圆与圆的方程
7.圆与圆的方程
1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程
（1）标准方程，圆心，半径为r ； （2）一般方程
当时，方程表示圆，此时圆心为，半径为
当时，表示一个点； 当时，方程不表示任何图形。
（3）求圆方程的方法：
一般都采用待定系数法：先设后求。确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程， 需求出a ，b ，r ；若利用一般方程，需要求出D ，E ，F ；
另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系：
直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情况：
（1）设直线，圆，圆心到l 的距离为，则有；；
4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。
设圆， 两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差），与圆心距（d ）之间的大小比较来确定。 当时两圆外离，此时有公切线四条； 当时两圆外切，连心线过切点，有外公切线两条，内公切线一条； 当时两圆相交，连心线垂直平分公共弦，有两条外公切线；
当时，两圆内切，连心线经过切点，只有一条公切线；
当时，两圆内含； 当时，为同心圆。
一、单选题
1．圆心在 轴上，半径为1，且过点 的圆的方程是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
2．方程 表示的图形是（ ）
A ．两个半圆
B ．两个圆
C ．圆
D ．半圆
3．圆心为 且与直线 相切的圆的方程为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
()()22
2r b y a x =-+-()b a ,022=++++F Ey Dx y x
0422>-+F E D ??? ??--2,2E D F E D r 42122-+=0422=-+F E D 0422<-+F E D 0:=++C By Ax l ()()222:r b y a x C =-+-()b a C ,22B A C Bb Aa d +++=相离与C l r d
?>相切与C l r d ?=相交与C l r d ?<()()221211:r b y a x C =-+-()()22
2222:R b y a x C =-+-r R d
+>r R d +=r R d r R +<<-r R d -=r R d -<0=d
4．圆 的圆心坐标为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
5．圆心为(3,2)-且过点(1,1)A -的圆的方程是（ ）
A ．22(3)(2)5x y -+-=
B ．22(3)(2)5x y ++-=
C ．22(3)(2)25x y -+-=
D ．22(3)(2)25x y ++-=
6．以两点A (－3，－1)和B (5,5)为直径端点的圆的标准方程是( )
A ．(x －1)2＋(y －2)2＝10
B ．(x －1)2＋(y －2)2＝100
C ．(x －1)2＋(y －2)2＝5
D ．(x －1)2＋(y －2)2＝25
7．圆 的半径是（ ）
A ．
B ．2
C ．
D ．4
8．若直线250x y a -+=平分圆224250x y x y +-+-=的周长，则a = A ．9 B ．-9 C ．1 D ．-1
9．已知圆的方程为 ，则它的圆心坐标和半径的长分别是（ ）
A ． ，5
B ． ，
C ． ，5
D ． ，
10．若方程x 2+y 2+x+y+k=0表示一个圆,则k 的取值范围是( )
A ．
B ．
C ．
D ．
11．已知点A 是圆 ： 上一点，点B 在直线l ： 上，则 的最小值为
A ．
B ．
C ．
D ．3
12．直线 与圆 的位置关系是
A ．相交
B ．相切
C ．相离
D ．不能确定 13．若直线340x y b +-=与圆22(1)(1)1x y -+-=相切，则b 的值是（ ） A ．-2或12 B ．2或-12 C ．2或12 D ．-2或-12
14．已知圆 ： 与圆 ： ，则两圆的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相离 C ．内切 D ．外切
15．圆 与直线 的位置关系是 （ ） A ．直线过圆心 B ．相切 C ．相离 D ．相交
16．圆224x y +=与圆22260x y y ++-=的公共弦长为（ ）
A ．1
B ．2
C
D ．17．若点 为圆 的弦 的中点，则弦 所在直线的方程为
A ．
B ．
C ．
D ．
18．圆 关于直线 对称，则 的值是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
19．若直线 与圆 相交，则实数 的取值范围为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
20．已知圆 ，则过点 的最短弦所在直线 的方程是( )
A ．
B ．
C ． -
D ． -
21．（四川省2018届高三“联测促改”活动数学试题）过点 且倾斜角为 的直线被圆 所截得的弦长为
A ．
B ．1
C ．
D ．
22．过点 且与圆 ，相切的直线有几条（ ）
A ．0条
B ．1条
C ．2 条
D ．不确定
二、填空题
57．圆 的圆心为点 ，且经过点 ，则圆 的方程为______________. 58．以点(2，－1)为圆心且与直线x ＋y ＝6相切的圆的方程是________________.
59．若方程 表示圆，则实数 的取值范围是__________．
60．已知圆 的方程为 ，点 为圆 内的一点，过点 的直线 与圆 相交于 ， 两点，当 最小时，直线 的方程为___________．
61．若过点 引圆 的切线，则切线长为________．
三、解答题
69．求过点()()1,1,1,1A B --，且圆心在直线20x y +-=上的圆的方程.
70．已知圆经过 两点，并且圆心在直线 上。
(1)求圆的方程；
(2)求圆上的点到直线 的最小距离。
71．已知ABC ?的三个顶点分别为(4,0)A -，(0,2)B ，(2,2)C -，求：
（1）AB 边上的高所在直线的方程；
（2）ABC ?的外接圆的方程．
72．已知某曲线的方程C ： ．
若此曲线是圆，求a 的取值范围，并指出圆心和半径；
若 ，且与直线l 相交于M ，N 两点，求弦长 ．
73．已知直线 ，圆 的方程为 ： .
（1）判断直线 与该圆的位置关系，
（2）若直线与圆相交，求出弦长；否则，求出圆上的点到直线 的最短距离.
