3.1空间向量及其运算测试题(答案)
1
A．-a+b+c B．a+b+c
C．a-b+c D．-a-b+c
A．OM=2OA-OB-OC B．O M=OA+OB+OC
1
C．（－，，－1）D．（2，－3，－22）
2
C．π
N A．a-b+c B．-a+b+c
C．a+b-c D．a+b-c 精心整理
新课标高二数学同步测试（2－1第三章3.1）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填
在题后的括号内（每小题5分，共50分）．
1．在平行六面体ABCD—A B C D中，M为AC与BD的交点，若A B=a，
1111
A D=b，A A=c.则下列向量中与
B M相等的向量是（）
1111
1111
2222
1111
2222
图
2．在下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是（）
111
532
C．MA+MB+MC=0D．OM+OA+OB+OC=0
3．已知平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，AB=4，AD=3，AA'=5，∠BAD=900，
∠BAA'=∠DAA'=600，则AC'等于（）
A．85B．85C．52D．50
4．与向量a=(1,-3,2)平行的一个向量的坐标是（）
A．（，1，1）B．（－1，－3，2）
3
13
22
5．已知A（－1，－2，6），B（1，2，－6）O为坐标原点，则向量OA,与OB的夹角是（）
A．0B．πD．3π2
6．已知空间四边形ABCD中，OA=a，OB=b，OC=c，点M在OA上，且OM=2MA，为BC中点，则MN=（）
121 232 111
222
211 322 221
332
7．设A、B、C、D是空间不共面的四点，且满足AB?AC=0，AC?AD=0，AB?AD=0，则?BCD是
（）
A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定
8．空间四边形OABC中，OB=OC，?AOB=?AOC=600，则cos O A，BC=（）
2
B ． 2
D ．0
5
B ． 5
C ． 5
D ． {
}
B'
16．（12 分）如图在空间直角坐标系中 BC =2，原点 O 是 BC 的 中点，
( , ,0) ，点 D 在平面 yOz 上，且∠BDC =90°，∠DCB =30°.
（1）求向量 OD 的坐标； A B 、A A 的中点.
20．（14 分）如图，已知平行六面体 ABCD —A B C D 的底面 ABCD
菱形且∠C CB =∠C CD =∠BCD =60°.
A ． 1
2
2
C ．?
1
9．已知 A （1，1，1）、B （2，2，2）、C （3，2，4），则 ? ABC 的面积为（）
A ． 3
B ． 2 3
C ． 6
D ．
6
2
10．已知 a = (1 - t,1 - t, t ), b = (2, t , t ) ，则 | a - b | 的最小值为（）
A ． 5
55
3 5
11
5
二、填空题：请把答案填在题中横线上（每小题 6 分，共 24 分）．
11．若 a = (2,3,-1) ， b = (-2,1,3) ，则 a, b 为邻边的平行四边形的面积为．
12．已知空间四边形 OABC ，其对角线为 OB 、AC ，M 、N 分别是对边 OA 、BC 的中点，点 G 在线段 MN
上，且 M G = 2GN ，现用基组 OA, O B, O C 表示向量 OG ，有OG =x OA + yOB + zOC ，则 x 、y 、
z 的值分别为．
13．已知点 A(1，?2，11)、B(4，2，3)，C(6，?1，4)，则?ABC 的形状是．
14．已知向量 a = (2,-3,0) ， b = (k ,0,3) ，若 a, b 成 1200 的角，则 k=．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共 76 分)． 15．（12 分）如图，已知正方体 ABCD - A ' B 'C ' D ' 的棱长为 a ，M 为 BD ' 的中点，点 N 在 AC ' '上，
且 | A ' N |= 3| NC ' | ，试求 MN 的长．
z D'
O'
N
C'
A'
点 A 的坐标是 3 1
2 2 A
x D M B
C y
（2）设向量 AD 和 BC 的夹角为θ ，求 cos θ 的值 17．（12 分）若四面体对应棱的中点间的距离都相等，证明这个 四面体的对
棱两两垂直． 18．（12 分）四棱锥 P —ABCD 中，底面 ABCD 是一个平行四边形， AB ={2，－
1，－ 4}， AD ={4，2，0}， AP ={－1，2，－1}.
（1）求证： PA ⊥底面 ABCD ；
图
（2）求四棱锥 P —ABCD 的体积； 19．（14 分）如图所示，直三棱柱 ABC —A B C 中，CA =CB =1，∠BCA =90°，棱 AA =2，M 、N 分别是
1 1 1 1 1 1
1
（1）求 BN 的长；（2）求 cos< BA , C B >的值；
1
1
（3）求证：A B ⊥C M .
1 1
1
1
1 1 1 1
是
2
2 2 2 2
| a | ? | b | ，计算结果为－1．
(OB + OC ) - OA ．
| AB || AC | ? sin < AB, AC > ，
= - ，得 sin < a, b >= ，可得结果．
12． OA + OB + OC ；
=- ，得 k = ± 39 ．
（1）证明：C C ⊥BD ；（2）假定 CD =2，CC = 3
，记面 C BD 为α ，面 CBD 为β ，求二面角α —BD —
1
1
1
β 的平面角的余弦值；
（3）当 CD
CC
1
的值为多少时，能使 A C ⊥平面 C BD ？请给出证明.
1 1
参考答案
1 1 1 1
一、1．A ；解析： B M = B B + BM = A A + ( B A + BC ) = c + （－ a + b ）=－ a + b + c ．评
1 1 1
述：用向量的方法处理立体几何问题，使复杂的线面空间关系代数化，本题考查的是基本的向量相 等，与向量的加法.考查学生的空间想象能力.
