晶粒大小、点阵畸变、宏观应力DOC

1.4.2晶粒大小、点阵畸变、宏观应力

宏观内应力测定：

1、概念：除内应力是指产生应力各因素不复存在时，（为外力去除相变停止等），由于不均匀的塑性形变或不均匀的相变新改，物体内部依然存在并自身保持平衡的应力。

内应力按其存在分为三类：

○

1 在宏观范围晶区存在并保持平衡的应力，称宏观应力或第一类应力。 ○

2 晶粒间存在并保持平衡的应力，称微观应力或第Ⅱ类内应力。 ○

3 晶粒内的原子间存在并保持平衡的应力称超微观应力或第三类应力。 研究宏观内应力对材料的疲劳强度、静强度、抗蚀性尺寸稳定性等具有重大意义。测定方法有电阻应变片法、机械拉伸法等，与机电测法相比，X 光法特点：

○1 无损测定，○2测的仅弹性应变（不含塑性应变）、机电为两者之各，○3解研究表层nm 区域局部应变和应力梯度，○

4精度21mm kg 级。 2、原理：

因各类应力造成晶体点阵畸变不同，相应的衍射图含有不同的变化。测量这些变化即能区分内应力的类型及数值。若存在宏观内应力，则宏观尺寸必然产生改变。在弹性范围内，宏观弹性应变的数值可用某一晶面间距的变化来表征，即可用相应衍射峰位的变化来表征。

若存在微观应力，晶粒会产生很大的塑性变型，引起晶粒的晶格歪扭、弯曲使不同晶粒内的同一组晶面间距发生不规侧的变化，从而造成衍射线宽化。精测峰宽的问题，不论哪一类，都是先测应变、其应变为：

θθε??-=-=?=

ctg d d d d d 0

0 d 0,d 为晶面在弹性形变前后的晶面间距，

θθγ

δ???=

ctg E

z

E ——弹性模量，γ——材料泊松比

以上公式为单轴应力的基本公式（各向同性均为棒状材料） 宏观内应力测定：

3、实用方法：原理的实用方法有实用价值的测定是，测定沿试样二维表面某方向的宏观内应力，如金属材料（板材或陶瓷、微晶玻璃等）表面沿某一给定方向的应力。如果测定右图中板材上O 点沿?方向所受的应力φσ，则考虑与φσ处在同一平面内且与Z 轴交角为ψ的衍射晶面结线方向的应力φψσ，根据弹性力学理论：

()2121Sin E E φψφνν

εσψσσ+=

-+ （1） 且()0

000

d d d ctg d d ψφψψεθθθ-?===-- （2）

式中 0θ——无应力试样衍射峰位的布拉格角， 4θ——有应力试样衍射峰位的布拉格角

()()200121ctg Sin E E

ψφνν

θθθσψσσ+--=

-+于是 （3） (1)和（3）表明在σψ方向上的应变是由特定方向上的应力σψ与主应力之和（σ1+σ2）两部分构成，而且当改变衍射晶面法线与试样表面法线之间的夹角ψ时，主应力和（σ1+σ2）对ψ方向的应变贡献恒定不变。应变量只与

sin 2ψ成线性关系。故公式改写为02(1)E

ctg M ?σθν=-?+ （M 为斜率）

实际测时，只要测出各个不同ψ角下的2θψ，并以2θψ为纵坐标sin 2ψ为横坐标作直线，求其斜率为M ，则宏观应力若2θ为度计算则：

2

2M Sin θ

ψ

?=

? ○1可用专用应力测定仪、或在普通衍射仪上装一个试样架应力即能使试样绕衍射仪轴独立转到所需ψ0，且能改变探测器位置以便聚焦。

一般选一组高角度晶面该面在多晶试样中有各种取向，故在不同ψ下都能测到（θ2＞140°）。取40°、15°、30°、45°的情况下测2σψ，故在相应角度下ψ0必须能改变到相应位置，在ψ0下，做有明显的衍射峰，即固定ψ0测定后，当在相应ψ0下看到明显衍射峰时精测峰位求σψ。