74．已知圆 的圆心为 ，直线 与圆 相切．
求圆 的标准方程；
若直线 过点 ，且被圆 所截得弦长为2，求直线 的方程．
75．已知直线
（1）求与 垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为 4 直线方程：
（2）已知圆心为 ，且与直线 相切求圆的方程；
76．已知圆221:2880C x y x y +++-=与圆2224420C x y x y +---=：相交于两
点.
(1)求两圆的公共弦所在直线的方程.
(2)求两圆的公共弦长.
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高一数学圆的方程经典例题
典型例题一 例1圆9 )3 ( )3 (2 2= - + -y x上到直线0 11 4 3= - +y x的距离为1的点有几个？ 分析：借助图形直观求解．或先求出直线 1 l、 2 l的方程，从代数计算中寻找解答．解法一：圆9 )3 ( )3 (2 2= - + -y x的圆心为)3,3( 1 O，半径3 = r． 设圆心 1 O到直线0 11 4 3= - +y x的距离为d，则3 2 4 3 11 3 4 3 3 2 2 < = + - ? + ? = d． 如图，在圆心 1 O同侧，与直线0 11 4 3= - +y x平行且距离为1的直线 1 l与圆有两个交点， 这两个交点符合题意． 又1 2 3= - = -d r． ∴与直线0 11 4 3= - +y x平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意．∴符合题意的点共有3个． 解法二：符合题意的点是平行于直线0 11 4 3= - +y x，且与之距离为1的直线和圆的交点． 设所求直线为0 4 3= + +m y x，则1 4 3 11 2 2 = + + = m d， ∴5 11± = + m，即6 - = m，或16 - = m，也即 6 4 3 1 = - +y x l：，或0 16 4 3 2 = - +y x l：． 设圆9 )3 ( )3 (2 2 1 = - + -y x O：的圆心到直线 1 l、 2 l的距离为 1 d、 2 d，则 3 4 3 6 3 4 3 3 2 2 1 = + - ? + ? = d，1 4 3 16 3 4 3 3 2 2 2 = + - ? + ? = d． ∴ 1 l与 1 O相切，与圆 1 O有一个公共点； 2 l与圆 1 O相交，与圆 1 O有两个公共点．即符合 题意的点共3个． 说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：
高考数学复习圆的方程专题练习(附答案)
高考数学复习圆的方程专题练习（附答案）圆的标准方程(x-a)+(y-b)=r中，有三个参数a、b、r，只要求出a、b、r，这时圆的方程就被确定。以下是圆的方程专题练习，请考生查缺补漏。 一、填空题 1.若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且与直线4x-3y=0 和x轴都相切，则该圆的标准方程是________. [解析] 设圆心C(a，b)(a0，b0)，由题意得b=1. 又圆心C到直线4x-3y=0的距离d==1， 解得a=2或a=-(舍). 所以该圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=1. [答案] (x-2)2+(y-1)2=1 2.(2019南京质检)已知点P(2,1)在圆C：x2+y2+ax-2y+b=0上，点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆C上，则圆C的圆心坐标为________. [解析] 因为点P关于直线x+y-1=0的对称点也在圆上， 该直线过圆心，即圆心满足方程x+y-1=0， 因此-+1-1=0，解得a=0，所以圆心坐标为(0,1). [答案] (0,1) 3.已知圆心在直线y=-4x上，且圆与直线l：x+y-1=0相切于点P(3，-2)，则该圆的方程是________. [解析] 过切点且与x+y-1=0垂直的直线为y+2=x-3，与y=-4x
联立可求得圆心为(1，-4). 半径r=2，所求圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8. [答案] (x-1)2+(y+4)2=8 4.(2019江苏常州模拟)已知实数x，y满足 x2+y2-4x+6y+12=0，则|2x-y|的最小值为________. [解析] x2+y2-4x+6y+12=0配方得(x-2)2+(y+3)2=1，令 x=2+cos ， y=-3+sin ，则|2x-y|=|4+2cos +3-sin | =|7-sin (-7-(tan =2). [答案] 7- 5.已知圆x2+y2+4x-8y+1=0关于直线2ax-by+8=0(a0，b0)对称，则+的最小值是________. [解析] 由圆的对称性可得，直线2ax-by+8=0必过圆心(-2,4)，所以a+b=2.所以+=+=++52+5=9，由=，则a2=4b2，又由a+b=2，故当且仅当a=，b=时取等号. [答案] 9 6.(2019南京市、盐城市高三模拟)在平面直角坐标系xOy中，若圆x2+(y-1)2=4上存在A，B两点关于点P(1，2)成中心对称，则直线AB的方程为________. [解析] 由题意得圆心与P点连线垂直于AB，所以kOP==1，kAB=-1， 而直线AB过P点，所以直线AB的方程为y-2=-(x-1)，即
新人教版必修二高中数学 《圆的标准方程》 教学设计
高中数学 《圆的标准方程》 教学设计 新人教版必修二2 知识与技能：1、掌握圆的标准方程：根据圆心坐标、半径熟练地写出圆的标准方程，能从圆的标准方程中熟练地求出圆心坐标和半径； 2、会用两种方法求圆的标准方程：(1)待定系数法；(2)利用几何性质 教学重点：圆的标准方程 教学难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法和几何性质求圆的标准方程。 教学过程： 情境设置： 问题：①圆的定义？ 学生回忆所学知识：①圆是平面内到定点的距离等于定长的点的集合，确定圆的要素是圆心和半径。 问题：②如果把直线放在直角坐标系下，那么其对应的方程是二元一次方程，那么如果把一个圆放在坐标系下，其方程有什么特征？如何写出这个圆的所在的方程？ 二、探索研究： 确定圆的基本条件为圆心和半径，设圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r 。（其中a 、b 、r 都是常数，r>0）设M(x,y)为这个圆上任意一点，那么点M 满足的条件是（引导学生自己列出） P={M||MA|=r},由两点间的距离公式让学生写出点M 适合的条件 r = ① 化简可得：222()()x a y b r -+-= ② 方程②就是圆心为A(a,b),半径为r 的圆的方程，我们把它叫做圆的标准方程。 总结出点00(,)M x y 与圆222()()x a y b r -+-=的关系的判断方法： （１）2200()()x a y b -+-=2r ?点在圆上 （２）2200()()x a y b -+-<2r ?点在圆内 （３）2200()()x a y b -+->2r ?点在圆外 三、知识应用与解题研究 （一）练习 １、指出下列方程表示的圆心坐标和半径： （１） 222=+y x ； （２） 5)1()3(22=-+-y x ； （３）222)1()2(a y x =+++（0≠a ）。
