(完整版)导数的概念教案

【教学课题】：§2.1 导数的概念（第一课时）

【教学目的】：能使学生深刻理解在一点处导数的概念，能准确表达其定义；明确其实际背

景并给出物理、几何解释；能够从定义出发求某些函数在一点处的导数；明确

一点处的导数与单侧导数、可导与连续的关系。

【教学重点】：在一点处导数的定义。

【教学难点】：在一点处导数的几种等价定义及其应用。 【教学方法】：系统讲授，问题教学，多媒体的利用等。 【教学过程】：

一） 导数的思想的历史回顾

导数的概念和其它的数学概念一样是源于人类的实践。导数的思想最初是由法国数学家费马（Fermat ）为研究极值问题而引入的，但导数作为微积分的最主要的概念，却是英国数学家牛顿（Newton ）和德国数学家莱布尼兹（Leibniz ）在研究力学与几何学的过程中建立起来的。

二）两个来自物理学与几何学的问题的解决

问题1 （以变速直线运动的瞬时速度的问题的解决为背景）已知：自由落体运动方程为：2

1()2

s t gt =

，[0,]t T ∈，求：落体在0t 时刻（0[0,]t T ∈）的瞬时速度。

问题解决：设t 为0t 的邻近时刻，则落体在时间段0[,]t t （或0[,]t t ）上的平均速度为

00

()()

s t s t v t t -=

-

若0t t →时平均速度的极限存在，则极限

00

()()

lim

t t s t s t v t t →-=-

为质点在时刻0t 的瞬时速度。

问题2 （以曲线在某一点处切线的斜率的问题的解决为背景）已知：曲线)(x f y =上点00(,)M x y ，求：M 点处切线的斜率。

下面给出切线的一般定义；设曲线C 及曲线C 上的一点M ，如图，在M 外C 上另外取一点N ，作割线MN ，当N 沿着C 趋近点M 时，如果割线MN 绕点M 旋转而趋于极限位置MT ，直线MT 就称为曲线C 在点M 处的切线。

问题解决：取在C 上M 附近一点(,)N x y ，于是割线PQ 的斜率为

0000

()()

tan y y f x f x x x x x ?--=

=--（?为割线MN 的倾角） 当0x x →时，若上式极限存在，则极限

00

()()

tan lim

x x f x f x k x x α→-==-（α为割线MT 的倾角）

为点M 处的切线的斜率。

上述两问题中，第一个是物理学的问题，后一个是几何学问题，分属不同的学科，但问 题的解决都归结到求形如

0()(lim

x x x f x f x x --→）

（1）

的极限问题。事实上，在学习物理学时会发现，在计算诸如物质比热、电流强度、线密度等问题中，尽管其背景各不相同，但最终都化归为讨论形如（1）的极限问题。也正是这类问题的研究，促使“导数”的概念的诞生。 三） 导数的定义

定义 设函数)(x f y =在0x 的某邻域内有定义，若极限

0()(lim

x x x f x f x x --→）

存在，则称函数f 在点0x 处可导，并称该极限为f 在点0x 处的导数，记作)('0x f 。即

000

()('()lim

x x f x f x f x x x →-=-）

（2）

也可记作o

x x y ='，

o x x dy dx =，()

o

x x df x dx =。若上述极限不存在，则称f 在点0x 处不可导。

f 在0x 处可导的等价定义：

设,0x x x ?+=)()(00x f x x f y -?+=?，若0x x →则等价于0x ?→，如果

函数f 在点0x 处可导，可等价表达成为以下几种形式：

000

()('()lim

x x f x f x f x x x →-=?-）00'()lim x y

f x x ?→?=? （3）

0000

()('()lim

x f x x f x f x x

?→+?-?=?）

（4）

0000

()('()lim

f x f x f x →+-?=）

（5）

四）

利用导数定义求导数的几个例子

例1 求2

)(x x f =在点1=x 处的导数，并求曲线在点)1,1(处的切线方程。 解 由定义

2'

000(1)(1)(1)1

(1)lim lim lim x x x y f x f x f x x x

?→?→?→?+?-+?-===???

