数学分析选论习题解.华东师大
《数学分析选论》习题解答
第 一 章 实 数 理 论
1.把§1.3例4改为关于下确界的相应命题,并加以证明. 证 设数集S 有下确界,且S S ?=ξinf ,试证: (1)存在数列ξ=?∞
→n n n a S a lim ,}{使;
(2)存在严格递减数列ξ=?∞
→n n n a S a lim ,}{使.
证明如下:
(1) 据假设,ξ>∈?a S a 有,;且ε+ξ<'<ξ∈'?>ε?a S a 使得,,0.现依 次取,,2,1,1
Λ==
εn n n 相应地S a n ∈?,使得
Λ,2,1,=ε+ξ<<ξn a n n .
因)(0∞→→εn n ,由迫敛性易知ξ=∞
→n n a lim .
(2) 为使上面得到的}{n a 是严格递减的,只要从2=n 起,改取
Λ,3,2,,1min 1=?
??
???+ξ=ε-n a n n n ,
就能保证
Λ,3,2,)(11=>ε+ξ≥ξ-+ξ=--n a a a n n n n . □
2.证明§1.3例6的(ⅱ).
证 设B A ,为非空有界数集,B A S ?=,试证:
{}B A S inf ,inf m in inf =.
现证明如下.
由假设,B A S ?=显然也是非空有界数集,因而它的下确界存在.故对任何
B x A x S x ∈∈∈或有,,由此推知B x A x inf inf ≥≥或,从而又有
{}{}B A S B A x inf ,inf m in inf inf ,inf m in ≥?≥.
另一方面,对任何,A x ∈ 有S x ∈,于是有
S A S x inf inf inf ≥?≥;
同理又有S B inf inf ≥.由此推得
{}B A S inf ,inf m in inf ≤.
综上,证得结论 {}B A S inf ,inf m in inf =成立. □
3.设B A ,为有界数集,且?≠?B A .证明: (1){}B A B A sup ,sup m in )sup(≤?; (2){}B A B A inf ,inf m ax )(inf ≥?. 并举出等号不成立的例子.
证 这里只证(2),类似地可证(1).
设B A inf ,inf =β=α.则应满足:
β≥α≥∈∈?y x B y A x ,,,有.
于是,B A z ?∈?,必有
{}βα≥??
??
β≥α≥,max z z z , 这说明{}βα,max 是B A ?的一个下界.由于B A ?亦为有界数集,故其下确界存在,且因下确界为其最大下界,从而证得结论{}{}B A B A inf ,inf m ax inf ≥?成立.
上式中等号不成立的例子确实是存在的.例如:设
)4,3(,)5,3()1,0(,)4,2(=??==B A B A 则,
这时3)(inf ,0inf ,2inf =?==B A B A 而,故得
{}{}B A B A inf ,inf m ax inf >?. □ 4.设B A ,为非空有界数集.定义数集
{}B b A a b a c B A ∈∈+==+,,
证明:
(1)B A B A sup sup )sup(+=+; (2)B A B A inf inf )(inf +=+.
证 这里只证(2),类似地可证(1).
由假设,B A inf ,inf =β=α都存在,现欲证β+α=+)(inf B A .依据下确界定义,分两步证明如下:
1)因为,,,,β≥α≥∈∈?y x B y A x 有所以B A z +∈?,必有
β+α≥+=y x z .
这说明B A +β+α是的一个下界.
2)B y A x ∈∈?>ε?00,,0,使得
2,2
00ε
+β>ε+
α>y x .
从而ε+β+α>+∈+=?)(,0000z B A y x z 使得,故B A +β+α是的最大下界.于是结论 B A B A inf inf )(inf +=+ 得证. □
5.设B A ,为非空有界数集,且它们所含元素皆非负.定义数集
{}B b A a ab c AB ∈∈==,,
证明:
(1)B A AB sup sup )sup(?=; (2)B A AB inf inf )(inf ?=. 证 这里只证(1),类似地可证(2).
??
?
??