高一数学圆的方程经典例题
典型例题一 例1 圆9)3()3(22=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？ 分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆9)3()3(22=-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ． 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324 311 34332 2 <=+-?+?= d ． 如图，在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意． 又123=-=-d r ． ∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个． 解法二：符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之距离为1的直线和圆的交点． 设所求直线为043=++m y x ，则14 3112 2 =++= m d ， ∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ，也即 06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：． 设圆9)3()3(2 2 1=-+-y x O ： 的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34 36 343322 1=+-?+?=d ，14 316 34332 2 2=+-?+?= d ． ∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个． 说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：
设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324 311 34332 2 <=+-?+?=d ． ∴圆1O 到01143=-+y x 距离为1的点有两个． 显然，上述误解中的d 是圆心到直线01143=-+y x 的距离，r d <，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1． 到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断． 典型例题三 例3 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 分析：欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P 与圆的位置关系，只须看点P 与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；若距离等于半径，则点在圆上；若距离小于半径，则点在圆内． 解法一：（待定系数法） 设圆的标准方程为222)()(r b y a x =-+-． ∵圆心在0=y 上，故0=b ． ∴圆的方程为222)(r y a x =+-． 又∵该圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点． ∴?????=+-=+-2 22 24)3(16)1(r a r a 解之得：1-=a ，202 =r ． 所以所求圆的方程为20)1(2 2=++y x ． 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 因为圆过)4,1(A 、)2,3(B 两点，所以圆心C 必在线段AB 的垂直平分线l 上，又因为 13 124-=--= AB k ，故l 的斜率为1，又AB 的中点为)3,2(，故AB 的垂直平分线l 的方程为： 23-=-x y 即01=+-y x ． 又知圆心在直线0=y 上，故圆心坐标为)0,1(-C
圆与方程知识点总结典型例题
圆与方程 1. 圆的标准方程：以点),(b a C 为圆心，r 为半径的圆的标准方程是222)()(r b y a x =-+-. 特例：圆心在坐标原点，半径为r 的圆的方程是：222r y x =+. 2. 点与圆的位置关系： (1).设点到圆心的距离为d ，圆半径为r ： a.点在圆内 d ＜r ； b.点在圆上 d=r ； c.点在圆外 d ＞r (2).给定点),(00y x M 及圆222)()(:r b y a x C =-+-. ①M 在圆C 内22020)()(r b y a x <-+-? ②M 在圆C 上22020)()r b y a x =-+-? （ ③M 在圆C 外22020)()(r b y a x >-+-? （3）涉及最值： ① 圆外一点B ，圆上一动点P ，讨论PB 的最值 min PB BN BC r ==- max PB BM BC r ==+ ② 圆内一点A ，圆上一动点P ，讨论PA 的最值 min PA AN r AC ==- max PA AM r AC ==+ 思考：过此A 点作最短的弦？（此弦垂直AC ） 3. 圆的一般方程：022=++++F Ey Dx y x . (1) 当0422>-+F E D 时，方程表示一个圆，其中圆心??? ??--2,2E D C ，半径2 422F E D r -+=. (2) 当0422=-+F E D 时，方程表示一个点??? ??--2,2 E D . (3) 当0422<-+ F E D 时，方程不表示任何图形.
注：方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件是：0=B 且0≠=C A 且0422 AF E D -+. 4. 直线与圆的位置关系： 直线0=++C By Ax 与圆222)()(r b y a x =-+- 圆心到直线的距离22B A C Bb Aa d +++= 1）无交点直线与圆相离??>r d ； 2）只有一个交点直线与圆相切??=r d ； 3）有两个交点直线与圆相交??
