第八章 玻色统计和费米统计教案详解
重庆大学概率与数理统计课后答案第八章
习题八 A 组 1.假设总体X ～)1,(μN ，从中抽取容量为25的样本，对统计假设0:,0:10≠=μμH H ，拒绝域为 X 0={}392.0≥x 。（1）求假设检验推断结果犯第Ⅰ类错误的概率。（2）若 3.0:1=μH ，求假设检验推断结果犯第Ⅱ类错误的概率。 解：（1）{}{}001H H P P α==犯第I 类错误拒绝成立={} 0392.0=>μX P {} { } 96.10392.0>==>=n X P X P μ，所以05.01=α （2）{}{}00H H P P β==犯第II 类错误接受不成立{} 3.0392.0=≤=μX P {} 6769.046.0)3.0(46.3=<-<-=n X P 2.已知某厂生产的电视机显像管寿命（单位：小时）服从正态分布。过去，显像管的平均寿 命是15000小时，标准差为3600小时。为了提高显像管寿命采用了一种新技术，现从新生 产的显像管中任意抽取36只进行测试，其平均寿命为15800=x 小时。若用假设检验方 法推断新技术是否显著提高了显像管的寿命，试指出：（1）假设检验中的总体；（2）统计假设；（3）检验法、检验统计量、拒绝域；（4）推断结果。 解：（1）假设检验中的总体是新生产的显像管的寿命，用X 表示，由题意知：X ～ ),(2 σμN ) 90000,5000(N （2）统计假设： 15000 :0≤μH ，15000:1>μH (3)假设σ与过去一样为3600小时，那么检验方法为U 检验法，检验统计量为： n X U σ 15000 -= 显著水平05.0=α时的拒绝域为：X 0 = {}α->1u u ={}645.1>u （4）推断：因为U 的样本值为1.333不在X 0 内，所以接受原假设，即在显著水平05.0=α 下，认为新技术没有提高显像管的寿命。 3.某计算机公司使用的现行系统，运行通每个程序的平均时间为45秒。现在使用一个新系统运行9个程序，所需的计算时间（秒）分别是：30，37，42，35，36，40，47，48，45。
概率论与数理统计第八章习题答案
第八章 假设检验部分习题解答 2 ~(32.05,1.1)6cm 32.5629.6631.6430.0031.8731.03 32.050.050.01. N ξαα==已知某种零件的长度，现从中抽查件，测得它们的长度（单位：）为： ， ， ， ， ， 试问这批零件的平均长度是否就是厘米？检查使用两个不同的显著性水平：，0011:32.05. ~(0,1)1,. 6,31.03)31.127.H N n U u μμξα======<=作出判断。当时，因而时，拒绝当时，因而时，接受。 0(,1)100 5.32:50.01N H μξμα===从正态总体中抽取个样品，计算得，试检验是否成立（显著性水平）？ 00/2/201/20.01: 5.(2)(3),(||)1. (4) 5.32.3.250.01H u P U u U u u u αααμμξαμα==<=?=== ====解：（ ）提出假设，使求观察值。已知将以上数据代入得观察值（）作出判断。当时，0510 2.58,|| 2.58,0.01u H α=>=因而时，拒绝。 26.~(100,1.2)999.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 102.1 100.5 99.5.0.05(1)2N g ξα=某公司用自动灌装机灌装营养液，设自动灌装机的正常灌装量 ，现测量支灌装样品的灌装量（单位：）为 ，，，，，，，，问在显著性水平下，灌装量是否符合标准？（）灌装精度是否在标准范围内？
数理统计复习题第八章