?≤≤≤=≥≥∈∈?∈?,sup sup ,
sup ,sup ,,)0,0(,,)(B A c B b A a ab c b a B b A a AB c 且使由于因此B A sup sup ?是AB 的一个上界.
另一方面,B b A a ∈∈?>ε?00,,0,满足
ε->ε->B b A a sup ,sup 00,
故)(000AB b a c ∈=?,使得
εε-+-?>])sup sup ([sup sup 0B A B A c .
由条件,不妨设0sup sup >+B A ,故当ε足够小时,εε-+=ε'])sup sup ([B A 仍为
一任意小正数.这就证得B A sup sup ?是AB 的最小上界,即 B A AB inf inf )(inf ?= 得证. □
*
6.证明:一个有序域如果具有完备性,则必定具有阿基米德性.
证 用反证法.倘若有某个完备有序域F 不具有阿基米德性,则必存在两个正元素F ∈βα,,使序列}{αn 中没有一项大于β.于是,}{αn 有上界(β就是一个),从而由完备性假设,存在上确界λ=α}sup{n .由上确界定义,对一切正整数n ,有α≥λn ;同时存在某个正整数0n ,使α-λ>α0n .由此得出
α+<λ≤α+)1()2(00n n ,
这导致与0>α相矛盾.所以,具有完备性的有序域必定具有阿基米德性. □
7.试用确界原理证明区间套定理. 证 设{}],[n n b a 为一区间套,即满足:
0)(lim ,
1221=-≤≤≤≤≤≤≤≤∞
→n n n n n a b b b b a a a ΛΛΛ.
由于{}n a 有上界k b ,{}n b 有下界k a (+∈N k ),因此根据确界原理,存在
{}{}β≤α=β=α且,inf ,sup n n b a .
倘若β<α,则有
Λ,2,1,0=>λ=α-β≥-n a b n n ,
而这与0)(lim =-∞
→n n n a b 相矛盾,故ξ=β=α.又因Λ,2,1,=≤β=α≤n b a n n ,
所以ξ是一切],[n n b a 的公共点.
对于其他任一公共点Λ,2,1,],[=∈ηn b a n n ,由于
∞→→-≤η-ξn a b n n ,0 ,
因此只能是η=ξ,这就证得区间套{}],[n n b a 存在惟一公共点. □
8.试用区间套定理证明确界原理.
证 设S 为一非空有上界的数集,欲证S 存在上确界.为此构造区间套如下:令 ],[],[011M x b a =,其中M S S x ,)(0?≠∈Θ为S 的上界.记2
1
11b a c +=
,
若1c 是S 的上界,则令],[],[1122c a b a =;否则,若1c 不是S 的上界,则令
],[],[1122b c b a =.一般地,若记2
n
n n b a c +=
,则令 Λ,2,1,,
,],[,
,],[],[11=???=++n S c b c S c c a b a n n n n n
n n n 的上界不是的上界当是.
如此得到的{}],[n n b a 显然为一区间套,接下来证明这个区间套的惟一公共点ξ即为S 的上确界.
由于上述区间套的特征是:对任何+∈Νn ,n b 恒为S的上界,而n a 则不为S 的上界,故S x ∈?,有n b x ≤,再由ξ=∞
→n n b lim ,便得ξ≤x ,这说明ξ是S 的一个上
界;又因ξ=∞
→n n a lim ,故ε-ξ>?>ε?n a ,0,由于n a 不是S 的上界,因此ε-ξ更
加不是S 的上界.根据上确界的定义,证得S sup =ξ.
同理可证,若S 为非空有下界的数集,则S 必有下确界. □ 9.试用区间套定理证明单调有界定理.
证 设{}n x 为递增且有上界M 的数列,欲证{}n x 收敛.为此构造区间套如下:令
],[],[111M x b a =;类似于上题那样,采用逐次二等分法构造区间套{}],[n n b a ,使n a 不是{}n x 的上界,n b 恒为{}n x 的上界.由区间套定理,],[n n b a ∈ξ?,且使
ξ==∞
→∞
→n n n n b a lim lim .下面进一步证明 ξ=∞
→n n x lim .