高中数学圆的方程专题复习
高二数学辅导资料(三) 内容：圆与方程 本章考试要求 考试内容 要求层次A B C 圆与方程 圆的标准方程与一般方程√ 直线与圆的位置关系 √ 两圆的位置关系√ 用直线和圆的方程解决简单的问 题 √空间直角坐标系 空间直角坐标系√ 空间两点间的距离公式√ 一、圆的方程 【知识要点】 圆心为，半径为的圆的标准方程为： 时，圆心在原点的圆的方程为：. 圆的一般方程，圆心为点，半径，其中. 圆系方程：过圆：与圆： 交点的圆系方程是 （不含圆）, 当时圆系方程变为两圆公共弦所在直线方程. 【互动探究】 考点一求圆的方程 问题1．求满足下列各条件圆的方程： 以两点，为直径端点的圆的方程是 求经过，两点，圆心在直线上的圆的方程；
过点的圆与直线相切于点，则圆的方程是? 考点二圆的标准方程与一般方程 问题2．方程表示圆，则的取值范围是 考点三轨迹问题 问题3.点与圆上任一点连线的中点轨迹方程是 问题4．设两点，，动点到点的距离与到点的距离的比为，求点的轨迹. 二、直线和圆、圆与圆的位置关系 【知识要点】 直线与圆的位置关系 位置关系相切相交相离 几何特征 代数特征 将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式 为，圆的半径为，圆心到直线的距离为,则直线与 圆的位置关系满足以下关系： 直线截圆所得弦长的计算方法： 利用垂径定理和勾股定理：（其中为圆的半径，直线到圆心的距离）. 圆与圆的位置关系：①设两圆的半径分别为和，圆心距为，则两圆的位置关系满足关系： 位置关系外离外切相交内切内含 几何特征 代数特征无实数解一组实数解两组实数解一组实数解无实数解 ②设两圆，，若两圆相交，则两圆的公共弦所在的直线方程 是 相切问题的解法：
圆的标准方程优秀教案
第四章圆与方程 4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程 教材分析 本节内容数学必修2 第四章第一节的起始课，是在学习了直线的有关知识后学习的，圆是学生比较熟悉的曲线，在初中就已学过圆的定义．这节课主要是根据圆的定义，推出圆的标准方程，并会求圆的标准方程．本节课的教学重点是圆的标准方程的理解、掌握；难点是会根据不同的已知条件，利用待定系数法，几何法求圆的标准方程．通过本节课的学习培养学生用坐标法研究几何问题的能力，使学生加深对数形结合思想和待定系数法的理解，增强学生的数学意识． 课时分配 本节内容用1课时的时间完成，主要讲解圆的标准方程的推导和应用． 教学目标 重点: 圆的标准方程的理解、掌握． 难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程． 知识点：会求圆的标准方程. 能力点：根据不同的已知条件求圆的标准方程. 教育点：尝试用代数方法解决几何问题探究过程，体会数形结合、待定系数法的思想方法. 自主探究点：点与圆的位置关系的判断方法. 考试点：会求圆的标准方程. 易错易混点：不同的已知条件，如何恰当的求圆的标准方程. 拓展点：如何根据不同的条件，灵活适当地选取恰当的方法求圆的标准方程． 教具准备多媒体课件和三角板 课堂模式学案导学 一、引入新课 问题 1：什么是圆？ 【设计意图】回顾圆的定义便于问题2的回答． 【设计说明】学生回答． 问题2：在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也可以确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆？ 【设计意图】使学生在已有知识的基础上，结合圆的定义回答出确定圆的两个要素—圆心（定位）和半径（定形）． 【设计说明】教师引导，学生回答． 问题3：直线可以用一个方程表示，圆也可以用一个方程来表示吗？ 【设计意图】使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知，引出本课题． 【设计说明】教师指出建立圆的方程正是我们本节课要探究的问题． 二、探究新知
圆的方程的求解和对称问题
圆的方程的求解和对称问题 1. 圆的方程 （1） 圆的定义：平面上与一个定点的距离等于定长的点的集合. 确定一个圆：圆心和半径 （2）圆的标准方程. (x-a)2+(y-b)2=r 2 ,方程表示圆心为 ( a, b ),半径为r 的圆. 特别地，x 2+y 2=r 2表示以原点为圆心，半径为r 的圆 （3）圆的一般方程 x 2+y 2+Dx+Ey+F=0 (1) 当D2+E2-4F>0时,表示圆心为( -D/2 , -E/2 ),半径 的圆. (2) 当D2+E2-4F=0时,表示一个点( -D/2 , -E/2 ); (3) 当D2+E2-4F<0时,它不表示任何图形. 2. 与圆有关的对称 （1） 圆关于点对称：只需用中点坐标公式求出所求圆圆心即可. （2） 圆关于直线对称：只需求出所求圆圆心即可. ① 已知圆圆心与所求圆圆心两点构成的直线的斜率与已知直线斜率之积为 -1. ② 已知圆圆心与所求圆圆心两点中点在已知直线上. 圆的方程的求解：方法：待定系数法 Eg1：求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程. 20)1(22=++y x Eg 2:过点A （4，1）的圆C 与直线x-y-1=0相切于点B （2，1）,则圆C 的方程 为 （x-3）2+y 2=2 对称问题：
Eg1：已知圆C与圆(x-1)2+y2=1关于直线y=-x对称,则圆C的方程为( C ) A. (x+1)2+y2=1 B. x2+y2=1 C. x2+(y+1)2=1 D. x2+(y-1)2=1 Eg2:圆(X+2)2+Y2=5 关于原点( O, O )对称的圆的方程为( A ) A. (x-2)2+y2=5 +(y-2)2=5 C. (x+2)2+(y+2)2=5 +(y+2)2=5
高中数学圆的方程含圆系典型题型归纳总结
