几何与代数相结合的综合题型的复习要点和复

几何与代数相结合的综合题型的复习要点和复习策略

初中数学传统上分为几何和代数（以下简称“几代”）两部分，于是几、代的有机结合也就成为初中数学的一个落脚点，因此几代相结合的综合题型也就理所当然成为中考的重点、难点与焦点。几代相结合的综合题常以“起点低、入口宽、步步高”的特点呈现，并以“思想方法立意”和“能力立意”为创新点。从某一角度上讲可分为“几何背景代数解法”和“代数背景几何解法”两大类。下面就谈谈几代相结合的综合题型的复习要点和复习策略：

一、几代综合题的复习要点

1、基础知识的复习仍是几代综合题复习的前提与基础，否则几代综合题的复习就成为无本之木，无源之水

几代综合题是基于几何、代数基本知识之上，它的解法其实就是对各基础知识的综合、灵活的运用，因此全面复习好几何与代数基础知识，对于几代综合题的复习至关重要。其包含的基础知识主要有：

代数基础知识：数的运算、式的变形、方程、不等式的解法、函数的图象与性质。

几何基础知识：几何变换、平行四边形的性质与判定、相似三角形的性质与判定（含全等三角形）、 勾股定理与三角函数、圆中的位置关系及其判定。

【例1】已知，在Rt △OAB 中，∠OAB =90°，∠BOA =30°，AB =2. 若以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，点B 在第一象限内. 将Rt △OAB 沿OB 折叠后，点A 落在点C 处.

（1）直接写出A 的坐标；

（2）若抛物线bx ax y +=2

（0≠a ）经过C 、A 两点，

求此抛物线的解析式；

（3）若(2)中抛物线的对称轴与OB 交于点D ，点P 为线段 DB 上一点，过P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M. 问：是否存

在这样的点P ，使得四边形CDPM

. 简析：

（1）利用特殊三角形的性质直接写出A

的坐标是解直角三角形的最基本的知识。

（2）通过解直角三角形求点C 的坐标，并利用待定系数法求解析式是确定解析式的基本方法。

(3) 在作好图形的基础上，探索要使四边形CDPM 为等腰梯形，只需CM=DP ，从而转化为方程问题并求解，这也是对于等腰梯形判定的最低要求。

由此可见，基础知识的复习是解题的基础，实不可忽视。

2、数学思想方法及其灵活运用永远是数学复习的重点内容，也是几代综合题解法的关键所在

对于初中阶段常见的数学思想、方法应熟练地掌握，并灵活地运用。如：数形结合、分类讨论、运动变化、方程、不等式、函数、转化化归等数学思想；待定系数法、面积法、配方法、图象法、公式法、反证法等数学方法。

【例2】如图2—①，已知直线128

:33

l y x =

+与直线2:216l y x =-+相交于点C ，1l 、2l 分别交x 轴于A 、B 两点．矩形DEFG 的顶点D 、E 分别在直线1l 、2l 上，顶点F G 、都在x 轴上，且点G 与点B 重合． （1）求点B 、点D 的坐标； （2）求ABC △的面积；

（3）若矩形DEFG 从原点出发，沿x 轴的反方向以每秒1个单位 长度的速度平移，设移动时间为(012)t t ≤≤秒，矩形DEFG 与

ABC △重叠部分的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并写出

相应的t 的取值范围．

简析：（1）（2）略

（3）解题的关键是利用数形结合，结合运动变化思想，通过分类讨论、把问题转化为①当03t <≤时，（如图2—②）、②当38t ≤<时，（如图2—③）、③ 当812t ≤≤时，（如图2—④）等三种情况并加于解决，其中还用到了方程思想、图象法等数学思想方法。

（图2—①）

A D

B

E O R

F x y

M （图2—④）

G C A D B E O C F x y G （图2—②）

R M H

A D E O C F x y

G （图2—③）

R M Q

所以数学思想方法是数学的灵魂，也是几代综合题解题的灵魂。

3、应体现列代数式是基础，方程是核心，函数是纽带，不等式发挥着重要作用的观点 对于初中阶段常见的方程和函数应该做到：准确、迅速利用通法和必要的技巧（特法）解各类方程，熟练掌握、灵活运用函数图象及其性质解决有关问题。 【例3】如图3，等腰梯形花圃ABCD 的底边AD 靠墙，另三边用长为40米的铁栏杆围成，设该花圃的腰

AB 的长为x 米.

(1)请求出底边BC 的长（用含x 的代数式表示）； （2）若∠BAD =60°, 该花圃的面积为S 米2.

