(完整版)人教版九年级锐角三角函数全章教案

第二十八章锐角三角函数

28．1 锐角三角函数（1）

教学目标：

1、知识与技能：通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实。能根据正弦概念正确进行计算。

2、过程与方法：通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．

3、情感态度与价值观：引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．

教学重点：

理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．

教学难点：

引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实．

教学过程：

一、复习旧知、引入新课

【引入】操场里有一个旗杆，老师让小明去测

量旗杆高度。小明站在离旗杆底部10米远处，目

测旗杆的顶部，视线与水平线的夹角为34度，并已知目高为1米．然后他很快就算出旗杆的高度了。下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦

34

1米

10

米

?

二、探索新知 【活动一】问题的引入

【问题一】为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行灌溉。现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？

分析：问题转化为，在Rt△ABC 中，∠C=90o ，∠A=30o ，BC=35m,求AB 根据“在直角三角形中，30o 角所对的边等于斜边的一半”，即

可得AB=2BC=70m.即需要准备70m 长的水管

结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30o ，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于

2

1

【问题二】如图，任意画一个Rt △ABC ，使∠C=90o ，∠A=45o ，计算∠A 的对边与斜边的比

AB

BC

，能得到什么结论？（学生思考） 结论：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于45o ，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于

2

2。 【问题三】一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？

如图：Rt △ABC 与Rt △A 1B 1C 1中，∠C=∠C 1=90o ， ∠A=∠A 1=α，那么与

有什么关系

分析：由于∠C=∠C 1 =90o ，∠A=∠A 1=α，所以Rt△ABC∽Rt△A 1B 1C 1，

，即

结论：在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A 的对边与斜边的比也是一个固定值。

【活动二】认识正弦

如图，在Rt △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别记为a 、b 、c 。

在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦。记作sinA 。 板书：sinA ＝

A a A c ∠=∠的对边的斜边 （举例说明：若a=1,c=3,则sinA=3

1

）

【注意】：1、sinA 不是 sin 与A 的乘积，而是一个整体；

2、正弦的三种表示方式：sinA 、sin56°、sin ∠DEF

3、sinA 是线段之间的一个比值；sinA 没有单位。

提问：∠B 的正弦怎么表示？要求一个锐角的正弦值，我们需要知道直角三角形中的哪些边？

三、例题讲解

例 （教材P63-例1）如课本图28．1-5，在Rt △ABC 中，∠C=90°，求sinA 和sinB 的值．

教师对题目进行分析：求sinA 就是要确定∠A 的对边与斜边的比；求sinB?就是要确定∠B 的对边与斜边的比．我们已经知道了∠A 对边的值，所以解题时应先求斜边的高．

如图（2）在Rt△ABC 中，

(1)

34

C

B A

.5

4sin 53sin 5.34BC AC AB ABC R 12222=====+=+=?AB AC B AB BC A t ，因此中，

），在解：如图（,13

5sin ==AB BC A 12

5132222=-=-=BC AB AC 13

12

sin =

=AB AC B 因此

四、课堂练习

教材P64-练习第1、2题

五、课时小结

在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．

在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA。

六、布置作业

教材P68-习题28.1第1题

A

B

C

D

28．1 锐角三角函数（2）

教学目标：

1、知识与技能：了解锐角三角函数的概念，能够正确应用sinA 、cosA 、tanA 表示直角三角形中两边的比．逐步培养学生观察、比较、分析、概括的思维能力．

2、过程与方法：通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．

3、情感态度与价值观：引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．

教学重点：

理解余弦、正切的概念．

教学难点：

熟练运用锐角三角函数的概念进行有关计算．

教学过程：

一、复习旧知、引入新课 【复习】

1、口述正弦的定义

2、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D 。已知AC= 5 ，BC=2，那么sin ∠ACD ＝（ ） A

