第八章玻色统计和费米统计教案.

热力学与统计物理课程教案

第八表 玻色统计和费来统计 8.1 热力学量的统计表达式

一、非简并气体和简并气体

第七章根据玻耳兹曼分布讨论了定域系统和满足经典极限条件（非简并条件）的近独立粒子系统的平衡性质。非简并条件可以表达为：

122

3

2>>??

? ??=

h mkT πN V e α 或 122

32

3

<

本节推导玻色系统和费米系统热力学量的统计表达式。 1、玻色系统

首先考虑玻色系统。如果把βα,和y 看作已知的参量，系统的平均总粒子数可由下式给出：∑

∑-==+l

βεαl l

l l

e

ωa N 1

①

引出一个函数，名为巨配分函数，其定义为：l l ωβεαl

l l

e ----∏=Ξ∏=Ξ]1[ ②

取对数得：∑----=Ξl

βεαl l e ω)1ln(ln ③

系统的平均总粒子数N 可通过Ξln 表示：Ξ??

-

=ln α

N ④ 内能是系统中粒子无规则运动总能量的统计平均值：

∑∑-==+l

l

l l l

l l e ωεa εU 1

⑤

类似地可将U 通过Ξln 表为：Ξ??

-

=ln β

U ⑥ 外界对系统的广义作用力Y 是

y εl ??的统计平均值：y εe

ωa y εY l

l βεαl l l l l ??-=??=∑∑+1

可将Y 通过Ξln 表为：Ξ??

-

=ln 1y

βY ⑦

上式的有一个重要特例是：Ξ??

=

ln 1V

βP ⑧ 由式④-⑦得：)ln (ln )ln ()(α

d αdy y βd βN d βαYdy dU β?Ξ?-?Ξ?+?Ξ?-=+

- 注意上面引入Ξln 的是y βα、、函数，其全微分为：

dy y

βd βαd αd ?Ξ?+?Ξ?+?Ξ?=

Ξln ln ln ln 故有：???

? ??Ξ??

-Ξ??-Ξ=+

-ln ln ln )(ββααd N d βαYdy dU β 上式指出β是N d βαYdy dU +

-的积分因子。在热力学部分讲过，N d β

α

Ydy dU +-有积分因子

T 1，使dS N d βα

Ydy dU T =???

? ??+-1 比较可知kT β1=

，kT

μ

α-= 所以：)ln ln (ln Ξ??

-Ξ??-Ξ=β

βαα

kd dS 积分得：Ω=++Ξ=Ξ??

-Ξ??-Ξ=ln )(ln )ln ln (ln k U βN αk β

βαα

k S 上式就是熟知的玻耳兹曼关系。它给出熵与微观状态数的关系。 2、费米系统

对于费米系统，只要将配分函数改写为：l l ωβεαl

l l

e ]1[--+∏=Ξ∏=Ξ

其对数为：∑--+=Ξl

βεαl l e ω)1ln(ln

前面得到的热力学量的表达式完全适用。

8.2 弱简并玻色气体和费米气体

1、弱简并气体：

虽小，或3λn e α-但不可忽略的玻色气体和费米气体。

为简单起见，不考虑分子的内部结构，因此只有平动自由度。分子的能量为:

)(212

22z y x p p p m

ε++＝

。① 在体积V 内，在ε到εd ε+的能量范围内，分子可能的微观状态数为：

εd εm h V

πg εd εD 21233)2(2)(= ②

其中g 是由于粒子可能具有自旋而引入的简并度。

系统的总分子数满足：?

∞

+±=0

21

2

3

31

)

2(2βεαe ε

d εm h V

πg N ③

式③确定拉氏乘子α。

系统的内能为：?∞+±=023

2331

)2(2βεαe εd εm h V πg U 引入变量βεx =，将上述两式改写为：

1)2(22/102

/33±=+∞?x e dx x mkT h V g N απ 1)2(22/302

/33±=+∞?x e dx x kT mkT h V g U απ

两式被积函数的分母可表为：

）

（＝

－－x

αx αx αe e e ±±++11

11

⑤ 在αe -小的情形下，x αe --是一个小量，可将x

αe

－－±11

展开，只取头两项得： ()