第七章 假设检验 三、典型题解 例1：某车间用一台包装机包装葡萄糖, 包得的袋装糖重是一个随机变量, 它服从正态分布.当机器正常时, 其均值为0.5千克, 标准差为0.015千克.某日开工后为检验包装机是否正常, 随机地抽取它所包装的糖9袋, 称得净重为(千克): 0.498 0.506 0.518 0.524 0.498 0.511 0.520 0.515 0.512, 问机器是否正常? 解: 根据样本值判断5.05.0≠=μμ还是.提出两个对立假设 0100:5.0:μμμμ≠==H H 和 选择统计量：)1,0(~/0 N n X Z σμ-= 取定0.05a =，则/20.025 1.96,z z a ==又已知 9, 0.015, n s ==由样本计算得0.511x =， 2.2 1.96=>，于是拒绝假设 0H , 认为包装机工作不正常. 例2：某工厂生产的固体燃料推进器的燃烧率服从正态分布),(2 σμN ， s cm s cm /2,/40==σμ，现用新方法生产了一批推进器，从中随机取25n =只，测得燃 烧率的样本均值为s cm x /25.41=.设在新方法下总体均方差仍为s cm /2，问这批推进器的燃烧率是否较以往生产的推进器的燃烧率有显著的提高？（取显著性水平05.0=α） 解：根据题意需要检验假设 00 :40H m m ?（即假设新方法没有提高了燃烧率）, 10 :H m m >（即假设新方法提高了燃烧率）, 这是右边检验问题，拒绝域为 0.05 1.645x z z = ?，由 3.125 1.645 x z = =>可得z 值落到拒绝域中故在显著性水平0.05 a =下拒绝0 H . 即认为这批推进器的燃烧率较以往有显著提高. 例3：某切割机在正常工作时, 切割每段金属棒的平均长度为10.5cm, 标准差是0.15cm, 今
《概率论与数理统计》习题及答案第八章
《概率论与数理统计》习题及答案 第 八 章 1．设12,,,n X X X L 是从总体X 中抽出的样本，假设X 服从参数为λ的指数分布，λ未知，给定00λ>和显著性水平(01)αα<<，试求假设 00:H λλ≥的2χ检验统计量及否定域. 解 00:H λλ≥ 选统计量 2 001 22n i i X nX χλλ===∑ 记 2 1 2n i i X χ λ==∑% 则2 2 ~(2)n χ χ%，对于给定的显著性水平α，查2χ分布表求出临界值2 (2)n αχ，使 22 ((2))P n αχ χα≥=% 因 2 2χ χ>%，所以2222((2))((2))n n ααχχχχ≥?≥%，从而 2222 {(2)}{(2)}P n P n αααχ χχχ=≥≥≥% 可见00:H λλ≥的否定域为22 (2)n αχχ≥. 2．某种零件的尺寸方差为2 1.21σ=，对一批这类零件检查6件得尺寸数据（毫米）：, , , , , 。设零件尺寸服从正态分布，问这批零件的平均尺寸能否认为是毫米（0.05α=）. 解 问题是在2 σ已知的条件下检验假设0:32.50H μ= 0H 的否定域为/2||u u α≥ 其中 29.4632.50 2.45 6.771.1 X u -= = ?=- 0.025 1.96u =，因|| 6.77 1.96u =>，所以否定0H ，即不能认为平均尺寸是毫米。 3．设某产品的指标服从正态分布，它的标准差为100σ=，今抽了一个容量为26的样本，计算平均值1580，问在显著性水平0.05α=下，能否认为这批
产品的指标的期望值μ不低于1600。 解 问题是在2 σ已知的条件下检验假设0:1600H μ≥ 0H 的否定域为/2u u α<-，其中 15801600 5.1 1.02100X u -==?=-. 0.05 1.64u -=-. 因为0.051.02 1.64u u =->-=-，所以接受0H ，即可以认为这批产品的指标的期望值μ不低于1600. 4．一种元件，要求其使用寿命不低于1000小时，现在从这批元件中任取25件，测得其寿命平均值为950小时，已知该元件寿命服从标准差为100σ=小时的正态分布，问这批元件是否合格（0.05α=） 解 设元件寿命为X ，则2 ~(,100)X N μ，问题是检验假设 0:1000H μ≥. 