高三数学一轮复习：基本初等函数
2009~2010学年度高三数学（人教版A 版）第一轮复习资料
第4讲 基本初等函数
一．【课标要求】
1．指数函数
（1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景；
（2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 （3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点；
（4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型 2．对数函数
（1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用；
（2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点；
3．知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数（a ＞0，a ≠1）。 4.幂函数
（1）了解幂函数的概念 （2）结合函数y=x, ,y=
x
2
, y=
x
3
,y=
x
2
1,y=
x
1
的图象，了解它们的变化情况 二．【命题走向】
指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。
预测2010年对本节的考察是：
1．题型有两个选择题和一个解答题；
2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考察函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大
三．【要点精讲】
1．指数与对数运算
（1）根式的概念：
①定义：若一个数的n 次方等于),1(*
∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若
a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且，
1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；
2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n
②性质：1）a a n
n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =；
3）当n 为偶数时，???<-≥==)
0()
0(||a a a a a a n 。
（2）．幂的有关概念
①规定：1）∈???=n a a a a n
(ΛN *；2）)0(10
≠=a a ； n 个 3）∈=-p a
a
p p
(1
Q ，4）m a a a n m n m
,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s
r s
r
,0(>=?+、∈s Q ）；
2）r a a
a s
r s
r ,0()(>=?、∈s Q ）；
3）∈>>?=?r b a b a b a r
r
r ,0,0()( Q ）。 （注）上述性质对r 、∈s R 均适用。
（3）．对数的概念
①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b
=，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数
1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ；
2）以无理数)71828.2(Λ=e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质：
1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ； 3）1log =a a ；4）对数恒等式：N a
N
a =log 。
③运算性质：如果,0,0,0,0>>≠>N M a a 则 1）N M MN a a a log log )(log +=； 2）N M N
M
a a a
log log log -=； 3）∈=n M n M a n
a (log log R ）
④换底公式：),0,1,0,0,0(log log log >≠>≠>=
N m m a a a
N
N m m a
1）1log log =?a b b a ；2）b m
n
b a n
a m log log =
。 2．指数函数与对数函数 （1）指数函数：
①定义：函数)1,0(≠>=a a a y x
且称指数函数， 1）函数的定义域为R ；2）函数的值域为),0(+∞；
3）当10<a 时函数为增函数。 ②函数图像：
1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；
2）指数函数都以x 轴为渐近线（当10<a 时，图象向右无限接近x 轴）；
3）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x
x
a y a y -==与的图象关于y 轴对称
③函数值的变化特征：
（2）对数函数：
①定义：函数)1,0(log ≠>=a a x y a 且称对数函数， 1）函数的定义域为),0(+∞；2）函数的值域为R ；
3）当10<a 时函数为增函数；
4）对数函数x y a log =与指数函数)1,0(≠>=a a a y x
且互为反函数 ②函数图像：
10<a
①100<<>y x 时，
②10==y x 时，
③10> ①10>>y x 时， ②10==y x 时， ③100<< 1）对数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、四象限； 2）对数函数都以y 轴为渐近线（当10<a 时，图象向下无限接近y 轴）； 4）对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x y x y a a 1log log ==与的图象关于x 轴对称。 ③函数值的变化特征： （3）幂函数 1）掌握5个幂函数的图像特点 2）a>0时，幂函数在第一象限内恒为增函数，a<0时在第一象限恒为减函数 3）过定点（1，1）当幂函数为偶函数过（-1,1）,当幂函数为奇函数时过（-1，-1） 当a>0时过（0，0） 4）幂函数一定不经过第四象限 四．【典例解析】 题型1：指数运算 例1．（1）计算：25 .021 21 32 5.032 0625.0])32.0()02.0()008.0()9 45()833[(÷?÷+---； （2）化简： 5332 33 23 233 2 3 134)2(248a a a a a b a a ab b b a a ??? -÷++-- 。 10<a ①01<>y x 时， ②01==y x 时， ③010>< 解：（1）原式=4 1 322132)10000 625(]102450)81000( )949()278[(÷?÷+- 92 2)2917(21]10 24251253794[=?+-=÷??+-=； （2）原式= 5 131212 13231312 3131312313 3133131)() (2) 2()2()(])2()[(a a a a a b a b b a a b a a ???-÷ +?+- 23 23 16 1653 13 13 13 13 12)2(a a a a a a b a a b a a =??=? -? -=。 点评：根式的化简求值问题就是将根式化成分数指数幂的形式，然后利用分数指数幂的运算性质求解，对化简求值的结果，一般用分数指数幂的形式保留；一般的进行指数幂运算时，化负指数为正指数，化根式为分数指数幂，化小数为分数运算，同时兼顾运算的顺序。 例2．