几何旋转综合题练习

几何旋转综合题练习

1、如图，已知ABC ?是等边三角形.

（1）如图（1），点E 在线段AB 上，点D 在射线CB 上，且ED=EC.将BCE ?绕点C 顺时针旋转60°至ACF ?,连接EF.猜想线段AB,DB,AF 之间的数量关系;

（2）点E 在线段BA 的延长线上，其它条件与（1）中一致，请在图（2）的基础上将图形补充完整，并猜想线段AB,DB,AF 之间的数量关系;

（3）请选择（1）或（2）中的一个猜想进行证明.

2、如图1，△ACB 、△AED 都为等腰直角三角形，∠AED ＝∠ACB ＝90°，点D 在AB 上，连CE ，M 、N 分别为BD 、CE 的中点(1)求证：MN ⊥CE

(2)如图2将△AED 绕A 点逆时针旋转30°，求证：CE ＝

2MN

第1题图(1)第1题图(2)

3、在等腰Rt△ABC 和等腰Rt△A 1B 1C 1中,斜边B 1C 1中点O 也是BC 的中点。(1)如图1，则AA 1与CC 1的数量关系是；位置关系是。

(2)如图2，将△A 1B 1C 1绕点O 顺时针旋转一定角度，上述结论是否仍然成立，请证明你的结论。(3)如图3，在（2）的基础上，直线AA 1、CC 1交于点P ，设AB=4，则PB 长的最小值是。

4、已知，正方形ABCD 的边长为4，点E 是对角线BD 延长线上一点，AE ＝BD ．将△ABE 绕点A 顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△AB ′E ′，点B 、E 的对应点分别为B ′、E ′(1)如图1，当α＝30°时，求证：B ′C ＝DE

(2)连接B ′E 、DE ′，当B ′E ＝DE ′时，请用图2求α的值

(3)如图3，点P 为AB 的中点，点Q 为线段B ′E ′上任意一点，试探究，在此旋转过程中，线段PQ 长度的取值范围为

_______________

1

A

1

A 1

A

1

图1

D

D

5、如图P 为等边△ABC 外一点，AH 垂直平分PC 于点H ，∠BAP 的平分线交PC 于点D (1)求证：DP ＝DB

(2)求证：DA ＋DB ＝DC

(3)若等边△ABC

边长为14，连接BH ，当△BDH 为等边三角形时，请直接写出CP 的长度为_________

6、如图，四边形ABCD 为正方形，△BEF 为等腰直角三角形（∠BFE=900

，点B、E、F，按逆时针排列），点P 为DE 的中点，连PC，PF

(1)如图①，点E 在BC 上，则线段PC、PF 有何数量关系和位置关系？请写出你的结论，并证明．

(2)如图②，将△BEF 绕点B 顺时针旋转a(O

)，则线段PC，PF 有何数量关系和位置关系？请写出你的结论，并证明．

(3)如图③，若AB=1，△AEF 为等腰直角三角形，且∠A EF=90°，△AEF 绕点A 逆时针旋转过程中，能使点F 落在BC 上，且AB 平分EF，直接写出AE 的值是________．

图①图②图③

7、已知等腰Rt △ABC 和等腰Rt △EDF ，其中D 、G 分别为斜边AB 、EF 的中点，连CE ，又M 为BC 中点，N 为CE 的中点，连MN 、MG

(1)如图1，当DE 恰好过M 点时，求证：∠NMG ＝45°，且MG ＝2MN

(2)如图2，当等腰Rt △EDF 绕D 点旋转一定的度数时，第(1)问中的结论是否仍成立，并证明(3)如图3，连BF ，已知P 为BF 的中点，连CF 与PN ，直接写出

CF

PN

＝______

8、已知：如图，在Rt △ABC 中，AC=BC ，CD ⊥AB 于D ，AB=10，将CD 绕着D 点顺时针旋转a （0°

（1）如图1，在PD 旋转的过程中，线段IC 与IP 之间是否存在某种确定不变的关系？请证明你的猜想。（2）如图2：连IA ，当AI ⊥DP 时，求DQ 的长。

（3）如图3，若取BC 的中点M ，连IM ，当PD 旋转过程中，线段IM 的长度变不变？若不变请求出其值；若变化，求出其变化范围。

参考答案

1.答案：

(1)AB=AF+BD;…………2分

(2)如图（2）中的实线图AB=AF-BD…………4分

(3)如图(1)，过点E 作EG∥BC 交AC 于点G,得△AEG 为

等边三角形

∵DE=CE,∴∠CDE=∠ECD,

又∵∠CDE+∠BED=∠ABC=∠ACD=∠ECD+∠GCE，∴∠BED=∠GCE…………6分又∵BE=CG,DE=CE

∴△BDE≌△GEC∴BD=EG=AE 又∵AF=BE ∴AB=BE+AE=AF+BD…………8分如图（2），过点E 作EG∥BC 交AC 于点G,得△AEG 为等边三角形