○

2普通衍射仪不改变任何装置的情况下也可测这时ψ的各咱取值是ψ=00、 ψ＞03、ψ＜起始角/2~3。（扫描hkl 的起始角）

由于普通衍射仪计数管位置不能在测定中改变位置，ψ角度越大强度损失越厉害，测不到强度，无法精测d 值，

故ψ选03、07……且随ψ增大，计数时间增大10°以后无法转动，不能测。

6、晶粒尺寸与点阵畸变的测定

多晶物质是由很多个微小单晶组成的,单晶又由很多晶胞组成,这些微小的单晶又称晶粒或微晶。这些晶粒的大小(或称微晶尺寸)对材料的性能有着很大的影响。对于由无畸变.足够大的晶粒组成的多晶试样，衍射理论预言，其粉末花样的谱线应特别锋锐。但在实际实验中，由于许多仪器因素和物理因素的综合影响，使得衍射线形增宽了。纯的线形形状和宽度是由试样的平均晶粒尺寸或尺寸分布，以及晶体点阵中的主要缺陷所决定的。因此，对纯衍射线形做适当的分析，原则上可以得到平均晶粒尺寸. 晶粒尺寸的分布，以及点阵性质和尺度等方面的信息。晶粒尺寸和晶格畸变率是纳米粒子的重要物理参数。X射线衍射线宽法是同时测定晶粒大小和晶格畸变的最好方法。对纳米粉体而言，谱线宽化是晶粒细化和晶格畸变共同影响的结果，因此同时测定是一种理想的近似方法。可以看到，目前在讨论纳米合成材料的晶格畸变特征的一些场合，存在一些简单的计算方法，在这类的简单计算方法中，共同地以单一的衍射数据为基准，或者是先由谢乐公式计算晶粒度，然后将得到的晶粒度代入同时涉及晶粒度和畸变的公式，以求得晶格畸变值，或者使用单纯由微观应力引起的谱线增宽的计算公式来计算晶格畸变值。

近年来，随着纳米材料及薄膜材料研究的深入开展，人们了解到晶粒大小和点阵畸变程度的大小，对材料的性能有重要影响，可以通过控制加工过程中的晶粒大小和点阵畸变程度的大小，来改善材料的性能，因此对材料的加工过程中的晶粒度和点阵畸变的测量，有十分重要的意义。这也对晶粒大小和晶格畸变的测定的要求越来越高，而各种测试方法和计算方法都各有优劣。本文就是讨论用积分宽度法即Hall法和计算机程序来同时计算晶粒大小和晶格畸变率，比较了二者的计算结果的准确性，同时讨论了研磨试样时间长短对晶粒大小和晶格畸变的影响。

一、原理：利用X 射线测定晶粒尺寸与点阵畸变是利用X 射线衍射线型的宽化来进行的

（一）线形宽化种类。 1．仪器线形与仪器宽度

由于X 射线源有一定的大小宽度，接收狭缝，试样吸收、平板试样、垂直发散、调0，使得符合布拉格条件的衍射不只有一个点、一条线对应一个2θ0

而是使偏离2θ

范围内仍有一定的符合布拉格反射的，但衍射强度逐渐降低的

衍射存在，这就形成了一定宽度的衍射峰，这个峰即使无晶粒细化，无点阵畸变仍然存在，称之为仪器线形g(x)，对应仪器宽度b 。

2、物理线形f(x)与物理宽化βf

物理宽化指晶粒细化或点阵畸变引起的宽化。

3、试样线形（实验线形h(x)）的宽度B 包含仪器宽度b 和物理宽度βf ，任何影响线形的因素迭加在一起，根据迭加定律，有卷积关系。 试样线形)(x h 与仪器线形)(x g 和物理线)(x f 之间有卷积关系：

