第二节 简单几何体的表面积和体积(知识梳理)

第二节简单几何体的表面积和体积

复习目标学法指导

1.柱、锥、台体的表面积

和体积公式.

2.球的表面积和体积公

式.

3.一些简单组合体表面积

和体积的计算.

4.柱、锥、台体之间关

系.(发展要求)

1.搞清楚几何体的表面积包括侧面积和

底面积.

2.求侧面积时,往往需要研究侧面展开

图.

3.会分解简单组合体为常见的柱、锥、台,

进一步求出面积、体积.

4.所有公式均不要求记忆.

空间几何体的表面积和体积公式如下

表面积体积

S表=S侧+2S底

表面积即空间几何体

暴露在外的所有面的

面积之和

棱柱的底面积

为S,

高为

h,V=S·h

V柱=S·h

S=S′

V台

=1

3

(S′+

S S +S)h S表=S侧+S底

棱锥的底面积

为S,

高为

h,V=13S ·h S ′=0 V 锥=13

S ·h

S 表=S 侧+ S 上底+S 下底

棱台的上、下

底面 面积分别为

S ′,S,

高为h, V=13

(S ′+ S S

+S)h

圆柱的底面半

径和

母线长分别为r,l

S 表=2πr 2+2π

rl 圆柱的高为

h,

V=πr 2h

圆锥的底面半

径和

母线长分别为

r,l S 表=πr 2+πrl 圆锥的高为

h,

V=13

πr 2

h

圆台的上、下底面半 径和母线长分

圆台的高为

h,

V=13

π(r ′2+

别为

r,r′,l,S表=

π(r′2+

r2+r′l+rl)

r′r+r2)h

球

球半径为R,

S球=4πR2

V球=4

3

πR3

1.概念理解

(1)表面积应为侧面积和底面积的和,要注意组合体中哪些部分暴露

或遮挡.

(2)求空间几何体体积的常用方法

①公式法:直接根据相关的体积公式计算.

②等积法:根据体积计算公式,通过转换空间几何体的底面和高使得

体积计算更容易,或是求出一些体积比等.

③割补法:把不能直接计算体积的空间几何体进行适当的分割或补形,转化为可计算体积的几何体.

2.求面积或体积中相关联的结论

几个与球有关的切、接常用结论

(1)正方体的棱长为a,球的半径为R,

①正方体的外接球,则3②正方体的内切球,则2R=a;③球与正方体的各棱相切,则2

(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=

222

a b c ++.

(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.

1.圆柱的底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么圆柱的侧面积是( A )

(A)4πS (B)2πS (C)πS (D)23πS 解析:由πr 2=S 得圆柱的底面半径是π

S , 故侧面展开图的边长为2π·

π

S =2

πS

,

所以圆柱的侧面积是4πS.故选A.

2.正三棱柱ABC-A 1B 1C 1的底面边长为2,侧棱长为3,D

为BC 的中点,

则三棱锥A-B 1DC 1的体积为 . 解析:

如图,在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中, 因为AD ⊥BC,AD ⊥BB 1, BB 1∩BC=B,

所以AD ⊥平面B 1DC 1. 所以11

A B DC V

-=11

13

B D

C S ?·AD

=13×1

2

×233

=1. 答案:1

3.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积为 cm 3,表面积为 cm 2.

解析:由三视图可得该几何体为二分之一圆锥, 圆锥的底面半径为1,高为2,

所以可得该几何体的体积为12×13×π×12×2=π

3

, 该几何体的表面积为

12

×π×1

2

+12

π×114++1

2

×2×2=)51π2

+2.

答案: π3

)51π2

+2

4.已知正四棱锥O-ABCD 32,3,则以

O 为球

心,OA 为半径的球的表面积是 . 解析:设O 到底面的距离为h,

则13

×3×32,解得32

()()2

233+62

2

62h ??

+ ? ?

??

6故球的表面积为4π×62

=24π.

答案:24π

5.(2019·浙江宁波模拟)已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形,侧视图为直角三角形,则该三棱锥的表面积为,该三棱锥的外接球体积为.

解析:由三视图得几何体的直观图如图.