（1）已知112 2 3x x -+=，求 22332 2 23 x x x x --+-+-的值 解：∵1 12 23x x - +=， ∴112 2 2()9x x - +=， ∴1 29x x -++=， ∴1 7x x -+=， ∴12 ()49x x -+=， ∴22 47x x -+=， 又∵331112 2 2 2 ()(1)3(71)18x x x x x x -- -+=+?-+=?-=， ∴ 22332 2 2472 3183 3 x x x x --+--= =-+-。 点评：本题直接代入条件求解繁琐，故应先化简变形，创造条件简化运算。 题型2：对数运算 （2）.(江苏省南通市2008届高三第二次调研考试)幂函数()y f x =的图象经过点1(2,)8 --， 则满足()f x ＝27的x 的值是 . 答案 13 例3．计算 （1）2 (lg 2)lg 2lg 50lg 25+?+；（2）3948(log 2log 2)(log 3log 3)+?+； （3）1 .0lg 2 1 036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 23--+? 解：（1）原式2 2 (lg 2)(1lg5)lg 2lg5(lg 2lg51)lg 22lg5=+++=+++ (11)lg 22lg52(lg 2lg5)2=++=+=； （2）原式lg 2lg 2lg3lg3lg 2lg 2lg3lg3( )()()()lg3lg9lg 4lg8lg32lg32lg 23lg 2=+?+=+?+ 3lg 25lg 35 2lg 36lg 24 = ?=； （3）分子=3)2lg 5(lg 2lg 35lg 3)2(lg 3)2lg 33(5lg 2 =++=++； 分母=4100 6 lg 26lg 101100036lg )26(lg =-+=?-+； ∴原式= 4 3 。 点评：这是一组很基本的对数运算的练习题，虽然在考试中这些运算要求并不高，但是数式运算是学习数学的基本功，通过这样的运算练习熟练掌握运算公式、法则，以及学习数式变换的各种技巧 例4．设a 、b 、c 为正数，且满足22a b c += （1）求证：22log (1)log (1)1b c a c a b +-+ ++=； （2）若4log (1)1b c a ++=，82 log ()3 a b c +-=，求a 、b 、c 的值。 证明：（1）左边2 22log log log ()a b c a b c a b c a b c a b a b +++-+++-=+=? 2222222 2222()22log log log log 21a b c a ab b c ab c c ab ab ab +-++-+-=====； 解：（2）由4log (1)1b c a ++ =得14b c a ++=， ∴30a b c -++=……………① 由82 log ()3 a b c +-=得2 384a b c +-==………… ……………② 由①+②得2b a -=……………………………………③ 由①得3c a b =-，代入2 2 2 a b c +=得2(43)0a a b -=， ∵0a >， ∴430a b -=………………………………④ 由③、④解得6a =，8b =，从而10c =。 点评：对于含对数因式的证明和求值问题，还是以对数运算法则为主，将代数式化简到最见形式再来处理即可。 题型3：指数、对数方程 例5．(江西师大附中2009届高三数学上学期期中) 已知定义域为R 的函数a b x f x x ++-=+122)(是奇函数. （1）求a ,b 的值； （2）若对任意的R t ∈，不等式0)2()2(2 2 <-+-k t f t t f 恒成立，求k 的取值范围. 解 （1） 因为)(x f 是R 上的奇函数，所以1,021,0)0(==++-=b a b f 解得即 从而有.212)(1a x f x x ++-=+ 又由a a f f ++--=++---=112 141 2)1()1(知，解得2=a （2）解法一：由（1）知,121 212 212)(1 ++-=++-=+x x x x f 由上式易知)(x f 在R 上为减函数，又因)(x f 是奇函数，从而不等式 0)2()2(22<-+-k t f t t f 等价于).2()2()2(222k t f k t f t t f +-=--<- 因)(x f 是R 上的减函数，由上式推得.222 2k t t t +->- 即对一切,0232 >--∈k t t R t 有从而3 1,0124- <<+=?k k 解得 解法二：由（1）知,221 2)(1 ++-=+x x x f 又由题设条件得02 21 2221212212222 22<++-+++-+--+--k t k t t t t t 即0)12)(22()12)(22(2 222212212<+-+++-+-+--+-k t t t t t k t 整理得12 232>--k t t ，因底数2>1，故0232>--k t t 上式对一切R t ∈均成立，从而判别式.3 1 ,0124-<<+=?k k 解得 例6．（2008广东 理7） 设a ∈R ，若函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，则（ B ） A ．3a >- B ．3a <- C ．13 a >- D ．13 a <- 【解析】'()3ax f x ae =+，若函数在x R ∈上有大于零的极值点，即'()30ax f x ae =+=有 正根。当有'()30ax f x ae =+=成立时,显然有0a <,此时13 ln()x a a = -，由0x >我们马上就能得到参数a 的范围为3a <-. 点评：上面两例是关于含指数式、对数式等式的形式，解题思路是转化为不含指数、对 数因式的普通等式或方程的形式，再来求解。 题型4：指数函数的概念与性质 例7．设12 32,2()((2))log (1) 2. x e x f x f f x x -??=?-≥??＜， 则的值为，（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 解：C ；1)12(log )2(23=-=f ，e e f f 22))2((1 0= =-。 点评：利用指数函数、对数函数的概念，求解函数的值 例8．已知 )1,0()(log 1 ≠>+=-a a x x x f a 且试求函数f (x )的单调区间。 解：令t x a =log ，则x =t a ，t ∈R 。 所以t a a t f -+'=)(即x x a a x f -+=)(，（x ∈R ）。 因为f (－x )=f (x )，所以f (x )为偶函数，故只需讨论f (x )在[0，+∞）上的单调性。 任取1x ，2x ，且使210x x ≤≤，则 )()(12x f x f - )()(1122x x x x a a a a --+-+= 212121) 1)((x x x x x x a a a a ++--= （1）当a >1时，由210x x ≤≤，有2 10x x a a <<，121>+x x a ，所以0)()(12>-x f x f ， 即f (x )在[0，+∞]上单调递增。 （2）当0 1<+x x a ，所以0)()(12>-x f x f ，即f (x )在[0，+∞]上单调递增。 综合所述，[0，+∞]是f (x )的单调增区间，（－∞，0）是f (x )的单调区间。 点评：求解含指数式的函数的定义域、值域，甚至是证明函数的性质都需要借助指数函数的性质来处理。特别是分10,1<<>a a 两种情况来处理。 题型5：指数函数的图像与应用 例9．若函数m y x +=-| 1|)2 1(的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是（ ） A ．m ≤－1 B ．－1≤m<0 C ．m ≥1 D ．0 解：?? ???<≥==---) 1(2) 1()21() 2 1(11| 1|x x y x x x Θ， 画图象可知－1≤m<0。 答案为B 。 点评：本题考察了复杂形式的指数函数的图像特征，解题的出发点仍然是1,0,1<>a a 两种情况下函数x a y =的图像特征。 