0H 的否定域为0.05u u ≤-，其中 9501000 5 2.5100 X u -= = ?=- 0.05 1.64u = 因为 0.052.5 1.64u u =-<-= 所以否定0H ，即元件不合格. 5．某批矿砂的5个样品中镍含量经测定为(%)X ： 3.25,3.27,3.24,3.26,3.24 设测定值服从正态分布，问能否认为这批矿砂的镍含量为3.25(0.01)α= 解 问题是在2 σ未知的条件下检验假设0: 3.25H μ= 0H 的否定域为 /2||(4)t t α> 52 2 1 13.252,(5)0.00017, 0.0134i i X S X X S ===-?==∑ 0.005(4) 4.6041t = 3.252 3.25 2.240.3450.013 X t -==?= 因为
第八章 玻色统计和费米统计教案
热力学与统计物理课程教案
第八表 玻色统计和费来统计 8.1 热力学量的统计表达式 一、非简并气体和简并气体 第七章根据玻耳兹曼分布讨论了定域系统和满足经典极限条件（非简并条件）的近独立粒子系统的平衡性质。非简并条件可以表达为： 122 3 2>>?? ? ??= h mkT πN V e α 或 122 32 3 <
《概率论与数理统计》习题及答案 第八章
·110 · 《概率论与数理统计》习题及答案 第 八 章 1.设12,,,n X X X L 就是从总体X 中抽出的样本,假设X 服从参数为λ的指数分布,λ未知,给定00λ>与显著性水平(01)αα<<,试求假设00:H λλ≥的2χ检验统计量及否定域、 解 00:H λλ≥ 选统计量 20 0122n i i X nX χλλ===∑ 记 212n i i X χ λ==∑% 则22~(2)n χ χ%,对于给定的显著性水平α,查2χ分布表求出临界值2(2)n αχ,使 22((2))P n αχ χα≥=% 因 22χ χ>%,所以2222((2))((2))n n ααχχχχ≥?≥%,从而 2222{(2)}{(2)}P n P n αααχ χχχ=≥≥≥% 可见00:H λλ≥的否定域为22(2)n αχχ≥、 2.某种零件的尺寸方差为2 1.21σ=,对一批这类零件检查6件得尺寸数据(毫米):32、56, 29、66, 31、64, 30、00, 21、87, 31、03。设零件尺寸服从正态分布,问这批零件的平均尺寸能否认为就是32、50毫米(0.05α=)、 解 问题就是在2σ已知的条件下检验假设0:32.50H μ= 0H 的否定域为/2||u u α≥ 其中 29.4632.50 2.45 6.771.1X u -==?=- 0.025 1.96u =,因|| 6.77 1.96u =>,所以否定0H ,即不能认为平均尺寸就是32、5毫米。 3.设某产品的指标服从正态分布,它的标准差为100σ=,今抽了一个容量为26的样本,计算平均值1580,问在显著性水平0.05α=下,能否认为这批产品的指标的期望值μ不低于1600。 解 问题就是在2σ已知的条件下检验假设0:1600H μ≥ 0H 的否定域为/2u u α<-,其中
概率论与数理统计第8章例题
第八章例题 1.在假设检验中，检验水平α的意义是：原假设0H 成立， 经检验被____________的概率(填写“拒绝”或“接受”) 拒绝 2.在假设检验中，犯第一类错误是指___ 弃真。即0H 正确却被拒绝 __ 3. ),(~2σμN X ,当2σ未知时，为检验假设00:μμ=H 须构造 统计量__________ n S x /μ- 4.从已知标准差 5.2σ=的正态总体中，抽取容量为16的样本，算得样本均值27.56x =，试在显著水平0.05α=之下，检验假设0:26H μ=.