所以S表=2×1

2×2×2+1

2

×351

2

×3 1

153

如图,作DE⊥DB,以D为原点,DB所在直线为x轴,DE所在直线为y 轴,DA所在直线为z轴,建立空间直角坐标系,

则3

设球心坐标为(x,y,z),

因为(x-2)2+y2+z2=x2+y2+z2,①

x2+y2+(z-2)2=x2+y2+z2,②

(x+1)23)2+z2=x2+y2+z2,③

所以x=1,y=3,z=1,

所以球心的坐标是(1,3,1), 所以球的半径是

()2

22

131

++=5.

所以球的体积是4

3π×(5)3=205

3

π.

答案:4+15+3205

3

π

考点一几何体的表面积

[例1] (1)(2018·金丽衢十二校联考)某四面体的三视图如图所示,正视图、侧视图都是腰长为2的等腰直角三角形,俯视图是边长为2的正方形,则此四面体的最大面的面积是( )

(A)2 23(D)4

(2)(2019·湖州模拟)某几何体的三视图如图所示,其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧,则该几何体的表面积为( )

(A)4π3(B)5π3

(C)4π3(D)5π3

(3)若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π,则其母线与轴的夹角的大小为;

(4)四棱锥S-ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,侧面SAD是以SD为斜边的等腰直角三角形,若四棱锥S-ABCD的体积取值范围为

438

3

],则该四棱锥外接球表面积的取值范围是.

解析:(1)因为几何体为一个四面体,六条棱长分别为

2223

所以四面体的四个面的面积分别为

1

2

×2×2=2,

1

2

×2×22

1

2

×2×22

1 2×22sin π

3

3

因此四面体的最大面的面积是3.故选C.

(2)由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体,三棱柱的两个侧面面积之和为2×4×2=16,两个底面面积之和为

2×12

×2×

3=23;半圆柱的侧面积为π×4=4π,两个底面面积之和

为2×12

×π×12=π,所以几何体的表面积为5π+16+2

3,故选

D.

(3)设圆锥底面半径为r,母线长为l,母线与轴夹角为θ, 则=2

2

π1

22

rl r l r

?-2π,r l

=

3,

即sin θ=

3,θ=π3

. 解析:(4)四棱锥S-ABCD 中,可得

AD ⊥SA,AD ⊥AB ?AD ⊥平面SAB ?平面SAB ⊥平面ABCD,过S 作SO ⊥AB 于O,

则SO ⊥平面ABCD, 设∠SAB=θ, 故S ABCD

V

-=13S 四边形ABCD ·SO=8

3

sin θ, 所以sin θ∈[

3

,1]?θ∈[π3,2π3]?-12≤cos θ≤1

2

, 在△SAB 中,SA=AB=2, 则有SB=2

21cos θ

-,

所以△SAB 的外接圆半径r=2sin SB

θ

=21cos θ

-,将该四棱锥补成一个以

SAB 为一个底面的直三棱柱,得外接球的半径R=

21r +?S=4πR

2

=4π

(21cos θ

++1), 所以S ∈[28π3

,20π]. 答案:(1)C (2)D (3)π3

答案:(4)[28π3,20π] (1)已知几何体的三视图求其表面积,一般是先根据三视图

判断空间几何体的形状,再根据题目所给数据与几何体的表面积公式,求其表面积.

(2)多面体的表面积是各个面的面积之和,组合体的表面积应注意重

合部分的处理.

(3)圆柱、圆锥、圆台的侧面是曲面,计算侧面积时需要将这个曲面展开成平面图形计算,而表面积是侧面积与底面圆的面积之和.

1.(2019·浙江十校联盟)如图所示,已知某几何体的三视图及其尺寸(单位:cm),则该几何体的表面积为( C )

(A)15π cm2(B)21π cm2

(C)24π cm2(D)33π cm2

解析:

由三视图可知,则该几何体是一个圆锥,圆锥的底面半径为3,母线长为5,故该几何体的表面积为S表=πr2+πrl=π×32+π×3×5=24π(cm2).故选C.