高中数学圆的方程典型题型归纳总结 类型一：巧用圆系求圆的过程 在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种： ⑴以为圆心的同心圆系方程 ⑵过直线与圆的交点的圆系方程 ⑶过两圆和圆的交 点的圆系方程 此圆系方程中不包含圆，直接应用该圆系方程，必须检验圆是否满足题意，谨防漏解。 当时，得到两圆公共弦所在直线方程 例1：已知圆与直线相交于两点，为坐标原点，若，求实数的值。 分析：此题最易想到设出，由得到，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。倘若充分挖掘本题的几何关系，不难得出在以为直径的圆上。而刚好为直线与圆的交点，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。 解：过直线与圆的交点的圆系方程为： ，即 ………………….① 依题意，在以为直径的圆上，则圆心（）显然在直线上，则，解之可得 又满足方程①，则故 例2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。 解：圆和的公共弦方程为 ，即 过直线与圆的交点的圆系方程为 ，即 依题意，欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小，则两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上。即，则 代回圆系方程得所求圆方程
例3:求证：m 为任意实数时，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5恒过一定点P ，并求P 点坐标。 分析：不论m 为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系中任意两直线的交点。 解：由原方程得 m(x ＋2y －1)－(x ＋y －5)＝0，① 即???-==?? ?=-+=-+4y 9 x 0 5y x 01y 2x 解得， ∴直线过定点P （9，－4） 注：方程①可看作经过两直线交点的直线系。 例4已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25，直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）. （1）证明：不论m 取什么实数，直线l 与圆恒交于两点； （2）求直线被圆C 截得的弦长最小时l 的方程. 剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. （1）证明：l 的方程（x +y －4）+m （2x +y －7）=0. 2x +y －7=0， x =3， x +y －4=0， y =1， 即l 恒过定点A （3，1）. ∵圆心C （1，2），｜AC ｜＝5＜5（半径）， ∴点A 在圆C 内，从而直线l 恒与圆C 相交于两点. （2）解：弦长最小时，l ⊥AC ，由k AC ＝－ 2 1 ， ∴l 的方程为2x －y －5=0. 评述：若定点A 在圆外，要使直线与圆相交则需要什么条件呢？ 思考讨论 类型二：直线与圆的位置关系 例5、若直线m x y +=与曲线2 4x y -=有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围. 解：∵曲线24x y -= 表示半圆)0(422≥=+y y x ，∴利用数形结合法，可得实数m 的取值范 围是22<≤-m 或22=m . 变式练习：1.若直线y=x+k 与曲线x= 2 1y -恰有一个公共点，则k 的取值范围是___________. 解析：利用数形结合. 答案：－1＜k ≤1或k=－2 例6 圆9)3()3(2 2=-+-y x 上到直线01143=-+y x 的距离为1的点有几个？ 分析：借助图形直观求解．或先求出直线1l 、2l 的方程，从代数计算中寻找解答． 解法一：圆9)3()3(2 2 =-+-y x 的圆心为)3,3(1O ，半径3=r ． 设圆心1O 到直线01143=-+y x 的距离为d ，则324 311 34332 2 <=+-?+?= d ． 如图，在圆心1O 同侧，与直线01143=-+y x 平行且距离为1的直线1l 与圆有两个交点，这两个交点符合题意． 又123=-=-d r ． ∴与直线01143=-+y x 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意． ∴符合题意的点共有3个． 解法二：符合题意的点是平行于直线01143=-+y x ，且与之距离为1的直线和圆的交点．设 所求直线为043=++m y x ，则14 3112 2 =++= m d ， ∴511±=+m ，即6-=m ，或16-=m ，也即 06431=-+y x l ：，或016432=-+y x l ：． 设圆9)3()3(2 2 1=-+-y x O ： 的圆心到直线1l 、2l 的距离为1d 、2d ，则 34 36 34332 2 1=+-?+?= d ，14 316 34332 2 2=+-?+?= d ． ∴1l 与1O 相切，与圆1O 有一个公共点；2l 与圆1O 相交，与圆1O 有两个公共点．即符合题意的点共3个． 说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解： ∵m ∈R ，∴ 得
《圆的方程》教学设计
《圆的方程》教学设计 栖霞一中数学组：张红菊 【教材分析】 本节是这一章的基础和重点，圆的标准方程的推导和求解，为判断“直线和圆的位置关系”以及“圆和圆的位置关系”作了铺垫和引导，几何条件和代数条件的转换也是平面几何的能力之一。 【教学目标】 1.知识与技能： （1）使学生掌握圆的标准方程，能够根据圆心的坐标、圆的半径熟练地写出圆的标准方程，能够从圆的标准方程中熟练地求出圆 心坐标和半径； （2）能够根据构成圆的几何条件判断出点和圆的位置关系，并能转化成代数条件。 （3）能够根据圆的性质，求解圆的标准方程。 2.过程与方法： （1）使学生初步熟悉圆的标准方程的用途和用法。 （2）体会数形结合思想，能够熟练的实现几何条件和代数条件的相互转化，养成代数方法处理几何问题能力，。 （3）培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力。 3.情感、态度与价值观： 通过求解圆的标准方程，培养学生自主解决问题的能力，激发学生自主探究问题的兴趣，培养学生积极向上的良好学习品质。
【教学重点】 圆的标准方程的理解和掌握。 【教学难点】 圆的标准方程的应用。 【教学方法】 利用探究式、启发式教学。 【教学手段】 借助于多媒体，通过《几何画板》的演示让学生直观形象地观察理解、解决问题，并能够归纳出结论。 【教学过程】 一．复习引入 1.提出问题:在平面直角坐标系中，确定直线的几何条件有哪两种？设计意图:复习旧知，引入新课程。 问题答案:第一种：已知一个点和倾斜角（斜率）； 第二种：已知两个点。 师生活动:教师提问，学生回答问题。 2.问题思考:在平面直角坐标系中，确定圆的几何条件是什么？ 设计意图:通过问题思考，从几何方面探究确定圆的条件。在《几何画板》中，通过动态演示和数据的变化，使学生体会 到确定圆的两个条件。 问题答案:圆心的位置和圆半径的大小。