B ．23

C

D

二、探索新知 余弦、正切的定义

一般地，当∠A 取其他一定度数的锐角时，它的邻边与斜边的比是否也是一个固定值？

如图：Rt △ABC 与Rt △A 1B 1C 1，∠C=∠C 1 =90o

，

∠B=∠B1=α，那么与有什么关系？

分析：由于∠C=∠C

1 =90o，∠B=∠B

1

=α，所以Rt△ABC∽Rt△A

1

B

1

C

1

，

即

结论：在直角三角形中，当锐角B的度数一定时，不管三

角形的大小如何，∠B的邻边与斜边的比也是一个固定值。

如图，在Rt△ABC中，∠C=90o，把锐角B的邻边与斜边的

比叫做∠B的余弦，记作cosB，即

把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切.记作tanA，即

锐角A的正弦,余弦,正切都叫做∠A的锐角三角函数.

三、例题讲解

例（教材P65-例2）如课本图28．1-7，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,BC=6，

sinA=3

5

，求sinA、cosA、tanA的值．

教师对解题方法进行分析：我们已经知道了直角三角形中一

条边的值，要求余弦，正切值，就要求斜边与另一个直角边的值．我

们可以通过已知角的正弦值与对边值及勾股定理来求．

教师分析完后要求学生自己解题．学生解后教师总结并板书．

解：略

四、课堂练习

教材P64-练习第1、2题

五、课时小结

在直角三角形中，当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA，把∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正切，记作tanA．

六、布置作业

教材P68-习题28.1第1题

6 C B

A

28．1 锐角三角函数（3）

教学目标：

1、知识与技能：能推导并熟记30°、45°、60°角的三角函数值，并能根据这些值说出对应的锐角度数．能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式．

2、过程与方法：让学生经历观察、操作等过程，知道30°，45°，60°角的三角函数值，并且进行运算．

3、情感态度与价值观：通过锐角三角函数基本性质的探索活动，进一步发展空间观察，增强审美意识．

教学重点：

熟记30°、45°、60°角的三角函数值，能熟练计算含有30°、45°、60°角的三角函数的运算式．

教学难点：

30°、45°、60°角的三角函数值的推导过程．

教学过程：

一、复习旧知、引入新课

【引入】还记得我们推导正弦关系的时候所得结论吗？即01

sin30

2

=，

sin45=

你还能推导出0

sin60的值及30°、45°、60°角的其它三角函数值吗？

二、探索新知

【活动】30°、45°、60°角的三角函数值的推导

【探索】1.让学生画30°、45°、60°的直角三角形,分别求出它们的三角函数值。

归纳结果

30°45°60°siaA

cosA

tanA

三、例题讲解

例1（教材P66-例3）求下列各式的值：（1）cos260°+sin260°．

（2）cos45

sin45

?

?

-tan45°．

教师以提问方式一步一步解上面两题．学生回答，教师板书．

例2（教材P66-例2）

（1）如图28．1-9（1），在Rt△ABC中，∠C=90，6，3

求∠A的度数．

（2）如图28．1-9（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB3

求a．

图28.1-9（1）图28.1-9（2）

教师分析解题方法：要求一个直角三角形中一个锐角的度数，可以先求它的某一个三角函数的值，如果这个值是一个特殊解，那么我们就可以求出这个角的度数．

四、课堂练习

教材P67-练习第1、2题

五、课时小结

本节课应掌握：30°、45°、60°角的三角函数值，并且进行计算；

六、布置作业

教材P68-习题28.1第3题

28．1 锐角三角函数（4）

教学目标：

1、知识与技能：让学生熟识计算器一些功能键的使用，会熟练运用计算器求锐角的三角函数值和由三角函数值来求角．

2、过程与方法：自己熟悉计算器，在老师的知道下求一般锐角三角函数值．

3、情感态度与价值观：让学生通过独立思考，自主探究和合作交流进一步体会函数的数学内涵，获得知识，体验成功，享受学习乐趣．

教学重点：

运用计算器处理三角函数中的值或角的问题．

教学难点：

正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，在教学中应作为难点处理．

教学过程：

一、复习旧知、引入新课

【引入】

通过上节课的学习我们知道，当锐角A是特殊角时，可以求得这些角的正弦、余弦、正切值；如果锐角A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？