?∝

∝

-=dy y x f y g x h )()()(

以上式为基础，为了把f(x)解出来，可用各种近似函数法、傅氏分析法、方差法等不同方法．其中的近似函数法是把h(f)、f(x)和g(x)用某种具体的带有待定常数的函数代替,通过h(x)和g(x)与已经获得实验曲线拟合来确定其待定常数具体数值大小．代人方程，来近似地解出f(x)大小． 各种近似函数法简介

1．高斯近似函数积分宽度法

令h(x)、g(x)均为高斯函数，则f(x)也一定是高斯函数，令 它们各自的积分宽度分别为B 、b 和β，则有 B 2=b 2+β2 (4．38)

如果通过实验测量对形变样品和标准样品分别测到衍射线形 h(x)、g(x)，经K α1和K α2双线分离后．并计算出它们的积分 宽度B 、b 以及半高宽2w(B)和2w(b)，则由式(4．38)可 求出物理宽度β．

当仅由畸变或应变所产生的以2θ为标度的积分宽度β（单位为弧度）求得以后，则最大点阵畸变e 可由下式求出

max (/)(2)/4(2)cot 4hkl e d d tg e

βθθηβθθ=?===表观应变

2．柯西近似函数积分宽度法

令h(x)、g(x)均为柯西函数，则f(x)也一定是柯西函数，令

它们各自的积分宽度分别为B 、b 和β，则有 B=b+β

如果通过实验测量对形变样品和标准样品分别测到衍射线形 h(x)、g(x) 并计算出它们的积分

宽度B 、b 以及半高宽2w(B)和2w(b)，则由上式可求出物理宽度β．

当仅由晶粒碎化所产生的以2θ为标度的积分宽度β（单位为弧度）求得以后，则亚晶块大小Dc 为/cos()()c c D K A λβθ=

3．V oigt 近似函数积分宽度法

设某 一 柯西函数Ic(x)及一高斯函数Ig(x )，则两者卷积后的 函数Iv(x)就是一个V oigt 函数．()()()()()v c g c g I x I x I x I y I x y dy ∞

-∞=?=-?

当它们的积分宽度分别为βc ，βg ，βv 时，则可有如下满意近似公式：2/1(/)c v g v ββββ=-

此法适用于0.63662<2W （βv ）/βv <0.93949的大部分情况

当晶粒碎化宽化与应变宽化同时存在时，上述l 和2方法均

不适用，可用V oigt 近似函数法．理论考虑和实验结果两方面都表 明，应变宽化通常可以近似为高斯函数线形描述，而晶粒碎化效应 更接近柯西线形函数． 高斯函数：22

x e α- 柯西函数：

22

11x α+

若都是高斯型的，则B 2=b 2+βf 2

若都是柯西型的，则B=b+β f

有柯西，亦有高斯型，则

21(

)f

f

B

b

ββ=-

（二）、线的宽度表示方法：

三种表示方法：半宽度法、积分宽度法、方差法。

1、半宽度：线性在极大强度一半处（净强度）的总宽度 22B θθ'''=-半高

2、积分宽度法：背景以上线形的积分强度除以峰值高度，

()()

1

22P max

I B I d I I θθ=

=?积分积分 上式积分宽度在数学可以等于高度等于峰值面积与实际线形相等一个矩形的宽度。

3、方差法测宽度：线形均方标准偏差，线形宽度方差定义为：

质心和方差都有相加性的特点：所以实际测量质心和方差的计算采用下式：

∑∑?????=

)

2()2()2()2(2)2(θθθθθθI I

())

2()2()2()2()2(22

θθθθθθ?????-=

∑∑I I W 实验测定：○

1确定扫测衍射峰的范围，如：49.5~50.5。 ○

2确定增量δθ即将扫测范围10分几等分测， ○3由起始角起测量(2)I I B θ=-，在几个位置测，并将测量结果列成表： 编号 2θ

)2(B I I -=θ

)2(2θθI ?

