微分在近似计算中的应用教案

微分在近似计算中的应用

教学目的：1、理解微分的几何意义

2、掌握微分在近似计算的应用

3、掌握微分在误差估算的应用

教学重点：1、微分在近似计算的应用

2、微分在误差估算的应用

教学难点：1、微分在近似计算的应用

2、微分在误差估算的应用

教学过程：1、回顾函数微分内容，微分的概念，定义，以及微分的运算

2、导入新课

3、讲授新课

（1）1、理解微分的几何意义

（2）微分在近似计算的应用

（3）微分在误差估算的应用

4、例题分析

5、课堂小结

6、布置作业

微分在近似计算中的应用

在工程问题中，经常会遇到一些复杂的计算公式，如果直接用这些公式进行计算是很费力的，利用微分往往可以把一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替。

1．函数增量的近似计算

如果()y f x =在0x 点可微,则函数的增量 0()()()y f x x o x dy o x '?=?+?=+?, 当||x ?很小时,有 0()y f x x '?≈?

例1 半径10厘米的金属原片加热后半径伸长了0.05厘米，问面积增大了多少？ 解：设2A r π=，10r =厘米，0.05r ?=厘米，则

22100.05A dA r r πππ?≈=??=??=（2厘米）

例2 有一批半径为1cm 的球, 为了提高球面的光洁度, 要镀上一层铜, 厚度定为0.01cm ，估计一下每只球需用铜多少g (铜的密度是8.9g/cm 3)?

解: 先求出镀层的体积，再求相应的质量。

因为镀层的体积等于两个球体体积之差V ?，所以它就是球体体积343

V R π= 当R 自0R 取得增量R ?时的增量，我们求V 对R 的导数:

00

3204()4,3R R R R V R R ππ==''==204.V R R π?≈?? 将0 1, 0.01 R R =?=带入上式，得 234 3.1410.010.13().V cm ?≈???= 于是镀每只球需用的铜约为0.138.9 1.16().g ?=

2．函数值的近似计算

由00()()y f x x f x ?=+?-，00()()dy f x dx f x x ''==?，y dy ?≈得

000()()()f x x f x f x x '+?≈+?,

令0x x x =+?, 有

000()()()()f x f x f x x x '≈+-（用导数作近似计算公式）. 若00x =，则 ()(0)(0).f x f f x '≈+

说明：

（1）要计算()f x 在x 点的数值，直接计算()f x 比较困难，而在x 点附近一点0x 处的函数值0()f x 和它的导数0()f x '却都比较容易求出,于是可以利用000()()()f x f x x x '+-作为()f x 的近似值, x 与0x 越接近越精确。

（2）常用的近似公式（假定|x |是较小的数值）: ①x n

x n 111+≈+; ②1x e x ≈+, ③ ln(1)x x +≈ ④sin x x ≈ ( x 用弧度作单位来表达);

⑤tan x x ≈ ( x 用弧度作单位来表达);

证明：

① 取n x x f +=1)(, 则(0)1f =，n

x n f x n 1)1(1)0(01

1=+='=-, 代入()(0)(0)f x f f x '≈+ ，便得 x n x n 111+≈+.

④ 取()sin f x x =，则(0)0f =，0(0)cos |1x f x ='==，

代入()(0)(0)f x f f x '≈+ ，便得 sin x x ≈

如：

（1

110.05 1.0252

≈+?=（直接开方的结果是02470.105.1=.）

（2110.00012 1.000043

≈+?= （3）0.021310.0213 1.0213e ≈+=

（4）ln1.004150.00415≈

（5）sin0.0210.021≈

例3 计算arctan1.01的近似值。

解：设()arctan f x x =,则00()arctan()f x x x x +?=+?，2

1()1f x x '=

+ 由000()()+()f x x f x f x x '+?≈?，取01,0.01x x =?=，得 21arctan1.01arctan(10.01)arctan10.010.79011

=+≈+

≈+g .

