线性空间的性质

学院数学与信息科学学院

专业信息与计算科学

年级2011级

姓名魏云

论文题目线性空间的性质

指导教师韩英波职称副教授成绩

2013年3月16日

学年论文成绩评定表

目录

摘要 (1)

关键字 (1)

Abstract (1)

Key words (1)

前言 (1)

1 线性空间的概念 (2)

2 线性空间的相关理论 (3)

2.1 线性空间的一些简单性质 (3)

2.2 向量的线性关系 (3)

2.3 基、维数、坐标 (6)

3 两个特殊的子空间 (7)

3.1 欧几里得空间的定义与性质 (7)

3.2 酉空间的介绍 (8)

4 线性空间的同构 (8)

4.1 同构映射与线性空间同构的定义 (8)

4.2 同构映射的性质 (9)

参考文献 (10)

线性空间的性质

摘要：本文首先介绍了与线性空间相关的一系列基本概念，然后归纳总结了线性空间的一些相关性质，包括线性空间的维数、基及坐标；同构映射以及性质等，还包括了向量的线性关系，同时介绍了一些特殊的线性空间，以及它们的简单性质.

关键词：线性空间；基；维数；同构

The properties of linear vector space

Abstract: In thesis, we introduce a series of basic concepts of the linear vector space firstly, and then summarized some properties of the linear space, including linear vector space definition, linear vector space, the nature of the linear vector space dimension, base and coordinates, isomorphism mapping and judgments. The thesis also includes linear vector space relationship, some special linear spaces and their simple properties.

Key words: Linear space; Base ; Dimension; Isomorphism

前言：线性空间是线性代数最基本的数学概念之一，是线性代数的主要研究对象，它用公理化的方法引入了一个代数系统.同时线性空间与线性变换也是学习现代矩阵论时经常用到的两个极其重要的概念，线性空间的理论和方法在自然科学和工程技术领域中都有广泛的应用.下面我们主要研究线性空间及、向量的线性关系、基、维数、坐标、特殊的线性空间以及线性空间的同构问题.

1.线性空间的概念

定义：设V 是非空集合，F 是某一个数域：V 上定义了一个加法运算（也就是说，给出了一个对应法则，按照这个法则，V 中任意两个元素α与β，在V 中都有一个确定的元素γ与只对应，称为α与β的和，记法γ=α+β），同时也定义了一个用F 上的数乘以V 中元素，乘积保持为V 中元素的数乘运算（也就是说，给出了这样一个对应法则，对于F 上的任意一个数λ与V 中任意一个元素α，按照这个法则，V 中总有一个确定的元素δ与之对应，称为λ乘α的数乘积，记法δ=λα ）有关这两个运算还满足以下八条运算律： 设 ,,,,V F αβγλμ∈∈

(1) ;αββα+=+

(2) ()();αβγαβγ++=++

(3) V 中存在零元素，记它为0，对任何V 中元素α，都有α+0=α成立; (4) 对V 中的任何元素α，V 中一定还存在α的负元素，记为-α，使得α+（-α）=0;

(5) 1α=α; (6) ()();λμαλμα=

(7) ();λμαλαμα+=+

(8)().λαβλαλβ+=+

这时便称V 是数域F 上的一个线性空间.

注：实数域R 上的线性空间称为是线性空间；复数域C 上的线性空间称为复线性空间.

2线性空间的相关理论

2.1线性空间的一些简单性质 （1）零元素唯一； （2）α的负元素唯一； （3）000k k αα=?==或； （4）-（-α）=α； （5）()()();k k k ααα-=-=-

（6）();k k k αβαβ-=-

（7） ,V,V,+=.αβγαβγ?∈∈存在唯一的使得

2.2向量的线性关系 2.2.1线性组合与线性表示

（1）设1,,n αα 是线性空间V 中的向量组，1,,n k k ∈F,称

1122n n k k k ααα++

为1,,n αα 的一个线性组合；

（2）零向量可由任一向量组线性表示；

（3）一个向量组中的每一个向量都可由这个向量组线性表示；

（4）如果向量α可由1,,n ββ 线性表示，而每个1,,i n βαα 又可由线性表示，则α

可由1,,n αα 线性表示.