∵DE=CE,∴∠CDE=∠ECD,

又∵∠CDE-∠BED=∠ABC=∠ACD=∠ECD-∠GCE，∴∠BED=∠GCE…………6分

又∵BE=CG,DE=CE∴△BDE≌△GEC∴BD=EG=AE 又∵AF=BE 所以AB=BE-AE=AF-BD………8分2.答案：（1）连EM 并延长，使MF=EM ，连BF ，易证△EDM ≌△FBM

从而易证等腰Rt △EAC ≌Rt △FBC 易得Rt △ECF ∴MN ⊥CE

(2)同样，证△EDM ≌△FB M ，∴∠EAC+∠EDB+∠DBC=360°，∠MBF+∠FBC+∠DBC=360°，而∠EDB=∠MBF，∴∠EAC=∠FBC，易证△EAC≌△FBC，易得等腰Rt△ECF，CE=2MN

3、答案：（2）中点连顶点，易证△1AOA ≌△1COC (3)易得PC⊥1AA ，∴以AC 为斜边的Rt△，斜边不变，取AC 中点，BP 最小=PM-1

2

AC=25-24、答案：

证明：(1)连接EC

由正方形的对称性可知，EA ＝EC 连接AC 、B ′C ∴EA ＝AC ∴△ACE 为等边三角形

∴∠DAE ＝60°－45°＝15°由旋转可知，∠BAB ′＝30°

∴∠B ′AC ＝15°

∴△ADE ≌△AB ′C （SAS ）∴B ′C ＝DE (2)由旋转可知，AB ′＝AD ＝AB ，AE ＝AE ′∴△AB ′E ≌△ADE ′（SSS ）∴∠B ′AE ＝∠DAE ′∴∠EAE ′＝∠DAB ′

由旋转可知：∠BAB ′＝∠EAE ′∴∠ADB ′＝∠BAB ′＝45°即α＝45°

(3)过点A 作AM ⊥B ′E ′

由(1)可知：∠B ′＝45°，∠E ＝30°∴AM ＝22，AE ′＝24∴22－2≤PQ ≤24＋2

5、答案:证明：(1)∵AH 是PC 的垂直平分线∴PA ＝PC ＝AB ∵AD 平分∠PAB ∴∠PAD ＝∠BAD

∴△PAD ≌△BAD （SAS ）∴DP ＝DB

(2)在CP 上截取CQ ＝PD ，连接AQ ∵AP ＝AC

∴∠APD ＝∠ACQ

∴△APD ≌△ACQ （SAS ）∴AD ＝AQ ，∠CAQ ＝∠PAD

∴∠BAC ＝∠CAQ ＋∠BAQ ＝∠PAD ＋∠BAQ ＝∠BAD ＋∠BAQ ＝∠DAQ ＝60°∴△ADQ 为等边三角形∴AD ＝DQ

∴CD ＝DQ ＋CQ ＝AD ＋DB

(3)24（提示：设DP ＝DB ＝DH ＝x ，则CH ＝2x ，CD ＝3x ，AD ＝CD －DB ＝2x ）6、答案：（1）FP=PC，FP⊥PC(用Rt△的中线及换角得出)

（2）方法一：（中点+中点构造中位线）如图，构造以B 点为直角的等腰Rt△BEG 和Rt△BHD 易证△BDG≌△BEH,FP

12GD,PC 1

2

EH，∵GD⊥EH，∴FP=PC，FP⊥PC 方法二：（中线倍长，构造全等）

延长CP 至H，使PH=PC，连

第1题图

第1题图

HE，HF，FC 易证△HEP≌△CDP，∴HE CD，由“X”型易得∠FBC=∠FEH，∴△FBC≌△FBH，∴FH=FC，∠BFC=∠EFH，

∠BFC-∠EFC=∠EFH-∠EFC=90°，∴Rt△HFC 中FP⊥PC （3）面积法5x=3x ?5

7、答案：（1）连DG，由对称性可知（中垂线上的点）D、C、G 三点共线，Rt△CME 中，MN=

12EC，NG=1

2

EC，∠MNG=2∠MEG=90°，∴△MNG 为等腰Rt△，即证.

（2）连DC、CF、BE、NG，易证△DBE≌△DCF，BE=CF，CF⊥BE（垂直交叉“X”型得），∴MN

1

2

BE，NG CF，MN=NG，MN⊥NG，∴△MNG 为等腰Rt△

（3）取BC 的中点M，连PM、MN、DC，同样证△DBE≌△DCF，易得△PMN 为等腰Rt△，PM=

1

2

CF，2

22PN PN CF PM ==8、答案：（1）垂直且相等

连DI ，易证△DIC ≌△DIP ，∴IP=IC.过I 作IE ⊥QP 于E ，IF ⊥CD 于F ，∵IE=IF ，∴Rt △CIF ≌Rt△PIE，易证CI⊥PI

（2）由等腰得AD=AI=5，设IH=x ，则AH=5-x ，

DH=AD+2x-AH=3x ，∴()2

3x +()2

5-x =25，

∴x=0（舍去），x=1，∴AH=4，∴DQ=4(3)

52

2

互补，三点一线