2．A ；解析：空间的四点 P 、A 、B 、C 共面只需满足 OP = xOA + yOB + zOC, 且 x + y + z = 1 既可．只
有选项 A ．
3．B ；解析：只需将 AC ' = AB + AD + AA ' ，运用向量的内即运算即可， | AC ' |=
AC ' 2 ．
4 ． C ；解析：向量的共线和平行使一样的，可利用空间向量共线定理写成数乘的形式．即
b ≠ 0, a // b ? a = λ b ．
5．C ；解析： cos θ = a ? b
6．B ；解析：显然 MN = ON - O M = 1 2
2 3
7．B ；解析：过点 A 的棱两两垂直，通过设棱长应用余弦 定理可得三角形为锐角三角形．
8．D ；解析：建立一组基向量 OA, O B, O C ，再来处理 OA ? BC 的值． 9．D ；解析：应用向量的运算，显然 cos < AB, AC >= AB ? AC
从而得 S =
10．C ； 二、
1 2
| AB || AC | sin < AB, AC > ．
11． 6 5 ；解析： cos < a, b >= a ? b
| a || b |
1 1 1
6 3 3
解析：
13．直角三角形；解析：利用两点间距离公式得： | AB |2 =| BC |2 + | AC |2 ．
14． - 39 ；解析： cos < a, b >= a ? b
| a | ? | b | = 2k
13 9 + k 2 1 2
三、
由于 M 为 BD ' 的中点，取 A 'C ' 中点 O'，所以 M （ ， ， ），O'（ ， ，a ）
．因为 | A ' N |= 3| NC ' | ， 所以 N 为 A 'C ' 的四等分，从而 N 为 O 'C ' 的中点，故 N （ ， a ，a ）．
根据空间两点距离公式，可得 | MN |= ( - )2 + ( - )2 + ( - a)2 = 得 BD =1，CD = 3 ，∴DE =CD ·sin30°= 3
所以 AD = OD - OA = {- 3
- ? 0 + (-1) ? 2 + ? 0
AD ? BC 2 2
17．证：如图设 SA = r , SB = r , SC = r ，则 SE, SF , SG, SH , SM , SN 分别为 r ， (r + r ) ， (r + r ) ，
2 1 2 2 2 1 r ， (r + r ) ， r ，由条件 EH=GH=MN 得： 2
3 2 1 2 2
15．解：以 D 为原点，建立如图空间直角坐标系．因为正方体棱长为 a ，所以 B （a ，a ，0）
，A' （a ，0，a ）， C ' （0，a ，a ）， D ' （0，0，a ）．
a a a a a
2 2 2 2 2
a 3
4 4
a a a 3a a 6
2 4 2 4 2 4
a ．
16．解：
（1）过 D 作 DE ⊥BC ，垂足为 E ，在 Rt △BDC 中,由∠BDC=90°,∠DCB=30°，BC =2，
1 1
.OE =OB －BE =OB －BD ·cos60°=1－ = .
2
2 2
∴D 点坐标为（0，－ 1 , 2 3 1 3
），即向量 OD[TX →]的坐标为{0，－ , }.
2 2 2
（2）依题意： OA = { 3 , 1
,0}, OB = {0,-1,0}, OC = {0,1,0} ，
2 2
3
,-1, }, BC = OC - OB = {0,2,0} .
2 2
设向量 AD 和 BC 的夹角为θ ，则
cos θ = 3 3
= | AD | ? | BC | 3 3
(- ) 2 + (-1) 2 + ( ) 2 ? 0 2 + 2 2 + 0 2
2 2
1 =- 10 .
5
1 1 1
1 2 3 3 2
1 1 1 3
展开得 r ? r = r ? r = r ? r
1 2
2
3
1
3
∴ r ? (r - r ) = 0 ，∵ r ≠ 0 ， r - r ≠ 0 ，
1 3
2
1
3 2
∴ r ⊥（ r - r ）即 SA ⊥BC ．
1
3
2
同理可证 SB ⊥AC ，SC ⊥AB ．
18．
（1）证明：∵ AP ? AB =－2－2+4=0，∴AP ⊥AB.
∴cos< B A ， CB >= BA CB
|BA | |CB | 10 （3）证明：依题意，得 C 1（0，0，2）、M （ , ，2）， A B ={－1，1，2}， C M ={ , ，0}.
11
∴ A B · C M =－ 1 ∵ CO
1
1 1
又∵ AP AD = －4+4+0=0 ，∴AP ⊥AD .
∵AB 、AD 是底面 ABCD 上的两条相交直线，∴AP ⊥底面 ABCD .
（2）解：设 AB 与 AD 的夹角为θ，则
cosθ= AB AD
|AB | |AD |
8 2 3
4 1 16 16 4 105
V= 1
|AB |·|A D |·sinθ·|AP |=
3
2 9
105 1 1 4 1 16 3 105
（3）解：|（ AB × AD ）· AP |=|－4－32－4－8|=48它是四棱锥 P —ABCD 体积的 3 倍.
猜测：|（ AB × AD ）· A P |在几何上可表示以 AB 、AD 、AP 为棱的平行六面体的体积（或以
AB 、AD 、AP 为棱的直四棱柱的体积）.
评述：本题考查了空间向量的坐标表示、空间向量的数量积、空间向量垂直的充要条件、空间向 量的夹角公式和直线与平 面垂直的判定定理、棱锥的体积公式等.主要 考 查考生的运算能力，综合运用所学知识解决问题的能力及空间想象能 力. 19．如图，建立空间直角坐标系 O —xyz. （1）依题意得 B （0，1，0）、N （1，0，1）
∴|BN |= (1 0)2 (0 1)2 (1 0)2 3 .
（2）依题意得 A 1（1，0，2）、B （0，1，0）、C （0，0，0）、B 1 1，2）
图
（0，
∴ BA ={－1，－1，2}， CB ={0，1，2，}， BA · CB =3 ，|BA |= 6 ，|CB |= 5
1
1
1
1
1
1
1 1
11 1
30 .