圆的方程_基础 知识讲解
圆的方程 编稿：丁会敏 审稿：王静伟 【学习目标】 1.掌握圆的标准方程的特点，能根据所给有关圆心、半径的具体条件准确地写出圆的标准方程，能运用圆的标准方程正确地求出其圆心和半径，解决一些简单的实际问题，并会推导圆的标准方程. 2.掌握圆的一般方程的特点，能将圆的一般方程化为圆的标准方程从而求出圆心的坐标和半径；能用待定系数法，由已知条件导出圆的方程． 【要点梳理】 【高清课堂：圆的方程370891 知识要点】 要点一：圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=，其中()a b ，为圆心，r 为半径. 要点诠释： (1)如果圆心在坐标原点，这时00a b ==，，圆的方程就是2 2 2 x y r +=.有关图形特征与方程的转化：如：圆心在x 轴上：b=0；圆与y 轴相切时：||a r =；圆与x 轴相切时：||b r =；与坐标轴相切时： ||||a b r ==；过原点：222a b r += (2)圆的标准方程2 2 2 ()()x a y b r -+-=?圆心为()a b ，，半径为r ，它显现了圆的几何特点. (3)标准方程的优点在于明确指出了圆心和半径.由圆的标准方程可知，确定一个圆的方程，只需要a 、b 、r 这三个独立参数，因此，求圆的标准方程常用定义法和待定系数法. 要点二：点和圆的位置关系 如果圆的标准方程为2 2 2 ()()x a y b r -+-=，圆心为()C a b ，，半径为r ，则有 (1)若点()00M x y ，在圆上()()2 2 200||CM r x a y b r ?=?-+-= (2)若点()00M x y ，在圆外()()2 2 200||CM r x a y b r ?>?-+-> (3)若点()00M x y ，在圆内()()2 2 200||CM r x a y b r ?时，方程2 2 0x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程.,22D E ?? - - ?? ?为圆心， 为半径. 要点诠释： 由方程2 2 0x y Dx Ey F ++++=得22 224224D E D E F x y +-? ???+++= ? ?? ??? (1)当2240D E F +-=时，方程只有实数解,22D E x y =- =-.它表示一个点(,)22 D E --. (2)当2240D E F +-<时，方程没有实数解，因而它不表示任何图形．
必修2圆与方程测试题(含答案)
《圆与方程》测试题 知识梳理： 1．圆心为),(b a C ，半径为r 的圆的标准方程为： 。特殊地，当0==b a 时，圆心在原点的圆的方程为： 2．圆的一般方程02 2=++++F Ey Dx y x ，圆心为点 ，半径 ，其中 。 3.点与圆的位置关系 圆的标准方程(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，圆心A(a ，，b)，半径r ， 若点M(x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a)2＋(y 0－b)2 ； 若点M(x 0，y 0)在圆外，则x 0－a)2＋(y 0－b)2 ； 若点M(x 0，y 0)在圆内，则x 0－a)2＋(y 0－b)2 ； 一、选择题 标准方程：1、点M （3，－6）在圆：16)2()3(2 2=++-y x 的（ ） A 、圆上 B 、圆外 C 、圆内 D 、以上都不是 2、圆心在),4,3(-C 且经过点M （5，1）的方程为（ ） A.73)4()3(22=++-y x B.73)1()5(22=-+-y x C.73)4()3(22=-++y x D.73)1()5(22=+++y x 以点A(1,4)、B(3,-2)为直径的两个端点的圆的方程为: 3、过点A （1，－1）、B （－1，1）且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是( ) A 、(x-3)2+(y+1)2=4 B 、(x+3)2+(y-1)2=4 C 、(x-1)2+(y-1)2=4 D 、(x+1)2+(y+1)2=4 分析：看选项找答案 4、圆心在y 轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是 ( ) A ．x 2＋(y －1)2＝1 B ．x 2＋(y －2)2＝1 C ．(x －1)2＋(y －3)2＝1 D ．x 2＋(y －3)2＝1 5、直线3x-4y-4=0被圆(x-3)2+y 2=9截得的弦长为（ C ） (A)22 (B)4 (C)24 (D)2 分析：涉及都弦长的要注意那个直角三角形（由半径、圆心距、弦长的一半组成的那个）。
圆的方程练习题
1 圆的方程练习题 1.圆x 2+y 2 -4x=1的圆心及半径分别是 ( ) A .(2,0),5 B . C . D .(2,2),5 2 .方程x 2+y 2 +2x-4y-6 =0表示的图形是 ( ) A .以(1,- 2)为圆心 B .以(1,2)为圆心 为半径的圆 C .以(-1, -2)为圆心 D .以( -1,2)为圆心 3.过点A (6,0),B (1,5),且圆心在直线2x-7y+8=0上的圆的方程为( ) A .(x+3)2+(y+2)2=13 B .(x+3)2+(y-2)2 =13 C .(x-3)2+(y-2)2=13 D .(x-3)2+(y+2)2 =13 4.方程(x-a )2+(y-b )2 =0的图形是 ( ) A .一个圆 B .两条直线 C .两条射线 D .一个点 5.已知点A (2,4),B (8,-2),以AB 为直径的圆的方程 ( ) A .(x-5)2+(y-1)2=18 B .(x-5)2+(y-1)2 =72 C .(x+5)2+(y+1)2=18 D .(x+5)2+(y+1)2 =72 6.与圆x 2+y 2 -2x+4y+3=0的圆心相同,半径是5的圆的方程是( ) A .(x-1)2+(y+2)2=25 B .(x-1)2+(y+2)2 =5 C .(x+1)2+(y-2)2=25 D .(x+1)2+(y-2)2 =5 7.已知圆x 2+y 2 +2x-4y-a=0的半径为3,则 ( ) A .a=8 B .a=4 C .a=2 D .a=14 8.圆心在C (-1,2),半径为 ( ) 11A. B.2213cos 1C. D.23sin 2x x y y x x y y θθ θθ θθ θθ ? ?=+=-+????=-=?????=-+=-+????=+?=+??
