杨辉三角源代码

杨辉三角源代码
杨辉三角源代码

#include

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using namespace std;

enum error_code{underflow,success,overflow};

class queue{

public:

queue();

bool empty()const;

bool full()const;

error_code get_front(int & x)const;

error_code append(const int x);

error_code serve();

private:

int count;

int front,rear;

int data[50];

};

queue::queue(){count=0;front=rear=0;}

bool queue::empty()const{

if(count==0) return true;

return false;

}

bool queue::full()const{

if(count==49) return true;

return false;

}

error_code queue::get_front(int &x)const

{

if(empty())return underflow;

x=data[(front+1)%50];

return success;

}

error_code queue::append(const int x){

if(full())return overflow;

rear=(rear+1)%50;

data[rear]=x;

count++;

return success;

}

error_code queue::serve(){

if(empty()) return underflow;

front=(front+1)%50;

count--;

return success;

}

void out_number(int n)

{int s1,s2; queue Q;

cout<

Q.append(1);

for(int i=2;i<=n;i++){

s1=0;

cout<

for(int j=1;j<=i-1;j++)

{

Q.get_front( s2 );

Q.serve();

cout<

Q.append(s1+s2);

s1=s2;

}

cout<<1<

Q.append (1);

}

}

void main()

{ int n;

cout<<"请输入要显示杨辉三角的行数n=";

cin>>n;

out_number(n);

}

显示杨辉三角实验报告

显示杨辉三角实验报告 姓名:许严班级:计122 学号:1213023050 1.问题描述 杨辉三角如图2.4.3所示,其特点是两个腰上数值是1,其他位置上的每一个整数都是它的上一行相邻两个整数之和。问题是:对于指定的最大行数rmax,要求从第一行到第rmax逐行显示杨辉三角形的所有元素。 2.基本要求 ⑴设计输出形式,尽量反映杨辉三角的特点。 ⑵设计计算杨辉三角形各行数值的方法。 ⑶输入:rmax从键盘输入。 ⑷输出:屏幕输出杨辉三角形. 3.实现提示 ⑴存储设计 计算杨辉三角形第i行时,如果在第i-1行两侧各添加一个0,则第i行的第j个元素等于第i-1行的第j-1个元素与第j个元素的和。计算如图2.4.4所示。第i行计算完,第i-1行的数据就没有用了,依据第i行数据可计算第i+1行的数据。 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 … 图2.4.3 杨辉三角形 从上述计算中不难看出,第i行的元素从左往右依次可被求得,求解过程中也是从左往右依次使用地i-1行的数据,显然,具有先入先出的特点。所以,可借助一个队列存放计算过程中所需的数据,如图2.4.5所示。 但随着航数的增加,队列会很长。所以,可以设置一循环队列,队长不少于rmax+2,边计算边出队。 (2)算法设计 计算各行元素的算法步骤如下。 Step1:队列初始化,0、1入队。队头ftont指向0处,队尾指向1后。 Step2:i从1到rmax,循环执行下列操作,求第i行数据。 2.1 0入队。 2.2 从队首起直到队尾,每出队两元素,求和后入队。 输出时注意0不输出。

数学上一些有趣的联系

数学课应该讲这些。人类知识体系是一个有机的开放复杂巨系统,数学是一个子系统,其中充满深刻联系,但今日的数学教育割裂了这些联系。必须把被割裂的部分连接起来,把被颠倒的历史颠倒回来。 数学(理论、应用、计算数学和随机性数学)/物理/计算科学/工程应该是统一的,并且朝着复杂性科学的方向进化。 括号里是参考书,我大都没看过。 以下问题都是开放的,有的问题可能能类比到其他联系或引发更深刻问题,欢迎讨论。 均非原创。 0。数学的主线,这个必须不断强调。比如,建模、解方程、分类、建立不同分支间的联系。 华罗庚同志回国后,在五六十年代写了几本科普书,《从杨辉三角谈起》(1956年6月)、《从祖冲之的圆周率谈起》(1962年4月)、《从孙子的神奇妙算谈起》(1963年2月)《谈谈与蜂房数学结构有关的数学问题》(1964年1月)。 《从杨辉三角谈起》涉及二项式定理,古人用它手算高次方根,牛顿用它算微积分。华老思路更广,垛积术->差分方程,无穷级数都谈到了。 《从祖冲之的圆周率谈起》涉及的线索有:历法中的计算-例如几年几闰->连分数展开->数论,天文中确定周期现象->用分数逼近实数(这可以帮助推导出开普勒定律,参见项武义)。在六七十年代,华老也用连分数解决一个工人师傅提出的数学问题:构造传动比接近圆周率的齿轮。 《从孙子的神奇妙算谈起》,当然从“今有物不知其数,三三数之剩二,五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何?”和孙子的口诀开始,谈解同余方程。插值。 这些书的对象是中学生,知识并不艰深,其中涉及很多思想方法。同时这些问题也是本质的,在数学史上占有一席之地,和中国古代数学史、今日数学主流密切相关。 华老中国古代数学造诣很深,数学功底深厚,又结合实际,因此深入浅出写出以上科普佳作。 吴文俊老师后来接过了这一棒,从中国古代数学中挖掘出了数学机械化的思想。 1.复变函数、柯西-黎曼方程的流体力学和热学背景。黎曼映照定理的热学证明。(Mark L evi《The mathematical mechanic》,这本书用物理做数学,有很多有趣的证明。他认为,这些物理证明把物理当作数学的工具……) 电学背景。静电场无源无旋,柯西黎曼方程是二维真空麦克斯韦方程的特例,场和势的关系。偶极子,(《复分析:可视化方法》)向量场的指标,Poincare-Hopf定理。 2.卷积的代数背景。看成群代数中元素的乘积在无限群上的推广。(Shafalev ich《代数学基础》) 3.代数拓扑课,应从相交数和微分形式入手讲上同调乘积。(一般书上都有,但各讲各的,我们只需要把它们综合起来)