2)2(lim 2lim 020=?+=??+?=→?→?x x

x x x x 于是曲线在)1,1(处的切线斜率为2，所以切线方程为)1(21-=-x y ，即12-=x y 。 例2 设函数()f x 为偶函数，(0)f '存在，证明：(0)0f '=。

证 ()()f x f x =-Q ∴()()f x f x ?=-? 又'

0(0)(0)()(0)

(0)lim lim

x x f x f f x f f x x

?→?→+?-?-==??

0()(0)[0()](0)lim

lim (0)x x f x f f x f f x x

?→?→-?-+-?-'==-=-?-?

(0)0f '∴=

注意：0000

()('()lim

f x f x f x →+-=）

这种形式的灵活应用。此题的

为x -?。

例3 讨论函数1sin ,0

()0,0x x x f x x ?

≠?=??=?

在0x =处的连续性，可导性。

解 首先讨论()f x 在0x =处的连续性：0

1

lim ()lim sin

0(0)x x f x x f x

→→=== 即()f x 在0x =处连续。

再讨论()f x 在0x =处的可导性：

001

sin

(0)(0)

1lim

lim lim sin

x x x x f x f x x

x x

?→?→?→?-+?-?==??? 此极限不存在

即()f x 在0x =处不可导。

问 怎样将此题的()f x 在0x ≠的表达式稍作修改，变为()f x 在0x =处可导？

答 1

1sin ,0()0,0n x x x f x x +?≠?

=??=?

1,2,3n =L ，即可。

四）可导与连续的关系

由上题可知；在一点处连续不一定可导。反之，若设)(x f 在点0x 可导，则

)(lim

0'0x f x y

x =??→?

由极限与无穷小的关系得：

)()(0'x o x x f y ?+?=?，

所以当x ?0→，有y ?0→。即f 在点0x 连续。

故在一点处连续与可导的关系是：连续不一定可导，可导一定连续。 五） 单侧导数的概念

例4 证明函数||)(x x f =在0=x 处不可导。 证明 Q 1lim 0)0()(lim 00

==--++

→→x x x f x f x x ，1lim 0)0()(lim 00-=-=----→→x

x

x f x f x x 0

()(0)

lim

x f x f x →-∴-极限不存在。

故||)(x x f =在0=x 处不可导。

在函数分段点处或区间端点等处，不得不考虑单侧导数：

定义 设函数)(x f y =在点0x 的某右邻域),(00δ+x x 上有定义，若右极限

000

0()(lim lim x x f x x f x y

x x

+

+?→?→+?-?=??） （δ

左导数 00

'()lim x y f x x

-

-?→?=?。 左、右导数统称为单侧导数。

导数与左、右导数的关系：若函数)(x f y =在点0x 的某邻域内有定义，则)('0x f 存在?)('0x f +，)('0x f -都存在，且)('0x f +=)('0x f -。

例5 设???<≥-=0

, 0

,cos 1)(x x x x x f ，讨论)(x f 在0=x 处的可导性。

解 由于

0cos 1lim )()(lim )0(0000

'=??-=?-?+=++

→?→?+x x

x x f x x f f x x 1lim )()(lim )0(0000

'=??=?-?+=--

→?→?-x x x

x f x x f f x x 从而)0()0('

'

-+≠f f ，故)(x f 在0=x 处不可导。

六） 小结:

本课时的主要内容要求：

① 深刻理解在一点处导数的概念，能准确表达其定义； ② 注意0000

()('()lim

f x f x f x →+-=）

这种形式的灵活应用。

③ 明确其实际背景并给出物理、几何解释； ④ 能够从定义出发求某些函数在一点处的导数；

⑤ 明确导数与单侧导数、可导与连续的关系。