(0.025 1.96u =) 解：0:26H μ= )1,0(~/00 N n x U σμ-=；0.05α=，/20.025 1.96u u α==； 算得 1.2 u ==； 由于0.025u u <，所以在显著水平0.05α=之下，接受假设0:26H μ=. 5.某产品按规定每包重为10kg ，现从中抽取6包进行测试，得 9.7 10.1 9.8 10.0 10.2 9.6 若包重服从正态分布2(,)N μσ，且20.05σ=， 问在显著性水平为0.05α=下，包的平均重量是否为10kg ？（0.025 1.96u =） 解01:10,:10.H H μμ=≠令, 9.9x = 0.025||||| 1.095u 1.96x u ===<= 所以可以认为重量为10kg 6. 工厂某电子元件平均使用寿命为3000小时，采用新的生产设备后，从中随机抽取20个,测得这批电子元件的平均寿命X =3100小时,样本标准差为S=170
小时,设电子元件的寿命X 服从正态分布N ()2,σμ,试检验用了新生产设备后产品质量是否 显著改变？(显著性水平01.0=α,54.2)19(01.0=t ) 解 0H :μ=3000, 1H :3000>μ 0.01(19)t 显著改变 7. 设罐头番茄汁中维生素C 含量服从正态分布。规定每罐维生素 C 的平均含量为21毫克。现从一批罐头中随机抽取了16罐，算 得2223, 3.9x S ==，问：这批罐头的维生素C 含量是否合格？ ()()0.0250.05,15 2.13t α== 解 0:21H μ=， 1:21H μ≠ 16,9.3,23===n S x ()1~0 --=n t n S X t μ 所以 2.0513 t =≈< ()()0.0252115 2.13t n t α-== 故接受0H ,认为这批罐头的维生素C 含量合格 8.化肥厂用自动打包机包装化肥.某日测得9包化肥的质量（kg ）如下： 49.7，49.8，50.3，50.5，49.7，50.1，49.9，50.5，50.4 已知每包化肥的质量服从正态分布，是否可以认为每包化肥的平均质量 为50 kg ？(取显著性水平α=0.05) ［临界值：)8(025.0t ＝2.31；96.1025.0=u ］ 解 假设50:0=μH ，50:1≠μH 取统计量)1(~0--=n t n S X t μ 1.50=x ，1125.02=S ， 所以31.2894.0<=t ，接受0H 即可以认为包装的每包化肥平均质量为50 kg 9.已知某厂生产的一种产品的含硫量X 在正常情况下服从正态分布),55.4(2σN .
费米狄拉克统计
费米–狄拉克统计[编辑] 维基百科，自由的百科全书 （重定向自费米-狄拉克统计） 费米–狄拉克统计（英语：Fermi–Dirac statistics），有时也简称费米统计、FD统计，在统计力学中用来描述由大量满足泡利不相容原理的费米子组成的系统中，粒子处在不同量子态上的统计规律。 这个统计规律的命名来源于恩里科·费米和保罗·狄拉克，他们分别独立地发现了这一统计规律。不过费米在数据定义比狄拉克稍早。[1][2] 费米–狄拉克统计的适用对象是，热平衡时自旋量子数为半奇数的粒子。除此之外，应用此统计规律的前提是，系统中各粒子之间的相互作用可以忽略不计。这样，就可以用粒子在不同定态的分布状况来描述大量微观粒子组成的宏观系统。不同的粒子分处于不同的能态上，这一特点对系统许多性质会产生影响。费米–狄拉克统计适用于自旋量子数为半奇数的粒子，这些粒子也被称为费米子。由于电子的自旋量子数为1/2，因此它是费米–狄拉克统计最普遍的应用对象。费米–狄拉克统计是统计力学的重要组成部分，它利用了量子力学的一些原理。 目录 [隐藏] ? 1 概述 ? 2 历史 ? 3 费米–狄拉克分布 o 3.1 粒子的能量分布 ? 4 量子范畴和经典范畴 ? 5 参考文献 ? 6 相关条目 概述[编辑] 函数反对称，在费米子的某一个能级上，最多只能容纳一 个粒子。因而符合费米–狄拉克统计分布的粒子，当他们 处于某一分布（“某一分布”指这样一种状态：即 在能量为的能级上同时有个粒子存在着，不难 想象，当从宏观观察体系能量一定的时候，从微观角度观察体系可能有很多种不同的分布状态，而且在这些不同的分布状态中，总有一些状态出现的几率特别的大，而其中出现几率最大的分布状态被称 为最可几分布）时，体系总状态数为：