x αx αx

αe e e ----+=± 11

1

保留展开的第一项相当于将费米（玻色）分布近似为玻耳兹曼分布。在弱简并的情形下，保留两项。

将式⑤代入将积分求出，得：

]211[)2(

2

3232

ααe Ve h mkT πg N --= ；]211[)2(2325232αα

e VkTe h mkT πg U --= 两式相除，得：]2

411[23α

e NkT U -±=

由于α

e -小，可将上式第二项中的α

e -用零级近似结果：g

mkT πh V N e α

1)2(232

＝-

代入而得：]241

1[23]1)2(2411[233232λn g

NkT g mkT πh V N NkT U ±=±=

上式第一项是根据玻耳兹曼分布得到的内能，第二项是由微观粒子全同性原理引起的量子统计关联所导致的附加内能。

8.3 玻色-爱因斯坦凝聚

上节讨论了弱简并理想玻色（费米）气体的性质，初步看到了由微观粒子全同性原理带来的量子统计关联对系统宏观性质的影响。在弱简并的情形下3λn 小，影响是微弱的。在本节中将会看到，当理想气体的3λn 等于或大于612.2的临界值时将出现独特的玻色-爱因斯坦凝聚现象。

考虑由N 个全同、近独立的玻色子组成的系统，温度为T 、体积为V 。假设粒子的自旋为零。根据玻色分布，处在能级l ε的粒子数为：

1

1

-=-=

-+kT

μ

εl

βεαl l l l e ωe ωa ①

显然，处在任一能级的粒子数都不能取负值。从式①可看出，这要求对所有能级

l ε均有1>-kT

μεl e

。以0ε表粒子的最低能级，这个要求也可表达为：με>0 ②。

这就是说，理想玻色气体的化学势必须低于粒子最低能级的能量。如果取最低能级为能量的零点即00=ε，则式②可表为：0<μ ③。化学势μ由公式

n V

N

e

ωV

l

kT

μεl l ==-∑

-1

1

④ 确定为温度T 及粒子数密度V N n /=的函数。在粒子数密度n 给定的情形下，温度愈低由式④确定的μ值越高。将式④的求和用积分代替，可将之表达为：

n e

εd εm h V

πkT

μεl =?

∞

-0

21

2

3

3

1

)2(2－ ⑤

化学势随温度的降低而升高，当温度降到某一临界温度C T 时，μ将趋于0-。这时kT

μe

-趋于1。临界温度C T 由下式定出：

n e εd εm h V

πc

l kT ε=?

∞

21

2

33

1

)2(2－

n e dx

x mkT h

π

kT εx x C c ==?

∞

21

2

3

31

)2(2,－可得：令： 因此对于给定的粒子数密度n ，临界温度C T 为：3

222

3)

612.2(2n mk

h πT c =

温度低于C T 时会出现什么现象呢？前面的讨论指出，温度愈低时μ值愈高，但在任何温度下μ必是负的。由此可知在C T T <时，μ仍趋于0-。但这时式⑤左方将小于n ，与V

N

n =

给定的条件矛盾。产生这个矛盾的原因是，我们用式⑤的积分代替式④的求和。由于状态密度中含有因子ε，在将式④改为式⑤时，

0=ε的项就被弃掉了。由④可以看出，在C T 以上μ为负的有限值时，处在能级0=ε的粒子数与总粒子数相比是一个小量，用积分代替求和引起的误差是可以

忽略的；但在C T 以下μ趋于0-时，处在能级0=ε的粒子数将是很大的数值，不能忽略。因此，在C T T <时，应将式⑤改写为：

()()n e εd εm h πT n kT

ε=-+?∞

02/12

/3301

22 ⑥

()的粒子数密度，时处在能级是温度为第一项00=εT T n 。

的粒子数密度第二项是00>>εn ε 计算式⑥的第二项。令kT εx /=，可得：

23

021

2

330

)(1

)2(2C kT εεT T n e εd εm h πn ==?∞>－

将上式代入式⑥可得，温度为T 时处在最低能级0=ε的粒子数密度为：

()])(1[23

0C

T T n T n -= ⑦

由此可知，在C T 以下0n 与n 具有相同的量级。

我们知道，在绝对零度下粒子将尽可能占据能量最低的状态，对于玻色粒子，一个量子态所能容纳的粒子数目不受限制，因此，绝对零度下玻色粒子将全部处在0=ε的最低能级。式⑦表明，在C T T <时就有宏观量级的粒子在能级0=ε凝聚。这一现象称为玻色-爱因斯坦凝聚，简称玻色凝聚。C T 称为凝聚温度。

8.4 光子气体

1、推导普朗克公式

前面两节讨论了弱简并理想玻色气体的特性和612.23≥λn 时理想玻色气体出现的凝聚现象，所讨论的系统具有确定的粒子数。本节从粒子的观点根据玻色分布讨论平衡辐射问题。在平衡辐射中光子数是不守恒的