例10．设函数x x f x f x x 22)(,2 )(| 1||1|≥=--+求使的取值范围。 解：由于2x y =是增函数，()22f x ≥等价于3 |1||1|2 x x +--≥ ① 1)当1x ≥时，|1||1|2x x +--=，∴①式恒成立； 2)当11x -<<时，|1||1|2x x x +--=，①式化为322x ≥，即3 14 x ≤<； 3)当1x ≤-时，|1||1|2x x +--=-，①式无解； 综上x 的取值范围是3 ,4??+∞???? 。 点评：处理含有指数式的不等式问题，借助指数函数的性质将含有指数式的不等式转化为普通不等式问题（一元一次、一元二次不等式）来处理 题型6：对数函数的概念与性质 例11．（1）函数2log 2-= x y 的定义域是（ ） A ．),3(+∞ B ．),3[+∞ C ．),4(+∞ D ．),4[+∞ （2）（2006湖北）设f(x)＝x x -+22lg ，则)2 ()2(x f x f +的定义域为（ ） A ．），（），（－4004Y B ．(－4,－1)Y (1，4) C ．(－2,－1)Y (1，2) D ．(－4,－2)Y (2，4) 解：（1）D （2）B 。 点评：求函数定义域就是使得解析是有意义的自变量的取值范围，在对数函数中只有真数大于零时才有意义。对于抽象函数的处理要注意对应法则的对应关系。 例12．（2009广东三校一模）设函数()()()x x x f +-+=1ln 212 . (1)求()x f 的单调区间; (2)若当?? ????--∈1,11 e e x 时,(其中Λ718.2=e )不等式()m x f <恒成立,求实数m 的取值范围; (3)试讨论关于x 的方程:()a x x x f ++=2 在区间[]2,0上的根的个数. 解 （1）函数的定义域为(),,1+∞-()()()1 221112++=????? ?+- +='x x x x x x f . 1分 由()0>'x f 得0>x ; 2分 由()0<'x f 得01<<-x , 3分 则增区间为()+∞,0,减区间为()0,1-. 4分 (2)令()(),0122=++='x x x x f 得0=x ,由(1)知()x f 在?? ? ???-0,11e 上递减,在[]1,0-e 上 递增, 6分 由,21 112+=??? ??-e e f ()212-=-e e f ,且21222+>-e e , 8分 ?? ? ???--∈∴1,11e e x 时,()x f 的最大值为22-e ,故22->e m 时,不等式()m x f <恒成立. 9分 (3)方程(),2 a x x x f ++=即()a x x =+-+1ln 21.记()()x x x g +-+=1ln 21,则 ()1 1 121+-= +- ='x x x x g .由()0>'x g 得1>x ;由()0<'x g 得11<<-x . 所以g (x )在[0,1]上递减，在[1，2]上递增. 而g (0)=1，g (1)=2-2ln2，g (2)=3-2ln3，∴g (0)＞g (2)＞g (1) 10分 所以，当a ＞1时，方程无解； 当3-2ln3＜a ≤1时，方程有一个解， 当2-2ln2＜a ≤a ≤3-2ln3时，方程有两个解； 当a =2-2ln2时，方程有一个解； 当a ＜2-2ln2时，方程无解. 13分 字上所述，a )2ln 22,(),1(--∞+∞∈Y 时，方程无解； ]1,3ln 23(-∈a 或a =2-2ln2时，方程有唯一解； ]3ln 23,2ln 22(--∈a 时，方程有两个不等的解. 14分 例13．当a >1时，函数y =log a x 和y =(1－a )x 的图象只可能是( ) A 1 o y x B 1 o y x C 1 o y x D 1 o y x 解：当a >1时，函数y =log a x 的图象只能在A 和C 中选， 又a >1时，y =(1－a )x 为减函数。 答案：B 点评：要正确识别函数图像，一是熟悉各种基本函数的图像，二是把握图像的性质，根据图像的性质去判断，如过定点、定义域、值域、单调性、奇偶性 例14．设A 、B 是函数y = log 2x 图象上两点, 其横坐标分别为a 和a +4, 直线l : x =a +2与函数y = log 2x 图象交于点C , 与直线AB 交于点D 。 （1）求点D 的坐标； （2）当△ABC 的面积大于1时, 求实数a 的取值范围 解：（1）易知D 为线段AB 的中点, 因A (a , log 2a ), B (a +4, log 2(a +4))， 所以由中点公式得D (a +2, log 2)4(+a a )。 （2）S △ABC =S 梯形AA ′CC ′+S 梯形CC ′B ′B - S 梯形AA ′B ′B =…= log 2) 4()2(2++a a a , 其中A ′,B ′,C ′为A ,B ,C 在x 轴上的射影。 由S △ABC = log 2) 4()2(2 ++a a a >1, 得0< a <22－2。 点评：解题过程中用到了对数函数性质，注意底数分类来处理，根据函数的性质来处理复杂问题。 题型8：指数函数、对数函数综合问题 例15．在xOy 平面上有一点列P 1(a 1,b 1),P 2(a 2,b 2),…,P n (a n ,b n )…，对每个自然数n 点P n 位于函数y =2000( 10 a )x (0 (1)求点P n 的纵坐标b n 的表达式； (2)若对于每个自然数n ，以b n ,b n +1,b n +2为边长能构成一个三角形，求a 的取值范围； (3)设C n =lg(b n )(n ∈N *),若a 取(2)中确定的范围内的最小整数，问数列{C n }前多少项的和最大？试说明理由 解：(1)由题意知：a n =n +21,∴b n =2000(10 a )21 + n 。 (2)∵函数y =2000( 10 a )x 则以b n ,b n +1,b n +2为边长能构成一个三角形的充要条件是b n +2+b n +1>b n ， 即(10a )2+(10 a )－1>0， 解得a <－5(1+2)或a >5(5－1)。 ∴5(5－1) ∴b n =2000(10 7)2 1 +n 。数列{b n }是一个递减的正数数列， 对每个自然数n ≥2,B n =b n B n －1。 于是当b n ≥1时，B n 因此数列{B n }的最大项的项数n 满足不等式b n ≥1且b n +1<1， 由b n =2000(10 7)2 1 +n ≥1得：n ≤20。 ∴n =20。 点评：本题题设从函数图像入手，体现数形结合的优越性，最终还是根据函数性质结合数列知识，以及三角形的面积解决了实际问题。 例16．已知函数1,0)((log )(≠>-=a a x ax x f a 为常数） （1）求函数f (x )的定义域； （2）若a =2，试根据单调性定义确定函数f (x )的单调性 （3）若函数y =f (x )是增函数，求a 的取值范围。 解：（1）由ax x x ax <>-得0 ∵a ＞0，x ≥0 2 2 2 10a x x a x x > ??? ?<≥∴ ∴f (x )的定义域是),1 ( 2+∞∈a x 。 （2）若a =2，则)2(log )(2x x x f -= 设4 1 21> >x x ， 则 0]1)(2)[()()(2)2()2(212121212211>-+-=---=---x x x x x x x x x x x x )()(21x f x f >∴ 故f (x )为增函数。 （3）设11212 21>>> >x a x a a x x 则 0]1)()[()()()()(212121212211>-+-=---=---∴x x a x x x x x x a x ax x ax 2211x ax x ax ->-∴ ① ∵f (x )是增函数， ∴f (x 1)＞f (x 2) 即)(log )(log 2211x ax x ax a a ->- ② 联立①、②知a ＞1， ∴a ∈(1，+∞)。 点评：该题属于纯粹的研究复合对函数性质的问题，我们抓住对数函数的特点，结合一般函数求定义域、单调性的解题思路，对“路”处理即可 题型9：课标创新题 例17．