1
1
1 1 1 1
2 2
2 2
1
1 1
2 2 +0=0 ，∴ A 1 B ⊥ C 1M ，∴A 1B ⊥C 1M .
评述：本题主要考查空间向量的概念及运算的基本知识.考查空间两向量垂直的充要条件.
20．（1）证明：设 CB = a ， CD = b ， CC = c ，则|a |=|b |，∵ BD
CD CB = b － a ，
1
∴ BD · CC = （ b － a ）· c = b · c － a · c =|b |·|c |cos60°－|a |·|c |cos60°=0 ，
1
∴C 1C ⊥BD .
（2）解：连 AC 、BD ，设 AC ∩BD =O ，连 OC 1，则∠C 1OC 为二面角α—BD —β的平面角.
1
1
(BC
CD ) （ a + b ）， C O
CO CC
2
2
2
（ a + b ）－ c
∴CO·C O=
1
3
2
则|CO|=3，|C O|=3CO?C O
，∴cosC
1
OC==
=x，CD=2，则CC
1
=.
∴A C?C D=（a+b+c）（a－c）=a2+a·b－b·c－c2=
4
令6－2
2
1
（a+b）·［（a+b）－c］
122
=1
（a2+2a·b+b2）－
4
11
a·c－b·c
22
1
=（4+2·2·2cos60°+4）－41133·2·cos60°－·2·cos60°=. 2222
3
1
12|CO|?|C O|3
1
（3）解：设CD
CC
1
2
x
∵BD⊥平面AA1C1C，∴BD⊥A1C
∴只须求满足：A C?C D=0即可.
11
设A A=a，AD=b，DC=c，
1
∵A C=a+b+c，C D=a－c，
11
2
+－6，
11x x
42
-=0，得x=1或x=－（舍去）.
x x23
评述：本题蕴涵着转化思想，即用向量这个工具来研究空间垂直关系的判定、二面角的求解以及待定值的探求等问题.
《空间向量运算的坐标表示》说课稿
《空间向量运算的坐标表示》——说课稿 各位评委、老师：大家好！ 今天我说课的内容是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，我将从教材分析、教学目标、学生情况、教法学法分析、教学过程、教学效果及反思六个方面来介绍： 一、教材分析 （一）地位和作用 本节课内容选自人教数学选修2-1第三章，这节课是在学生学习了空间向量几何形式及其运算、空间向量基本定理的基础上进一步学习的知识内容，是在学生已经学过的二维的平面直角坐标系的基础上的推广，是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，是以后学习“立体几何中的向量方法”等内容的基础。它将数与形紧密地结合起来。这节课学完后，如把几何体放入空间直角坐标系中来研究，几何体上的点就有了坐标表示，一些题目如两点间距离、异面直线成的角等就可借助于空间向量来解答，所以，这节课对于沟通高中各部分知识，完善学生的认知结构，起到了很重要的作用。 （二）目标的确定及分析 根据新课标和我对教材的理解，结合学生实际水平，从知识与技能；过程和方法；情感态度价值观三个层面出发，我将本课的目标定位以下三个：（1）知识与技能：通过与平面向量类比学习并掌握空间向量加法、减法、数乘、数量积运算的坐标表示以及向量的长度、夹角公式的坐标表示，并能初步应用这些知识解决简单的立体几何问题。（2）过程与方法：①通过将空间向量运算与熟悉的平面向量的运算进行类比，使学生掌握空间向量运算的坐标表示，渗透类比的数学方法；②会用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题，体会向量方法在研究空间图形中的作用，培养学生的空间想象能力和几何直观能力。（3）情感态度价值观：通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动，培养学生主人翁意识、集体主义精神。 （三）重难点的确定及分析 本节课的重点是：空间向量运算的坐标表示，应用向量法求两条异面直线所
空间向量加减法练习题
3.1.1空间向量加减法习题 一、选择题1．下列命题正确的有()(1)若|a|＝|b|，则a＝b； →→(2)若A，B，C，D是不共线的四点，则AB＝DC是四边形ABCD是平行四边形的充要条件； (3)若a＝b，b＝c，则a＝c； ，b|a|＝||??相等的充要条件是，b(4)向量a?；∥ba??(5)|a|＝|b|是向量a＝b的必要不充分条件；→→(6)AB＝CD的充要条件是A与C重合，B与D 重合．A．1个B．2个 个．4C．3个 D C答案[][解析](1)不正确．两个向量长度相等，但它的方向不一定相同．→→AB＝DC正确．(2)∵→→→→∴|AB|＝|DC|且AB∥CD.又∵A，B，C，D不共线，∴四边形ABCD 是平行四边形．→→反之，在?ABCD中，AB＝DC. ，a＝b(3)正确．∵∴a，b的长度相等且方向相同．∵b＝c，∴b，c的长度相等且方向相同．故a＝c. (4)不正确．由a∥b，知a与b方向相同或相反． b./ |?a＝||||＝b?a|＝b|，a|＝ba(5)正确．→→→→→→同向．CD与AB，|CD|＝|AB|，CD＝AB.不正确(6) 故选C. 2．设A，B，C是空间任意三点，下列结论错误的是() →→→→→→0CA＝AB＋BC＋BCA.AB＋＝AC B.→→→→→＝－BA D.ABC.AB－AC ＝CB ][答案B[解析]注意向量的和应该是零向量，而不是数0. →→→→3．已知空间向量AB，BC，CD，AD，则下列结论正确的是()→→→A.AB＝BC＋CD →→→→B.AB－DC＋BC＝AD→→→→C.AD＝AB ＋BC＋DC →→→D.BC＝BD－DC B答案][[解析]根据向量加减法运算可得B正确． →→4．在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，与向量AA′相等的向量(不含AA ′)的个数是() A．1个B．2个 4个D．．C3个 答案[]C[解析]利用向量相等的定义求解． 5．两个非零向量的模相等是这两个向量相等的()A．充分不必要条件 ．必要不充分条件B C．充要条件D．既不充分也不必要条件[答案]B [解析]两个非零向量的模相等，这两个向量不一定相等，但两向量相等模必相等，故选B. →→6．在平行六面体ABCD－ABCD中，M为AC与BD的交点，若AB＝a，AD＝b，11111111→→AA＝c，则下列向量中与B )(相等的向量是M11． 11A．－a＋b＋c2211 cb＋B.a＋2211C.a－b＋c 2211D．－a－b＋c22[答案]A →→→[解析]B M＝BB＋BM11 1→→＝AA＋BD 121→→→＝AA＋(BA＋BC )11111211＝－a ＋b＋c.∴应选A.227．在正方体ABCD－ABCD中，下列各式中1111→→→CC)＋(1)(AB＋BC1→→→(2)(AA＋AD) ＋DC11111→→→(3)(AB＋BB)＋BC 111→→→(4)(AA＋A B)＋BC.11111→运算的结果为向量AC 的共有 ()1A．1个B．2个 个4个D．．C3 D答案[] 8．给出下列命题：①将空间中所有的单位向量移到同一个点为
空间向量及其运算
§8.5 空间向量及其运算 1． 空间向量的概念 (1)定义：空间中既有大小又有方向的量叫作空间向量． (2)向量的夹角：过空间任意一点O 作向量a ，b 的相等向量OA →和OB → ，则∠AOB 叫作向量a ，b 的夹角，记作〈a ，b 〉，0≤〈a ，b 〉≤π. 2． 共线向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使得a ＝λb . (2)空间向量基本定理 如果向量e 1，e 2，e 3是空间三个不共面的向量，a 是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得a ＝λ1e 1＋λ2e 2＋λ3e 3，其中e 1，e 2，e 3叫作空间的一个基底． 3． 空间向量的数量积及运算律 (1)定义 空间两个向量a 和b 的数量积是一个数，等于|a ||b |cos 〈a ，b 〉，记作a ·b . (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝λ(a·b )； ②交换律：a·b ＝b·a ； ③分配律：a·(b ＋c )＝a·b ＋a·c . 4． 空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ∥b ?a ＝λb ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 (λ∈R )， a ⊥b ?a·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． (3)模、夹角公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝a 21＋a 22＋a 23，