教师资格证面试教案模板：高中数学《圆的一般方程》(Word版)
教师资格证面试教案模板：高中数学《圆的 一般方程》 （2021最新版） 作者：______ 编写日期：2021年__月__日 一、教学目标 【知识与技能】在掌握圆的标准方程的基础上，理解记忆圆的一般方程的代数特征，由圆的一般方程确定圆的圆心半径。掌握方程表示圆的条件。 【过程与方法】通过对方程表示圆的条件的探究，学生探索发现
及分析解决问题的实际能力得到提高 【情感态度与价值观】渗透数形结合、化归与转化等数学思想方法，提高学生的整体素质，激励学生创新，勇于探索。 二、教学重难点 【重点】掌握圆的一般方程，以及用待定系数法求圆的一般方程。 【难点】二元二次方程与圆的一般方程及标准圆方程的关系。 三、教学过程 (一)复习旧知，引出课题 1.复习圆的标准方程，圆心、半径。 2.提问1：已知圆心为(1,-2)、半径为2的圆的方程是什么? (二)交流讨论，探究新知 1.提问2：方程是什么图形?方程表示什么图形?任何圆的方程都
是这样的二元二次方程吗?(通过此例分析引导学生使用配方法) 2.方程什么条件下表示圆?(配方和展开由学生相互讨论交流完成，教师最后展示结果) 将配方得： 3.学生在教师的引导下对方程分类讨论，最后师生共同总结出3种情况，即圆的一般方程表示圆的条件。从而得出圆的一般方程式： 4.由学生归纳圆的一般方程的特点，师生共同总结。 (三)例题讲解，深化新知 例1.判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是，请求出圆的圆心及半径。 (1)(2) 例2.求过三点A(0,0)，B(1,1)，C(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径长和圆心坐标。
圆的方程经典题目带答案
圆的方程经典题目 1．求满足下列条件的圆的方程 （1）过点A(5,2)和B(3,-2)，且圆心在直线32-=x y 上;（2）圆心在835=-y x 上，且与两坐标轴相切;（3）过ABC ?的三个顶点)5,5()2,2()5,1(C B A 、、---;（4）与y 轴相切，圆心在直线03=-y x 上，且直线 x y =截圆所得弦长为72；（5）过原点，与直线1:=x l 相切，与圆1)2()1(:2 2 =-+-y x C 相外切；（6）以C(1,1)为圆心，截直线2-=x y 所得弦长为22;（7）过直线042:=++y x l 和圆0142:2 2 =+-++y x y x C 的交点，且面积最小的圆的方程. （8）已知圆满足①截y 轴所得弦长为2；②被x 轴分成两段圆弧，其弧长的比为1:3③圆心到直线02:=-y x l 的距离为52.0，求该圆的方程. （9）求经过)3,1()2,4(-B A 两点且在两坐标轴上的四个截距之和是2的圆的方程 2、已知方程0916)41(2)3(24222=++-++-+m y m x m y x 表示一个圆（1）求实数m 的取值范围 （2）求该圆半径r 的取值范围（3）求面积最大的圆的方程（4）求圆心的轨迹方程 1. 已知圆252 2 =+y x , 求下列相应值
（1）过)4,3(-的切线方程（2）过)7,5(的切线方程、切线长；切点弦方程、切点弦长 （3）以)2,1(为中点的弦的方程 （4）过)2,1(的弦的中点轨迹方程 （5）斜率为3的弦的中点的轨迹方程 2. 已知圆 062 2 =+-++m y x y x 与直线032=-+y x 相交于Q P 、两点，O 为坐标原点，若OQ OP ⊥，求实数m 的值． 3、已知直线b x y l +=:与曲线21:x y C -=有两个公共点，求b 的取值范围 4、一束光线通过点)18,25(M 射到x 轴上，被反射到圆25)7(:2 2 =-+y x C 上.求： （1）通过圆心的反射线方程，（2）在x 轴上反射点A 的活动范围. 5、圆03422 2 =-+++y x y x 上到直线0=++m y x 的距离为2的点的个数情况 已知两圆01010:2 2 1=--+y x y x O 和04026:2 2 2=--++y x y x O （1）判断两圆的位置关系 （2）求它们的公共弦所在的方程 （3）求公共弦长 （4）求公共弦为直径的圆的方程． 题型五、最值问题 思路1：几何意义 思路2：参数方程 思路3、换元法 思路4、函数思想 1. 实数y x ,满足012462 2 =+--+y x y x （1）求 x y 的最小值 （2）求2 2y x ++32-y 的最值；（3）求y x 2-的最值（4）|143|-+y x 的最值 2. 圆25)2()1(:2 2=-+-y x C 与)(047)1()12(:R m m y m x m l ∈=--+++．（1）证明：不论m 取什么实数直线l 与圆C 恒相交（2）求直线l 被圆C 截得最短弦长及此时的直线方程 3、平面上有A （1,0），B （-1,0）两点，已知圆的方程为()()2 2 2342x y -+-=.⑴在圆上求一点1P 使△AB 1P 面积最大并求出此面积;⑵求使2 2 AP BP +取得最小值时的点P 的坐标. 4、已知P 是0843:=++y x l 上的动点，PB PA ,是圆01222 2 =+--+y x y x 的两条切线，A 、B 是切点， C 是圆心，那么四边形PACB 的面积的最小值为 5、已知圆的方程为0862 2=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_________ 6、已知圆的方程为0862 2=--+y x y x .设该圆过点（3，5）的互相垂直的弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积为_________
高中数学必修二-圆的方程典型例题