对于在区间[]n m ,上有意义的两个函数f (x )与g (x )，如果对任意的∈x []n m ,，均有1)()(≤-x g x f ，则称f (x )与g (x )在[]n m ,上是接近的，否则称f (x )与g (x )在[]n m ,上是非接近的，现有两个函数)3(log )(1a x x f a -=与)1,0(1 log )(2≠>-=a a a x x f a ，给定区间[]3,2++a a 。 （1）若)(1x f 与)(2x f 在给定区间[]3,2++a a 上都有意义，求a 的取值范围； （2）讨论)(1x f 与)(2x f 在给定区间[]3,2++a a 上是否是接近的。 解：（1）两个函数)3(log )(1a x x f a -=与)1,0(1 log )(2≠>-=a a a x x f a 在给定区间[]3,2++a a 有意义，因为函数a x y 3-=给定区间[]3,2++a a 上单调递增，函数在 a x y -= 1 给定区间[]3,2++a a 上恒为正数， 故有意义当且仅当1003)2(1 0< ? ??>-+≠>a a a a a ； （2）构造函数)3)((log )()()(21a x a x x f x f x F a --=-=， 对于函数)3)((a x a x t --=来讲， 显然其在]2,(a -∞上单调递减，在),2[+∞a 上单调递增。 且t y a log =在其定义域内一定是减函数 由于10< 所以原函数在区间]3,2[++a a 内单调递减，只需保证 ? ? ?≤-=+≤-=+1|)23(3log ||)3(|1 |)1(4log ||)2(|a a F a a F a a ??? ????≤ -≤-≤?a a a a a 1)23(31)1(4 当12 57 90-≤ 579-> a 时，)(1x f 与)(2x f 在区间[]3,2++a a 上是非接近的 点评：该题属于信息给予的题目，考生首先理解“接近”与“非接近”的含义，再对含有对数式的函数的是否“接近”进行研究，转化成含有对数因式的不等式问题，解不等式即可。 例18．设1x >，1y >，且2log 2log 30x y y x -+=，求22 4T x y =-的最小值。 解：令 log x t y =， ∵1x >，1y >，∴0t >。 由2log 2log 30x y y x -+=得2 230t t - +=，∴22320t t +-=， ∴(21)(2)0t t -+=，∵0t >，∴12t =，即1 log 2 x y =，∴1 2y x =， ∴2222 44(2)4T x y x x x =-=-=--， ∵1x >，∴当2x =时，min 4T =-。 点评：对数函数结合不等式知识处理最值问题，这是出题的一个亮点。同时考察了学生 的变形能力。 例19.（2009陕西卷文）设曲线1 *()n y x n N +=∈在点（1，1）处的切线与x 轴的交点的横 坐标为n x ,则12n x x x ???L 的值为 A. 1n B.11n + C. 1 n n + D.1 答案 B 解析 对1 *'()(1)n n y x n N y n x +=∈=+求导得,令1x =得在点（1，1）处的切线的斜率 1k n =+,在点 （1，1）处的切线方程为1(1)(1)(1)n n y k x n x -=-=+-,不妨设0y =,1 n n n x +=则1212311 (23411) n n n x x x n n n -???=?????= ++L , 故选 B. 五．【思维总结】 1．b N N a a N a b n ===log ,,（其中1,0,0≠>>a a N ）是同一数量关系的三种不同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运 算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同应化为同底； 2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验； 3．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识； 4．指数、对数函数值的变化特点（上面知识结构表中的12个小点）是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析； 5．含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类； 6．在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力 高三数学基本初等函数 单元测试题 Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】 时杨中学2009届高三数学单元检测卷（2） 基本初等函数 时量：60分钟 满分：80分 班级： 姓名： 计分： 个人目标：□优秀（70’~80’） □良好（60’～69’） □合格（50’～59’） 二.填空题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分. 1. 若{|1}A x y x ==-，2{|1}B y y x ==+，则A B ?=_____________ 2. 已知函数：①2sin y x =；②3y x x =+；③cos y x =-；④5y x =，其中偶函数的个数为_______________ 3. 一次函数()g x 满足[]()98g g x x =+, 则()g x ______________ 4. 函数2 12x x y -+-=的单调递增区间是_________________ 5. 一水池有2个进水口，1个出水口，进出水速度如图甲.乙所示. 某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示. （至少打开一个水口） 给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水； ③4点到6点不进水不出水. 则一定能确定正确的论断是____________ 6. 函数12y x =-，[3,4]x ∈的最大值为 . 7. 设函数2 12,1, ()1,1,1x x f x x x ?--≤?=?>?+? 则[](1)f f = . 8. 函数()2 2231m m y m m x --=--是幂函数且在(0,)+∞上单调递减，则实数m 的值为 . 二、解答题：本大题共3小题，满分40分，第9小题12分，第小题各14分. 解答须写出文字说明.证明过程或演算步骤． 9. 已知函数22()log (32)f x x x =+- . (1) 求函数()f x 的定义域；(2) 求证()f x 在(1,3)x ∈上是减函数；(3) 求函数()f x 的值域. 2009届高考数学快速提升成绩题型训练——抽象函数 D 7. 已知定义在R 上的偶函数y=f(x)的一个递增区间为（2，6），试判断（4，8）是y=f(2-x)的递增区间还是递减区间？ 8. 设f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对任意a ，b ，当a+b ≠0，都有b a b f a f ++)()(＞0 （1）.若a ＞b ，试比较f （a ）与f （b ）的大小； （2）.若f （k )293()3--+?x x x f ＜0对x ∈[－1，1]恒成立，求实数k 的取值范围。 9.已知函数()f x 是定义在（-∞，3]上的减函数，已知 22(sin )(1cos )f a x f a x -≤++对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围。 10．已知函数(),f x 当,x y R ∈时，恒有()()()f x y f x f y +=+. (1)求证: ()f x 是奇函数; (2)若(3),(24)f a a f -=试用表示. 11.