我们可以用计算器来求锐角的三角函数值。

二、探索新知

【活动一】用计算器求锐角的正弦、余弦、正切值

利用计算器求下列三角函数值（这个教师可完全放手学生去完成，教师只需巡回指导）

sin37°24′，sin37°23′，cos21°28′，cos38°12′

tan52°；tan36°20′；tan75°17′；

【活动二】熟练掌握用科学计算器由已知三角函数值求出相应的锐角.

例如：sinA=0.9816.∠A＝；

cosA＝0.8607，∠A＝；

tanA＝0.1890，∠A=；

tanA＝56.78，∠A＝。

三、例题讲解

例1．求下列各式的值：

（1）sin42°31′（2）cos33°18′24″（3）tan55°10′

例2．根据所给条件求锐角α．

（1）已知sinα=0.4771，求α．（精确到1″）

（2）已知cosα=0.8451，求α．（精确到1″）

（3）已知tanα=1.4106，求α．（精确到1″）

例3．等腰三角形ABC中，顶角∠ACB=108°，腰AC=10m，求底边AB的长及等腰三角形的面积．（边长精确到1cm）

四、课堂练习

教材P68-练习第1、2题

五、课时小结：

本节课应掌握：已知角度求正弦值用sin键；已知正弦值求小于90°的锐角用2ndf sin键，对于余弦与正切也有相类似的求法．

六、布置作业

教材P68-习题28.1第5题

28．2．1 解直角三角形

教学目标：

1、知识与技能：使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

2、过程与方法：通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．．

3、情感态度与价值观：渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．

教学重点：

直角三角形的解法．

教学难点：

三角函数在解直角三角形中的灵活运用．

教学过程：

一、复习旧知、引入新课

【引入】我们一起来解决关于比萨斜塔问题。

见课本在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2m，

AB=54.5m．

sinA =

5.2

54.5

BC

AB

≈0.0954．

所以∠A≈5°08′．

二、探索新知

【活动一】理解直角三角形的元素

【提问】在三角形中共有几个元素？什么叫解直角三角形？

∠A的邻边b

∠A的对边a 斜边c C

B

A

a

b

A b a A c b A c a A ====

cot ;tan ;cos ;sin 总结：一般地，直角三角形中，除直角外，共有5个元素，既3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素，求出其余未知元素的过程，叫做解直角三角形。

【活动二】直角三角形的边角关系

直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？

(1)边角之间关系

如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.

(2)三边之间关系 a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理)

(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．

以上三点正是解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用．

三、例题讲解

例1：（教材P73-例1）在△ABC 中，∠C=90°，

，

，解这个三角形． 解：略

解直角三角形的方法很多，灵活多样，学生完全可以自己解决，但例题具有示范作用．因此，此题在处理时，首先，应让学生独立完成，培养其分析问题、解决问题能力，同时渗透数形结合的思想．其次，教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演．

例2：（教材P73-例2）在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠B =35，b=20，解这个三角形（结果保留小数点后一位．

引导学生思考分析完成后，让学生独立完成。

的对边

的邻边

；的邻边的对边；斜边的邻边；斜边的对边αααααααααα∠∠=

∠∠=∠=∠=cot tan cos sin

在学生独立完成之后，选出最好方法，教师板书。

总结：完成之后引导学生小结“已知一边一角，如何解直角三角形？”