空间向量及其运算练习题
空间向量及其运算 基础知识梳理 1.空间向量的有关概念 (1)空间向量：在空间中，具有________和________的量叫做空间向量. (2)相等向量：方向________且模________的向量. (3)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相______________的向量. (4)共面向量：________________________________的向量. 2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理 (1)共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是________________________. 推论 如图所示，点P 在l 上的充要条件是： OP →＝OA →＋t a ①其中a 叫直线l 的方向向量，t ∈R ，在l 上取AB →＝a ， 则①可化为OP →＝________或OP →＝(1－t )OA →＋tOB →. (2)共面向量定理的向量表达式：p ＝____________，其中x ，y ∈R ，a ， b 为不共线向量，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点 O ，有OP →＝____________或OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →，其中x ＋y ＋z ＝ ______. (3)空间向量基本定理 如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝____________，把{a ，b ，c }叫做空间的一个基底. 3.空间向量的数量积及运算律 (1)数量积及相关概念 ①两向量的夹角 已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 叫做向 量a 与b 的夹角，记作____________，其范围是____________，若〈a ，b 〉＝π2 ，则称a 与b __________，记作a ⊥b . ②两向量的数量积 已知空间两个非零向量a ，b ，则____________叫做向量a ，b 的数量积，记作__________，即__________________. (2)空间向量数量积的运算律 ①结合律：(λa )·b ＝____________；②交换律：a·b ＝__________； ③分配律：a·(b ＋c )＝__________. 4.空间向量的坐标表示及应用 (1)数量积的坐标运算 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝________________. (2)共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则a ∥b ?______________?____________，____________，______________， a ⊥b ?__________?________________________(a ，b 均为非零向量). (3)模、夹角和距离公式 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)， 则|a |＝a·a ＝__________________，
数学选修空间向量及其运算教案
第三章空间向量与立体几何 §3.1空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 师：这节课我们学习空间向量及其加减运算，请看学习目标。 学习目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． 师：在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了平面向量的一些知识，现在我们一起来复习。（不要翻书） （在黑板或背投上呈现或边说边写） 1、在平面中，我们把具有__________________的量叫做平面向量； 2、平面向量的表示方法：
①几何表示法：_________________________ ②字母表示法：_________________________ （注意：向量手写体一定要带箭头） 3、平面向量的模表示_________________，记作____________ 4、一些特殊的平面向量： ①零向量：__________________________，记作___（零向量的方向具有任意性） ②单位向量：______________________________ （强调：都只限制了大小，不确定方向） ③相等向量：____________________________ ④相反向量：____________________________ 5、平面向量的加法： 6、平面向量的减法： 7、平面向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，其长度和 方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. 8、向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb 数乘结合律：λ（aμ）=a) (λμ [师]：刚才我们复习了平面向量，那空间向量会是怎样，与平面向量有怎样的区别和联系呢?请同学们阅读书P84-P86.（5分钟） [师]：对比平面向量，我们得到空间向量的相关概念。（在刚复习的黑板或幻灯片上，只需将平面改成空间） [师]：空间向量与平面向量有什么联系？ [生]：向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以用同一平面内的两条有向线段表示．因此我们说空间任意两个向量是共面的．所以凡涉及 空间两个向量的问题，平面向量中有关结论仍适用于它们。
3.1空间向量及其运算第1课时完美版
§3.1.1空间向量及加减其运算 【学情分析】： 向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等方面也有着广泛的应用。在人教A版必修四中，读者已经认知了平面向量，现在，学习空间向量时要注意与平面向量的类比，体会空间向量在解决立体几何问题中的作用。【教学目标】： （1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法 （2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法 （3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力。 【教学重点】： 空间向量的概念和加减运算 【教学难点】： 空间向量的应用