已知()f x 是定义在R 上的不恒为零的函数,且对于任意的,,a b R ∈都满足: ()()()f a b af b bf a ?=+. (1)求(0),(1)f f 的值; (2)判断()f x 的奇偶性,并证明你的结论; (3)若(2)2f =,*(2) ()n n f u n N n -=∈,求数列{n u }的前n 项和n s . 12.已知定义域为R 的函数()f x 满足22(()))()f f x x x f x x x -+=-+. (1)若(2)3,(1);(0),();f f f a f a ==求又求 (2)设有且仅有一个实数0x ,使得00()f x x =,求函数()f x 的解析表达式. 13.已知函数()f x 的定义域为R,对任意实数,m n 都有1 ()()()2 f m n f m f n +=++, 且1()02f =,当1 2 x >时, ()f x >0. (1)求(1)f ; (2)求和(1)(2)(3)...()f f f f n ++++*()n N ∈; (3)判断函数()f x 的单调性,并证明. 14.函数()f x 的定义域为R,并满足以下条件:①对任意x R ∈,有()f x >0;②对任 《基本初等函数》检测题 一．选择题．（每小题5分，共50分） 1．若0m >，0n >，0a >且1a ≠，则下列等式中正确的是 ( ) A ．()m n m n a a += B ．1 1m m a a = C ．log log log ()a a a m n m n ÷=- D 43 ()mn = 2．函数log (32)2a y x =-+的图象必过定点 ( ) A ．(1,2) B ．(2,2) C ．(2,3) D ．2 (,2)3 3．已知幂函数()y f x =的图象过点，则(4)f 的值为 （ ） A ．1 B ． 2 C ．12 D ．8 4．若(0,1)x ∈，则下列结论正确的是 （ ） A ．12 2lg x x x >> B ．12 2lg x x x >> C ．12 2lg x x x >> D ．12 lg 2x x x >> 5．函数(2)log (5)x y x -=-的定义域是 （ ） A ． (3,4) B ．(2,5) C ．(2,3)(3,5) D ．(,2)(5,)-∞+∞ 6．某商品价格前两年每年提高10%，后两年每年降低10%，则四年 后的价格与原来价格比较，变化的情况是 （ ） A ．减少1.99% B ．增加1.99% C ．减少4% D ．不增不减 7．若1005,102a b ==，则2a b += （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 8． 函数()lg(101)2 x x f x =+-是 （ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．既奇且偶函数 D ．非奇非偶函数 9．函数2log (2)(01)a y x x a =-<<的单调递增区间是 （ ） A ．(1,)+∞ B ．(2,)+∞ C ．(,1)-∞ D ．(,0)-∞ 10．若2log (2)y ax =- (0a >且1a ≠)在[0,1]上是x 的减函数，则a 的取值范围是 （ ） A ．(0,1) B ．(0,2) C ．(1,2) D ．[2,)+∞ 二．填空题．(每小题5分，共25分) 11．计算：459log 27log 8log 625??= ． 12．已知函数3log (0)()2(0) x x x >f x x ?=?≤?， ， ,则1[()]3 f f = ． 13． 若 3())2 f x a x bx =++，且 (2) f =，则 (2f - = ． 14．若函数()log (01)f x ax a =<<在区间[,2]a a 上的最大值是最小值的3 例1（1）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根，且一个大于1，一个小于1，求m 的取值范围； （2）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内，求m 的取值范围； ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外，求m 的取值范围 （4）关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根，且一个大于4，一个小于4，求m 的取值范围. 例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,2 3[-上的最大值为1，求实数a 的值。 解（1）令142)3(2)(2++++=m x m x x f ，∵对应抛物线开口向上，∴方程有两个实根，且一个大于1，一个小于1等价于0)1( 函数基本知识 抽象函数： 1. 已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意,a b R ∈，都有()()()f a b f a f b +=+，且当0x >时，()0f x <恒成立. 证明：（1）函数()y f x =是R 上的减函数；（2）函数()y f x =是奇函数. 2. 已知)(x f 在（－1，1）上有定义，且满足),1( )()()1,1(,xy y x f y f x f y x --=--∈有 证明：)(x f 在（－1，1）上为奇函数； 3. 设)(x f 是R 上的函数，且满足1)0(=f ，并且对于任意的实数x ，y 都有 )12()()(+--=-y x y x f y x f 成立，则=)(x f _____________. 4. 已知定义在R + 上的函数()f x 同时满足下列三个条件：① (3)1f =-; ② 对任意x y R +∈、 都有()()()f xy f x f y =+；③0)(,1<>x f x 时. （1）求)9(f 、)3(f 的值； （2）证明：函数()f x 在R + 上为减函数； （3）解关于x 的不等式2)1()6(-- 第二章 基本初等函数(Ⅰ) 〖2.1〗指数函数 【2.1.1】指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次方根用符号n a 表示；当n 是偶数时，正数a 的正的n 次方根用符号n a 表示，负的n 次方根用符号n a -表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． ②式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数时，0a ≥． ③根式的性质：()n n a a =；当 n 为奇数时，n n a a =；当n 为偶数时， (0) || (0) n n a a a a a a ≥?==? -∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0． ②正数的负分数指数幂的意义是： 11 ()()(0,,,m m m n n n a a m n N a a -+==>∈且1)n >．0的负分数指数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ①(0,,)r s r s a a a a r s R +?=>∈ ②()(0,,)r s rs a a a r s R =>∈ ③()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 【2.1.2】指数函数及其性质 （4）指数函数 函数名称 指数函数 定义 函数(0x y a a =>且1)a ≠叫做指数函数 图象 1a > 01a << 定义域 R 值域 (0,)+∞ 过定点 图象过定点(0,1)，即当0x =时，1y =． x a y =x y (0,1) O 1 y =x a y =x y (0,1) O 1 y = 练习与巩固 1．