邓集贤版数理统计 第八章 部分课后习题参考答案
第八章 课后习题参考答案 第八章 2.今有两台机床加工同一零件，分别取6个及9个零件测其口径，数据记为()126,,x x x 及()129,, x x x ，计算得： 6 6 21199 21 1 204.6, 6978.93 370.8, 15280.173 i i i i i i i i x x y y ========∑∑∑∑ 假定零件口径ξ服从正态分布,给定显著性水平=0.05α，问是否可认为这两台机床加工零件口径的方差无显著差异？ 解：由题意6 6 211 204.6, 6978.93i i i i x x ====∑∑， 9 9 21 1 370.8, 15280.173i i i i y y ====∑∑ 得 6 622221 1 19 9 2 2221 1 216978.93 34.1, S 34.10.345 6 66 15280.173 41.2, S = 41.2=0.3579 9 9 i i i i i i i i x x x x y y y y ===== ==-=-== =-= -∑∑∑∑ 22012H σσ=：, 1H ：2212 σσ≠ 检验统计量2 1212 212(1)S 690.34516.56 ===1.0308(1)S 950.35716.065 n n F n n -??=-?? 给定显著性水平=0.05α，查0.025(5,8) 4.817F =， 0.9750.0251 (5,8)=0.148(8,5) F F = ， 0.147<1.0308<4.817 所以接受原假设，认为两台机床加工零件口径的方差无显著差异。
3.某电话站在一小时内接到电话用户的呼唤次数按每分钟记录得如下表： 试问这个分布能否看作为泊松分布？ 解:检验的原假设为H 0：这个分布能看作为泊松分布。 在原假设成立下 总体参数λ的极大似然估计为1120?260i i iv n λ===∑, 给定显著性水平=0.05α,2 0.05(6)χ=12.592，而 222 11()0.5595m m i i i i i i i v np v n np np χ==-==-=∑∑<12.592 故不拒绝原假设，可以认为这个分布为泊松分布。 4.在某公路上50分钟之内，记录每秒钟过路汽车的辆数，得到分布情况如下表： 试问这个分布能否看作为泊松分布？ 解:检验的原假设为H 0：这个分布能看作为泊松分布。 在原假设成立下
浙大版概率论与数理统计答案第八章
第八章 假设检验 注意： 这是第一稿（存在一些错误） 1 、解 由题意知： ~(0,1)/X N n μ σ- （1）对参数μ提出假设： 0: 2.3H μ≤， 1: 2.3H μ> （2）当0H 为真时，检验统计量 2.3 ~(0,1)0.29/35 X N -，又样本实测得 2.4x =，于 是 002.4 2.3( )( 2.04)1(2.04)0.0207/0.29/35/H H X X P P P n n μμ σσ----=≥=≥=-Φ= （3）由（2）知，犯第I 类错误的概率为0.0207 （4）如果0.05α=时，经查表得 1.645z α=，于是 2.3 2.3{ }{ 1.645}/0.29/35 X X W z W n ασ-->=> （5）是。 2、 14.5515x =<故将希望得到支持的假设“15μ>”作为原假设，即考虑假设问题 0H ： 15μ≥，1H ：15μ< 因2 σ未知，取检验统计量为0 /X T S n μ-= ，由样本资料10n =，14.55x =， 1.2445s =和015μ=代入得观察值0 1.2857t =-，拒绝域为 ()0 0.059/X W T t S n μ??-==≤-?? ??，查分布表得()0.059 1.8331t =，()00.059t t >- 故接受原假设0H ，即认为该广告是真实的。 3、 解（1）由题意得，检验统计量1 /X Z n σ-= ，其拒绝域为