四．练习巩 固 1．课本P86练习1-3 2．如图，在三棱柱1 11C B A ABC -中，M 是1BB 的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA CB +; （2）1AA CB AC ++; （3）CB AC AA --1 解：（1）11CA BA CB =+ （2）11AB AA CB AC =++ （3）11BA CB AC AA =-- 巩固知识，注意区别加 减法的不同处. 五．小结 1．空间向量的概念： 2．空间向量的加减运算 反思归纳 六．作业 课本P97习题3.1，A 组 第1题（1）、（2） 练习与测试： （基础题） 1．举出一些实例，表示三个不在同一平面的向量。 2．说明数字0与空间向量0的区别与联系。 答：空间向量0有方向，而数字0没有方向；空间向量0的长度为0。 3．三个向量a,b,c 互相平行，标出a+b+c. ‘解：分同向与反向讨论（略）。 4．如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA CB +;
空间向量的基本运算
第六节 空间向量 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有 和 的量叫做向量。 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈ 运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+ ⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++ ⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线 或 ，那么这些向量也叫做共 线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a //。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 存在实数λ， 使a ＝ 。 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一 内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是 的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y ，使 。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使 。 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个 的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使zk yi xi OA ++=，有序实数组 (,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作
空间向量知识点与题型归纳总结
空间向量知识点与题型归纳总结 知识点精讲 一、空间向量及其加减运算 1.空间向量 在空间，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模.空间向量也可 用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，若向量a r 的起点是A ，终点是B ，则向量a r 也可以记作 AB u u u r ，其模记为a r 或AB u u u r . 2.零向量与单位向量 规定长度为0的向量叫做零向量，记作0r .当有向线段的起点A 与终点B 重合时，0AB =u u u r r . 模为1的向量称为单位向量. 3.相等向量与相反向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量.在空间，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量.空间任意两个向量都可以平移到同一个平面，成为同一平面内的两个向量. 与向量a r 长度相等而方向相反的向量，称为a r 的相反向量，记为a -r . 4.空间向量的加法和减法运算 （1）OC OA OB a b =+=+u u u r u u u r u u u r r r ，BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r .如图8-152所示. （2）空间向量的加法运算满足交换律及结合律 a b b a +=+r r r r ，()() a b c a b c ++=++r r r r r r 二、空间向量的数乘运算 1．数乘运算 实数λ与空间向量a r 的乘积a λr 称为向量的数乘运算.当0λ>时，a λr 与向量a r 方向相同；当0λ<时，向量a λr 与向量a r 方向相反. a λr 的长度是a r 的长度的λ倍. 2.空间向量的数乘运算满足分配律及结合律 () a b a b λλλ+=+r r r r ，() ()a a λμλμ=r r . 3.共线向量与平行向量 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，a r 平行于b r ，记作//a b r r . 4.共线向量定理
3.1.1空间向量及其运算
3. 1.1空间向量及其运算（一） 教学目标： ㈠知识目标：⒈空间向量；⒉相等的向量；⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律； ㈡能力目标：⒈理解空间向量的概念，掌握其表示方法； ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律； ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题． ㈢德育目标：学会用发展的眼光看问题，认识到事物都是在不断的发展、进化的，会用联系的观点看待事物． 教学重点：空间向量的加减与数乘运算及运算律． 教学难点：应用向量解决立体几何问题． 教学方法：讨论式． 教学过程： Ⅰ.复习引入 ［师］在必修四第二章《平面向量》中，我们学习了有关平面向量的一些知识，什么叫做向量？向量是怎样表示的呢？ ［生］既有大小又有方向的量叫向量．向量的表示方法有： ①用有向线段表示； ②用字母a、b等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：AB． ［师］数学上所说的向量是自由向量，也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以将向量进行平移，由此我们可以得出向量相等的概念，请同学们回忆一下．［生］长度相等且方向相同的向量叫相等向量. ［师］学习了向量的有关概念以后，我们学习了向量的加减以及数乘向量运算： ⒈向量的加法： ⒉向量的减法： ⒊实数与向量的积： 实数λ与向量a的积 是一个向量，记作λa，其长度 和方向规定如下： (1)|λa|＝|λ||a| (2)当λ＞0时，λa 与a同向； 当λ＜0时，λa与a反向； 当λ＝0时，λa＝0. ［师］关于向量的以上几种运算，请同学们回忆一下，有哪些运算律呢？ ［生］向量加法和数乘向量满足以下运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a 加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋（b＋c） 数乘分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb ［师］今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上，类比地引入空间向量的概念、表示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率，并进行一些简单的应用．请同学们阅读课本
空间向量的加减数乘运算练习题集