一方面,由∞→≤k b x k n 取,的极限,得到
Λ,2,1,lim =ξ=≤∞
→n b x k k n .
另一方面,ε-ξ>∈?>ε?+K a K 使,,0Ν;由于K a 不是
{}n x 的上界,故
K N a x >?;又因{}n x 递增,故当N n >时,满足N n x x ≥.于是有
N n x x a n N K >ξ≤<<<ε-ξ,
,
这就证得ξ=∞
→n n x lim .
同理可证{}n x 为递减而有下界的情形. □ 10*.试用区间套定理证明聚点定理.
证 设S 为实轴上的一个有界无限点集,欲证S 必定存在聚点.
因S 有界,故0>?M ,使得M x ≤,S x ∈?.现设],[],[11M M b a -=,则],[11b a S ?.然后用逐次二等分法构造一区间套{}],[n n b a ,使得每次所选择的
],[n n b a 都包含了S 中的无限多个点.由区间套定理,],[n n b a ∈ξ?,n ?.最后
应用区间套定理的推论,,0>ε?当n 充分大时,使得],[n n b a );εξ?(U ;由于
],[n n b a 中包含了S 的无限多个点,因此);(εξU 中也包含了S 的无限多个点,根据
聚点定义,上述ξ即为点集S 的一个聚点. □ 11*.试用有限覆盖定理证明区间套定理.
证 设{}],[n n b a 为一区间套,欲证存在惟一的点Λ,2,1,],[=∈ξn b a n n . 下面用反证法来构造],[11b a 的一个无限覆盖.倘若{}],[n n b a 不存在公共点ξ,则],[11b a 中任一点都不是区间套的公共点.于是,∈?x ],[11b a ,使,],[n n b a ?
],[n n b a x ?.即);(x x U δ?与某个],[n n b a 不相交( 注:这里用到了],[n n b a 为
一闭区间 ).当x 取遍],[11b a 时,这无限多个邻域构成],[11b a 的一个无限开覆盖:
{}],[);(11b a x x U H x ∈δ=.
依据有限覆盖定理,存在],[11b a 的一个有限覆盖:
{}
H N i x U U H i x i i ?=δ==,,2,1);(~
Λ,
其中每个邻域N i b a U i
i n n i ,,2,1,],[Λ=?=?.若令
{}N n n n K ,,,max 21Λ=,
则N i b a b a i i n n K K ,,2,1,],[],[Λ=?,从而
N i U b a i K K ,,2,1,],[Λ=?=?. (Ж) 但是
Y N
i i
U 1
=覆盖了],[11b a ,也就覆盖了],[K K b a ,这与关系式(Ж)相矛盾.所
以必定存在Λ,2,1,],[=∈ξn b a n n .(有关ξ惟一性的证明,与一般方法相同.) □
12.设S 为非空有界数集.证明:
S S y x S
y x inf sup ||sup ,-=-∈.
证 设η<ξ=η=ξ且,sup ,inf S S ( 若η=ξ,则S 为单元素集,结论显然成立 ).记{}S
y x y x E ∈-=,||,欲证ξ-η=E sup .
首先,S y x ∈?,,有
ξ-η≤-?η≤ξ≥||,y x y x ,
这说明ξ-η是E 的一个上界.
又因2,0ε-
η>ε? ??? ?
?
ε+ξ2不再是S 的上()下界,故S y x ∈?00,,使
ε-ξ-η≥-???
?
??ε
+
ξ<ε-
η>)(||2
20000y x y x , 所以ξ-η是E 的最小上界,于是所证结论成立. □
13.证明:若数集S 存在聚点ξ,则必能找出一个各项互异的数列{}S x n ?,使
ξ=∞
→n n x lim .
证 依据聚点定义,对S U x ?εξ∈?=ε);(,1111ο.一般地,对于
?
??
???-ξ=ε-1,
1
m in n n x n ,
Λο,3,2,);(=?εξ∈?n S U x n n .