杨辉三角的规律以及推导公式

杨辉三角的规律以及定理 李博洋 摘要杨辉三角中的一些规律 关键词杨辉三角幂二项式 引言 杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。在他所着的《详解九章算法》一书 中,画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形,称做“开方做法本源”,现 在简称为“杨辉三角”,它是世界的一大重要研究成果。我们则来对“杨辉三角”的 规律进行探讨和研究。 内容 1二项式定理与杨辉三角 与杨辉三角联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律,即。 杨辉三角我们首先从一个二次多项式(a+b)2的展开式来探讨。 由上式得出:(a+b)2=a2+2ab+b2此代数式的系数为:121 则(a+b)3的展开式是什么呢?答案为:a3+3a2b+3ab2+b3由此可发现,此代数式的系数 为:1331但似乎没有什么规律,所以让我们再来看看(a+b)4的展开式。 展开式为:a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4由此又可发现,代数式的系数为: 14641似乎发现了一些规律,就可以发现以下呈三角形的数列: 1(110) 11(111) 121(112) 1331(113)

14641(114) 15101051(115) 1615201561(116) 因此可得出二项式定理的公式为: (a+b)n=C(n,0)a^n*b^0+C(n,1)a^(n-1)*b^1+...+C(n,r)a^(n-r)*b^r...+C(n,n)a^0*b^n 因此,二项式定理与杨辉三角形是一对天然的数形趣遇,它把带进了。求二项式展开式系数的问题,实际上是一种组合数的计算问题。用系数来计算,称为“式算”;用杨辉三角形来计算,称作“图算”。 2杨辉三角的幂的关系 首先我们把杨辉三角的每一行分别相加,如下: 1(1) 11(1+1=2) 121(1+2+1=4) 1331(1+3+3+1=8) 14641(1+4+6+4+1=16) 15101051(1+5+10+10+5+1=32) 1615201561(1+6+15+20+15+6+1=64) …… 相加得到的数是1,2,4,8,16,32,64,…刚好是2的0,1,2,3,4,5,6,…次幂,即杨辉三角第n行中n个数之和等于2的n-1次幂 3杨辉三角中斜行和水平行之间的关系 (1) 1(2)n=1 11(3)n=2 121(4)n=3 1331(5)n=4

杨辉三角与两数和的乘方优秀教案

《杨辉三角与两数和的乘方》教学设计 教学目标: 知识与技能: 1、探究并掌握杨辉三角与两数和的乘方的系数之间的联系,会利 用这种关系写出两数和的乘方的展开式。 2、探究杨辉三角的数字规律,并能运用这些规律写出杨辉三角, 解决简单的纵横路线图问题。 过程与方法: 1、引导学生观察,讨论,合作学习,让学生充分感受到知识的产 生和发展过程,让学生学会自主探究新事物。 2、通过研究杨辉三角的数字规律,培养学生由特殊到一般的猜想 a-的展开式让学生体会转化的数学归纳能力。通过计算()5b 思想方法。 3、通过求()62+a中4a项的系数,让学生学会数学中的赋值 法。 情感态度与价值观: 1、介绍杨辉三角的数学历史,增强学生民族自豪感。 2、采用小组讨论的方式探究杨辉三角的规律,培养学生合作意识, 同时激发学数学的兴趣和热情,增强自信心,引发自主学习的 内在动力。 3、通过象棋问题引入杨辉三角最后又运用杨辉三角解决象棋问题 让学生感受到数学源于生活又服务于生活,数学与现实生活密

切相关而不是割裂的,体会数学在生活中的应用价值,从而提高学习数学的积极性。 教学重点: 1、探究杨辉三角与两数和的乘方的系数之间的关系。 2、探究杨辉三角的数字排列规律。 教学难点: 1、利用杨辉三角与两数和的乘方的系数之间的关系计算 ()5b a-的展开式。 1+ 2、例2中将78看作()77 教材分析: (1)杨辉三角与两数和的乘方是浙教版七年级下册第三章的阅读材料,课程总目标对本节课的要求是通过教师在平时教学中渗透或通过学生课后阅读解杨辉三角的简史,掌握杨辉三角与两数和的乘方的系数关系及杨辉三角数字排列规律。 (2)本节课是以整式的乘除为基础,对整式的乘法进行拓展,为高中学习二项式的展开式奠定基础。通过本节课的探究既能构建完整的知识框架,又能培养学生的数学素养。 (3)近几年的中考试题中频频出现杨辉三角,对此本节内容既是对整式乘除的巩固与拓展也是对学生知识的补充。 学情分析: 七年级学生自主学习能力比较薄弱,还无法用数学语言归纳概括比较复杂的数字规律。但是只要教师给予适当的引导、点拨他们还是