根据粒子的观点，可以把空窖内的辐射场看作光子气体。如§7.4讲过，空窖内的辐射场可以分解为无穷多个单色平面波的叠加。根据§6.2，具有一定的波矢→

k 和圆频率ω的单色平面波与具有一定的动量→

p 和能量ε的光子相应。动量

→

p 与波矢→

k ，能量ε与圆频率ω之间遵从德布罗意关系：

=

ωε = ①

考虑到ck ω=，得：cp ε= ② 这是光子的能量动量关系。

光子是玻色子，达到平衡后遵从玻色分布。由于窖壁不断发射和吸收光子，光子气体中光子数是不守恒的。在导出玻色分布时只存在E 是常数的条件而不存在N 是常数的条件，因而只应引进一个拉氏乘子β。这样光子气体的统计分布为：

1

-=

l βεl

l e ωa

因为0,=-

=αkT

μ

α意味着平衡状态下光子气体的化学势为零。 光子的自旋量子数为1。自旋在动量方向的投影可取 ±两个可能值，相当于左、右圆偏振。考虑到光子自旋有两个投影，可知在体积为V 的空窖内，在p 到dp p +的动量范围内，光子的量子态数为

dP P c

V πdP P D 2

38)(=

将①和②二式代入上式可得，在体积为V 的空窖内，在ω到ωd ω+的圆频率范围内，光子的量子态数为：ωd ωc

πV

ωd ωD 23

2)(=

平均光子数为：1

232-kT ωe ω

d ωc πV

辐射场的内能则为：ωd e ωc πV ωd ωD εωd T ωU kT ω1)(),(3

32-==

上式所给出的辐射场内能按频率的分布与实验结果完全符合。 2、讨论：

（1）、在 1<

的低频范围内，kT

ωe kT ω

+≈1 上式可近似为： ωkTd ωc

πV

ωd T ωU 23

2),(=

此即为瑞利－金斯公式 （2）在1>>kT

ω

的高频范围内，1>>kT ω

e 上式可近似为： ωd e ωc

πV

ωd T ωU kT ω

-=332),( 此即为维恩公式

3、光子气体的统计分布

()

()

ωd e ωc πV e ωωβl

βεl l ?

∑∞

----

=--=Ξ0

23

21ln 1ln ln

光子气体的内能为： 4

3

34215ln T c V k πβU

=Ξ??-= 8.5 金属中的自由电子气体

一、电子气体的性质

前面讨论了玻色气体，现在转而讨论费米气体的性质。如前所述，当气体满足非简并条件1>>αe 或13<<λn 时，不论由玻色子还是费米子组成的气体，都同样遵从玻耳兹曼分布。弱简并的情形初步显示了二者的差异。本节金属中的自由电子气体为例，讨论强简并1<<αe 或13>>λn 情形下费米气体的特性。

原子结合成金属后，价电子脱离原子可在整个金属内运动，形成公有电子。失去价电子后的原子成为离子，在空间形成规则的点阵。在初步的近似中人们把公有电子看作在金属内部作自由运动的近独立子。实验发现，除在极低温度下，金属中自由电子的热容量与离子振动的热容量相比较，可以忽略。这是经典统计理论遇到的困难。另外，金属中的自由电子形成强简并的费米气体。

根据费米分布，温度为T 时处在能量为ε的一个量子态上的平均电子数为：

1

1

+=

-kT

μ

εe f

①

考虑到电子自旋在其动量的方向的投影有两个可能值，在体积V 内，能量ε到εd ε+的范围内，电子的量子态数为：

()()εd εm h

V πεd εD 2

123324=

。 所以在体积V 内，能量ε到εd ε+的范围内，平均电子数为：

1)2(42

/12/33

+-kT e d m h V μεεεπ

在给定电子数N ，温度T 和体积V 时，化学势μ由下式确定：

N e d m h V kT =+-∞

?1)2(42/10

2

/33μεεεπ

由上式可知，μ是温度T 和电子密度V N /的函数。

现在讨论K T 0=时电子的分布。以()0μ表示K 0时电子气体的化学势，由①式知，K 0时，

()0,1μεf <=

()0,0μεf >=

上式的物理意义是，在K T 0=时，在()0με<的每一量子态上平均电子数为1，

在()0με>的每一量子态上平均电子数为0。这分布可以这样理解：在K 0时电子将尽可能占据能量最低的状态，但泡利不相容原理限制每一量子态最多只能容纳一个电子，因此电子从0=ε的状态起依次填充至()0μ为止。()0μ是电子K 0时的最大能量，由下式确定：

N d m h V =?)