如此得到的数列{}S x n ?必定满足:
Λ,3,2,||||11=≠?ξ-<ξ---n x x x x n n n n ;
ξ=?∞→→<
ξ-∞
→n n n x n n x lim )(01
||. □ 41*.设S 为实轴上的一个无限点集.试证:若S 的任一无限子集必有属于S 的
聚点,则
(1)S 为有界集;
(2)S 的所有聚点都属于S .
证 (1)倘若S 无上界,则对1111,,1M x S x M >∈?=使;一般地,对于
{}
Λ,3,2,,,,max 1=>∈?=-n M x S x x n M n n n n n 使.这就得到一个各项互异的
点列
{}∞=?∞
→n n n x S x lim ,
使.S 的这个无限子集没有聚点,与题设条件相矛盾,所
以S 必有上界.同理可证S 必有下界,故S 为有界集.
(2)因S 为有界无限点集,故必有聚点.倘若S 的某一聚点S ?ξ0,则由聚点的性质,必定存在各项互异的数列
{}0lim ,ξ=?∞
→n n n x S x 使.据题设条件,{}n x 的惟
一聚点0ξ应属于S ,故又导致矛盾.所以S 的所有聚点都属于S . □
51*.证明:{}{}n n a a ?ξ=sup ,则必有ξ=∞
→n n a lim .举例说明,当上述ξ属
于{}n a 时,结论不一定成立.
证 利用§1.3 例4,{}
{}n n a a k ??,使ξ=∞→k n n a lim ,这说明ξ是{}n a 的一
个聚点.又因ξ又是{}n a 的上界,故{}n a 不可能再有比ξ更大的聚点.所以ξ是{}n a 的上极限.
当{}n a ∈ξ时,结论不一定成立.例如,1,111sup ??????∈=??????n n 显然不是???
???n 1的上
极限. □
61*.指出下列数列的上、下极限:
(1){
}n
)
1(1-+; (2)?
?
??
??+-12)1(n n n
; (3)??
?
????
???πn
n 3cos
; (4)??????π+4sin 12n n n ;
(5)??
???????
?π+n n n sin 12. 解(1)0lim ,2lim ,0,2122==≡≡∞
→∞→-n n n n k k a a a a 故.
(2))(2
11412,21142122∞→-→---=→+=
-k k k a k k
a k k ,故
2
1lim ,2
1
lim -
==
∞
→∞
→n n n n a a . (3))(13
cos
2
11∞→≤π
≤←
n n n
n
, 故 1lim lim lim ===∞
→∞
→∞
→n n n n n n a a a .
(4)????????????
?--=+?--=+-
=+=+++=+?=π+=.
38,18,1
2222,8,
12,4,0,28,12,38,18,12224sin 12k k n n n
k n n n k n k n n n k k n n n n n n a n
故2lim ,
2lim -==∞
→∞
→n n n n a a . (5))(sin )1(sin 122
2
∞→π→ππ
?+π=π+=
n n
n n
n n
n n a n ,故
π===∞
→∞
→∞
→n n n n n n a a a lim lim lim . □
71*.设{}n a 为有界数列,证明:
(1)1lim )(lim =-=-∞
→∞→n n n n a a ; (2)n n n n a a ∞
→∞
→-=-lim )(lim .
证 由
)(sup )(inf ,)(inf )(sup k n
k k n
k k n
k k n
k a a a a ≥≥≥≥-=--=-,
令∞→n 取极限,即得结论(1)与(2). □
81*.设0lim >∞
→n n a ,证明:
(1)n
n n n a a ∞
→∞→=
lim 1
1lim
; (2)n
n n n a a ∞
→∞
→=lim 1
1lim
;
(3)若
11lim
lim =?∞
→∞
→n n n n a a ,或11
lim lim =?∞→∞→n
n n n a a ,则{}n a 必定收敛.
证 由
)
(sup 1
1inf ,
)(inf 1
1sup k n
k k n k k
n k k n k a a a a ≥≥≥≥=???? ??=???? ??,
令∞→n 取极限,即得结论(1)与(2).
若
11
lim
lim =?∞
→∞
→n n n n a a ,则由(1)立即得到 n n n n a a ∞
→∞→=lim lim ,因此极限n n a ∞
→lim 存在,即得结论(3).