()2)2(2θθ- ())2()2(22θθθI ?-

1 49.5 2

49.525

n 50.5

2(2)(2)2(2)(2)

I I θθθθθθ?????=??∑∑ ()

2

22(2)(2)

(2

)(2)

I W I θθθθθθ-?????=

??∑∑

()()

2

2

222(2)(2)

22(2)(2)

I d W I d θθθθθθθθθ∞

-∞∞-∞

-??=?-???=

??

θ″

″

二、测定方法和计算公式

在无机非金属材料的科学研究和生产部门中，为了提高原料的及应活性，改善材料的显微结构状态，广泛采用超细粉；对某些材料，希望合成物具有微细晶粒的显微结构以提高其性能。另外，材料合成过程中，物质 的膨胀，相变等因素，加工过程的形变等都可能引起材料内部存在微观应力或使点阵发生畸变，这里介绍用X 射线衍射法测定微晶尺寸和点阵畸变的方法。

当材料中的晶粒过细(＜0.1μ）或点阵发生畸变时，X 射线衍射线形会宽化，当求出了线型的宽化度时，晶粒的大小及点阵畸变问题可解决。

1、微晶大小的测定：峰宽θβ?=4hke

（平均晶粒）1000 ? ~10 ?。当晶粒＞1μm 颗粒度时，图象分析仪，激光粒度

分析仪

超细粉体在广义上是指从微米级到纳米级的一系列超细材料；在狭义上是指从微米级

（5μm 以下）、亚微米级（100nm 以上）的一系列超细材料。

纳米材料 粒度直径 100nm 以下 亚微米材料 粒度直径 100nm ～1.0μm 微米材料 粒度直径 1.0μm ～5.0μm

当衍射峰形宽化仅有晶粒细化引起，可以推导出晶粒的大小与峰宽的对应关系。(((设X 射线为一组由p 个平行面网组成的面网组反射，则相邻面网反射线的光程差为λθn dsin R ==?2时衍射线振幅最大，当掠射角相对于θ有一个小的偏离量ε时，光程差为：)(2εθθ+=?dsin R ，ε是指掠射角的微小变化。

2(cos cos )cos 2R d sin sin n dsin εcos θεθελεθ?=+=+

上式只须当ε很小时，衍射振幅才会很大，故上式可精确的表达成

θελdcos n R 2+=? （3）

相位差

λθπεθελ

π

πλ

π

dcos dcos n R 4422=+

=? （4）

则第一个面与最后一个面（p 面）的相位差为：

λ

θεπφdcos p 4=

（5）

根据光学原理：振幅为a 的n 个相等矢量，若相邻矢量的相位差都一样，则

合成振幅为Sin an α

α

（α为第一与最后一个矢量间的位相差的一半）。

∴由p 个面共同反射的合成波振幅为：

2cos 22cos 2

d apsin a ρsin

A d πρεθφλπρεθφ

λ?? ???=

= （6）

当0=ε时，反射波有极大值，故

ap A =0 （7） 强度为振幅的平方，故

22

220

122()2

Sin I A

I A

εφφ=?? ???=

==

半高半高 （8） 以2

222??

?

???? ??φφSin 对2φ 作图，可求得2φ=1.40时满足（8）式故：

2cos 1.40d πρεθ

λ

=半高 θε?= 1.402c o s

d ελ

πρθ=半高 半高宽大 41.4042c o s h k e d λβεπρθ?==

半高=0.89cos hke D λ

θ

)))