2.2.2线性相关与线性无关

（1）设1,,n αα 是线性空间V 中的向量组，若有F 中不全为0的数1,,n k k ，使得

1122n n k k k ααα++ =0，

则称1,,n αα 线性相关；否则，称1,,n αα 线性无关，即若 1122n n k k k ααα++ =0，

则12...0n k k k ====.

(2)若1,,n αα 中有一零向量，则此向量必线性相关. (3)单个零向量线性相关，一个非零向量线性无关.

(4)n F 的m 个向量12(,,...,)'(1,...,)i i i ni a a a i m α==线性相关的充要条件是其次线性方程AX=0有非零解，其中A=,()ij m n a ?即r(A)

(5)将一个线性相关（无关）的向量组任意添加（减少）若干个非零向量所得的新向量组仍线性相关（无关）.

(6)将线性无关的r 维向量组中的每个向量均延长相同个数的分量而得到的n 维向量组仍线性无关.

(7)1,,r αα 线性无关，则β不能由1,,r αα 线性表示的充要条件是1,,r αα ，β线

性无关.

(8) β可由1,,r αα 线性表示，则表示法唯一的充要条件是1,,r αα 线性无关. (9) 1,,n αα （2n ≥）线性相关的充要条件是其中某向量是其余向量的线性组合. (10)设m n A F ?∈，则对A 施行初等行变换不改变A 的列向量线性关系.

2.2.3向量组的等价

（1）I 和II 是线性空间V 中的两个向量组，若I 的每个向量都可由II 线性表示，II 中的每个向量都可由I 线性表出，即I 与II 可以相互线性表出，就说I 与II 等价. （2）向量组的等价关系具有反身性、传递性和对称性.

（3）（Steinitz 替换定理）设向量组（I ）:12,,,r ααα 线性无关，并且可由向量组（II ）：1,,s ββ 线性表示，则

（i ）;i s ≤

(ii)必要时对（II ）中的向量重新编号，使得用12,,,r ααα 替换

1,,r ββ 所得的向量组11,,,,,r r s ααββ+ 与（II ）等价.

推论1 若向量组12,,,m ααα 可由1,,s ββ 线性表示且m>s ，则12,,,m ααα 线性相关.

推论 2 等价的线性无关的向量组含有相同个数的向量. 2.2.4极大线性无关组

（1）向量组1,,n αα 中的部分向量1,,r ββ 称为一个极大线性无关组（简称为极大无关组），如果

（i ）1,,r ββ 线性无关；

（ii ）1,,n αα 中的任一向量都可由1,,r ββ 线性表示. （2）每一个不全由零向量组成的向量组都有极大无关组.

（3）等价向量组的极大无关组含有相同个数的向量.特别地，一个向量组的任意两个极大无关组都含有相同个数的向量.

（4）一个向量组的极大无关组所含向量的个数称为该向量组的秩.

（5）秩为r 的向量组中的任何r 个线性无关的向量为其一极大无关组，并且任何两个极大无关组都等价.

（6）两个向量组等价必等秩，但反之不真.

（7）设两个向量组1,,s αα 与1,,t ββ 的秩都为r ，并且1,,s αα 可由1,,t ββ 线性表示，则这两个向量组等价. 2.3基、维数、坐标

定义：数域F 上的线性空间V 中的向量组12,,,n ααα 称为V 的一个基，如果 （1）12,,,n ααα 线性无关；

（2）V α?∈，α可由12,,,n ααα 线性表示.

V 的一个基所含向量的个数称为V 的维数，记为dim V.

注：（1）线性空间V 的一个基实际上就是V 中全体向量的一个极大无关组.

（2）基向量是有序的，如果调换基中向量的次序，就会得到V 中的另一个基. （3）若找到V 中的一个基，则称V 为有限维的；否则，称为无限维的.

定义：设V 是数域F 上的n 维线性空间，12,,,n ααα 为V 的一个基，对V α?∈有 1122,n n k k k αααα=+++ 称（12,,,n k k k ）为α在12,,,n ααα 下的坐标，其中

,1,...,i k F i n ∈=. 坐标有时也可以写成列向量的形式.