杨辉三角考题赏析

杨辉三角考题赏析 “杨辉三角”是我国古代数学的瑰宝.利用杨辉三角不仅讨论了二项展开式的一些性质,杨辉三角本身还包含着许多有趣的规律和性质.正因为如此,以“杨辉三角”为背景的试题在近年的高考或各地模拟题中频频出现,有力地考查了同学们对数据的整理、分析、概括、处理能力和创新思维能力.现采撷几例,与同学们共赏析. 例1 (2004年上海春季高考卷)如图1,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第_____行中从左到右第14与第15个数的比为2:3. 解析:由图1我们能发现,第1行中的数是0111C C ,;第2行中的数是 012222C C C ,,;第3行中的数是01233333C C C C ,,,; ;则第n 行中的数是 012n n n n n C C C C ,,,,设第 n 行中从左到右第14与第15个数的比为2:3,则 13142:3n n C C =·,解得34n =. 点评:本题是关于“杨辉三角”的一道高考题.杨辉三角中蕴含着许多有趣的数量关系,与排列、组合和概率的关系非常密切.因此,理解和掌握杨辉三角的一些性质,对发现某些数学规律是很有帮 助的. 例2 (2006届全国100所名校示范卷)如图2所示,在杨辉三角中,斜线 AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列:1,2,3,3,6,4,10, ,记 这个数列的前n 项的和为()S n ,则(16)S 等于( ).

A .144 B .146 C .164 D .461 解析:由图2知,数列中的首项是22C ,第2项是12C ,第3项是23C ,第4项 是13C ,,第15项是29C ,第16项是1 9C . 因此得121 21211 1223399239(16)()S C C C C C C C C C =++++++=+++2 22239()C C C ++++ 21 123 2223 33923391010()()1164C C C C C C C C C =+++-++++==+-=.故选C. 点评:本题是杨辉三角与数列结合的一道考题.将数列的各项还原为各二项展开式的二项式系数,并依次应用杨辉三角中数的规律Crn+1=Cr-1n+Crn (即组合数性质2),从而求得数列的和. 例3 (2004年江苏高考模拟卷)观察下列数表,问此表最后一个数是 什么,并说明理由. 解析:因为第一行有100个数,以后每一行都比前一行少一个数,因此共有100行. 通过观察可以得到: 第1行首尾两项之和为101; 第2行首尾两项之和为1012?; 第3行首尾两项之和为21012?, 第4行首尾两项之和为31012?,…… 第99行首尾两项之和为981012?. 因为从第2行开始每一个数字是它肩上两个数字之和,所以最后一个数字即第100行的数字是它肩上第99行首尾两个数字之和即为981012?. 点评:本题是一道以“杨辉三角”为背景的一道考题.通过观察找出每一行数据间的相互联系以及行与行间数据的相互联系.然后对数据间的这种联系用数学式子将它表达出来,使问题得解.

杨辉三角与二项式系数的性质教学反思07

杨辉三角与二项式系数的性质 教学反思 本节课有以下几点值得一提: 一、目标定位准确 本节课,在充分挖掘教学内容的内在联系,了解学生已有知识基础,充分分析学情后,确定的教学目标:理解、领悟二项式系数性质;渗透数形结合和分类讨论思想;灵活有效地运用赋值法.应该说具有具体而又准确,科学而有效的特点.随着课堂的实践得到了落实,并且将“知识目标”、“能力目标”、“情感目标”融为一体. 教学目标基本符合学生“认识规律”,以递进的形式呈现:观察分析、归纳猜想、抽象概括,提炼上升;特殊——一般——特殊到一般…,课堂实践表明,这些目标,在师生共同努力及合作下是完全可以达到的. 二、突出主体地位 1.放手发动学生 把课堂还给学生,一直是课改的大方向,也是新课标的原动力之一. 还给学生什么呢?教师作了很好的诠释: 一是给“问题”,当然问题有预设的,也有生成的,符合从学生“思维最近发展区”出发这一根本教学原则. 二是给“时间”,这体现了教师的先进教学理念,即便是教学难点“中间项系数最大”这一组合数计算讨论过程仍由学生尝试. 当然,n=6,7时,离散型函数的图象起了直观引领,奠基的重要作用. 不为完成任务所累,不为主宰课堂所困. 三是给“机会”,让学生展示自主探索,合作交流的成果,极大地保护和激发了学生学习的热情和积极性,参与程度和激情得到了空前的提高. 2.彰显理性数学 本节课,无论是对称性,增减性(最大值),及二项式系数和的逐步生成,学生都能从“特殊到一般”的认识规律,归纳猜想到结论. 但数形结合的函数思想,组合数两个性质的运用,两个计数原理的巧妙“会师”,奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和,反馈升华例示中赋值法再现. 这正是“数学演绎”、“理性数学”的精华,让学生找到内化和建构的多种途径.

不可不知的中国古代数学:从高斯算1 2 3 … 100谈起

不可不知的中国古代数学:从高斯算1 2 3 … 100谈起。。。 中国古代数学究竟有多牛逼 编者按:本报告基于林开亮博士参加由《知识就是力量》杂志社主办的2016年度“全国中学生数学/物理/化学科普竞赛”数学科普讲座的通俗报告《从杨辉三角到李善兰垛积术》和他在西北农林科技大学做的通俗报告《从高斯算 1+2+3+...+100 谈起》。感谢林老师授权【超级数学建模】发表。 高斯的故事 我们的故事从德国大数学家高斯(Gauss)讲起:传说中的高斯解法:利用对称性首尾相加求和 事实上,高斯用的是数学归纳法;他证明了一个更一般的结果阿基米德的故事 不过高斯并不是最早得到公式(1)的人,至少古希腊的阿基米德就知道了(1),事实上,阿基米德还得到了下述平方和求和公式阿基米德有一句名言流传至今:给我一个(地球外)支点,我可以翘起整个地球! 你在开门时、用钳子夹核桃就已经应用了这个杠杆原理! 阿基米德与高斯之间数学家:朱世杰 一个自然的问题是:历史上第一个给出这类问题解法的,是元代数学家朱世杰。特别地,对上述问题,他给出了答案:

这比欧洲最早得到这个公式的德国数学家莱布尼茨早了300多年。今年恰逢莱布尼茨(1646-1716)逝世300周年。朱世杰:我们的主人公朱世杰就是我要讲的故事的主人公,我们不仅仅要介绍他是如何得到立方求和公式(3)的,还要介绍他的方法(裂项求和)如何可以求出一般的前n个数的p次方的和,即如何得到这样的公式:朱世杰现在对大家来说也许只是个陌生的名字,但我希望报告结束后你会得到这样的认识,他位列古代最伟大数学家的行列。 朱世杰生活的大时代 世界 中世纪(Middle Ages,大约500--1400 )的漫漫长夜长达近千年,代表事件分别是罗马帝国的灭亡与文艺复兴。中世纪的数学最辉煌的地域是中国(宋元四大家)、印度(婆罗摩笈多)、波斯(海亚姆)、意大利(斐波那契)。 翻译传播希腊与印度的数学和科学。 中国 宋元(960-1279-1368)四百年是中国古代数学的黄金时代,涌现出四位大数学家,人称“宋元四大家”: 南宋:李冶(1192-1279)、秦九韶(1202-1261)、杨辉(约1238 -1298)元:朱世杰(1249-1314)四人皆有著作,成就了中国古代数学的最高峰 评注1:美国著名科学史家萨顿(G. Sarton,1884-1956)

(完整版)教学案例.杨辉三角与二项式系数性质(标准)

1.3.2二项式系数的性质(第一课时) 学校:新塘中学 班级:高二A8班 教师:段建辉 ●教学目标 (一)知识与技能 1.二项式系数的性质:对称性,增减性与最大值,各二项式系数的和. 2.掌握“赋值法”,并会简单应用 (二)情感与价值观 1.树立由一般到特殊及特殊到一般的意识. 2.了解中国古代数学成就及地位............. ●教学重点:二项式系数的性质 ●教学难点:二项式系数的最大值的理解与二项展开式中系数最大项有的求解. ●教学方法:发现法 ●授课类型:新授 ●教学情境设计: 一、复习回顾 1.二项式定理及其特例: (1)01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L , (2)1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++L L . 2.二项展开式的通项公式:1r n r r r n T C a b -+= 二、引入 通项公式中的r n C ,我们称其为二项式系数.当n 依次取1,2,3…时, n b a )(+二项式系数,如下表所示:

表1 此表叫二项式系数表,早在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现了又叫杨辉三角.国外最早发现是在欧洲,叫帕斯卡三角,比中国晚了500年 下面我们可以利用“杨辉三角”来研究二项式系数的性质 三、探究 观察二项式系数表,根据提示的方法,寻找表中的规律. 【注意】 ?1)不要孤立的看、规律应该体现在联系之中 ?2)既要注意横向观察,也要注意纵向观察,横向观察是重点 ?3)可以结合函数图象或图表来研究,也可以和集合作联系 1、二项式系数表的规律 ①每行两端都是1 ②除1以外的每1个数都等于它肩上两个数的和(如何用数学知识解释?) 【提示】设这一数为r C 1-r n 和C r n ,由组合数知识可知: 1 1 01C C 02 C 12 C 2 2C 03 C 13 C 23 C 33 C 1 4C 0 4 C 3 4C 2 4C 4 4C 0 5C 1 5C 2 5C 35 C 4 5C 55 C

杨辉三角

杨辉三角 教学设计思想: 这节课是高三数学(选修II )的研究性课题,是在高二学过的“二项式定理”的基础上,进一步探讨和研究杨辉三角的性质,实质上就是二项展开式的二项式系数即组合数的性质。 (1)让学生在教师设计的问题情境中,自己根据已经学过的知识去发现问题→提出问题→解决问题,即观察、猜想、归纳杨辉三角横行、竖向、斜向的数字各数之间的大小关系、组合关系及各数字之间的联系等规律。 (2)在学生自主探究知识的发生发展过程中从中体会到数学世界的神奇和有趣,激发他们对数学的热爱之情。培养他们的交流与协作的能力。 (3)通过向他们介绍杨辉三角的有关历史,让他们了解中国古代数学的伟大成就,增强他们的民族自豪感。 教学 目标: 1 使学生了解杨辉及杨辉三角的有关历史,掌握杨辉三角的基本性质,并能认识到中国古代的数学的辉煌成就。 2 让学生在老师的启发下自己去探讨杨辉三角中行、列的数字的特点, 发现杨辉三角的有关的性质,培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力。 3通过讨论,培养学生发现问题、提出问题、解决问题的能力。在交流中培养学生的协作能力,形成探究知识、建构知识的研究型学习习惯及合作化学习的团队精神,为进一步学习作好准备。 教学过程: 一 引入 今天我们在高二学过的杨辉三角的基础上,进一步探索杨辉三角数字中横 向、竖向、斜向…中蕴含的有趣的数量关系。(幻灯片:出示杨辉三角的前3行,余下的让学生补充完整) 二 杨辉简介 杨辉,中国南宋时期杰出的数学家 和数学教育家。在13世纪中叶活动于 苏杭一带,其著作甚多。其中《详解九章算术》 中的“开方作法本源图”,曾被称为“杨辉三角”, 杨辉指明次系贾宪(约11世纪)所用. 三 探讨杨辉三角的性质 ? ??++++++=++++++=+++++=++++=+++=++=+=+6 43223245665 432234554 3223443 22332 221061520156)(510105)(464)(33)(2)()(1)(b ab b a b a b a b a a b a b ab b a b a b a a b a b ab b a b a a b a b ab b a a b a b ab a b a b a b a b a