课时作业(十四) [学业水平层次] 一、选择题 1．对于空间中任意三个向量a ，b,2a －b ，它们一定是( ) A ．共面向量 B ．共线向量 C ．不共面向量 D ．既不共线也不共面向量 【解析】 由共面向量定理易得答案A. 【答案】 A 2．已知向量a 、b ，且AB →＝a ＋2b ，BC →＝－5a ＋6b ，CD → ＝7a －2b ，则一定共线的三点是( ) A ．A 、 B 、D B ．A 、B 、 C C ．B 、C 、D D ．A 、C 、D 【解析】 BD →＝BC →＋CD →＝－5a ＋6b ＋7a －2b ＝2a ＋4b ，BA → ＝－AB →＝－a －2b ，∴BD →＝－2BA →， ∴BD →与BA → 共线， 又它们经过同一点B ， ∴A 、B 、D 三点共线． 【答案】 A 3．A 、B 、C 不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC → ，则P 、A 、B 、C 四点( ) A ．不共面 B ．共面
C ．不一定共面 D ．无法判断 【解析】 ∵34＋18＋1 8＝1， ∴点P 、A 、B 、C 四点共面． 【答案】 B 4. (2014·莱州高二期末)在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，用向量AB →，AD →，AA 1→表示向量BD 1→ 的结果为( ) 图3-1-9 ＝AB →－AD →＋AA 1→ ＝AD →＋AA 1→－AB → ＝AB →＋AD →－AA 1→ ＝AB →＋AD →＋AA 1→ 【解析】 BD 1→＝BA →＋AA 1→＋A 1D 1→＝－AB →＋AA 1→＋AD → .故选B. 【答案】 B 二、填空题 5．如图3-1-10，已知空间四边形ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD → ＝5a ＋6b －8c ，对角线AC ，BD 的中点分别为E 、F ，则EF → ＝________(用向量a ，b ，c 表示)．
空间向量的坐标运算
空间向量的坐标运算 第一课时空间直角坐标系 教学目标： ㈠知识目标： ⒈空间直角坐标系； ⒉空间向量的坐标表示； ⒊空间向量的坐标运算； ⒋平行向量、垂直向量坐标之间的关系； 5.中点公式。 ㈡能力目标： ⒈掌握空间右手直角坐标系的概念，会确定一些简单几何体（正方体、长方体）的顶点坐标； ⒉掌握空间向量坐标运算的规律； 3.会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直； 4.会用中点坐标公式解决有关问题。 教学重点：空间右手直角坐标系，向量的坐标运算 教学难点：向量坐标的确定 教学方法：讨论法． 教具准备：多媒体投影． 教学过程： 复习回顾 空间向量基本定理 探索研究 1、空间右手直角坐标系的概念 ⑴单位正交基底如果空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底，常用{i,j,k}表示。 ⑵空间直角坐标系O－xyz 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}，以点O 为原点，分别以i、j、k的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，这时我们说建立了一个直角坐标系O－xyz，点O叫做原点，向量i,j,k叫做坐标向 量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy 平面，yOz平面，zOx平面。 ⑶空间直角坐标系的画法作空间直角坐标系O－xyz 时，一般使∠xOy＝135°(或45°),∠yOz＝90°。 注：在空间直角坐标系O－xyz中，让右手拇指指向x轴 的正方向，食指指向y轴的正方向，如果中指能指向z轴的正 方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系。 ⑷空间向量的坐标表示给定一空间直角坐标系和向
向量的直角坐标运算设a=(a 1,a 2,a 3),b=(b 1,b 2,b 3)，则a+b=(a 1+b 1,a 2+b 2,a 3+b 3) a －b=(a 1－ b 1,a 2－b 2,a 3－b 3)λa=(λa 1,λa 2,λa 3) a ?b=a 1 b 1+a 2b 2+a 2b 2 a//b a 1=λb 1,a 2=λb 2,a 3=λb 3(λ∈R)a ⊥b a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0设A(x 1,y 1,z 1),B(x 2,y 2,z 2)，则 AB ＝OB －OA ＝(x 2－x 1,y 2－y 1,z 2－z 1) 量a ，且设i,j,k 为坐标向量（如图），由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（a 1,a 2,a 3）叫做向量a 在此直角坐标系中的坐标，可简记作a ＝（a 1,a 2,a 3）。 在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任一点A ，对应一个向量OA ，若 ,k z j y i x OA ++=则有序数组(x,y,z)叫做点A 在 此空间直角坐标系中的坐标，记为A(x,y,z)，其中x 叫做A 的横坐标，y 叫做点A 的纵坐标，z 叫做点A 的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。 ⑸空间任一点P 的坐标的确定 过P 分别作三个与坐标平面平行的平面（或垂面），分别交坐标轴于A 、B 、C 三点，|x|=|OA|,|y|=|OB|,|z|=|OC|,当OA 与i 方向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理可确定y 、z （如图） 例1已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E 、F 分别是BB 1和DC 的中点，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出图中各点的坐标。 分析：要求点E 的坐标，过点E 与x 轴、y 轴垂直的平面已存在，只要过E 作平面垂直于z 轴交E ‘ 点，此时|x|＝|,|DA |y|＝|,|DC |z|＝||'DE ，当DA 的方向与x 轴正向相同时，x ＞0，反之x ＜0，同理确定y 、z 的符号，这样可求得点E 的坐标。 解：D(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)， A 1(2,0,2)， B 1(2,2,2)， C 1(0,2,2)，, D 1(0,0,2)，E(2,2,1)，F(0,1,0) 2、向量的直角坐标运算 注：3 32 21 1i 321321b a b a b a b //a 1,2,3),0(i b ),b ,b ,(b b ),a ,a ,(a a = = ? =≠==则若
空间向量及其运算练习题
空间向量及其运算练习题 一、选择题 1、在空间直角坐标系中，已知点P （x ，y ，z ），下列叙述中正确的个数是 ①点P 关于x 轴对称点的坐标是P 1（x ，－y ，z ） ②点P 关于yOz 平面对称点的坐标是P 2（x ，－y ，－z ） ③点P 关于y 轴对称点的坐标是P 3（x ，－y ，z ） ④点P 关于原点对称的点的坐标是P 4（－x ，－y ，－z ） A.0 B.1 C.2 D.3 2、点（2，3，4）关于xoz 平面的对称点为（ ） A 、（2，3，-4） B 、（-2，3，4） C 、（2，-3，4） D 、（-2，-3，4） 3、在空间直角坐标系中，设z 为任意实数，相应的点(3,1,)P z 的集合确定的图形为 （ ）A ．点 B ．直线 C ．圆 D ．平面 4、在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若B A 1=a ，11D A =b ， A A 1=c .则下列向量中与M B 1相等的向量是（ ） A ．c b a ++- 21 21 B ． c b a ++21 21 C ．c b a +-2 1 21 D ．c b a +--2 1 21 5、在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A ．OC O B OA OM --=2 B ．O C OB OA OM 2 1 3151++= C ．=++MC MB MA 0 D ．=+++OC OB OA OM 0 5、已知平行六面体''' ' ABCD A B C D -中，AB=4，AD=3，' 5AA =，0 90BAD ∠=， ''060BAA DAA ∠=∠=，则'AC 等于 （ ） A ．85 B ．85 C ．52 D ．50 图