3.两个特殊的线性空间

3.1 欧几里得空间的定义与性质.

3.1.1定义：设V 是实数域R 上的线性空间，对于V 中任二向量x 与y ，按某规则定义一个实数，用（x,y ）表示.则称该实数为x 与y 的内积，它满足下列四个条件： （1） 交换律 （x,y ）=(y,x);

（2） 分配律 （x,y+z ）=(x,y)+(x,z); （3） 其次性 （kx,y ）=k(x,y), k R ?∈

（4）

非负性 （x,x ）≥0,当且仅当x=0时才有，（x,x ）=0.

则称V 为欧几里得空间，简称欧式空间或实内积空间. 3.1.2基本性质： （1）（x,ky ）=k(x,y);

（2）(x,0)=(0,x)=0;

（3）1

1

,1

(,)(,)n

n

n

i i i i i j

i

j

i j i j x y x y ξηξη====

∑∑∑

3.2酉空间介绍

定义：设V 是负数域C 上的线性空间，对于V 中任意两个向量x,y ，按照规则有一复数（x,y ）与之对应，并称其为内积，它满足下列四个条件 （1） 交换律 （x,y ）=(,)y x 这里(,)y x 是（x,y ）的共轭复数； （2） 分配律 （x,y+z ）=(x,y)+(x,z); （3） 其次性 （kx,y ）=k(x,y), k C ?∈;

（4）

非负性 （x,x ）≥0,当且仅当x=0时才有，实数（x,x ）=0.

则称V 为一酉空间（或酉交空间，复内积空间）.

4.线性空间的同构

4.1同构映射与线性空间同构的定义

定义1 设V,1V 是数域F 上的两个线性空间，若V 到1V 有一个双射σ满足

（1）()()();σαβσασβ+==

（2）()(),k k σασα=

其中,αβ为V 中的任意向量，k 为F 中的任意数，则称σ为V 到1V 的一个同构映射.

若V 与1V 之间有一个同构映射，则称V 与1V 同构，记为1V V ?.

定义：设V 与1V 都是欧式空间，若V 与1V 存在同构映射σ，并且,V αβ?∈有

((),())(,),σασβαβ=

则称欧式空间V 与1V 同构.

注：若σ为由V 与V 的同构映射，则称V 有一个自同构. 4.2同构映射的性质

设σ为V 到1V 的一个同构映射，则

（1）(0)0,()();σσασα=-=-

（2）112211()()...();r r r r k k k k k σααασασα+++=++

（3）V 中的向量组12,,,r ααα 线性相关的充要条件是1(),...,()r σασα线性相关. （4）1σ-是1V 到V 的一个同构映射；

（5）数域F 上的两个有限维线性空间V ，1V 同构的充要条件是它们的维数相同； （6）若11212:,:V V V V σσ→→都是同构映射，则 212:V V σσ→ 也是同构映射，并且

1112112();σσσσ---=

（7）同构的线性空间具有反身性、对称性和传递性，因而数域F 上的任意两个n 维线性空间都同构；

（8）1V 与2V 是两个有限维欧式空间，则1V 与2V 同构当且仅当

dim 1V =dim 2V .

参考文献：

[1] 杨茂信,陈璞华,庚镜波 .《线性代数（第三版）》[M].华南理工出版社，1987.

[2] 刘慧,袁文燕,姜冬青 .《矩阵论及应用》（研究生应用数学丛书）[M].北京：

化学化工出版社，2003.

[3] 张肇炽 主编.《线性代数及其应用》（高等学校教材）[M].西北工业大学出

版社，1992.

[4] 王卿文 .《线性代数核心思想及应用》（大学数学科学丛书）[M].科学出版

社，2012.

[5] 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组 ，王萼芳,石生明 修订.《高

等代数（第三版）》（高等学校教材）[M].高等教育出版社，2003. [6] 程云鹏 .《矩阵论》（高等学校教材）[M].西北工业大学出版社，1989.