(2008年高考辽宁卷)若函数y ＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a 等于( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 解析：选C.∵y ＝(x ＋1)(x －a )＝x 2＋(1－a )x －a 是偶函数 ∴1－a ＝0，∴a ＝1，故选C. 2．若f (x )＝x 2－ax ＋1有负值，则实数a 的取值范围是( ) A ．a >2或a <－2 B ．－20，a 2>4即a >2或a <－2. 3．若f (x )＝x 2－x ＋a ，f (－m )＜0，则f (m ＋1)的值为( ) A ．正数 B ．负数 C ．非负数 D ．与m 有关 解析：选B.法一：∵f (x )＝x 2 －x ＋a 的对称轴为x ＝12， 而－m ，m ＋1关于1 2对称， ∴f (m ＋1)＝f (－m )＜0，故选B. 法二：∵f (－m )＜0，∴m 2＋m ＋a ＜0， ∴f (m ＋1)＝(m ＋1)2－(m ＋1)＋a ＝m 2＋m ＋a ＜0.故选B. 4．已知函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，如果a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，则它的图象是( ) 解析：选D.∵a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0，得a ＞0，c ＜0(用反证法可得)，∴f (0)＝c ＜0，∴只能是D. 5．已知函数f (x )＝x 2 ＋ax ＋b ，且f (x ＋2)是偶函数，则f (1)，f (5 2)， f (7 2)的大小关系是( ) A ．f (52)＜f (1)＜f (72) B ．f (1)＜f (72)＜f (52) C ．f (72)＜f (1)＜f (52) D ．f (72)＜f (5 2)＜f (1) 解析：选A.由f (x ＋2)是偶函数可知函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 关于直线x ＝2对称，所以f (1)＝f (3)，又该函数图象开口向上，当x ＞2时单 调递增，故f (52)＜f (3)＝f (1)＜f (7 2)，故答案为A. 6．如图，有一直角墙角，两边的长度 足够长，在P 处有一棵树与两墙的距离分别为a m(0＜a ＜12)、4 m ，不考虑树的粗细．现在想用16 m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形的花圃ABCD .设此矩形花圃的面积为S m 2，S 的最大值为f (a )，若将这颗树围在花圃内，则函数u ＝f (a )的图象大致是( ) 抽象函数的对称性 关于抽象函数图象的对称问题，下面给出四种常见类型及其证明。 一、设y f x =()是定义在R 上的函数，若f a x f b x ()()+=-，则函数y f x =()的图象关于直线x a b =+2 对称。 证明：设点A （m ，n ）是y f x =()图象上任一点，即f m n ()=，点A 关于直线x a b = +2的对称点为()A a b m n '+-，。 []∵f a b m f b b m f m n ()()()+-=--== ∴点A'也在y f x =()的图象上，故y f x =()的图象关于直线x a b =+2 对称。 二、设y f x =()是定义在R 上的函数，则函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2 对称。 证明：设点A （m ，n ）是y f a x =+()图象上任一点，即f a m n ()+=，点A 关于直线x b a =-2 的对称点为()A b a m n '--，。 ∵f b b a m f a m n [()]()---=+= ∴点A'在y f b x =-()的图象上 反过来，同样可以证明，函数y f b x =-()图象上任一点关于直线x b a =-2 的对称点也在函数y f a x =+()的图象上，故函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2 对称。 说明：可以从图象变换的角度去理解此命题。 易知，函数y f x a b =++? ? ???2与y f x a b =-++?? ?? ?2的图象关于直线x =0对称，由y f x a b =++?? ???2的图象平移得到y f x b a a b f a x =--?? ???++?? ????=+22()的图象，由y f x a b =-++?? ???2的图象平移得到y f x b a a b f b x =---?? ???++????? ?=-22()的图象，它们的平移方向和长度是相同的，故函数y f a x =+()与函数y f b x =-()的图象关于直线x b a =-2 对称。 三、设y f x =()是定义在R 上的函数，若f a x c f b x ()()+=--2，则函数y f x =()的图象关于点a b c +?? ?? ?2，对称。 证明：设点() A m n ，是y f x =()图象上任一点，则f m n ()=，点A 关于点a b c +?? ?? ?2，的对称点为()A a b m c n '+--，2。 []∵f a b m c f b b m c f m c n ()()()+-=---=-=-222 ∴点A'也在y f x =()的图象上，故y f x =()的图象关于点a b c +?? ?? ?2，对称 说明：（1）当a b c ===0时，奇函数图象关于点（0，0）对称。（2）易知此命题的逆命题也成立。 四、设y f x =()是定义在R 上的函数，则函数y f a x =+()与函数y c f b x =--2()的图象关于点b a c -?? ?? ?2，对称。 证明：设点A （m ，n ）是y f a x =+()图象上任一点，即f a m n ()+=，点A 关于点b a c -?? ?? ?2，的对称点为()A b a m c n '---，2 2014高三数学专题 抽象函数 特殊模型和抽象函数 特殊模型 抽象函数 正比例函数f(x)=kx (k ≠0) f(x+y)=f(x)+f(y) 幂函数 f(x)=x n f(xy)=f(x)f(y) [或) y (f )x (f )y x (f =] 指数函数 f(x)=a x (a>0且a ≠1) f(x+y)=f(x)f(y) [) y (f )x (f )y x (f =-或 对数函数 f(x)=log a x (a>0且a ≠1) f(xy)=f(x)+f(y) [)]y (f )x (f )y x (f -=或 正、余弦函数 f(x)=sinx f(x)=cosx f(x+T)=f(x) 正切函数 f(x)=tanx )y (f )x (f 1) y (f )x (f )y x (f -+= + 余切函数 f(x)=cotx ) y (f )x (f )y (f )x (f 1)y x (f +-= + 一.定义域问题 --------多为简单函数与复合函数的定义域互求。 例1.若函数y = f （x ）的定义域是[－2，2]，则函数y = f （x+1）+f （x －1）的定义域为 11≤≤-x 。 解：f(x)的定义域是[]2,2-，意思是凡被f 作用的对象都在[]2,2- 中。评析：已知f(x)的定义域是A ，求()()x f ?的定义域问题，相当于解内函数()x ?的不等式问题。 练习：已知函数f(x)的定义域是[]2,1- ，求函数()? ?? ? ? ?-x f 3log 2 1 的定义域。 例2：已知函数()x f 3log 的定义域为[3，11]，求函数f(x)的定义域 。 []11log ,13 评析： 已知函数()()x f ?的定义域是A ，求函数f(x)的定义域。相当于求内函数()x ?的值域。 基本初等函数 一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n ②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 。 （2）．幂的有关概念 ①规定：1）∈???=n a a a a n (ΛN * ；2）)0(10 ≠=a a ； n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）； 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）； 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。 （注）上述性质对r 、∈s R 均适用。 （3）．对数的概念 ①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数 1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ； 2）以无理数)71828.2(Λ=e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质： 1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ； 抽象函数常见题型解法综述 抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数。由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一。 一、定义域问题 例1. 已知函数 )(2x f 的定义域是［1，2］，求f （x ）的定义域。 例2. 已知函数)(x f 的定义域是]21 [，-，求函数)] 3([log 2 1x f -的定义域。 二、求值问题 例 3. 已知定义域为+ R 的函数f （x ），同时满足下列条件：① 51 )6(1)2(= =f f ，；② )()()(y f x f y x f +=?，求f （3），f （9）的值。 三、值域问题 例4. 设函数f （x ）定义于实数集上，对于任意实数x 、y ，)()()(y f x f y x f =+总成立，且存在21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠，求函数)(x f 的值域。 解：令0==y x ，得2 )]0([)0(f f =，即有0)0(=f 或1)0(=f 。 若0)0(=f ，则0)0()()0()(==+=f x f x f x f ，对任意R x ∈均成立，这与存在实数21x x ≠，使得)()(21x f x f ≠成立矛盾，故0)0(≠f ，必有1)0(=f 。 由于)()()(y f x f y x f =+对任意R y x ∈、均成立，因此，对任意R x ∈，有 )]2([)2()2()22()(2≥==+=x f x f x f x x f x f 下面来证明，对任意0)(≠∈x f R x ， 设存在 R x ∈0，使得0)(0=x f ，则0)()()()0(0000=-=-=x f x f x x f f 这与上面已证的0)0(≠f 矛盾，因此，对任意0)(≠∈x f R x ， 所以0)(>x f 评析：在处理抽象函数的问题时，往往需要对某些变量进行适当的赋值，这是一般向特殊转化的必要手段。 四、解析式问题 高考数学基本初等函数一专题卷（附答案） 一、单选题（共10题；共20分） 1.若函数在区间上存在零点，则常数a的取值范围为（） A. B. C. D. 2.已知函数为函数的反函数，且函数的图像经过点，则函数的图像一定经过点（） A. B. C. D. 3.若，，，，则（） A. B. C. D. 4.设函数，则函数的零点的个数为( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5.设集合,则（） A. B. C. D. 6.已知函数，若，，则的取值范围是（） A. B. C. D. 7.已知函数（），若函数有三个零点，则实数的取值范围是（） A. B. C. D. 8.已知函数，则函数的零点所在区间为（） A. B. C. D. 9.已知函数，若函数有四个零点，则的取值范围是（） A. B. C. D. 10.已知函数，若函数有且只有3个零点，则实数k的取值范围是（） A. B. C. D. 二、填空题（共6题；共7分） 11.函数的反函数________. 12.已知集合，任取，则幂函数为偶函数的概率为 ________（结果用数值表示） 13.定义，已知函数，, ，则的取值范围是________，若有四个不同的实根，则的取值范围是________． 14.设函数y＝f（x）的定义域为D，若对任意的x1∈D，总存在x2∈D，使得f（x1）?f（x2）＝1，则称函数f（x）具有性质M.下列结论：①函数y＝x3﹣x具有性质M；②函数y＝3x+5x具有性质M；③若函数y＝log8（x+2），x∈[0，t]时具有性质M，则t＝510；④若y具有性质M，则a ＝5.其中正确结论的序号是________. 15.已知函数，且在定义域内恒成立，则实数的取值范围为________． 16.设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数. 当时，，，其中.若在区间上，关 于的方程有8个不同的实数根，则的取值范围是________. 三、解答题（共5题；共45分） 17.某工厂预购买软件服务，有如下两种方案： 方案一：软件服务公司每日收取工厂元，对于提供的软件服务每次元； 方案二：软件服务公司每日收取工厂元，若每日软件服务不超过次，不另外收费，若超过次，超过部分的软件服务每次收费标准为元． （1）设日收费为元，每天软件服务的次数为，试写出两种方案中与的函数关系式； （2）该工厂对过去天的软件服务的次数进行了统计，得到如图所示的条形图，依据该统计数据，把频率视为概率，从节约成本的角度考虑，从两个方案中选择一个，哪个方案更合适？请说明理由． 18.2021年我省将实施新高考，新高考“依据统一高考成绩、高中学业水平考试成绩，参考高中学生综合素质评价信息”进行人才选拔。我校2018级高一年级一个学习兴趣小组进行社会实践活动，决定对某商场销售的商品A进行市场销售量调研，通过对该商品一个阶段的调研得知，发现该商品每日的销售量（单位：百件）与销售价格（元/件）近似满足关系式，其中为常数 已知销售价格为3元/件时，每日可售出该商品10百件。 （1）求函数的解析式； 2.6 二次函数 ●知识梳理 二次函数的基本性质 （1）二次函数的三种表示法： y =ax 2+bx +c ；y =a （x －x 1）（x －x 2）；y =a （x －x 0）2+n . （2）当a ＞0，f （x ）在区间［p ，q ］上的最大值为M ，最小值为m ，令x 0= 2 1 （p +q ）. 若－ a b 2＜p ，则f （p ）=m ，f （q ）=M ； 若p ≤－a b 2＜x 0，则f （－a b 2）=m ，f （q ）=M ； 若x 0≤－a b 2＜q ，则f （p ）=M ，f （－a b 2）=m ； 若－a b 2≥q ，则f （p ）=M ，f （q ）=m . ●点击双基 1.设二次函数f （x ）=ax 2+bx +c （a ≠0），如果f （x 1）=f （x 2）（其中x 1≠x 2），则f （2 2 1x x +）等于 A.－ a b 2 B.－ a b C.c D.a b a c 442- 解析：f （221x x +）=f （－a b 2）=a b ac 442-. 答案：D 2.二次函数y =x 2－2（a +b ）x +c 2+2ab 的图象的顶点在x 轴上，且a 、b 、c 为△ABC 的三边长，则△ABC 为 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形 解析：y =［x －（a +b ）］2+c 2+2ab －（a +b ）2=［x －（a +b ）］2+c 2－a 2－b 2. ∴顶点为（a +b ，c 2－a 2－b 2）. 由题意知c 2－a 2－b 2=0. ∴△ABC 为直角三角形. 答案：B 3.