3.1.1空间向量及其加减运算专项练习与答案
3.1.1空间向量及其加减运算专项练习 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，与向量A ′B ′―――→ 的模相等的向量有( ) A ．7个 B ．3个 C ．5个 D ．6个 解析： |D ′C ′―――→|＝|DC ―――→|＝|C ′D ′―――→|＝|CD →|＝|BA →|＝|AB →|＝|B ′A ′―――→|＝|A ′B ′―――→ |. 答案： A 2．已知向量a ，b 是两个非零向量，a 0，b 0是与a ，b 同方向的单位向量，那么下列各式中正确的是( ) A ．a 0＝b 0 B ．a 0＝b 0或a 0＝－b 0 C ．a 0＝1 D ．|a 0|＝|b 0| 解析： 两单位向量的模都是1，但方向不一定相同或相反． 答案： D 3．下列命题是真命题的是( ) A ．分别表示空间向量的有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量 B ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反 C ．若向量AB →，C D →满足|AB →|>|CD →|，且AB →与CD →同向，则AB →>CD → D ．若两个非零向量AB →与CD →满足AB →＋CD →＝0，则AB →∥CD → 解析： A 错．因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任两向量均共面． B 错．因为|a |＝|b |仅表示a 与b 的模相等，与方向无关． C 错．空间任两向量不研究大小关系，因此也就没有AB →>C D → 这种写法． D 对．∵AB →＋CD → ＝0， ∴AB →＝－CD →，∴AB →与CD →共线，故AB →∥CD → 正确． 答案： D 4．已知向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC → |，则( ) A.AB →＝AC →＋BC → B.AB →＝－AC →－BC → C.AC →与BC → 同向 D.AC →与CB → 同向 解析： 由|AB →|＝|AC →|＋|BC →|＝|AC →|＋|CB → |，知C 点在线段AB 上，否则与三角形两边之和大于第三边矛盾，所以AC →与CB → 同向． 答案： D
空间向量及其运算测试题
高二选修（2—1）第三章3.1空间向量及其运算测试 一、选择题 1 抛物线2 81x y - =的准线方程是 ( ) A ． 321=x B ． 2=y C ． 32 1 =y D ． 2-=y 2．已知两点1(1,0)F -、2(1,0)F ，且12F F 是1PF 与2PF 的等差中项，则动点P 的轨迹方程是 （ ） A ． 22 1169x y += B ． 22 11612x y += C ．22 143x y += D ．22 134 x y += 1．已知向量a ＝(3，－2,1)，b =(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于 （ ） A ．(16,0,4) B ．(8，－16,4) C ．(8,16,4) D ．(8,0,4) 2．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B → ＝ （ ） A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋c D ．－a ＋b －c 4．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C.MA →＋MB →＋MC → ＝0 D.OM →＋OA →＋OB →＋OC → ＝0 6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC → ＋ BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→. 其中能够化简为向量BD 1→ 的是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 7．已知向量a ＝(1，－1,1)，b ＝(－1,2,1)，且k a －b 与a －3b 互相垂直，则k 的值是 A ．1 B ．15 C ．35 D ．－20 9 8．若a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，a ·(b ＋c )的值为 （ ） A ．4 B ．15 C ．7 D ．3 9．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB → >0，则该四边形 为 （ ） A ．平行四边形 B ．梯形 C ．长方形 D ．空间四边形
专题01 空间向量及其运算、空间向量基本定理(解析版)
专题01 空间向量及其运算、空间向量基本定理 一、单选题 1．（2019·全国高二课时练习）已知a ，b ，c 是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是（ ） A ．2a ，a ﹣b ，a +2b B ．2b ，b ﹣a ，b +2a C ．a ，2b ，b ﹣c D ．c ，a +c ，a ﹣c 【答案】C 【解析】 对于A ，因为2a = 43（a ﹣b ）+2 3（a +2b ），得2a 、a ﹣b 、a +2b 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，A 不正确； 对于B ，因为2b = 43（b ﹣a ）+2 3 （b +2a ），得2b 、b ﹣a 、b +2a 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，B 不正确； 对于C ，因为找不到实数λ、μ，使a =λ?2b +μ（b ﹣c ）成立，故a 、2b 、b ﹣c 三个向量不共面， 它们能构成一个基底，C 正确； 对于D ，因为c =12（a +c ）﹣1 2 （a ﹣c ），得c 、a +c 、a ﹣c 三个向量共面，故它们不能构成一个基底，D 不正确 故选：C ． 2．（2020·贵州省铜仁第一中学高二开学考试）如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，设1AA a =， AB b =，AD c =，N 是BC 的中点，试用a ，b ，c 表示1A N （ ） A ．12 a b c -++ B ．a b c -++ C ．12 a b c --+ D ．12 a b c -+ 【答案】A
【解析】 N 是BC 的中点， 11111 222 A N A A A B BN a b B C a b A D a b c ∴=++=-++=-++=-++. 故选：A. 3．（2020·山东省章丘四中高二月考）如图,在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,则OG 等于（ ） A ．111 333OA OB OC ++ B ．111 234OA OB OC ++ C ．111244 OA OB OC ++ D ．111446 OA OB OC ++ 【答案】C 【解析】 在四面体OABC 中,D 是BC 的中点,G 是AD 的中点 ∴1 2 OG OA AD =+ 11 ()22OA AB AC =+?+ 1 ()4OA OB OA OC OA =+?-+- 111 244 OA OB OC =++ 故选:C. 4．（2020·河南省高二期末）如图在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E 为11A D 的中点，设AB a =， AD b =，1AA c =，则CE =（ ）