！！！㊣

如果衍射峰宽化仅由晶粒细化造成，且晶粒均匀，则可导出谢乐（Scherrer ）

方程，即

cos hkl hkl D K λβθ=

hkl β——晶粒细化引起的峰形宽度（弧度rad ）

hkl D ——垂直于（hkl ）晶面的平均晶粒尺寸（?）

hkl θ——衍射峰位的布拉格角（°）

λ ——波长（?）

K ——常数、与线形、晶体外形、晶面有关，如立方体0.94、四面体0.89、

球形1等，一般忽略外形，取积分宽度K=1，半高宽取K=0.9

参考《X 射线衍射技术》推导公式

2、点阵畸变测定的原理和计算公式

晶体中由于受到微观应力的作用会使点阵发生畸变，表现出X 射线衍射线形宽化，因此求出了线型的宽化与微观应力之间的关系，点阵的畸变量就可求出。

分析微观应力的存在对倒易点阵的影响。

由于应力的作用使晶面间距变化△d 、△d/d 即为点阵畸变量。 d 0——无应力的d

0d d d

d d

ε-?== 上图立方晶粒受单轴拉伸，应力平行于C ，则垂直于应力方向的面的面间距

增大（ 00d ）,平行于应力方向的面的面间距（100d ，010d ）减少，倒易矢量*

00R 变短，*100R 、*010R 变长，若无应力时面间距与倒矢分别为0d 和*0R ，有应力时面间

距与倒矢分别为d 和*R ，则上图沿*c 方向有

0000001111

1d d R R R d d d d d

d d d **

*??=-=

-=-=+????+ ?

?

?

σ σ

σ

σ σ

2△θ

2△θ

β

0d d ?——点阵畸变量e 即应变

,d

E E d σεσ?=?=?

--由于故微观应力 又00300200132d d d ==……

∴**

*

?=?=?003002001

3

121R R R …… ○

1在应力作用下,某晶粒的某衍射线位移,则其各级衍射线都位移,意即在应力作用下,同一组面网的各级衍射都会有相同的宽化现象,且根据不同级计算的畸变量或应力相同。

○

2计算公式： 某一组面网间距为d 0的面网，受应力作用后使面间距对d 0有偏离，这种偏离与衍射线形相对应。讨论微观应力平均值与线宽的对应关系。

d 1，d 2分别对应2θ1，2θ2，平均应力σ对应的平均应变ε为

d d ε

???=

???平平

22θ

θ?θβ?=4 4

β

θ=

?代入公式

θθ?-=?ctg d

d

得 (β为度,应化为弧度,若应力与方向无关,去掉负号)

ε=△d/d 为垂直于（hkl ）晶面的平均畸变

θβtg d d ???

?

???=4 1804c t g E E πβθσε=?=?

?平均 0 1 2

1804

4d tg tg d E βθσθπ????==

? ???平均平均

3、微晶宽化与点阵畸变宽化的区分：

分析微晶尺寸计算公式cos K D λβθ

=

平，cos k D λβθ=与点阵畸变计算公式

4

d ctg d βθ???= ???平 4d tg d βθ???= ??? 可以看出：

微晶引起的宽化与畸变引起的宽化遵循不同的规律，即微晶宽化与sec θ和λ成正比，而畸变引起的宽化与tg θ成正比，所以可以由两种方法来区分宽化是由何种因素引起。

○1用不同波长的幅射进行测试，如果衍射线宽β随波长而改变，cos k D λβθ

=则宽化由微晶引起，反之由微观应力引起。

○

2对所研究试样利用不同衍射级（不同衍射角）的衍射线宽，观察各衍射线宽β随θ角的变化规律，即晶粒或畸变为常数（同一波长衍射）

若cos k D

λ

βθ=为常数，微晶宽化。（同一面网） 若ctg βθ为常数（畸变）或θβctg E 为常数（应力），则宽化由畸变、微观应

力引起。（不必同一面网）4

d ctg d βθ???= ???平

例 铜锉屑的物理线宽（电解铜粉） hkl β(mm) θ° βcos θ βctg θ E hkl E βctg θ

111 0.18 21.7 0.17 0.45 1.59 0.72 220 0.44 37.1 0.35 0.58 1.24 0.73 200 0.42 25.2 0.38 0.89 0.78 0.69 311 0.76 45.0 0.54 0.76 1.02 0.78 222