1 {}{ 1.66}/X W Z z W X n ασ-== ≥=≥ 当2μ=时，犯第II 类错误的概率为： 0021.662 {|}{ 1.66|2}P{ }=0.198//X P H H P X n n βμσσ--==≤==≤接受是错误的 （2） 2 22 (n 1)S ~(n 1)χσ --，当2σ未知时，检验统计量224S ，其拒绝域为： 2221W {24S (24)}{S 0.577}αχ-=<=< 当21.25σ=时，检验犯第I 类错误的概率为： 22 2 0024S 240.577 {|}{S 0.577| 1.25}P{}=0.012 1.251.25 P H H P ασ?==<==<拒绝是正确的 4、 (1)提出假设0H ：3000μ=，1H ：3000μ≠ 建立检验统计量0 /X T S n μ-= ，其中03000μ= 在显著水平0.05α=下，检验的拒绝域为 ()0 0.0257 2.3646/X W T t S n μ??-==≥=?? ??，由样本资料得观察值()00.0252958.753000 2.97271348.4375/8 t t -= =>，故有显著差异。 (2)μ的95%的置信区间为()()/2/21,1S S X t n X t n n n αα??- -+- ?? ? ，由样本资料得μ的95%的置信区间为()2925.93,2991.57 (3)(){}(){} 02127 2.9720.0207P P t n t P t =-≥=≥=。 5、 解 （1） ~(1)S /X t n n μ --。由题意得，样本测得的值为167.2x =， 4.1s =，100n =，经查表得()/299 1.984t α=，于是均值μ的95%的置信区间为： ()()/2/2(99s /,99s /)(166.4,168.0)x t n x t n αα+-=
概率论与数理统计练习题第八章答案
第八章 假设检验（一） 一、选择题： 1．假设检验中，显著性水平为α，则 [ B ] (A) 犯第二类错误的概率不超过α (B) 犯第一类错误的概率不超过α (C) α是小于等于%10的一个数，无具体意义 (D) 可信度为α-1. 2．设某产品使用寿命X 服从正态分布，要求平均寿命不低于1000小时，现从一批这种产 品中随机抽出25只，测得平均寿命为950小时，方差为100小时，检验这批产品是否合格 可用 [ A ] （A ）t 检验法 （B ）2 χ检验法 （C ）Z 检验法 （U 检验法） （D ）F 检验法 3．从一批零件中随机抽出100个测量其直径，测得的平均直径为5.2cm ，标准方差为1.6cm ， 若这批零件的直径是符合标准5cm ，采用了t 检验法，在显著性水平α下，接受域为 [ A ] （A ）2||(99)
概率论与数理统计第八章课后习题及参考答案