类似地,若11
lim
lim =?∞
→∞
→n
n n n a a ,则由(2)同样可证得(3). □ 第 二 章 连 续 性
1. 设n
y x ?∈,,证明:
)||||||||(2||||||||2222y x y x y x +=-++.
证 由向量模的定义, ∑∑==-++=
-++n
i i i n
i i i y x y x y x y x 1
212
2
2
)()
(||||||||
∑=+=+=n
i i
i y x y x 1
222
2)||||||||(2)(2
. □ 2*. 设n
n x S ?∈??点,到集合S 的距离定义为
),(inf ),(y x S x S
y ρ=ρ∈.
证明:(1)若S 是闭集,S x ?,则0),(>S x ρ;
(2)若d
S S S ?=( 称为S 的闭包 ),则
{}
0),(|=ρ?∈=S x x S n .
证 (1)倘若0),(=S x ρ,则由),(S x ρ的定义,S y n ∈?,使得
Λ,2,1,1
),(=<
ρn n
y x n . 因 S x ?,故x y n ≠,于是x 必为S 的聚点;又因S 是闭集,故S x ∈,这就导致矛
盾.所以证得0),(>S x ρ.
(2)S x ∈?.若S x ∈,则0),(=ρS x 显然成立.若S x ?,则d
S x ∈(即x
为S 的聚点),由聚点定义,?≠?ε>ε?S x U );(,0ο,因此同样有
0),(),(inf =ρ=ρ∈S x y x S
y .
反之,凡是满足0),(=ρS x 的点x ,不可能是S 的外点( 若为外点,则存在正数0ε,使?=?εS x U );(0,这导致0),(inf 0>ε≥ρ∈y x S
y ,与0),(=ρS x 相
矛盾).从而x 只能是S 的聚点或孤立点.若x 为聚点,则S S x ?∈d ;若x 为孤立点,
则S S x ?∈.所以这样的点x 必定属于S .
综上,证得 {}
0),(|=ρ?∈=S x x S n
成立. □
3.证明:对任何n S ??,d
S 必为闭集.
证 如图所示,设0x 为d
S
的任一聚点,
欲证∈0x d
S ,即0x 亦为S 的聚点.
这是因为由聚点定义,y ?>ε?,0,使得 d S x U y ?ε∈);(0ο
.
再由y 为S 的聚点,);();(0ε?δ?x U y U ο,有
?≠?δS y U );(ο.
于是又有?≠?εS x U );(0ο
,所以0x 为S 的聚点,即∈0x d S ,亦即d
S 为闭
集. □
4.证明:对任何n
S ??,S ?必为闭集.
证 如图所示,设0x 为S ?的任一聚点,欲证S x ?∈0,即0x 亦为S 的界点. 由聚点定义,y ?>ε?,0,使
S x U y ??ε∈);(0ο
.
再由y 为界点的定义,);();(0ε?δ?x U y U ,
0x ο
);(δy U
);(0εx U ο
οS S
?
ο
);(δy U
);(0εx U ο
οS
d S
0x
在);(δy U 内既有S 的内点,又有S 的外点.由此证得在);(0εx U 内既有S 的内点,又有S 的外点,所以0x 为S 的界点,即S ?必为闭集. □
*5.设n
S ??,0x 为S 的任一内点,1x 为S 的任一外点.证明:联结0x 与1
x 的直线段必与S ?至少有一交点.
证 如图所示,把直线段10x x 置于一实轴上,并 为叙述方便起见,约定此实轴上的点与其坐标用同一字 母表示.下面用区间套方法来证明?≠??S x x 10.
记2
,],[],[1
111011b a c x x b a +==.若S c ?∈1,
则结论成立;若1c 为S 的内点,则取],[],[1122b c b a =;若1c 为S 的外点,则取
],[],[1122c a b a =.一般地,用逐次二等分法构造区间套:记2n
n n b a c +=( 不妨设
S c n ??),并取
Λ,2,1,,],[,
,],[],[11=???=++n S c c a S c b c b a n n
n n n n n n 的外点为的内点为.