0.47

47.6

0.32

0.43

1.59

0.68

由微观应力引起的宽化，此处指对所研究样品（同一样品）利用不同衍射线宽化的规律来判断。

4、晶粒大小与点阵畸变同时测定

如果试样中同时存在着微晶宽化和应力宽化，则问题较复杂，需要对两种宽化效应进行分离，可采用付立叶变换法、峰形方差法、Hall 法（多用半高宽）、近似函数法（积分宽度）以及V oigt （单峰法）等。

试样中同时存在着微晶与微观应力时，其物理线形f(x)应是微晶线型c(x)与点阵畸变线型S （x ）的卷积，即()()()f x c y S x y dy =-?

上述卷积方程不能用付式变换解，因同时存在时c(x)和S （x ）不能单独测出，付式系数无法求，故分离只能用Hall 法或方差法。

（1）近似函数法

所谓近似函数法就是选择适当的已知函数形式（例如高斯或柯西函数）去代表未知的微晶线型c(x)与畸变线型S （x ），从而求得f(x)、c(x)和S （x ）三个线型宽度βf 、βc 和βs 之间的关系，以获得微晶尺寸和微观应力。

常用函数： 高斯函数 22

e

αχ- 柯西函数

2

2

11χ

α+或

2

22

)

1(1χα+

当选用上述函数时，可以证明物理宽度βf 、、微晶宽度βc 、畸变宽度βs

关

系积分宽度之间的关系：

f c s βββ=+

222s c f βββ+=

2

1??

?

?-=f

s f

c

ββββ

将微晶宽度 θλβD c o s K c =

畸变宽度 s β=4θtg d d 平均???

???

代入表的关系式：

○

1全柯型（Hall 法） 14f f c s βcos d Sin D d θ

θ

βββλ

λ

???=+?=

+? ?

??平均 可根据同一面网的各级衍射线求出βf 以f cos βθλ对

λ

θ

Sin 作图，所得直线

之截距的倒数为D （分离畸变后的晶粒大小），斜率为平均???

???d d 4（晶格畸变的百

分数）

○2全高型：2222

2

22222

cos 116f f

c

s

d Sin D d βθθβββλλ

???=+?=+ ???平 作图，根据截距求D ，斜率求

d

d ?。 ○

3柯一高型： 2

2

22116f f

c s f

f d t

g D tg Sin d ββββλββθθθ???????

=-?=+ ? ? ? ??????

??

用同一面式的各级衍射线以θ

β2

2

tg f 对

θ

θβSin tg f

?作图（或最小二乘（线性同

归）），斜率求D ，纵坐标截距求

d

d

?。 三种形式求出的晶粒大小与点阵畸变绝对大小不会相同，但对相对比较有用。

（2）方差分解法：

由于方差之间具有加和性，所以在计算线型问题时，利用方差法有独到之处。

设真实物理线形f(x)、微晶线型c(x)和畸变线型S （x ）的方差分别为：W(f)、Wc 、 Ws 则

f c s W W W =+

Wc 、 Ws 的具体形式由Wilson 进行了推导[《X 射线衍射技术》上]，这里给出其结果：

微晶线形方差一般近似为：

θ

θλDcos 2πK W 2c 2?=

（1）

K ——谢乐公式中的常数 λ——波长、θ——布拉格角 △2θ——衍射线的角范围 D ——微晶大小。

畸变方差为

224s W tg e θ=?? （2） 式中 d

e d

?=

---??--2畸变量,e 畸变均方差

∴物理方差 +?=θθ

λD c o s

2πK W 2

f 2224t

g e θ?? （3） 整理（3）得

2

2

14222f hke W cos Sin tg e D θ

θθθ

λ

πλθ

?

