人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形考试复习题(含答案) (57)

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形

考试复习题（含答案)

如图，在等腰三角形ABC 中，,AB AC D =是AC 上一动点，点E 在BD 的延长线上,且,AB AE AF =平分CAE ∠，交DE 于点F .

(1)如图①，连接CF ，求证: ABE ACF ∠=∠；

(2)如图②，当60ABC ∠=?时，求证: AF EF FB +=；

(3)如图③，当45ABC ∠=?时，若BD 平分ABC ∠，求证: 2BD EF =.

【答案】见解析

【解析】

【分析】

（1）证△EAF ≌△CAF ，推出EF ＝CF ，∠E ＝∠ACF ，根据等腰三角形性质推出∠E ＝∠ABF ，即可得出答案；

（2）在FB 上截取BM ＝CF ，连接AM ，证△ABM ≌△ACF ，推出EF ＝FC ＝BM ，AF ＝AM ，推出△AMF 是等边三角形，推出MF ＝AF ，即可得出答案；

（3）连接CF ，延长BA 、CF 交N ，证△BFC ≌△BFN ，推出CN ＝2CF ＝2EF ，证△BAD ≌△CAN ，推出BD ＝CN ，即可得出答案．

【详解】

（1）∵AF 平分∠CAE ，

∴∠EAF ＝∠CAF ，

∵AB ＝AC ，AB ＝AE ，

∴AE ＝AC ，

在△ACF 和△AEF 中，

{AE AC

EAF CAF AF AF

∠∠＝＝＝，

∴△ACF ≌△AEF （SAS ），

∴∠E ＝∠ACF ，

∵AB ＝AE ，

∴∠E ＝∠ABE ，

∴∠ABE ＝∠ACF ．

（2）连接CF ，

∵△ACF ≌△AEF ，

∴EF ＝CF ，∠E ＝∠ACF ＝∠ABM ，

在FB 上截取BM ＝CF ，连接AM ，

在△ABM 和△ACF 中，

{AB AC

ABM ACF BM CF

∠∠＝＝＝，

∴△ABM ≌△ACF （SAS ），

∴AM ＝AF ，∠BAM ＝∠CAF ，

∵AB ＝AC ，∠ABC ＝60°，

∴△ABC 是等边三角形，

∴∠BAC ＝60°，

∴∠MAF ＝∠MAC ＋∠CAF ＝∠MAC ＋∠BAM ＝∠BAC ＝60°，

∵AM ＝AF ，

∴△AMF 为等边三角形，

∴AF ＝AM ＝MF ，

∴AF ＋EF ＝BM ＋MF ＝FB ，

即AF ＋EF ＝FB ；

（3）连接CF ，延长BA 、CF 交N ，

∵∠ABC ＝45°，BD 平分∠ABC ，AB ＝AC ，

∴∠ABF ＝∠CBF ＝22.5°，∠ACB ＝45°，∠BAC ＝180°?45°?45°＝90°， ∴∠ACF ＝∠ABF ＝22.5°，

∴∠BFC ＝180°?22.5°?45°?22.5°＝90°，

∴∠BFN ＝∠BFC ＝90°，

在△BFN 和△BFC 中{NBF CBF

BF BF BFN BFC

∠∠∠∠＝＝＝，

∴△BFN ≌△BFC （ASA ），

∴CF ＝FN ，

即CN ＝2CF ＝2EF ，

∵∠BAC ＝90°，

∴∠NAC ＝∠BAD ＝90°，

在△BAD 和△CAN 中，{ABD ACN

AB AC BAD CAN

∠∠∠∠＝＝＝，

∴△BAD ≌△CAN （ASA ），

由（2）得CF ＝EF ，

∴BD ＝CN ＝2CF ＝2EF ．

【点睛】

本题考查了等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力，难度偏大．

62．如图，在△ABC 中，∠B=60°，△ABC 的角平分线AD 、CE 相交于点O ，

（1）求∠AOC 的度数；

（2）求证：OE=OD ；

（3）．猜测AE ，CD ，AC 三者的数量关系，并证明.