空间向量及其运算和空间位置关系 练习题
空间向量及其运算和空间位置关系 1．在下列命题中： ①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行； ②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面； ④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ，y ， z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c. 其中正确命题的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解析：选A a 与b 共线，a ，b 所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a ，b 都共面，故②错误；三个向量a ，b ，c 中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A. 2．如图所示，在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1 的交点．若AB ―→＝a ，AD ―→＝b ，AA 1―→＝c ，则下列向量中与BM ―→ 相等的向量是( ) A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋1 2b ＋c C ．－12a －12b ＋c D.12a －1 2 b ＋c 解析：选A BM ―→＝BB 1―→＋B 1M ―→＝AA 1―→＋12(AD ―→－AB ―→ )＝c ＋12(b －a)＝－12a ＋12b ＋c. 3．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP ―→＝x OA ―→＋y OB ―→＋z OC ―→ (x ， y ，z ∈R)，则“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 解析：选B 当x ＝2，y ＝－3，z ＝2时，OP ―→＝2OA ―→－3OB ―→＋2OC ―→.则AP ―→－AO ―→＝2OA ―→－3(AB ―→－AO ―→)＋2(AC ―→－AO ―→)，即AP ―→＝－3AB ―→＋2AC ―→ ，根据共面向量定理
高中数学人教A版选修(2—1)第三章3.1空间向量及其运算测试题(含解析答案)
祈福教育 高二选修（2—1）第三章3.1空间向量及其运算测试题 一、选择题 1．已知向量a ＝(3，－2,1)，b =(－2,4,0)，则4a ＋2b 等于 （ ） A ．(16,0,4) B ．(8，－16,4) C ．(8,16,4) D ．(8,0,4) 2．在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B → ＝ （ ） A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋c D ．－a ＋b －c 3．在棱长都是1的三棱锥A -BCD 中，下列各数量积的值为1 2的是 （ ） A. BC AB ? B. BD AB ? C.DA AB ? D.AC AB ? 4．在下列条件中，使M 与A 、B 、C 一定共面的是 （ ） A.OM →＝2OA →－OB →－OC → B.OM →＝15OA →＋13OB →＋12OC → C.MA →＋MB →＋MC → ＝0 D.OM →＋OA →＋OB →＋OC → ＝0 5．若向量{c b a ,,}是空间的一个基底，向量b a n b a m -=+=,，那么可以与m 、n 构成空间另一个基底的向量是 ( ) A ．a B ．b C ．c D ．2a 6．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，给出以下向量表达式：①(A 1D 1→－A 1A →)－AB →；②(BC → ＋ BB 1→)－D 1C 1→； ③(AD →－AB →)－2DD 1→；④(B 1D 1→＋A 1A →)＋DD 1→. 其中能够化简为向量BD 1→ 的是 （ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ 7．已知向量a ＝(1，－1,1)，b ＝(－1,2,1)，且k a －b 与a －3b 互相垂直，则k 的值是 A ．1 B ．15 C ．35 D ．－20 9 8．若a ＝(2，－3,1)，b ＝(2,0,3)，c ＝(0,2,2)，a ·(b ＋c )的值为 （ ） A ．4 B ．15 C ．7 D ．3 9．已知四边形ABCD 满足：AB →·BC →>0，BC →·CD →>0，CD →·DA →>0，DA →·AB → >0，则该四边形 为 （ ）
(教案)空间向量及其运算
空间向量及其运算 【高考导航】 本节内容是高中教材新增加的内容，在近两年的高考考查中多作为解题的方法进行考查，主要是解题的方法上因引入向量得以扩展.例如2001上海5分，2002上海5分. 【学法点拨】 本节共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积.这一节是空间向量的重点，在学习本节内容时要与平面向量的知识结合起来，认识到研究的范围已由平面扩大到空间.一个向量是空间的一个平移，两个不平行向量确定的是一个平行平面集，在此基础上，把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间，得出空间直线与平面的表达式，有了这两个表达式，我们可以很方便地解决空间的共线和共面问题.空间向量基本定理是空间几何研究代数化的基础，有了这个定理，整个空间被3个不共面的基向量所确定，空间一个点或一个向量和实数组（x ，y ，z ）建立起一一对应关系，空间向量的数量积一节中，由于空间任一向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同. 【基础知识必备】 一、必记知识精选 1.空间向量的定义 (1)向量：在空间中具有大小和方向的量叫作向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. (2)向量的表示有三种形式：a ,AB ，有向线段. 2.空间向量的加法、减法及数乘运算. (1)空间向量的加法.满足三角形法则和平行四边形法则，可简记为:首尾相连，由首到尾.求空间若干个向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量.首尾相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0，即21A A +32A A +…1A A n =0. (2)空间向量的减法.减法满足三角形法则,让减数向量与被减数向量的起点相同,差向量由减数向量的终点指向被减数向量的终点,可简记为“起点相同,指向一定”,另外要注意 -=的逆应用. (3)空间向量的数量积.注意其结果仍为一向量. 3.共线向量与共面向量的定义. (1)如果表示空间向量的有向线段在直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b ?a=λb ,若A 、B 、P 三点共线,则对空间任意一点O ,存在实数t,使得OP =(1-t)OA +t OB ,当t=2 1 时,P 是线段AB 的中点,则中点公式为OP = 2 1 (OA +OB ). (2)如果向量a 所在直线O A 平行于平面α或a 在α内,则记为a ∥α,平行于同一个平面的