=

+????? （4） 利用同辐射，不同衍射级的衍射线（因为微晶尺寸指垂直某一面网组hkl 方向的尺度）或不同辐射的同一条衍射线所测得的数据，以cos (2)f W θθλ??为纵坐标以4sin /2tg θθλθ??为横坐标作图，则由纵坐标截距可求微晶大小，斜率可求畸变量。

这里的W f 为试样的物理线形而实际测定的试样线形是物理线形与仪器线形之和，因而也存在如下关系：

仪实W W W f +=

仪试W W W f -=

W 实——即为待测试样的线形方差

W 仪——仪器线形的方差，可用无晶粒细化和无畸变的标准样品测定。 3、付立叶分析法：

由线形的付立叶分析可知物理线型的付立叶系数可由试样线型和仪器形的

付立叶系数H r (t)、H i (t)和G r (t)、G i (t)并根据公式

)()()

()()()()(22t G t G t G t H t G t H t F i

r

i i ++=γγγ 实部

)

()()

()()()()(22t G t G t G t H t G t H t F i r i r i i ++=

γ 虚部求出。

四、实验方法：

如何获得物理宽度？

1、测仪器宽度b

用无物理宽化的标准物质，即大晶粒（10-5mm 以上）完整晶体（相对而言）。一般用待测物的纯相，例如要测掺杂β-C 2S 时畸变，用经长时间保温煅烧的 β-C 2S 作标准。测所选衍射峰。

如无待测物的纯相，可用其它物相作标样，但应作适当范围的衍射峰，以便作仪器宽度b~2θ曲线，在曲线上查找出待测物所需的仪器宽度b 。

2、测待测试样的宽度B ——实验宽度（用同样实验条件测） （1） 数目：解方程求选二个峰即可，作图或最小二乘法可选个峰。 （2） 选峰，所选峰与测测仪器宽度(B)时相同或相近

（3） 选同一组面网反射的各级衍射线，立方晶系可任选。如111，222，

333。

3、测线型宽度应注意的问题：

①、所有线型测宽度的方法应一致，如半高宽或积分宽度或方差宽度，都用同一种。

②、所有线型应属同种射线所产生的峰，如用K α都用K α线，用K α1都用 K α1。一般要求可用K α线（低角度）,要求较高可用K α1线，这时要进行双峰分离.

4、求物理宽度。

①近似函数法：

根据试样线型、物理线型、仪器线型、卷积函数的关系，即

全柯型 b B f -=β或查图（《无机非金属材料测试实验》杨淑珍p81图9-8

全高型 222b B f -=β 000

b B B β→横坐标纵坐标 柯高型 220f f B b ββ-+=

仪器宽度 实验宽度 测宽度

②方差法：W f =W B -W b ③付立叶变换法

轻烧MgoO 晶格畸度与晶粒大小测定 综合三者，用积分宽度，并用柯一高型公式由计算机算得畸变0.0014、晶粒

3280

A 。

用近似函数法 柯——高法：

()

22216K e tg Sin tg D

βλβ

θθθ=+ 其中 λ=1.54060

A K=1 令 ,

y b x a D b

λ

=+→= 根据上述积分宽度列表：用最小二乘回归分析

i β（rad ）

θ2 θ θtg θSin

θ

β2

2

tg

θθβ

Sin tg

4.9393310-? 36.903 18.451 0.333645 0.3165 2.1916410-?

0.046774 6.7373310-? 42.873 21.436 0.3926 0.3655 2.9446410-? 0.0679493 7.383310-?

62.268

31.134

0.60405

0.5170

1.4939410-?

0.02364

以

θ

β2

2tg 为纵坐标，以θ

θβ

Sin tg 为横坐标作图得：510136.3-?=a

峰位（θ2）(°)

峰宽（半高）

峰宽（积分宽度）

尺寸 （仅大小）(半高计算）

36.903 0.271 0.283 305 42.873 0.322 0.386 262 62.268 0.353

0.423

260

b= 0.004755,得0

328A b D ==λ

，0014.04

10136.345

=?==-a e