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）AE+CD=AC.

【解析】

【分析】

（1）根据△ABC 中，∠B ＝60°，所以∠BAC ＋∠BCA ＝120°．因为

AD

平分∠BAC ，CE 平分∠ACB ，可求出∠AOC ＝120°；

（2）求出∠AOE ＝60度．在AC 上截取AF ＝AE ，连接OF ，易证

△AOE ≌△AOF ，得OE ＝OF ，∠AOE ＝∠AOF ＝60°，可证△COD ≌△COF ，得OD ＝OF ，即可得证；

（3）根据全等得出AE ＝AF ，CD ＝CF ，所以AC ＝AF ＋CF ＝AE ＋CD ，即AE ＋CD ＝AC ．

【详解】

（1）在△ABC 中，∠B ＝60°，

∴∠BAC ＋∠BCA ＝180°?∠B ＝180°?60°＝120°．

∵AD 平分∠BAC ，CE 平分∠ACB ，

∴∠OAC ＝∠OAB ＝12∠BAC ，∠OCD ＝∠OCA ＝12

∠ACB ， 在△OAC 中，∠AOC ＝180°?（∠OAC ＋∠OCA ）

＝180°?12（∠BAC ＋∠ACB ）＝180°?12

×120°＝120°； （2）∵∠AOC ＝120°，

∴∠AOE ＝∠DOC ＝180°?∠AOC ＝180°?120°＝60°，

在AC 上截取AF ＝AE ，连接OF ，如图，

在△AOE 和△AOF 中，

{AE AF

OAE OAF OA OA

∠∠＝＝＝

∴△AOE ≌△AOF （SAS ），

∴OE=OF ，

∴∠AOE ＝∠AOF ，

∴∠AOF ＝60°，

∴∠COF ＝∠AOC ?∠AOF ＝120°?60°＝60°，

又∠COD ＝60°，

∴∠COD ＝∠COF ，

在△COD 和△COF 中，

{COD COF

OC OC OCD OCF

∠∠∠∠＝＝＝，

∴△COD ≌△COF （ASA ），

∴OD ＝OF ，

∴OE=OD ；

（3）∵△AOE ≌△AOF ，△COD ≌△COF ，

∴AE ＝AF ，CF ＝CD ，

又∵AF ＝AE ，

∴AC ＝AF ＋CF ＝AE ＋CD ，

即AE ＋CD ＝AC.

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质；解答此题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，把相关的线段划到同一个三角形中找关系．

63．如图，已知E 是正方形ABCD 的边CD 的中点，点F 在BC 上，且

∠DAE=∠FAE ，

求证：AF=AD+CF ．

【答案】证明见解析

【解析】

【分析】

过E 点作EG ⊥AF ，垂足为G ，根据题干条件首先证明△ADE ≌△AGE ，即可得AD ＝AG ，同理证明出CF ＝GF ，于是结论可以证明AF ＝AD+CF ．

【详解】

过E 点作EG ⊥AF ，垂足为G ，

∵∠DAE ＝∠FAE ，∠D ＝∠AGE ＝90°，

又∵∠BAE ＝∠EAF ，即AE 为角平分线，EB ⊥AB ，EG ⊥AG ，

∴DE ＝GE ，

在Rt △ADE 和Rt △AGE 中，

AE AE DE GE =???

＝， ∴Rt △ADE ≌Rt △AGE （HL ），

∴AD ＝AG ，

∵E 是CD 的中点，

∴CE=DE=EG ，

连接EF ，同理可证Rt △ECF ≌Rt △EGF ，

可得CF ＝GF ，

∴AF ＝AG+GF ＝AD ＋CF ．

【点睛】

本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定与性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握正方形的性质，此题难度不大．

64．如图，

△ABC 是等边三角形，点D E 、分别是BC CA 、延长线上的点，且CD AE =,DA 的延长线交BE 于点F .