0(0

2/12

/33

)2(4μεεπ

将上式积分，可解得()0μ为：

2

/322)3(2)0(V N

m πμ =

()0μ也常称为费米能级，以F ε表示。令m

p εF

F 22

=，可得： ()

3

/123n

πp F =

F p 是K 0电子气体的最大动量，

称为费米动量。相应速率m

p v F

F =称为费米速率。现在对()0μ的数值作一估计。除质量m 外，()0μ取决于电子气体的数密度n 。根据前面给出的数据，可以算得铜的()J μ181012.10-?=或eV 0.7。定义费米温度： ()0μkT F =

得到铜的F T 为K 4102.8?，远高于通常考虑的温度，说明()0μ的数值是很大的。

K 0电子气体的内能为：

)0(53)2(4)0()

0(0

2/32

/33μεεπμN

d m h

V

U ==?

由此可知，K 0时电子的平均能量为()05

3

μ。K 0时电子气体的压强为：

()()()05

2

0320μn V U p ==

根据前面的数据，可得K 0时铜的电子气体的压强为Pa 10108.3?。这是一个极大的数值。它是泡利不相容原理和电子气体具有高密度的结果，常称为电子气体的简并压。

现在讨论K 0时金属中自由电子的分布。由①式可知：

21

>

f ， με< 21

=f ， με=

21

上式表明，在0>T 时，在με<的每一量子态上平均电子数大于2/1，在με=的每一量子态上平均电子数等于2/1，με>的每一量子态上平均电子数小于2/1。

费米气体的强简并条件1<<-kT

μ

e

也往往表达为F T T <<。由此可知，只有能

量在μ附近，量级为kT 范围内的电子对热容量有贡献。根据这一考虑，可以粗略估计电子气体的热容量。以有效N 表示能量在μ附近kT 范围内对热容量有贡献的有效电子数：N μ

kT

N ≈

有效。 将能量均分定理用于有效电子，每一有效电子对热容量的贡献为kT 2

3

，则金属中自由电子对热容量的贡献为：

F V T T Nk kT Nk C 23)(23==

μ

现在对自由电子气体的热容量进行定量计算。电子数N 满足：

1)2(42/10

2

/33+=-∞

?kT e d m h V N μ

εεεπ

上式确定自由电子气体的化学势。电子气体的内能U 为：

1)2(42/30

2

/33+=-∞

?kT e d m h V U μ

εεεπ

以上两式的积分都可写成下述形式：

1)(0

+=-∞

?

kT

e

d I μ

εε

εη

其中()εη分别为2/1εC 和2/3εC ，常数()2

/3324m h

V πC =。 分步积分可得：

???

????

????

?

??+

=2

2

2/38132μkT πμC N ???

????

????

?

??+

=2

2

2/585152μkT πμC U 3

/22

22

/33

/28132-???

????

????

? ??+

?

?

?

??=μkT πμC C N μ

作相应的近似可得：

()()()???

?

???

????

? ??+

????

????????? ??-=2

2

2

/5222

/508510121052μkT πμkT πμC U ()()???

?

???

????

?

??+=2

2

01251053

μkT πμN 积分可得电子气体的定容热容量为：

()T γμkT πNk

T U C V

V 0202==???

????= 这结果与前面粗略分析的结果只有系数的差异。

如前所述，在常温范围电子的热容量远小于离子振动的热容量。但在低温范围，离子振动的热容量按3T 随温度而减少；电子容量与T 成正比，减少比较缓慢。所以，在足够低的温度下电子热容量将大于离子振动的热容量而成为对金属热容量的主要贡献。

前面的理论将金属的公有电子近似看作在金属内部作自由运动的近独立粒子。我们知道，由于粒子在空间排列的周期性，粒子在金属中产生一个周期性势场，实际上电子在这周期场中运动，离子的热振动对电子的运动也产生影响，电子之间又存在库仑相互作用，更深入地描述金属中电子的运动相当复杂。