杨辉三角与二项式系数的性质(教案)

1. 3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质 教学目标: 知识与技能:掌握二项式系数的四个性质。 过程与方法:培养观察发现,抽象概括及分析解决问题的能力。 情感、态度与价值观:要启发学生认真分析书本图1-5-1提供的信息,从特殊到一般,归纳猜想,合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。 教学重点:如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学难点:如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题授课类型:新授课 教 具:多媒体、实物投影仪 第一课时 一、复习引入: 1.二项式定理及其特例: (1)01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈, (2)1 (1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ +. 2.二项展开式的通项公式:1r n r r r n T C a b -+= 3.求常数项、有理项和系数最大的项时,要根据通项公式讨论对r 的限制;求有理项时要注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课: 1二项式系数表(杨辉三角) ()n a b +展开式的二项式系数,当n 依次取1,2,3…时,二项式系数 表,表中每行两端都是1,除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2.二项式系数的性质: ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ,1n C ,2n C ,…,n n C .r n C 可以看成 以r 为自变量的函数()f r 定义域是{0,1,2, ,}n ,例当6n =时,其图象是7个孤立的点(如图) (1)对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 (∵m n m n n C C -=). 直线2 n r = 是图象的对称轴. (2)增减性与最大值.∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k ----+-+= =? ,

高中数学知识点:杨辉三角问题解法(动画版)

高中数学知识点:杨辉三角问题解法(动画版) 在高中数学知识点中,杨辉三角,又称贾宪三角形,帕斯卡三角形, 是二项式系数在三角形中的一种几何排列。在欧洲,这个表叫做帕斯卡三角 形。下面让我们更深入的了解一下高中数学知识点之杨辉三角的相关知识吧。 一、杨辉三角的性质前提:端点的数为1.1.每个数等于它上方两数之和。2. 每行数字左右对称,由1开始逐渐变大。3.第n行的数字有n项。4.第n行数 字和为2n-1。5.第n行的m个数可表示为C(n-1,m-1),即为从n-1个不同元 素中取m-1个元素的组合数。6.第n行的第m个数和第n-m+1个数相等,为 组合数性质之一。7.每个数字等于上一行的左右两个数字之和。可用此性质 写出整个杨辉三角。即第n+1行的第i个数等于第n行的第i-1个数和第i个 数之和,这也是组合数的性质之一。即C(n+1,i)=C(n,i)+C(n,i-1)。8.(a+b)n的 展开式中的各项系数依次对应杨辉三角的第(n+1)行中的每一项。9.将第2n+1 行第1个数,跟第2n+2行第3个数、第2n+3行第5个数……连成一线,这 些数的和是第4n+1个斐波那契数;将第2n行第2个数(n>1),跟第2n-1行第 4个数、第2n-2行第6个数……这些数之和是第4n-2个斐波那契数。10.将 各行数字相排列,可得11的n-1(n为行数)次方:……当n>5时会不符合这一 条性质,此时应把第n行的最右面的数字”1”放在个位,然后把左面的一个数 字的个位对齐到十位......,以此类推,把空位用“0”补齐,然后把所有的数加 起来,得到的数正好是11的n-1次方。以n=11为例,第十一行的数为: 1,10,45,120,210,252,210,120,45,10,1,结果为25937424601=1110。二、杨辉三角的解法1.解题法一 那幺怎样才能显示成金字塔形状呢?问题在于如何将每行前的空格数与行

杨辉三角

研究性课题:杨辉三角 ●教学目标 (一)教学知识点 1.理解杨辉三角的性质 2.掌握有关杨辉三角的基本性质1 1 1C C C ,C C +++-=+=r n r n r n r n n r n . (二)能力训练要求 会应用杨辉三角的基本性质证明杨辉三角新的性质. (三)德育渗透目标 1.培养学生观察问题、分析问题、概括与归纳问题的能力.解决问题能力,让学生在探索过程体验数学活动,数学发现的成功的愉悦. 2.培养学生实际动手操作实践创新的能力,培养学生的创新精神,探索精神和应用能力,鼓励学生大胆猜想,相信科学. ●教学重点 杨辉三角新的性质的探索和发现是教学的重点.杨辉三角中蕴含着许多有趣的数量关系,研究和探索杨辉三角的一些性质,对于发现某些数学规律是大有裨益的.对于培养学生的创新思维能力也是不无帮助的. ●教学难点 杨辉三角新的性质的探索和发现是本节课教学难点。 ●教学方法 由于杨辉三角中的许多有趣的数量关系不是轻易发现的,而简单的告诉和求证又显得十分枯燥无味,学生的发现、探索精神和能力的培养受到了一定的限制,所以学生主动探索,发现和证明(失败时总结经验,另寻他路,重新启动,走向成功)的全程的尝试是最为主要的,这样不是被动的接受,而是主动的建构,学生的认知结构得到了较好的发展和培养,他们不仅学会了知识而且还学会了如何面对困难、克服困难,走向成功的高峰的非智力因素的调节作用,要求同学们不仅是个体参与,而且是集体参与,智力参与. ●教具准备 实物投影仪(多媒体课件) ●教学过程 Ⅰ.课题导入 上节课我们学习了杨辉三角中的有关性质,杨辉三角是我国古代数学的研究成果之一,它的发现远早于法国数学家帕斯卡,它和勾股定理,圆周率的计算等其他中国古代数学成就,显示了我国古代劳动人民的卓越智慧和才能。今天我们继续探索研究杨辉三角的有关性质. Ⅱ.讲授新课 一般的杨辉三角如下表.