⑴.求证：△ABE ≌△CAD ；

⑵.求BFD ∠的度数.

【答案】（1）详见解析；（2）60BFD ∠=.

【解析】

【分析】

第一问利用全等三角形的判定定理证明；第二问利用三角形外角的性质求解.

（1）∵△ABC 是等边三角形

∴AB=CA ，

∵∠EAB=180?-∠BAC=120?，∠DCA=180?-∠ACB=120?

∴∠EAB=∠DCA

又∵AE CD =

∴△ABE ≌△CAD

（2）∵△ABE ≌△CAD ∴∠DAC=∠EBA

∵∠BAD 是三角形ABF 的一个外角，∴∠BAD=∠EBA+BFD ∠，

又∵∠BAD =∠DAC+∠BAC

∴60BFD BAC ∠=∠=.

【点睛】

本题主要考查学生对全等三角形判定定理和三角形外角性质的掌握.

65．如图，已知90AOB COD ∠=∠=,,AB CD OA OC ==.

求证：⑴.△AOB ≌△COD

⑵.DE BF =

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

第一问用HL 证明直角三角形全等，第二问用ASA 证明两个小三角形全等再证明DE BF =.

【详解】

⑴证明：

∵90AOB COD ∠=∠=,,AB CD OA OC ==

∴△AOB ≌△COD （HL ）

⑵由△AOB ≌△COD 得∠A=∠C ，∠AOB=∠COD ，OD=OB

∵∠AOB=∠BOD+∠AOE ，∠COD=∠BOD+∠COF

∴∠AOE=∠COF

又∵∠A=∠C ，OA OC =

∴△AOE ≌△COF

∴OE=OF

∵OD=OE+DE ，OB=OF+BF

∴DE BF =.

【点睛】

掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解答本题的关键.

66．如图，在△ABC 与△DCB 中，AC 与BD 交于点E ，且A D ∠=∠，AB DC =.

⑴.求证：△ABE ≌△DCE

⑵.当70AEB ∠=时，求EBC ∠的度数．

【答案】⑴详见解析; ⑵35EBC ∠=.

【解析】

【分析】

⑴根据AAS 可推出三角形ABE 和三角形DCE 全等;⑵根据三角形全等得出EB=EC ，推出∠EBC=∠ECB ，根据三角形的外角性质得出2EBC AEB ∠∠= ，代入求出即可.

【详解】

⑴证明：

∵在△ABE 和△DCE 中A D AEB DEC AB DC ∠=∠??∠=∠??=?

∴△ABE ≌△DCE

⑵

∵△ABE ≌△DCE

∴BE=EC

∴∠EBC=∠ECB

∴∠EBC+∠ECB=70AEB ∠=

∴35EBC ∠=.

【点睛】

本题考查了三角形的外角性质和全等三角形的性质和判定的应用，主要考查学生的推理能力.

67．如图，在Rt △BCD 中，∠CBD=90°，BC=BD ，点A 在CB 的延长线

上，且BA=BC，点E在直线BD上移动，过点E作射线EF⊥EA，交CD所在直线于点F．

（1）当点E在线段BD上移动时，如图（1）所示，求证：AE=EF；

（2）当点E在直线BD上移动时，如图（2）、图（3）所示，线段AE与EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．

【答案】（1）证明见解析；（2）AE=EF，证明见解析.