①求S 与x 之间的函数关系式（要指出自变量x 的取值范围），并求当

S =393时x 的值；

②如果墙长为24米，试问S 有最大值还是最小值？这个值是多少？简析：

（1）布列代数式：BC=40-AB-CD=（40-2x ） （2）①利用几何计算求出解析式和自变量的取值范围：

S=21(40-2x+40-x)·23x=43x(80-3x)=32034

3

2+-x (0＜x ＜20)，同时转化为方程

39332034

3

2=+-

x 并求解。 ②在利用不等式求取值范围的前提下，利用二次函数的图像和性质求最值。

所以，复习时要特别注意代数的各部分知识间的相互联系，互相补充，形成系统，才能更好的解决几代综合题。

4、应熟练掌握几何计算的方法与途径

几何的计算从广义上讲大都可以转化为线段的计算，因此几何计算是顺利解决几代综合题的关键环节，应充分关注：利用勾股定理布列方程计算、利用三角函数布列方程计算、利用相似三角形的方程计算、利用坐标的几何意义进行计算、利用面积法进行计算等重要而常见的几何计算方法与途径，从而为几代综合题的解题提供保障。 【例4】如图4—①，在平面直角坐标系中，直线l ：b x y +=2与x 轴交于点A （4-，0）， 与y 轴交于点B.

（1）填空：=b ；

（2）已知点P 是y 轴上的一个动点．．，以P 为圆心，3为半径作⊙P . ①若PA =PB ，试判断⊙P 与直线l 的位置关系，并说明理由. ②当⊙P 与直线l 相切时，求点P 与原点O 间的距离. 简析： （1）8=b ；

（2）在Rt △AOP 中，利用勾股定理布列方程并求出圆心到直线的距离OP ，并通过d

与r 的关系判定⊙P 与x 轴相切.

（3）分“当点P 在点B 下方时”和“和当点P 在点B 上方时”，两种

情况(如图4—

②)：既可由△1BMP ∽△BOA 得

AB

BP OA

MP 11=

，也可在OAB Rt ?和B

MP Rt 1?中，由

AB

OA MP BP ABO =

=

∠1

1

tan 列方程，并解得531=BP ，并求得1OP ，同理求2OP

由此可见，几何计算在几代综合题中占着重要的地位和作用。

5、应关注几何变换在解题中的应用

图3

O

A

B P

图4—①

O

A

B

M

N 图4—②

A

B

E

图6—②

E

A

B

图6—③

新课程把“几何变换”的问题作为初中数学的教学内容来研究，凸显了它的意义和作用。平移、对称、旋转是生活中常见的活动，而平移、对称、旋转又是几何的重要组成部分，因为平移、对称、旋转等几何变换既能充分体现合情推理和演绎推理的有机结合，又能与代数充分结合在一起，因而以几何变换为背景的几代综合题也成了综合题的一个亮点。

【例5】如图5—①，在6×12的方格纸MNEF 中，每个小正方形的边长都是1。Rt △ABC 的顶点C 与N 重合，两直角边AC 、BC 分别在MN 、NE 上，且AC =3，BC =2。现Rt △ABC 以每秒1个单位长的速度向右平移，当点B 移动至点E 时，Rt △ABC 停止移动。

（1）请在图5—②中，画出Rt △ABC 向右平移4秒时所在的图形；

（2）如图5—②，在Rt △ABC 向右平移的过程中，△ABF 能否成为直角三角形？如果能，请求出相应的时间t ；如果不能，请简要说明理由；

（3）如图5—②，在Rt △ABC 向右平移的过程中（不包括平移的开始与结束时刻），其外接圆与直线AF 、直线BF 分别有哪几种位置关系？请直接写出这几种位置关系及所对应的时间t 的范围（不必说理）。 简析： （1）略

（2）能。如图

Rt △ABC 向右平移t （ⅰ）当2

AB 为

Rt △。

即：22222)12(36)1013t t -+=+-+（）（ 并解得t =1 （ⅱ）当2

22BF AF AB =+时，由勾股定理的逆定理得，∠BAF =90o，即△ABF 为Rt △。

即：

22222

6)10()12(313+-=-++t t ）（,解得t =7.5 （3）关注几何变换，动静结合，把握临界位置，显然有：

当t =7.5时,直线AF 与Rt △ABC 的外接圆相切；

当0

当0

所以，在解以几何变换为背景的几代综合题时要本着“动中有静”，“静中有动”的思想，特别关注几何变换前后的位置变化和“变与不变量”，在画好图形的基础上解决问题。

6、关注几代综合题与生活实际的联系，体现数学来源于生活而又应用于生活的新课程理念

几何与代数都是来源于生活，几代结合也必更有利于生活中实际问题的解决。在几代综合题的复习时，要更加关注生活背景，通过数学建模，从生活到数学，再通过问题解决使数学回归生活。

【例6】某仓库为了保持库内的湿度和温度，四周墙上均装有如图6—①所示的自动通风设施．该设施的下部ABCD 是矩形，其中AB =2米，BC =1米；上部CDG 是等边三角形，固定点E 为AB 的中点．△EMN 是由电脑控制其形状变化的三角通风窗（阴影部分均不通风），MN 是可以沿设施边框上下滑动且

始终保持和AB 平行的伸缩横杆．

（1）当MN 和AB 之间的距离为0.5米时，求此时△EMN 的面积； （2）设MN 与AB 之间的距离为x 米，试将△EMN 的面积S （平方米）表示成关于x 的函数；

（3）请你探究△EMN 的面积S （平方米）有无最大值，若有，请求出这个最大值；若

没有，请说明理由． 简析：

（1）从生活中抽象出几何图形，并计算出面积。.