例4

解：令()f x =

3．误差估计 在生产实践中, 经常要测量各种数据，但是有的数据不易直接测量, 这时我们就通过测量其它有关数据后, 根据某种公式算出所要的数据。由于测量仪器的精度、测量的条件和测量的方法等各种因素的影响，测得的数据往往带有误差，而根据带有误差的数据计算所得的结果也会有误差，我们把它叫做间接测量误差。 下面就讨论怎样用微分来估计间接测量误差。

（1）绝对误差：如果某个量的精确值为A ，它的近似值为a ,那么||A a δ=-叫做a 的绝对误差。

（2）相对误差：绝对误差δ与||a 的比值||a δ

叫做a 的相对误差。

在实际工作中，某个量的精确值往往是无法知道的，于是绝对误差和相对误差也就无法求得。但是根据测量仪器的精度等因素，有时能确定误差在某一个范围内。如果某个量的精确值为A ，测得它的近似值为a ,又知道它的误差不超过A δ，则

（3）绝对误差限:若||A A a δ-≤，则称A δ为测量A 的绝对误差限。

（4）相对误差限: | |

A a δ为测量A 的相对误差限。

一般地，根据直接测量的x 值按公式()y f x =计算y 值时，如果已知测量x 的绝对误差限是x δ，即||x x δ?≤，则当0y '≠时，y 的绝对误差

||||||||||x y dy y x y δ''?≈=?≤g g

即y 的绝对误差限约为||y x y δδ'=g ，y 的相对误差限约为||y

x y y y δδ'=g . 以后常把绝对误差限和相对误差限简称为绝对误差和相对误差。

例如.要求得圆的面积S,只能测出其直径d,后由S ＝f(d)＝2

4

d π算出面积S.由于测量得到的直径d 有绝对误差d ?,于是由此计算出面积S 也相应地有绝对误差()()S f d d f d ?=+?-.在近似计算中知道,当d ?很小时,()S f d d '?≈?（=dy ）.于是可用()S f d d '?≈?算出S 的绝对误差,对于圆面积S ＝f(d)＝2

4d π有()2f D d π

'=,所以有

2S d d π

?≈?（绝对误差）； 2S d S d

??≈（相对误差） 进一步,若已知d d δ?≤时,则得绝对误差限和相对误差限分布为：

22A S d d d π

π

δ?≈?≤?；22A S d S d d

δ??≈≤ 一般地,若x 是由测量得到的,量y 是由函数y ＝f(x)计算得到的,在测量时,x 的近似值为0x ,00()y f x =.若已知测量值0x 的误差限为x δ,即0x x x x δ?=-≤,当x δ很小时,

000()()()()x y f x f x f x x f x δ''?=-≈?≤；

000()()

y x f x y f x δδ'= 1.要给一个半径为r 的球表面涂上油漆,油漆的厚度为r ?,试计算这层油漆的体积。 解：3223320000044[3()3()()]4()()33

V r r r r r r r r r o r πππ?=+?+?+?-=?+? 2.设测得圆钢截面的直径60.03mm D =，测量D 的绝对误差限0.05mm,

D δ=

欲用公式2π4

A D =计算圆钢截面积，试估计面积的误差。 解：A 的绝对误差限约为

2ππ60.00.05 4.715(mm )22

A D D A D δδδ'=?=?=??≈ A 的相对误差限约为

π22π40.05220.17%60.0D A

D D A D

D δδδ===?= 3.设测得一球体的直径为42cm ，测量工具的精度为0.05 cm ，试求以此直径计算球体体积时所引起的误差。

解：由直径d 计算球体体积的函数式是 316

V d π=. 取042,0.05d d δ==,求得3300138792.39(cm )6

V d π=≈， 则球体体积的绝对误差限为 22301420.05138.54cm 22

V d d πδπδ=?=??≈（） 相对误差限为2030001320.357%16

V d d d V d d πδδδπ=?=?≈. 4.设钟摆的周期是1 s ，在冬季摆长至多缩短0.01 cm ，试问此钟每天至多快几秒？

解：由物理学知道，单摆周期T 与摆长l 的关系为

2T =，其中g 是重力加速度。已知钟摆周期为1 s ，故此摆原长为02(2)g

l π=.

当摆长最多缩短0.01 cm 时，摆长的增量0.01l ?=-,它引起单摆周期的增量

02222(-980l l dT T l l l dl g ππ=?≈??=

=?=≈0.01)-0.0002(s) 这就是说加快约0.0002 s ，因此每天大约加快

6060240.0002=17.28(s)???