圆的方程公开课教学设计

§2.1圆的标准方程

教学目标

(一)知识与能力

1.了解确定圆的条件;

2.理解圆的标准方程的推导过程及方程形式,逐步理解用代数方法研究几

何问题;

3.会用圆的标准方程写出圆的半径和圆心坐标,能根据条件写出圆的标准

方程,能选择恰当的坐标系解决与圆有关的实际问题.

(二)过程与方法

1.由确定圆的条件推导出圆的标准方程;

2.明确求圆的标准方程的一般步骤.

(三)情感态度与价值观

1.渗透数形结合的思想方法;

2.培养学生的思维品质和提高学生的思维能力.

3.培养学生合作交流的意识,培养勤于思考、探究问题的精神.

教学重点

1.已知圆心为(,)

C a b,半径为r的圆的标准方程的求法;

2.在求圆的标准方程的过程中,加强对坐标法的理解.

教学难点

根据已知条件,利用待定系数法确定圆的三个参数,,

a b r,从而求出圆的标

准方程.

教具准备

制作多媒体,辅助教学.

教学方法

引导、合作、讨论、探究法.

设计思想

设计的根本出发点是促进学生的发展。教师以合作者的身份参与，课堂上建立平等、互助、融洽的关系，师生共同研究，在教学过程中，教师遵循数学发展规律，并依据建构主义教育理论，创设一系列数学实验环境，在情境中让学生观察、类比、猜想、尝试、探索、归纳并引导加以证明，强调主动建构，从深层次加强学生对知识的感知度，使学生能更好地理解和掌握圆的标准方程。

教学过程

(一)课题引入

1.圆的定义①:平面内绕着线段的一个端点旋转一周所组成的图形.

(描述性定义)

[探究]圆的几何特征(学生讨论)

教师总结:圆的几何特征是圆上任意一点到定点的距离等于定长.

说明:(1)定点叫圆心,定长称为半径;

[探究]:确定圆的条件(学生讨论)

教师总结:一个圆的圆心位置和半径一旦给定,那么这个圆就被确定下来了,所以

确定圆的条件是圆心和半径.

说明:在确定圆的条件中,圆心和半径缺一不可,其中:

①圆心确定圆的位置,②半径确定圆的大小.

2.圆的定义②:平面内到一个定点的距离等于定长的点的轨迹(集合). (运动变化的思想)

说明:(1)其中定点叫做圆的圆心,定长叫做圆的半径.

(2)设圆心为(,)C a b ,半径为r (0r >)的圆上的点M 就是集合

{}P =M |M C =r

3.曲线方程的一般求解步骤:(1)写出适合条件的点M 的集合;

(2)用坐标表示集合;

(3)化方程为最简形式.

(二)圆的标准方程

圆的标准方程的推导过程:(圆心为(,)C a b ,半径为r (0r >)的圆)

设(,)P x y 是圆上的任意一点,根据圆的定义,点(,)P x y 到圆心(,)C a b 的距离为

r ,即PC r =,由两点间的距离公式,r = ①

把①式两边平方,得圆的标准方程为:222()()x a y b r -+-=

[说明]:

(1)圆的标准方程中有两个基本要素:圆心和半径,即只要三个参数,,a b r (0r >),确定了,圆的标准方程就确定了,这也是用待定系数法求圆的标准方程的思想方法;

(2)特别地,当0a b ==(即圆心在坐标原点),时,圆的标准方程为:

222x y r +=;又当1r =时,圆的标准方程为221x y +=(单位圆);

(3)点与圆的位置关系:点在圆上,点在圆内,点在圆外.

[及时反馈]

口答1:下列说法正确吗?

(1)圆22(1)(2)3x y -+-=的圆心坐标为(1,2)--,半径为3;

(2) 圆22(22)(24)2x y -++=的圆心坐标为(2,4)-,(3) 圆222(1)(2)(0)x y m m +++=≠的圆心坐标为(1,2)--,半径为m ; 口答2:下列方程分别表示什么图形?

(1)220x y +=; (2) 224x y +=;

(3)y =; (4) 0)y x =<;

口答3:已知圆O 的方程为22(1)(1)4x y ++-=,判断下列点与圆O 的位置关系:

(1)(1,1)A ; (2)(0,1)B ; (3)C (0,3)

口答4:写出满足下列条件的圆的标准方程.