此区间套的特征是:其中每个闭区间的左端点n a 恒为S 的内点,右端点n b 恒为S 的外点.现设y b a n n n n ==∞
→∞
→lim lim ,下面证明S y ?∈.
由区间套定理的推论,0>ε?,当n 足够大时,);(],[ε?y U b a n n ,因此在
);(εy U 中既含有S 的内点(例如n a ),又含有S 的外点(例如n b ),所以10x x 上的
点y 必是S 的界点. □ 6.证明聚点定理的推论2和推论3.
(1) 推论2 n
?中的无限点集S 为有界集的充要条件是:S 的任一无限子集必
有聚点.
证 [必要性] 当S 为有界集时,S 的任一无限子集亦为有界集,由聚点定理直接 推知结论成立.
[充分性] 用反证法来证明.倘若S 为无界集,则必能求得一个点列{}S P k ?, 使得+∞=∞
→||||lim k k P .这个{}k P 作为S 的一个无限子集不存在聚点,与条件矛盾.故S
为有界集. □
(2)推论3 n
?中的无限点集S 为有界闭集的充要条件是:S 为列紧集,即S
的任一无限子集必有属于S 的聚点.
证 [必要性] 因S 有界,故S 的任一无限子集亦有界,由聚点定理,这种无限子集必有聚点.又因子集的聚点也是S 的聚点,而S 为闭集,故子集的聚点必属于S .
[充分性] 由上面(1)的充分性证明,已知S 必为有界集.下面用反证法再来证明
S 为闭集.
倘若S 的某一聚点S P ?
,则由聚点性质,存在各项互异的点列{}S P k ?,使 P P k k =∞
→lim .据题设条件,{}k P 的惟一聚点P 应属于S ,故又导致矛盾.所以S 的
所有聚点都属于S ,即S 为闭集. □
7.设X B A X f X m
n ??→??,,,:.证明:
(1))()()(B f A f B A f ?=?; (2))()()(B f A f B A f ???;
(3)若f 为一一映射,则)()()(B f A f B A f ?=?.
证 (1))(,,)(x f y B A x B A f y =?∈??∈?使.若)(,A f y A x ∈∈则; 若)(,B f y B x ∈∈则.所以,当)()()(,B f A f x f y B A x ?∈=?∈时.这表示
)()()(B f A f B A f ???.
反之,)(,,)()(x f y X x B f A f y =∈??∈?使.若A x A f y ∈∈则,)(;若
B x B f y ∈∈则,)(,于是B A x ?∈.这表示)()(B A f x f y ?∈=,亦即
)()()(B f A f B A f ???.
综上,结论)()()(B f A f B A f ?=?得证.
(2)y x f B A x B A f y =?∈??∈?)(,,)(使.因A x ∈且B x ∈,故
)()()()(B f x f A f x f ∈∈且,
即 )()()(B f A f x f y ?∈=,亦即 )()()(B f A f B A f ???.
然而此式反过来不一定成立.例如]2,1[,]1,2[,)(2
-=-==B A x x f ,则有
]4,0[)()()()(=?==B f A f B f A f ; ]1,0[)(,]1,1[=?-=?B A f B A .
可见在一般情形下,)()()(B A f B f A f ???.
(3))()(B f A f y ?∈?,B x A x ∈∈?21,,使)()(21x f x f y ==.当f 为 一一映射时,只能是B A x x ?∈=21,于是)(B A f y ?∈,故得
)()()(B A f B f A f ???.
联系(2),便证得当f 为一一映射时,等式)()()(B A f B f A f ?=?成立. □
8.设m
n m n c b a g f ?∈?∈?→?,,,,:,且
c x g b x f a
x a
x ==→→)(lim ,
)(lim .
证明:
(1)0||||,||||||)(||lim ==→b b x f a
x 当且时可逆;
(2)c b x g x f a
x T
])()([lim =T →.
证 设
[][]T T ==)(,,)()(,)(,,)()(11x g x g x g x f x f x f m m ΛΛ,
T T T ===],,[,],,[,],,[111m m n c c c b b b a a a ΛΛΛ.