2.正四棱锥的顶点都在同一球面上.若该棱锥的高为4,底面边长为2,则该球的表面积为( A )

(A)81π

4(B)16π(C)9π(D)27π

4

解析:易知球心在正四棱锥的高上,设球的半径为R,

则(4-R)2+(2)2=R2, 解得R=9

4

,

所以球的表面积为4π×(9

4)2=81

4

π.

故选A.

考点二几何体的体积

[例2] (1)已知某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则该几何体的体积是( )

(A)1

2

cm3(B)1 cm3

(C)1

6 cm3 (D)1

3

cm3

(2)(2018·天津卷)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,除面ABCD 外,该正方体其余各面的中心分别为点E,F,G,H, M(如图),则四棱锥M-EFGH的体积为.

解析:(1)

由题意,根据给定的三视图可知,

该几何体表示一个底面为腰长为1的等腰直角三角形,高为1的三棱锥, 如图所示,

所以该三棱锥的体积为V=13

×12

×1×1×1=16

(cm 3),故选C.

解析:(2)依题意,易知四棱锥M-EFGH 是一个正四棱锥,且底面边长为

2,高为12

. 故M EFGH

V

=13×(2

)2×12=1

12

. 答案:(1)C 答案:(2)1

12

(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体,

则可直接利用公式进行求解,其中,等积转换法多用来求三棱锥的体积.

(2)若所给定的几何体是不规则几何体,则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体,再利用公式求解.

(3)若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.

某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为( D )

(A)60 (B)30 (C)20 (D)10

解析

:

如图,把三棱锥A-BCD 放到长方体中,长方体的长、宽、高分别为5,3,4,△BCD 为直角三角形,直角边分别为5和3,三棱锥A-BCD 的高为4,故该三棱锥的体积V=13

×12

×5×3×4=10.故选D.

考点三 与面积、体积相关的综合问题

[例3] (1)若一个正四面体的表面积为S 1,其内切球的表面积为S 2,则

12

S S = ;

(2)将边长为a 的正方形ABCD 沿对角线AC 折起,点A,B,C,D 折叠后对应点为A ′,B ′,C ′,D ′,使B ′D ′=a,则三棱锥D ′-A ′B ′C ′的体积为 .

解析:(1)设正四面体棱长为a,则正四面体的表面积为 S 1=43a 23a

2

,

正四面体的高2

2

33a a ??- ? ?

??

6a

,

由13r ·S 1=1

33

2·h 知

r=14

6a. 因此内切球的表面积为S 2=4πr 2=2

π6a

,

则1

2

S S 2236

a a 63.

解析:(2)如图所示,正方形ABCD 及折叠后的直观图.

易知在直观图中,A ′B ′=B ′C ′=C ′D ′=D ′A ′=a, 且A ′D ′⊥D ′C ′,A ′B ′⊥B ′C ′, 取A ′C ′的中点E,连接D ′E,B ′E, 则D ′E ⊥A ′C ′,D ′E=EB ′=2a,

所以D ′E ⊥EB ′,

所以D ′E ⊥平面A ′B ′C ′. D ′E 即为三棱锥D ′-A ′B ′C ′的高. 故D A B C V

''''

-=13

S △A ′B ′C ′·D ′E =13×1

2×a ×a ×2

a

=2a 3.

答案:(1)63 答案:(2)2a 3

(1)①解决与球有关问题的关键是球心及球的半径,在球中

球心与截面圆圆心的连线、截面圆圆心与截面圆周上一点、该点与球心的连线构成一个直角三角形.

②解决多面体(或旋转体)的外接球、内切球问题的关键是确定球心在多面体(或旋转体)中的位置,找到球半径(或直径)与几何体相关元素之间的关系.有时将多面体补形为正(长)方体再求解.

(2)求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开,转化为求平面上两点间的最短距离.

1.已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1的6个顶点都在球O 的球面上,若AB=3,AC=4,AB ⊥AC,AA 1=12,则球O 的半径为( C ) (A)3172 (B)210

(C)132

(D)3

10

解析:

如图,由球心作平面ABC 的垂线, 则垂足为BC 的中点M.

又AM=12BC=52,OM=1

2

AA 1=6, 所以球O 的半径 R=OA=

2

2

562??+ ???