浅谈杨辉三角的奥秘及应用

浅谈杨辉三角的奥秘及应用 摘要文中阐述了杨辉三角中蕴涵的一些优美的规律及利用杨辉三角在以其为背景的一些现实生活问题中的应用来培养解决问题的思维能力。 关键词杨辉三角,最短路径,错位,幂 0 引言 杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家。在他著的《详解九章算法》一书中,画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形,称做“开方做法本源”,现在简称为“杨辉三角”,它是杨辉的一大重要研究成果。随着素质教育的提倡,新课程标准的颁布,生活中很多问题都与杨辉三角有着或多或少的联系,那如何解决这些以“杨辉三角”为背景的问题呢?这就需要我们对杨辉三角本身蕴涵着许多优美的规律进行探讨和研究。 1 杨辉三角与数字11的幂的关系 我们知道初中时老师要求我们背11的幂,11的1次幂、2次幂、3次幂还好背,后面就难起来了。后来我受到一位老师的启发,并且查看了这方面有关资料,发现杨辉三角与11的n次幂的关系非常密切。 假设y=11n 当n=0时: y=1; 当n=1时: y=11; 当n=2时:y=121; 当n=3时:y=1331; 当n=4时:y=14641; 以上是当n≤4时与扬辉三角的前5行多一致,接下来我们再来看一下当n≥5时的情况,如下: 当n=5时: 1 4 6 4 1 ? 1 1 1 4 6 4 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 当n=6时: 1 5 10 10 5 1 ? 1 1 1 5 10 10 5 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1

…… 由上可知:11的n 次幂的各位数字(不含进位)与杨辉三角中的各数字完全相等(证 明还有待证明)即杨辉三角是11的幂按错位相加不进位的方法依次从小到大排列而成的图 形。如下图: 1 (110 ) 1 1 (111 ) 1 2 1 (112) 1 3 3 1 (113) 1 4 6 4 1 (114) 1 5 10 10 5 1 (115) 1 6 15 20 15 6 1 (116) …… 其实这个关系我们早就学习过了,只是用另一种方式表达而已。我们知道初中时老师教 我们记11的幂时,有一句口诀:头尾不变(即为1),左右相加放中间。其实是错位相加,而 扬辉三角中头尾为1,中间的数是其肩上的两数之和,也是错位相加得到的。 2 杨辉三角与2的幂的关系 首先我们把杨辉三角的每一行分别相加,如下: 1 ( 1 ) 1 1 ( 1+1= 2 ) 1 2 1 (1+2+1=4 ) 1 3 3 1 (1+3+3+1=8 ) 1 4 6 4 1 (1+4+6+4+1=16 ) 1 5 10 10 5 1 (1+5+10+10+5+1=3 2 ) 1 6 15 20 15 6 1 (1+6+15+20+15+6+1=64 ) …… 我们知道相加得到的数是1,2,4,8,16,32,64,…刚好是2的0,1,2,3,4,5, 6,…次幂,即杨辉三角第n 行中n 个数之和等于2的n-1次幂。 刚好与高中时学的杨辉三角的性质相符合,归纳如下: 1°与二项式定理的关系:杨辉三角的第n 行就是二项式n b a )(+展开式的系数列 }{R N C 。 2°对称性:杨辉三角中的数字左、右对称,对称轴是杨辉三角形底边上的“高”,即 r n n r n c C -=。

C语言程序设计漫谈之从“杨辉三角形”谈起

从“杨辉三角形”谈起 杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列,中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。在欧洲,帕斯卡(1623~1662)在1654年发现这一规律,所以这个表又叫做帕斯卡三角形。帕斯卡的发现比杨辉要迟393年。 如果将(a+b)n(n为非负整数)的每一项按字母a的次数由小到大排列,就可以得到下面的等式: (a+b)0=1 ,它只有一项,系数为1; (a+b)1=a+b ,它有两项,系数分别是1,1; (a+b)2=a2+2ab+b2,它有三项,系数分别是1,2,1; (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3,它有四项,系数分别是1,3,3,1; …… 由此,可得下面的图表,这个图表就是杨辉三角形。 观察上图表,我们发现每一行的首末都是1,并且下一行的数比上一行多1个,中间各数都写在上一行两数中间,且等于它们的和,可以按照这个规律继续将这个表写下去。 【例1】杨辉三角形。 输入n(1<=n<=30),输出杨辉三角形的前n行。 (1)编程思路1。 用一个二维数组y[31][31] 来保存杨辉三角形每一行的值。杨辉三角形第row行可以由第row-1行来生成。 例如:

由上表知:当row=5时,y[5][1] = 1, y[5][2] = y[4][1] + y[4][2],y[5][3] = y[4][2] + y[4][3], y[5][4] = y[4][3] + y[4][4] ,y[5][5] = y[4][4] + y[4][5] 一般的,对于第row(1~30)行,该行有row+1个元素,其中: y[row][1]=1 第col(2~row+1)个元素为:y[row][col] = y[row-1][col-1] + y[row-1][col]。(2)源程序1。 #include int main() { int n,i,j,y[31][31]={0}; for (i=1;i<=30;i++) // 赋行首与行尾元素值为1 y[i][1]=y[i][i]=1; for (i=3;i<=30;i++) // 每行中间元素赋值 for (j=2;j