8.6 白矮星

一、白矮星

恒星的能源来自星体上发生的热核反应。白矮星是比较老的一种恒星，星体上热核反应的燃料-氦已经基本耗尽，星体物质基本上是核聚变的产物-氦。中年时期的恒星，其内部进行着氢聚变为氦的热核反应，热核反应所产生的向外辐射压与内向引力相抗衡。使恒星处于一个相对稳定的阶段。核心的氢燃烧形成氦的核心，氦核不断扩大。但当氦核达到整个恒星质量的%15%10-时，靠氢核聚变产生的辐射压力抵挡不住引力时，氦核开始坍塌。结果原子越来越密，引力越大，坍塌愈厉害。在巨大的压力下，原子核挤得很密，恒星温度急剧上升。恒星温度很高，其粒子的平均热能为eV 310，远大于其电离能量。实际上氦以完全电离状态存在（原子已压碎）。由于密度极高，虽然在很高的温度下，电子气仍然高度简并、电子费米能量很大，于是这种高度简并电子气的压力与引力相平衡。形成一个新的稳定状态-白矮星。

以天狼星伴星（白矮星）为例：K T cm g ρg M 7373310.1010=≈≈-，， 每个粒子的平均热能eV 310，比氦原子的电离能eV 50大得多，因此白矮星中的氦原子全部电离成自由电子和氦核，氦原子由两个电子和两个氦核组成，氦核由两个中子和两个质子组成，则白矮星总质量为：

倍太阳质量4.1242

≤≈+

=p p e Nm m N

Nm M 1、白矮星内电子气体是相对论性高度简并气体

质子质量。白矮星质量，，电子密度：::102/2/330p p

p m M cm m ρ

ρM m M V N n -≈===

()J V N πm μ133

/222105.0320-?≈????

??= 费米能量：

()。，远高于白矮星的温度相应的费米温度K k

μT F 91030?==

说明电子由于热运动只有极少数（费米面附近）电子可被激发到高能级参与热运动。所以白矮星电子气的费米球是较光滑的。 与电子静止质量相应的能量：

()()

J s m kg mc ε132

2

83020101.103101---?≈???≈=

()具有相同的数量级，与00με因此，相对论效应虽然显著，但还不具有压倒的影响。

2、白矮星电子气的简并压

()

3

/522

/32

235

2

??

? ??=V N m πP 性的，则：如果电子气是非相对论

3

/43

/18341?

??

????? ??=V N πch P 子气的简并压为：极端相对论性情形下电

3、白矮星的半径

假设星体是球形的，由于简并压的存在：

dR

R πP dE dR 24-=时，其内能改变为：当星体半径改变

dR R GM

a

dR dR

dE dE dR R

GM a E g g g 2

2

2==

-=时，引力势能的改变：当星体半径改变，

白矮星的引力势能：

4

2

4R GM πa P =

之和为零，故有：平衡时两式的能量改变21

3-∝≈=M R nR M n V

N

：，可得非相对论情形下和由于

上式说明质量越大的白矮星半径越小。 当星体密度再增大，电子将被原子核俘获：

。

成为主导，成为中子星数，简并中子气，星体中子数超过电子，当3111.103---?>+=+cm g ργA e A Z Z

中子星依靠中子简并压力来阻止强大引力造成的进一步坍缩。中子星的极端物理条件：超高密度﹑超高温、超高压、超强磁场和超辐射，在地球上无法实现，所以中子星就成了极端物理条件的实验室，帮助人们了解物质在极端条件下的运动变化规律。

8.7

二维电子气体和量子霍尔效应

20世纪60年代以来，低维物理的研究取得了重大进展。20世纪80年代整数和分数量子霍尔效应的发现是其中最重要的进展之一。本节对低维强磁场中二维电子气体的特性和整数量子霍尔效应作简单介绍。

电子在xy 平面自由运动的能量可表为：()

2

222y x k k m

+ ，其中x k 和y k 分别是电子在x 和y 方向的动量，m 是电子的有效质量。由于动量的可能值是连续的，能量也形成准连续谱。习题6.3给出二维自由电子在单位面积上的状态密度为：

()2

2

πm

εD =

上式未计及自旋，在上式给出的每一个态上，电子自旋可以有两个取向。以

,,21εε表示电子在z 方向运动的分立能级。电子的能量可以表为：

()

2

222y x j k k m

ε++

对应于每一个能级j ε，电子二维运动的能量形成一个子能带。

0=T 时电子将尽可能占据能量最低的状态，从0=ε的状态起依次填充至费

米能级F ε为止。如果界面电子密度n 满足下式：

()122

εεπm

n -<

费米能级F ε将低于2ε，电子只占据最低子带。这种情形称为量子极限。在相反的情形下，电子将溢为第二甚至更高的子带。

量子霍尔效应分为整数量子霍尔效应和分数量子霍尔效应两种情况考虑。量子霍尔效应具有丰富的物理内容，引出一些全新的概念，目前对量子霍尔效应的研究正在深入进行。