四、课堂练习

教材P74-练习

五、课时小结

本节课应掌握：

1．理解直角三角形的边角之间的关系、边之间的关系、角的关系；2．解决有关问题；

六、布置作业

教材P77-习题28.2第1、2题

28．2.2 应用举例（1）

教学目标：

1、知识与技能：使学生会把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．

2、过程与方法：通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．注意加强知识间的纵向联系．

3、情感态度与价值观：渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．

教学重点：

要求学生善于将某些实际问题中的数量关系，归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．

教学难点：

实际问题转化成数学模型

教学过程：

一、复习旧知、引入新课

【复习引入】

1．直角三角形中除直角外五个元素之间具有什么关系？请学生口答．

2、在Rt△ABC中已知a=12 ,c=13 求角B应该用哪个关系？请计算出来。

二、探索新知

【活动】例：要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端.梯子与地面所成的角一般要满足， (如图).现有一个长6m的梯子，问:

(1)使用这个梯子最高可以安全攀上多高的墙(精确到0. 1 m)

(2)当梯子底端距离墙面2.4 m时，梯子与地面所成的角等于多少(精确到1o) 这时人是否能够安全使用这个梯子

引导学生先把实际问题转化成数学模型

然后分析提出的问题是数学模型中的什么量

在这个数学模型中可用学到的什么知识来求

未知量？

几分钟后，让一个完成较好的同学示范。

三、例题讲解

例1 （教材P74-例3）2012年6月18日“神舟”九号载人航天飞船与“天

宫”一号目标飞行器成功实现交汇对接。“神州”九号与“天宫”一号的组合体

在离地球表面343km的圆形轨道上运行.如图，当组合体运行到地球表面上P点的

正上方时，从中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置？最远点与P点的距

离是多少?(地球半径约为6 400 km，π取3.142，结果取整数) 分析:从组合体上能最远直接看到的地球上的点，是视线与地球相切时的切

点.如图,⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ

是⊙O的切线，切点Q是从飞船

观测地球时的最远点. 弧PQ的长就是地面上P,

Q两点间的距离.为计算弧PQ的长需先求出。

解：略

例2 （教材P75-例4）热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的

仰角为30o，看这栋离楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的

水平距离为120 m.这栋高楼有多高(结果结果取整数)?

分析：（1）可以先把上面实际问题转化成数学模型，画出直

角三角形。（2）在中，，.所以可以利用解

直角三角形的知识求出BD;类似地可以求出CD，进而求出BC.

四、课堂练习

教材P76-练习第1、2题

五、课时小结

本节课应掌握：

1、把实际问题转化为解直角三角形问题，从而会把实际问题转化为数学问题来解决．

2、归结为直角三角形元素之间的关系，从而利用所学知识把实际问题解决．

六、布置作业

教材P77-习题28.2第3、4题

28．2.2 应用举例（2）

教学目标：

1、知识与技能：使学生了解方位角的命名特点，能准确把握所指的方位角是指哪一个角，巩固用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题．

2、过程与方法：学会这样分析问题．逐步培养学生分析问题、解决问题的能力；渗透数形结合的数学思想和方法．

3、情感态度与价值观：体会用三角函数有关知识解决问题，学会解决方位角问题，提高学生的兴趣。

教学重点：

用三角函数有关知识解决方位角问题

教学难点：

学会准确分析问题并将实际问题转化成数学模型

教学过程：

一、复习旧知、引入新课

【复习】

1、叫同学们在练习薄上画出方向图（表示东南西北四个方向的）。

2、依次画出表示东南方向、西北方向、北偏东65度、南偏东34度方向的射线

二、例题讲解

例（教材P76-例5）如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65 方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯

塔P的南偏东34 方向上的B处.这时，这时，当海轮到达位于灯

塔P的南偏东340方向时，它距离灯塔P大约130.23海里.海轮

所在的B处距离灯塔P有多远(精确到0.01海里)?

解：略

三、课堂练习

教材P77-练习第1、2题

四、课时小结

利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：

1．将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）． 2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形．

3．得到数学问题的答案．

4．得到实际问题的答案．

五、布置作业

教材P77-习题28.2第5、6题