概率论与数理统计第八章课后习题及参考答案 1．设某产品指标服从正态分布，它的均方差σ已知为150h ，今从一批产品中随机抽查26个，测得指标的平均值为1637h ．问在5%的显著性水平，能否认为这批产品的指标为1600h ？ 解：总体X ～)150,(2μN ，检验假设为 0H ：1600=μ，1H ：1600≠μ． 采用U 检验法，选取统计量n X U /00σμ-=，当0H 成立时，U ～)1,0(N ，由已知，有1637=x ，26=n ，05.0=α，查正态分布表得96.1025.0=u ，该检验法的拒绝域为}96.1{>u ．将观测值代入检验统计量得2577.142.293726 /150********==-=u ，显然96.12577.1<=u ，故接受0H ，即可认为这批产品的指标为1600h ． 2．正常人的脉搏平均为72次/min ，现某医生从铅中毒患者中抽取10个人，测得其脉搏(单位：次/min)如下： 54，67，68，78，70，66，67，70，65，69 设脉搏服从正态分布，问在显著性水平05.0=α下，铅中毒患者与正常人的脉搏是否有显著性差异？ 解：本题是在未知方差2σ的条件下，检验总体均值72=μ．取检验统计量为 n S X T /0μ-=，检验假设为 0H ：720==μμ，1H ：72≠μ．当0H 成立时，T ～)1(-n t ，由已知，有4.67=x ，93.5=s ，05.0=α，查t 分布表得262.2)9(025.0=t ，将观测值代入检验统计量得 45.288.16.410 /93.5724.67/0-=-=-=-=n s x t μ，
概率论与数理统计(经管类)第八章课后习题答案word
习题8.1 1.某天开工时,需检验自动装包机工作是否正常.根据以往的经验,其装包的重量在正常情况下服从正 态分布(单位:公斤).现抽测了9包,其重量为: 99.3 98.7 100.5 101.2 98.3 99.7 99.5 102.0 100.5 问这天包装机工作是否正常? 将这一问题化为一个假设检验问题,写出假设检验的步骤,设 解: (1)作假设 (2)选取检验统计量 (3)查表知, 拒绝域为 (4)由样本观测值有 不属于拒绝域,所以接受原假设,即认为这天包装机工作正常. 2.设分别是假设检验中犯第一,第二类错误的概率且分别为原假设和备择驾驶,则 (1)接受不真 (2)拒绝真 (3)拒绝不真 (4)接受真 习题8.2 1.某自动机生产一种铆钉,尺寸误差该机正常工作与否的标志是检验是否成立.一日 抽检容量n=10的样本,测得样本均值试问:在检验水平下,该日自动机工作是否正常? 解:检验假设 ∵ 查表知,由于故拒绝,即该日自动机工作不正常. 2.假定考生成绩服从正态分布,在某地一次数学统考中,随机抽取了36位考生的成绩,算的平均成绩为 分,标准差S=15分,问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分? 解: 检验假设 选取检验统计量 拒绝域为 将代入得.故接受 即在显著性水平0.05下, 可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分.
3.某种产品的重量(单位:克).更新设备后,从新生产的产品中,随机地抽取100个,测得样本 均值(克).如果方差没有变化,问设备更新后,产品的平均重量是否有显著变化()? 解: 检验假设 ∵ 查表知,由于故拒绝. 即设备更新后,产品的平均重量有显著变化. 4.一种燃料的辛烷等级服从正态分布,其平均等级为98.0,标准差为0.8,现从一批新油中抽25桶,算得 样本均值为97.7.假定标准差与原来一样,问新油的辛烷平均等级是否比原燃料平均等级偏低(). 解: 检验假设 ∵ 查表知,由于故接受. 即可以认为新油的辛烷平均等级比原燃料平均等级偏低. 5.从一批灯泡中随机抽取50个,分别测量其寿命,算得其平均值(小时),标准差S=490(小时). 问能否认为这批灯泡的平均寿命为2000(小时)().(用大样本情况下的u检验) 解: 检验假设 ∵ 查表知,由于故接受. 即可以认为这批灯泡的平均寿命为2000(小时). 6.某批矿砂的五个样品中镍含量经测定为(%): 3.25 3.27 3.24 3.26 3.24 设测定值服从正态分布,问能否认为这批矿砂的镍含量为3.25%(). 解: 检验假设 选取检验统计量 经计算 拒绝域为 将代入得.故接受 即可以认为这批矿砂的镍含量为3.25%.