(1)以(4,6)C -为圆心,半径等于3

(2)以(4,6)C -为圆心,

(三)例题解析

例.已知两点12(4,9),(6,3)M M ,求以12M M 为直径的圆的标准方程.

解:方法一(待定系数法).

设圆心为(,)C a b ,半径为r (0r >) 则46935,622

a b ++====

1r CM ===

故所求圆的标准方程为22(5)(6)10x y -+-=

变式 1.已知圆C 的圆心在直线40x y +=上,且过点12(4,9),(6,3)M M ,求此圆的

标准方程.

解: 线段12M M 的中垂线方程为3130x y -+=,

31301404

x y x x y y -+==-?????+==?? 即圆心坐标为(1,4)C -, 又2

2221(4(1))(94)50r M C ==--+-=,

故所求圆的标准方程为22(1)(4)50x y ++-=

变式2.已知123M M M ?三个顶点的坐标为123(4,9),(6,3),(4,3)M M M -,求此三角

形外接圆的标准方程.

解: 线段12M M 的中垂线方程为3130x y -+=,线段13M M 的中垂线方程为3y =

由3130433x y x y y -+==-?????==?? 即得圆心C 的坐标为(4,3)- 又222(46)(33)100r =--+-= 故所求圆的标准方程为22(4)(3)100x y ++-=

[总结]用待定系数法求圆的标准方程的一般步骤:

(1)根据题意,设所求圆的标准方程为222()()x a y b r -+-= ;

(2)根据已知条件,利用几何或代数关系求出,,a b r ;

(3)将所得的,,a b r 的值代回所设的圆的方程中,即得圆的标准方程.

(四)测试反馈

1. 课本79P 练习

2. 求满足下列条件的圆的标准方程:

(1)经过点(5,1)P ,圆心为点(8,3)C -;

(2)如图,圆经过两点(1,4),(3,2)A B -,圆心在y 轴上.

解(1)方法一:5r PC ==,∴圆的标准方程为22(8)(3)25x y -++=

方法二:设圆的标准方程为222()()x a y b r -+-=,∵点(5,1)P 在圆上, ∴222(58)(13)r -++=,∴225r =,∴圆的标准方程为22(8)(3)25x y -++=

(2)方法一:设圆心为(,)C a b ,∵圆心在在y 轴上,∴0a =,

设圆的标准方程为222()x y b r +-=,因为该圆过(1,4),(3,2)A B -两点,所以有

22222221(1)(4)103(2)b b r r b r

=?-+-=?????=+-=??? ,所以圆的标准方程为22(1)10x y +-= 方法二:线段AB 的中垂线方程为:32(1)y x -=-,即21y x =+,令0x =,得

1y =, 又r AC ==所以圆的标准方程为22(1)10x y +-=

3.求以(1,3)C 为圆心,并且和直线3470x y --=相切的圆的标准方程.

解:以题意,圆的半径165

r ==, 所以圆的标准方程为:22256(1)(3)25

x y -+-=

(五)课时小结

(1)确定圆的条件;

(2)圆的标准方程的形式和求法.

(六)布置作业

(1)85P 习题A 组 1 (1),(2),(3)

(2)问题延伸,课外探究:

(ⅰ)已知圆的方程为222x y r +=,试求过圆上一点00(,)P x y 的切线方程. (ⅱ)已知圆的方程为222()()x a y b r -+-=,试求过圆上一点00(,)P x y 的

切线方程.

(七)板书设计

(八)课后反思

本节在给出圆的标准方程的过程中，运用简单、特殊的到复杂、一般的数学思想，使用了观察、猜测、经验归纳等方法进行合情地推理，同时引导学生对照圆的几何形状，观察和欣赏圆的方程，体会数学中的美——对称、简洁。圆的标准方程的应用是本节的难点。为了突破难点，设计三个例题。充分利用多媒体的动感演示，刺激学生的感官，引起更强的注意，从而使学生理解理论来源于实践，充分调动学生学习数学的热情，激发学生自主探究问题的兴趣，增强应用意识；同时培养学生勇于探索、坚忍不拔的意志品质。最后设计了“问题延伸”，让学生带着问题走进课堂，又带着问题走出课堂，激发学生不断求知、不断探索的欲望。

在整个教学过程中，主要着眼于“引”，启发学生“探”，把“引”和“探”有机的结合起来，教师的每项措施都是为了力求给学生创造一种思维情境，一种动手、动脑、动口并且主动参与学习的机会，激发学生求知的欲望，促使学生掌握知识，解决问题。