华师大数学教育概论模拟试卷及答案

写在前面:本文档整合了《数学教育概论》的四张模拟卷,从网上摘抄的答案,仅作学员参考之用。若涉及到版权问题,请原作者及时联系。 一、 (1)填空:20世纪的数学教育风起云涌。首先在世纪之初,由著名数学家【贝利】和【克莱茵】发起了一场课程改革运动;到了50年代,由于前苏联的人造地球卫星上天等原因,引发了一场影响全球的【新数】运动;由于这场运动的许多过于激进的做法,导致了80年代初期的所谓的【回到基础】运动,使得许多国家的数学课程跌到了低谷。为了改变这种局面,美国数学教师学会提出了“要把【问题解决】作为80年代美国数学课堂教学的核心”的口号,得到了许多国家的响应。 (2)请在下表中列举五位著名的数学教育家及他们的一本著作或一个观点: (3)数学课程改革的许多争论都可以归结为“为什么要学数学?”的问题。作为一个数学专业的学生,你认为,你从多年的数学学习中,得到了哪些益处?由此谈谈你对数学教育目标的看法。 【1)数学一直是形成人类文化的主要力量,通过数学这面镜子可以了解一个时代的特征。古希腊数学家强调严密的推理,中国古代数学崇尚实用,一个时代的特征与这个时代的数学活动密切相关。数学能像音乐一样,给人以巨大的心灵震撼。从斐波那契数列和圆周率的小数位数字,到四面体和麦比乌斯带,都可以作为艺术家创作的灵感。法国数学家傅立叶证明了:所有的声音,无论是噪音还是仪器发出的声音,复杂的还是简单的声音,都可以用数学方式进行全面的描述。2)数学教育必须超越抽象的世界、符号的世界、逻辑的世界、知识的世界、绝对真理的世界以及升学工具的世界,迈向意义的世界。可以说,回归数学意义是每一个数学教育工作者神圣的使命。走向意义的数学教育理所当然应该成为新的教育方向,新的教育追求。】 (4)一些国际比较研究表明,东亚学生的数学解题水平很高,但对数学学习的自信心和兴趣却不高。 你认为其中的主要原因有哪些?请给出例证。 【现如今的数学教育已经陷入了一个怪圈,很多人都是为了考试而学习数学,学生在数学上的自信和兴趣并没有来自于是否真正掌握了数学知识和方法,更多的是来自于自身在群体中取得的成绩,这也是造成优秀群体学生陷入“数学知识在攀比中越来越艰深,数学兴趣在艰深中越来越丧失”这个怪圈的一

《华罗庚》读书心得

《华罗庚》读书心得 《华罗庚》读书心得 《华罗庚》读书心得1 15的年华,改如涨满风帆的小舟。而你,却不能上学了。 坐在那破旧的柜台后面,看到的,只是爸爸愁苦的容颜。你还记得儿时捧着妈妈偶尔给你的鸡蛋,半天舍不得吃;记得爸爸黄昏归来,肩头洇湿的雨水和残落的凌花。如今,你失学了!饥饿、贫困可以苦熬,但你酷爱的数学,向谁求教? 华罗庚爷爷,我怎能不敬佩你? 在太湖边那穷陋的小房里,迎着瑟瑟的寒风,干活、记账,余下的时间,你都用来自学数学。在劳动的间隙,你不停的算,在昏浊的油灯下,你天天演算的深夜。半夜醒来,你竟会为梦境里的闪烁,琢磨到天明。罗庚爷爷,你一定很困很饿,可你心中定有一片令你神往的世界! 旧世界啊!你为什么如恶煞一样凶残?你就是动荡,你就是苦痛,你就是久治不愈的瘟疫!华爷爷,18岁的你,摆脱不了穷困,又几乎被伤寒夺去性命。当绝望的卧床六个月,你勉强支撑起来时,已左腿僵直,落下了终身的残疾。 华罗庚爷爷,我怎能不敬佩你?

你拄着拐杖,任凭成行的热泪流淌在雨水打湿的长衫上……可是,你并不屈服,扶着钻心疼痛的病腿,你有重新坚强的在“数学之路”上艰难的跋涉。 对着退回的论文,你哭了;并不停步。第一篇论文发表时,你仅20岁!只有那如豆的油灯才知道,你为真理的探索,度过了多少不眠之夜!华爷爷,老师扶着我们?过平静的小河,而您是独自与大海搏击啊!即使已站在清华的讲台上,即使您的成就被剑桥的权威们叹为“剑桥的光荣,你仍然手不释卷,孜孜以求。 从您身上,我依稀看到伟大的长城,不息的长江和奔腾的黄河! 敬爱的华爷爷,当您静静地躺在东京庄严的讲谭上时,我抑制不住的泪水夺眶而出!我不禁自问,我能向您那样坚强吗?什么是苦难?什么是艰辛?什么是忘我和自觉?我只懂得什么? 罗庚爷爷,您安息吧!我一定学习您那种坚强的意志,在老师的指导下,学好各门功课! 《华罗庚》读书心得2 成功对每个人来说都是一件幸运的事,但不是每一个人都能获得成功。成功不是路边的小石子随处可捡,也不是田间的小草随意可觅。要成功,需要有一段漫长的路要走,在这期间是要经过许多挫折的。 1930年的一天,清华大学数学系主任熊庆来,坐在办公

