1所示，在xoy 平面内有垂直纸面的有界匀强磁场，磁感应强度大小均为B ，其中0

（2）粒子初速度改为v 1，要使粒子经过两个磁场后沿x 轴负方向经过O 点，求图中磁场分界线（图中虚线）的横坐标值为多少？要在图2中画出轨迹图。

（3）在第二问的情况下，要使带电粒子第二次回到O 点，且回到O 点时的速度方向沿x 轴正方向，请在x<0内设计符合要求的磁场，在图2上标明磁场的方向、磁感应强度的大小和边界的坐标？

（4）若粒子在第一个磁场中作圆周运动的轨迹半径为R =a 2 ，求粒子在磁场中的轨迹与x 轴的交点坐标。

25.解：(1) 质子在磁场中受洛仑兹力做匀速圆周运动，根据

牛顿第二定律有：R

v m qvB 2

= 2分

进入第二个磁场的条件：R>a, 2分 初速度满足：m

Bqa

V >

1分 （2）有对称性分析，右边的圆弧的圆心一定在X 轴上， 正确画出轨迹图， 2分

且三段圆弧的圆心正好构成一个正三角形， 所以θ=600 2分

第25题图1

第25题图2

a 点的坐标变为x=Rsin θ=

Bq

mv 230

2分

（3）5分（答案不唯一，正确的都给分，其中磁感应强度和边界坐标的乘积是常数） (4)

质子在磁场中受洛仑兹力做匀速圆周运动，根据

牛顿第二定律有：R

v m qvB 2

=

得质子做匀速圆周运动的半径为：qB

mv R =, 带电粒子在两个磁场中的 半径都为R=a 2

，

分

有sinθ=a/R,得到θ=450

圆心C 的坐标为x C =2R sinθ=2a y C =－（2a-R ）=a )22(-

- 所以圆方程为222

2)22()2(a a a y a x =-

++- 2分

将y=0代入得x=a )121(2-+

所以交点坐标为（a )121(2-+

，0） 2分

例7. 如图所示,半径为R 的半圆形区域内分布着垂直纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B ，半圆的左边垂直x 轴放置一粒子发射装置，在-R ≤y≤R 的区间内各处均沿x 轴正方向同时发射出一个带正电粒子，粒子质量均为m 、电荷量均为q 、初速度均为v ，重力忽略不计，所有粒子均能穿过磁场到达y 轴，其中最后到达y 轴的粒子比最先到达y 轴的粒子晚Δt 时间，则

A ．粒子到达y 轴的位置一定各不相同

B ．磁场区域半径R 应满足mv

R Bq

≤

C ．从

y 轴 D ．Δt

θ 答案：BD

例8．一圆筒的横截面如图所示，其圆心为O 。筒内有垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B 。圆筒下面有相距为d 的平行金属板M 、N ，其中M 板带正电荷．N 板带等量负电荷。质量为m 、电荷量为q 的带正电粒子自M 板边缘的P 处由静止释放，经

N

板的小孔S 以速度v 沿半径SO 方向射入磁场中．粒子与圈筒发生两次碰撞后仍从S 孔射出，设粒子与圆筒碰撞过程中没有动能损失，且电荷量保持不变，在不计重力的情况下，求：

(1)M 、N 间电场强度E 的大小； (2）圆筒的半径R:

（3）保持M 、N 间电场强度E 不变，仅将M 板向上平移2/3d ，粒子仍从M 板边缘的P 处由静止释放粒子自进入圆筒至从S 孔射出期间，与圆筒的碰撞次数n 。

【答案】(1) 22mv qd (2) (3) 3

【解析】(1)设两极板间的电压为U ，由动能定理得 2

12

qU mv =

① 由匀强电场中电势差与电场强度的关系得 U=Ed ②

联立上式可得 2

2mv E qd

= ③

(2)粒子进入磁场后做匀速圆周运动，运用几何关系做出圆心O’， 圆半径为r ，设第一次碰撞点为

A ，由于粒子与圆筒发生两次碰撞又从S 孔射出，因此SA 弧所对圆心角3

AO S π

'∠=

。

由几何关系得 t a n 3

r R π

= ④

粒子运动过程中洛伦兹力充当向心力，由牛顿第二定律，得

2

v qvB m r

= ⑤

联立④⑤式得 R = ⑥

(3)保持M 、N 间电场强度E 不变，M 板向上平移2

3

d 后，设板间电压为U '，则

33

Ed U

U '== ⑦

设粒子进入S 孔时的速度为v '，由①式看出 2

2U v U v

''= 结合⑦式可得

3

v v '= ⑧ 设粒子做圆周运动的半径为r '，则

3r qB

'=

⑨ 设粒子从S 到第一次与圆筒碰撞期间的轨道所对圆心角为θ，比较⑥⑨两式得到r R '=，可见 2

π

θ=

⑩

粒子须经过这样的圆弧才能从S 孔射出，故

n =3 ○11