（2）在分类讨论的基础上，抽象出图6—②（0＜x ≤1）和图6—③（1＜x ＜31+）两个图形并利用几何知识

求得：

（3图②图①A M

N(C)图5—① 图5—②

E

A B

图6—①

A

O

B C D

E

x

y

图7—①

数学建模是生活走向数学的必由之路，数学问题的解决也必将促使生活问题的解决。从而体现数学的实用价值。几代结合是解决生活问题的重要方法之一，在总复习时应充分关注。

7、应关注问题解决的全过程与综合解题能力的提升

新课程要求重视学生数学的学习与研究过程，并在过程中获取知识，提升能力。几代综合题的复习更应关注学生的解题全过程和学生综合能力的提升。包括：获取信息、分析信息的能力、实践操作能力、数学建模能力、数学思考和问题解决能力等等。

【例7】如图（7），四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为（6，0），（0，2），点D 是线段BC 上的动点（与端点B 、C 不重合），过点D 作直线m x y +-

=21

交折线．．OAB 于点E ． （1）若直线m x y +-

=2

1

经过点A ，请直接写出m 的值； （2）记ODE ?的面积为S ，求S 与m 的函数关系式；

（3）当点E 在线段OA 上时，若矩形OABC 关于直线DE 的对称图 形为四边形1111C B A O ，试探究四边形1111C B A O 与矩形OABC 的重叠部

分的面积是否会随着E 点位置的变化而变化，若不变，求出该重叠部分的面积；若改变，请说明理由.

简析： （1）3=m ；

（2）学生必需充分获取信息、在系统整理、有效分析信息的基础上， 进行把问题分为：“点E 在OA 上时，m <2≤3（如图7—①）”和 “点E 在BA 上时，3＜m ＜5（如图7—②）”两种情况加于解决。 （3）学生应具有所必需的作图、识图能力，其中作好图形是关键， 然后将探索问题转化为规则图形面积的计算问题。

所以要培养学生最基本的获取信息的方法、识图、作图能力、分析问题、解决问题的能力，这是几代综合题复习的一个重点，也是一个难点，同时也达到学生综合解题能力的提升的目的。

8、应熟练掌握常见题型的基本解法，达到知己知彼

对于常见题型要做到心中有底，脑中有方向、胸中有思路、手上有方法。如最值的求法、面积与周长的处理方法、圆的各种关系的判定方法，存在性问题，操作探索型问题等等。 【例8】如图8，已知抛物线c bx ax y ++=2

与x 轴交于

A 、

B 两点，与y 轴交于点

C ，

D 为OC 的中点，直线AD 交抛物线 于点

E （2，6），且△ABE 与△ABC 的面积之比为3∶2． （1）求这条抛物线的函数关系式；

（2）连结BD ，试判断BD 与AD 的位置关系，并说明理由； （3）连结BC 交直线AD 于点M ，在直线AD 上，是否存在这样的 点N （不与点M 重合），使得以A 、B 、N 为顶点的三角形与△ABM 相似？ 若存在，请求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．

简析：对于本题的解决必需对于常见题型：存在性问题、位置关系判定等了然于胸，才能水到渠成。

二、几代综合题的复习策略

1、树立信心、迎难而上，不要望而生畏，自我放弃。

2、要注重规范解题，步步为营，稳扎稳打。如先看清题意，再画好图形，进而寻求突破途径。

3、注重阅读理解等获取信息的方法，在信息的获取中寻求解题的突破口。要十分关注“加括号的说明”和“加着重号的标注”，它们往往就是解题的突破口。

4、几何综合题的复习要让学生经历“做→听→改→反思→顿悟”几个环节。做题要求精、求透、不求多、求全，要求以点带面，不求面面俱到，要严禁“题题都做（全而不对）、题题都未做完（对而不全）”、“只听不做”、

C B O

A

E D

x

y

图7—②

“只做不听”、“只做不改”等不良现象的出现，以提升复习实效。

5、应力求在运算的熟练程度、思想方法的应用和综合能力的提升上有所突破，这三者都是解几代综合题的关键。

6、注重在系统的高度上复习几代综合题的解法，不为复习几代综合题而复习几代综合题，而是整体推进，系统提高。如与中档题相结合，复习效果可能更佳，从而达到系统地复习与均衡地提升的目的。

7、分层教学、因材施教，让学生在原有的基础上有所发展。

几代综合题毕竟是属于提高部分的知识和内容，它要求学生要具备扎实的数学基础和较高的数学能力。因此对学生的要求不宜整体划一，而应是分层递进教学。让优秀生自主发展，尽善尽美；让中等生目标明确，追求进步；让后进生量力选择，以达到更好的复习效益。

总之，几代综合题的复习应在熟悉题型的前提下，以知识的应用为基础，以思想方法的渗透为关键，以综合解题能力的提升为落脚点，全面系统的展开。