2019-2020学年高一数学 杨辉三角与二项式系数(二)作业.doc

2019-2020学年高一数学 杨辉三角与二项式系数(二)作业 1.(a+b)n 展开式中第四项与第六项的系数相等,则n 为( ) A .8 B .9 C .10 D .11 2.二项式(1-x)4n+1的展开式系数最大的项是( ) A .第2n+1项 B .第2n+2项 C .第2n 项 D 第2n+1项或2n+2项 3.10110-1的末尾连续零的个数是( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 4.若n 为奇数,777712211---+???+++n n n n n n n C C C 被9除所得的余数是( ) A .0 B .2 C .7 D .8 5.5 n +13 n (n N ∈)除以3的余数是( ) A .0 B .0或1 C .0或2 D .2 6.数(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是( ) A .1.23 B .1.24 C .1.33 D .1.44 7.!20123181920!417181920!21920C 0 4?????????+???+???+?+ 的值是( ) A .217 B .218 C .219 D .220 8.(1-2x)15的展开式中的各项系数和是( ) A .1 B .-1 C .215 D .315 9. 在(ax+1)7的展开式中,(a>1),x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项,则a 的值是 。 10.设112131)13(x x + 展开式中各项系数和为A ,而它的二项式系数之和为B ,若A+B=272,那么展开式中x 2项的系数是 。 11.关于二项式(x 1)2007有下列四个命题: ①该二项展开式中非常数项的系数和是1; ②该二项展开式中系数最大的项是第1004项; ③该二项展开式中第6项为200162007x C ; ④当x=2008时,(x 1)2007 除以2008的余数是2007。 其中正确命题的序号是 。 12.将杨辉三角中的奇数换成1,偶数换成0,得到如下图所示的01三角数表,从上往下数,第1次全行的数都为1的是第1行,第2次全行的数都为1的是第3行,…,第n 行全行的数都为1的是第 行。 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 …… ……… ……… ……… 13.用二项式定理证明6363+17能被16整除.

从《北大讲量子力学的烂人》谈起

(一)题记关于批评的语气 这题目如果叫做“从……谈起”,除非偶尔碰上大牛,能把一团文章作得密不透风,否则十有八九是作者在为日后的语无伦次和离题万里播种伏笔。高中时候读华罗庚先生的《从杨辉三角谈起》和《从孙子的“神机妙算”谈起》,觉得丝丝入扣,那是大手笔。另有一本《从单位圆谈起》,虽然我从来没有冲出过前三页,但单从目录看,估计也一定是海阔天空而经脉不散的。这种牛书,总是无一例外地能给读者带来身心的巨大愉悦。 大牛不是天天都能碰上的,所以,我的读者恐怕没有我当初那么幸运。 事情的起因是meteorface同学发了一篇批评曾谨言老师的文章,从而引出了我的一些想法。这些想法,我很早就有,meteorface不过起一个诱导的作用。在我下面将要发表的观点中,有一部分针对那篇文章,但大多数不是,尚请meteorface见谅。 meteorface在他的文章中,用了一种我不喜欢的批评语气,有点像人身攻击——比如题目里的“烂人”。再比如,文中称曾老师为“这东东”。就我所知,除了法律系的孙东东老师外,别人套用这个称呼似乎都有欠准确。时下常有人觉得,看见谁不顺眼,大声骂出来才好,才是真性情,客客气气跟人说要么是虚伪,要么是损人不带脏字,总之尤为恶毒。我却一向以为,客气的批评一来是对对手的尊重,二来是为自己的批评增加力度,必要的时候宁可虚伪一点,也不能被对手揪住小辫,所以在这里向大家倾力推荐。 顺便说一下,就我所知,“高等量子力学”的反面乃是“初等量子力学”,而非“低等量子力学”。小时候我初闻何祚庥先生是“高能”物理学家,佩服得不得了,以为比“学部委员”还高。后来听说还有一个“低能物理研究所”,于是大惑不解。可见祖宗文化博大精深,一词多义,比起GRE类比,那是更加地害人不浅。一种有名的数学竞赛杂志,叫做《初等数学》,若是改成《低等数学》,只怕从此销路受阻,一举倒闭。中国社会科学院美国研究所的董乐山先生在为《牛津高阶英汉双解词典》第四版所作的前言中说,“最后要提一下的是:它(指该词典)的汉语名称中‘高级’一词改为‘高阶’,仅此一端,可以看出主其事者确是高手,因为原来的名称不免有misnomer之疵。”我这里想说的,就是这个意思。 熟悉我的人都知道,我生活中说话一向极损,不信大家可以找PlateauWolf确认。这不是好习惯,我也一直在试图改正。不过有一点我敢说的是,我从不搞人身攻击。以前我也曾在物理版发过批评陆果老师的文章,措辞比较激烈,但是里面没有人身攻击的成分。我想这大概可以算作批评的规矩。就好像辩论手即使心里老大不愿,为着裁判的高分,也得咬着牙恭恭敬敬地称自己对面那帮鬼子为“对方辩友”一样,说到底,是会对自己有益的。 附:meteorface原文的reprint --------------------------- 发信人:meteorface(babyface),信区hysics 标题:北大讲量子力学的烂人 发信站:北大未名站(2000年12月05日23:40:19星期二),站内信件 这人我不说大家可能也知道的,他不是写了几本破书吗。然后就平装本,精装本的一通乱出,赚可怜学生的MONEY,当然最可气的是其傲慢,就好象我们大家都不是东西似的。这东东上来就说我们不刻苦,FAINT,老子当时正考G,能不刻苦吗。然后就说我们不如80年代的学生,而80年代又不如50年代的学生。你干脆就说我们不如你不就行了。不过也不知我们底下坐着位初二学高等数学,高中学数理方法,电动力学的老哥是不是也不如他?可恨的是他还以为自己牛X 的不得了,给我们来讲讲低等量子力学就跟委屈了他似的。 麦克风也不愿带,然后自己说话又含含糊糊。按他的说法,上他的课就得打破脑袋的占座,这样才是爱学习,他只给在前面的人讲,后面听不见,活该了。还有最没人性的是我们刚献完血回来就要期中考试,还不告诉你范围什么的。别人都在准备校庆,我们在...

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