【解析】

【分析】

（1）如图1中，在BA上截取BH，使得BH=BE．证明△AHE≌△EDF，根据全等三角形的性质可得AE=EF；（2）如图2中，在BC上截取BH=BE，类比（1）的方法可证AE=EF；如图3中，在BA上截取BH，使得BH=BE．类比（1）的方法可证AE=EF．

【详解】

（1）证明：如图1中，在BA上截取BH，使得BH=BE．

∵BC=AB=BD，BE=BH，

∴AH=ED，

∵∠AEF=∠ABE=90°，

∴∠AEB+∠FED=90°，∠AEB+∠BAE=90°，

∴∠FED=∠HAE，

∵∠BHE=∠CDB=45°，

∴∠AHE=∠EDF=135°，

∴△AHE≌△EDF，

∴AE=EF．

（2）如图2中，在BC上截取BH=BE，同法可证：AE=EF

如图3中，在BA上截取BH，使得BH=BE．同法可证：AE=EF．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．

68．如图，已知△ABF≌△CDE.

（1）若∠B＝30°，∠DCF＝40°，求∠EFC的度数；

（2）若BD=10，EF=2，求BF的长.

【答案】（1）70°；（2）6.

【解析】

【分析】

（1）根据△ABF≌△CDE，可知∠B=∠D，进而利用外角性质求出∠EFC 的度数即可；（2）由△ABF≌△CDE可知BF=DE，进而BE=DF，根据BD=10，EF=2即可求出BE＝DF=4，进而求出BF的长即可.

【详解】

（1）∵△ABF≌△CDE，

∴∠B=∠D.

∵∠B＝30°，

∴∠D=30°.

∵∠DCF＝40°，

∴∠EFC=∠D+∠DCF=70°.

（2）∵△ABF≌△CDE，

∴BF=DE

.∵BF=BE+EF，DE=DF+EF，

∴BE=DF.

∵BD=10，EF=2，

∴BE+DF=BD-EF=8，

∴BE=DF=4，

∴BF=BE+EF=6.

【点睛】

本题考查全等三角形的性质，根据三角形全等找出对应边、对应角是解题关键.

69．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=CB，点E在边BC上，点F 在边AB的延长线上，BE=BF．

（1）求证：△ABE≌△CBF；

（2）若∠CAE=30°，求∠ACF的度数．

【答案】（1）见解析；（2）∠ACF的度数为60°

【解析】

【分析】

（1）由∠ABC=90°可得∠CBF=90°，再由SAS就即可得出∠ABE∠∠CBF；

（2）根据题意可得∠BAC=∠ACB=45°由∠CAE=30°可得∠BAE=15°，即∠BCF=15°，进而可以求出∠ACF的度数．

【详解】

（1）证明：∠∠ABC=90°，

∠∠ABC=∠CBF=90°．

在∠ABE 和∠CBF 中，

AB CB ABE CBF BE BF =??∠=∠??=?

， ∠∠ABE ∠∠CBF （SAS ）；

（2）解：∠∠ABE ∠∠CBF ，

∠∠BAE=∠BCF ，

∠∠ABC=90°，AB=CB ，

∠∠BCA=∠BAC=45°，

∠∠CAE=30°，

∠∠BAE=15°，

∠∠BCF=15°，

∠∠ACF=∠BCF+∠ACB ，

∠∠ACF=15°+45°=60°．

答：∠ACF 的度数为60°.

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定与性质，解此题的关键在于熟练掌握全等三角形的判定方法.

70．如图，已知：AO=BO ，OC=OD ．求证：∠ADC=∠BCD ．

【答案】见解析

【解析】

【分析】

利用“边角边”证明∠AOD 和∠BOC 全等，根据全等三角形对应角相等可得∠ADO=∠BCO ，根据等边对等角可得∠ODC=∠OCD ，然后相减整理即可得证．

【详解】

证明：在∠AOD 和∠BOC 中，

AO BO O O OD OC =??∠=∠??=?

， ∠∠AOD ∠∠BOC （SAS ），

∠∠ADO=∠BCO ，

∠OC=OD ，

∠∠ODC=∠OCD ，

∠∠ADO ﹣∠ODC=∠BCO ﹣∠OCD ，

即∠ADC=∠BCD .

【点睛】

本题考点：全等三角形的判定与性质

.