=132

. 故选C.

2.已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积是 ,体积是 .

解析:本题考查空间几何体的三视图、体积和表面积的计算.由三视图得该几何体为底面是以上底为1,下底为3,高为3的直角梯形,高为3

的直四棱柱,则其表面积为

2×3×1+3

2+3×3+1×3+3×3+3×13=33+313,体积为3×3×1+3

2

=18.

答案:33+31318

考点四易错辨析

[例4] (2019·浙江绍兴模拟)如图是由半球和圆柱组合而成的几何体的三视图,则该几何体的体积为( )

(A)5π

3 (B)8π

3

(C)10π

3

(D)12+2π

3

解析:由题得,几何体是水平放置的一个圆柱和半个球,所以该几何体的体积为

V=4

3π×13×1

2

+π×12×2=8

3

π,故选B.

正确解决此类问题应注意确认几何体的形状时,要紧扣三视

图,不能凭感觉去确定.

已知直三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长为4,且底面是边长为2的正三角形,用一平面截此棱柱,与侧棱AA1,BB1,CC1分别交于三点M,N,Q,若△MNQ 为直角三角形,则该直角三角形斜边长的最小值为( C ) 2(B)3 3(D)4

解析:

如图,不妨设N在B处,

AM=h,CQ=m,

则有MB2=h2+4,

BQ2=m2+4,MQ2=(h-m)2+4,

由MB2=BQ2+MQ2,得

m2-hm+2=0.

则Δ=h2-8≥0,即h2≥8,

所以该直角三角形的斜边MB≥23.故选C.

类型一几何体的表面积

1.如图是一个封闭几何体的三视图,则该几何体的表面积为( C )

(A)7π cm2(B)8π cm2

(C)9π cm2(D)11π cm2

解析:依题意,题中的几何体是从一个圆柱中挖去一个半球后所剩余的部分,其中圆柱的底面半径是1 cm、高是 3 cm,球的半径是1 cm,

因此该几何体表面积等于1

2

×(4π×12)+π×12+2π×1×3=9π(cm2).故选C.

2.某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( B )

(A)28+65(B)30+65

(C)56+125(D)60+125

解析:

根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图如图,此几何体为一个底面为直角三角形,高为4的三棱锥,

因此表面积为

S=1

2×(2+3)×4+1

2

×4×5+1

2

×4×(2+3)+1

2

×5415 5故

选B.

类型二几何体的体积

3.某几何体的三视图如图所示,它的体积为( C )

(A)72π(B)48π(C)30π(D)24π

解析:由三视图知该几何体是由一个半球和一个圆锥构成的组合体,

所以其体积为V=1

2×4

3

π×33+1

3

π×32×4=30π.故选C.

4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( D )

(A)π

2(B)1+π

2

(C)1+π(D)2+π

解析:由三视图可得,该几何体是一个长方体和半个圆柱的组合体,则该几何体的体积为V=12×2+1

2

×π×12×2=2+π,故选D.

5.(2018·全国Ⅲ卷)设A,B,C,D是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC为等边三角形且其面积为3则三棱锥D-ABC体积的最大值为( B )

3333

解析:由等边△ABC的面积为3323,

所以AB=6,

所以等边△ABC的外接圆的半径为r=3

3

AB=23.

设球的半径为R,球心到等边△ABC的外接圆圆心的距离为d,则

d=22

R r

-=1612-=2.

所以三棱锥D-ABC高的最大值为2+4=6,

所以三棱锥D-ABC体积的最大值为1

3

×93×6=183.

故选B.

6.(2019·名校协作体模拟)某几何体的三视图(单位:mm)如图所示,则它的体积是cm3,表面积是cm2.

解析:由三视图得该几何体底面是一个以上底为2,下底为4,高为3的

直角梯形,高为33的四棱锥,则其体积为1

3×33×2+4

2

×3=93(cm3),

表面积为

1 2×3×33+2+4

2

×3+1

2

×3×2+1

2

×3×4+1

2

×5×33=(18+63)(cm2).

答案:93(18+63)

7.(2018·江苏卷)如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为.