利用向量函数极限与其分量函数极限的等价形式,知道
m i c x g b x f i i a
x i i a
x ,,2,1,)(lim ,)(lim Λ===→→.
(1)||||)()(lim
||)(||lim 221221b b b x f x f x f m m a
x a
x =++=++=→→ΛΛ.
当0||||=b 时,由于||)(||||||||)(||x f b x f =-,因此由0||)(||lim =→x f a
x ,推知
m i x f i a
x ,,2,1,0)(lim 2Λ==→,即得
0)(lim =→x f a
x .
(2)类似地有
c
b c b c b x g x f x g x f x g x f m m m m a
x a
x T
→T →=+=++=ΛΛ1111]
)()()()([lim ])()([lim .
□
9.设m
n D f D ?→??:,.试证:若存在证数r k ,,对任何D y x ∈,满足
r y x k y f x f ||||||)()(||-≤-,
则f 在D 上连续,且一致连续.
证 这里只需直接证明f 在D 上一致连续即可.
0,01>??
? ??ε
=δ?>ε?r
k ,对任何D y x ∈,,只要满足δ<-||||y x ,便有
ε<-≤-r y x k y f x f ||||||)()(||.
由于这里的δ只与ε有关,故由一致连续的柯西准则(充分性),证得f 在D 上一致连续. □
10.设m
n D f D ?→??:,.试证:若f 在点D x ∈0连续,则f 在0x 近旁
局部有界.
证 由f 在点0x 连续的定义,对于1=ε,0>δ?,当)(0δ∈;x U x 时,满足
||)(||1||)(||1||)()(||||)(||||)(||000x f x f x f x f x f x f +≤?<-≤-,
所以f 在0x 近旁局部有界. □
11.设m n f ?→?:为连续函数,n A ??为任一开集,n
B ??为任一闭集.试
问)(A f 是否必为开集?)(B f 是否必为闭集?为什么?
解 )(A f 不一定为开集.例如
),(,sin )(ππ-∈=x x x f .
这里),(ππ-=A 为开集,但]1,1[)(-=A f 却为闭集.
当B 为有界闭集时,由连续函数的性质知道)(B f 必为闭集且有界.但当B 为无界 闭集时,)(B f 就不一定为闭集,例如
),(,arctan )(∞+-∞∈=x x x f . 这里),(∞+-∞=B 可看作一闭集,而??
? ?
?ππ-
=2,2)(B f 却为一开集. □ 12.设n
n D D ?→???:,.试举例说明:
(1)仅有D D ??)(,?不一定为一压缩映射;
(2)仅有存在)10(< ||||||)()(||x x q x x ''-'≤''?-'?, 此时?也不一定为一压缩映射. 解 (1)例如),0[,1)(∞+∈+=?x x x .这里),0[∞+=D 为一闭域,它虽然满足D D ?∞+=?),1[)(,但因|||)()(|x x x x ''-'=''?-'?,所以?不是压缩映射.(注:这也可根据压缩映射原理来说明,由x x =+1无解,即?没有不动点,故?不是压缩映射.) (2) 例如]1,1[,12 )(-=∈+= ?D x x x .它虽然满足 )50(||2 1 |)()(|.=''-'=''?-'?q x x x x , 但因D D ??? ? ? ??=?23,21)(,故此?仍不是一个压缩映射. □ 13.讨论b a ,取怎样的值时,能使下列函数在指定的区间上成为一个压缩映射: (1)],[,)(1b a x x x ∈=?; (2)],[,)(2 2a a x x x -∈=?; (3)],[,)(3b a x x x ∈=?; (4)],0[,)(4a x b ax x ∈+=?. 解 (1)由|||)()(|11x x x x ''-'=''?-'?,可知对任何b a ,,1?在],[b a 上都不可能是压缩映射. (2)首先,只有当10≤≤a 时,才能使 ],[],0[)],[(22a a a a a -?=-?. 其次,由于对任何],[,a a x x -∈'''都有 ||2|||||)()(|22x x a x x x x x x ''-'<''-'?''+'=''?-'?, 因此只要取120<= 1 0<