第八章 玻色统计和费米统计
159 第八章 玻色统计和费米统计 8.1 试证明，对于玻色或费米统计，玻耳兹曼关系成立，即 ln .S k Ω= 解: 对于理想费米系统，与分布{}l a 相应的系统的微观状态数为（式（6.5.4）） ()! ,!! l l l l l Ωa a ωω=-∏ （1） 取对数，并应用斯特令近似公式，得（式（6.7.7）） ()()ln ln ln ln .l l l l l l l l l Ωa a a a ωωωω=----????∑ （2） 另一方面，根据式（8.1.10），理想费米系统的熵为 () ln ln ln ln S k ΞΞΞk ΞN U αβαβαβ???? =-- ? ????=++ ()ln ,l l l k Ξa αβε?? =++???? ∑ （3） 其中费米巨配分函数的对数为（式（8.1.13）） () ln ln 1.l l l Ξe αβεω--=+∑ （4） 由费米分布 e 1 l l l a αβεω+= + 易得 1e l l l l a αβεωω--+= - （5） 和 ln .l l l l a a ωαβε-+= （6） 将式（5）代入式（4）可将费米巨配分函数表示为 ln ln .l l l l l Ξa ωωω=-∑ （7） 将式（6）和式（7）代入式（3），有
160 ln ln l l l l l l l l l a S k a a a ωωωω?? -=+ ?-? ? ∑ ()()ln ln ln .l l l l l l l l l k a a a a ωωωω=----????∑ （8） 比较式（8）和式（2），知 ln .S k Ω= （9） 对于理想玻色系统，证明是类似的. 8.2 试证明，理想玻色和费米系统的熵可分别表示为 ()()()()B.E.F.D.ln 1ln 1, ln 1ln 1, s s s s s s s s s s S k f f f f S k f f f f =-++????=-+--????∑∑ 其中s f 为量子态s 上的平均粒子数. s ∑表示对粒子的所有量子态求和. 同时 证明，当1s f <<时，有 ()B.E. F.D.M.B.ln .s s s s S S S k f f f ≈≈=--∑ 解: 我们先讨论理想费米系统的情形. 根据8.1题式（8），理想费米系统的熵可以表示为 ()()()F.D.ln ln ln ln ln l l l l l l l l l l l l l l l l l l S k a a a a a a k a a ωωωωωωωω=----???? ??-=--+?? ??∑∑ 1ln 1ln ,l l l l l l l l l l a a a a k ωωωωω??????=---+?? ? ? ?????? ∑ （1） 式中l ∑表示对粒子各能级求和. 以l s l a f ω= 表示在能量为l ε的量子态s 上的平 均粒子数，并将对能级l 求和改为对量子态s 求和，注意到 ~,l l s ω∑∑ 上式可改写为 ()()F.D.ln 1ln 1.s s s s s S k f f f f =-+--????∑ （2）
概率论与数理统计答案第八章
第八章 假设检验 1.[一]某批矿砂的5个样品中的镍含量，经测定为（%）3.25 3.27 3.24 3.26 3.24。设测定值总体服从正态分布，问在α = 0.01下能否接受假设：这批矿砂的含镍量的均值为3.25. 解：设测定值总体X ～N （μ，σ 2），μ，σ 2均未知 步骤：（1）提出假设检验H 0：μ=3.25; H 1：μ≠3.25 （2）选取检验统计量为) 1(~25.3--= n t n S X t （3）H 0的拒绝域为| t |≥).1(2 -n t α （4）n=5, α = 0.01，由计算知01304 .0) (1 1 ,252.35 1 2 =--= =∑=i i X X n S x 查表t 0.005(4)=4.6041, )1(343.05 01304 .025.3252.3||2 -<=-= n t t α （5）故在α = 0.01下，接受假设H 0 2．[二] 如果一个矩形的宽度ω与长度l 的比618 .0)15(2 1≈-= l ω，这样的矩 形称为黄金矩形。这种尺寸的矩形使人们看上去有良好的感觉。现代建筑构件（如窗架）、 工艺品（如图片镜框）、甚至司机的执照、商业的信用卡等常常都是采用黄金矩型。下面列出某工艺品工厂随机取的20个矩形的宽度与长度的比值。设这一工厂生产的矩形的宽度与长短的比值总体服从正态分布，其均值为μ，试检验假设（取α = 0.05） H 0：μ = 0.618 H 1：μ≠0.618 0.693 0.749 0.654 0.670 0.662 0.672 0.615 0.606 0.690 0.628 0.668 0.611 0.606 0.609 0.601 0.553 0.570 0.844 0.576 0.933. 解：步骤：（1）H 0：μ = 0.618； H 1：μ≠0.618 （2）选取检验统计量为) 1(~618.0--= n t n S X t