高中数学圆的方程典型例题 类型一：圆的方程 例1 求过两点)4,1(A 、)2,3(B 且圆心在直线0=y 上的圆的标准方程并判断点)4,2(P 与圆的关系． 解法一：（待定系数法） 解法二：（直接求出圆心坐标和半径） 例2 求半径为4，与圆04242 2=---+y x y x 相切，且和直线0=y 相切的圆的方程． 说明：圆相切有内切、外切两种． 例3 求经过点)5,0(A ，且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程． 分析：欲确定圆的方程．需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A ，故只需确定圆心坐标．又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上． 例4、 设圆满足：(1)截y 轴所得弦长为2；(2)被x 轴分成两段弧，其弧长的比为1:3，在满足条件(1)(2)的所有圆中，求圆心到直线02=-y x l ：的距离最小的圆的方程． 分析：要求圆的方程，只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程．满足两个条件的圆有无数个，其圆心的集合可看作动点的轨迹，若能求出这轨迹的方程，便可利用点到直线的距离公式，通过求最小值的方法找到符合题意的圆的圆心坐标，进而确定圆的半径，求出圆的方程．
类型二：切线方程、切点弦方程、公共弦方程 例5 已知圆42 2 =+y x O ：，求过点()42， P 与圆O 相切的切线． 说明：上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解． 本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏解）． 例 6 两圆0111221=++++F y E x D y x C ：与02222 22=++++F y E x D y x C ：相交于A 、B 两点，求它们的公共弦AB 所在直线的方程． 分析：首先求A 、B 两点的坐标，再用两点式求直线AB 的方程，但是求两圆交点坐标的过程太繁．为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧． 例7、过圆12 2=+y x 外一点)3,2(M ，作这个圆的两条切线MA 、MB ，切点分别是A 、B ，求直线AB 的方程。 练习： 1．求过点(3,1)M ，且与圆2 2 (1)4x y -+=相切的直线l 的方程． 2、过坐标原点且与圆02 5 242 2 =+ +-+y x y x 相切的直线的方程为 3、已知直线0125=++a y x 与圆022 2=+-y x x 相切，则a 的值为 . 类型三：弦长、弧问题 例8、求直线063:=--y x l 被圆042:2 2=--+y x y x C 截得的弦AB 的长.
《圆的方程》专题
《圆的方程》专题 2019年（ ）月（ ）日 班级 姓名 1．圆的定义及方程 ?标准方程强调圆心坐标为(a ，b )，半径为r . ?(1)当D 2＋E 2－4F ＝0时，方程表示一个点????－D 2，－E 2； (2)当D 2＋E 2－4F ＜0时，方程不表示任何图形． 2．点与圆的位置关系 点M (x 0，y 0)与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系： (1)若M (x 0，y 0)在圆外，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＞r 2. (2)若M (x 0，y 0)在圆上，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＝r 2. (3)若M (x 0，y 0)在圆内，则(x 0－a )2＋(y 0－b )2＜r 2. 二、常用结论汇总——规律多一点 (1)二元二次方程Ax 2＋Bxy ＋Cy 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0表示圆的充要条件是???? ? A ＝C ≠0， B ＝0，D 2＋E 2－4AF ＞0. (2)以A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)为直径端点的圆的方程为(x －x 1)(x －x 2)＋(y －y 1)(y －y 2)＝0.
三、基础小题强化——功底牢一点 (一)判一判(对的打“√”，错的打“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( ) (2)方程(x －a )2＋(y －b )2＝t 2(t ∈R )表示圆心为(a ，b )，半径为t 的一个圆．( ) (3)方程x 2＋y 2＋4mx －2y ＝0不一定表示圆．( ) (4)若点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0外，则x 20＋y 2 0＋Dx 0＋Ey 0＋F >0.( ) 答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√ (二)选一选 1．圆x 2＋y 2－4x ＋6y ＝0的圆心坐标是( ) A ．(2,3) B ．(－2,3) C ．(－2，－3) D ．(2，－3) 解析：选D 因为圆的方程可化为(x －2)2＋(y ＋3)2＝13，所以圆心坐标是(2，－3)． 2．圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A ．(x －1)2＋(y －1)2＝1 B ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝1 C ．(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝2 D ．(x －1)2＋(y －1)2＝2 解析：选D 因为圆心为(1,1)且过原点，所以该圆的半径r ＝12＋12＝2，则该圆的方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2，选D. 3．若坐标原点在圆(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,1) B ．(－3，3) C ．(－2，2) D.?? ? ? － 22， 22 解析：选C ∵点(0,0)在(x －m )2＋(y ＋m )2＝4的内部，∴(0－m )2＋(0＋m )2＜4，解得－2＜m ＜ 2.故选C. (三)填一填 4．(2018·天津高考)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为________．