已知函数f （x ）=4x 2－mx ＋5在区间［－2，＋∞）上是增函数，则f （1）的范围是 A.f （1）≥25 B.f （1）=25 C.f （1）≤25 D.f （1）＞25 解析：由y =f （x ）的对称轴是x =8m ，可知f （x ）在［8 m ，+∞）上递增，由题设只 需 高一数学之抽象函数专题集锦 一、选择题（本大题共14小题，共70.0分） 1. 设f(x)为定义在R 上的偶函数，且f(x)在[0,+∞)上为增函数，则f(?2)，f(?π)，f(3)的大小顺序是( ) A. B. C. D. 2. 函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(x +2)关于x =?2对称，若f(?2)=1，则f(x ?2)≤1的x 的取值范围 是( ) A. [?2,2] B. (?∞,?2]∪[2,+∞) C. (?∞,0]∪[4,+∞) D. [0,4] 3. 已知函数y =f(x)定义域是[?2,3]，则y =f(2x ?1)的定义域是( ) A. [0,5 2] B. [?1,4] C. [?1 2,2] D. [?5,5] 4. 函数f(x)在(?∞,+∞)上单调递减，且为奇函数．若f(1)=?1，则满足?1≤f(x ?2)≤1的x 的取值范围是 ( ) A. B. C. [0,4] D. [1,3] 5. 若定义在R 上的奇函数f(x)在(?∞,0)单调递减，且f(2)=0，则满足xf(x ?1)?0的x 的取值范围是( ) A. [?1,1]∪[3,+∞) B. [?3,?1]∪[0,1] C. [?1,0]∪[1,+∞) D. [?1,0]∪[1,3] 6. 已知f(x)={ x 2+4x x ≥0 , 4x ?x 2 , x <0 若f(2?a 2)>f(a)，则实数a 的取值范围是( ) A. (?2 , 1) B. (?1 , 2) C. (?∞ , ?1)?(2 , +∞) D. (?∞ , ?2)?(1 , +∞) 7. 已知定义在R 上的函数f(x)满足f(2?x)=f(x)，且在[1,+∞)上为增函数，则下列关系式正确的是 A. f(?1) 抽象函数周期性的探究（教师版） 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力.而在教学中我发现同学们对于抽象函数周期性的判定和运用比较困难,所以特探究一下抽象函数的周期性问题. 利用周期函数的周期求解函数问题是基本的方法.此类问题的解决应注意到周期函数定义、紧扣函数图象特征，寻找函数的周期，从而解决问题.以下给出几个命题：命题1：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. （1）函数y=f(x)满足f(x+a)=－f(x)，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （2）函数y=f(x)满足f(x+a)= 1 () f x ，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （3）函数y=f(x)满足f(x+a)+f(x)=1，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. : 命题2：若a、b(a b )是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. (1) 函数y=f(x)满足f(x+a)=f(x+b)，则f(x)是周期函数，且|a-b|是它的一个周期. (2)函数图象关于两条直线x=a，x=b对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期. (3) 函数图象关于点M(a,0)和点N(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且2|a-b|是它的一个周期. (4)函数图象关于直线x=a，及点M(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期函数，且4|a-b|是它的一个周期. 命题3：若a是非零常数，对于函数y=f(x)定义域的一切x，满足下列条件之一，则函数y=f(x)是周期函数. （1）若f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且2a是它的一个周期. （2）若f(x)是定义在R上的奇函数，其图象关于直线x=a对称，则f(x)是周期函数，且4a是它的一个周期. 【 我们也可以把命题3看成命题2的特例,命题3中函数奇偶性、对称性与周期性中已知其中的任两个条件可推出剩余一个.下面证明命题3（1），其他命题的证明基本类似. 设条件A: 定义在R上的函数f(x)是一个偶函数. 条件B: f(x)关于x=a对称 条件C: f(x)是周期函数,且2a是其一个周期. 结论: 已知其中的任两个条件可推出剩余一个. 证明: ①已知A、B→ C （2001年全国高考第22题第二问） ∵f(x)是R上的偶函数∴f(-x)=f(x) 又∵f(x)关于x=a对称∴f(-x)=f(x+2a) ) ∴f(x)=f(x+2a)∴f(x)是周期函数,且2a是它的一个周期 1 （A ）是奇函数，且在R 上是增函数 （B ）是偶函数，且在R 上是增函数 （C ）是奇函数，且在R 上是减函数 （D ）是偶函数，且在R 上是减函数 2.【2017北京，理8】根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361 ，而可观测 lg3≈0.48） （A ）1033（B ）1053 （C ）1073（D ）1093 （A ）b a c << （B ）a b c << （C ）b c a << （D ）c a b << 4.【2015高考山东，理10】设函数()31,1,2,1 x x x f x x - 小值是． 9.【2016江苏卷】设()f x 是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[1,1)-上， 11.【2016年北京理数】设函数33,()2,x x x a f x x x a ?-≤=?->?. ①若0a =，则()f x 的最大值为______________； ②若()f x 无最大值，则实数a 的取值范围是________. 12.【2015福建，理14】若函数()6,2, 3log ,2,a x x f x x x -+≤?=?+>? （0a >且1a ≠）的值域是[)4,+∞， 则实数a 的取值范围是． 13. 【2015山东，理14】已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠ 的定义域和值域都是[]1,0- ， 则a b +=. 14.【2015浙江，理18】已知函数2 ()(,)f x x ax b a b R =++∈，记(,)M a b 是|()|f x 在区间[1,1]-上的最大值. （1）证明：当||2a ≥时，(,)2M a b ≥； （2）当a ，b 满足(,)2M a b ≤，求||||a b +的最大值. 赋值法解答抽象函数问题的赋值技巧与策略 函数是高中数学的重要内容，也是高考的热点.对于没有明确给出具体表达式的函数，称之为抽象函数.解答抽象函数问题的方法较多，其中用赋值法进行解答就是一种行之有效的方法.赋值主要从以下方面考虑：①令x=…、﹣2、﹣1、0、1、2…等特殊值求抽象函数的函数值；②令x=x 2，y=x 1或y=1 x 1，且x 1 函数的基本及性质 （3）对数换底公式： a N N m m a log log log = ( 0 ,10 ,1,0)a a m m N >≠>≠>， （4）两个常用的推论: ① 1 log log =?a b b a ， 1 log log log =??a c b c b a ② b m n b a n a m log log = , 01a b >（且均不为） （四）对数函数的概念及性质 1．定义：函数0(log >=a x y a ，且)1≠a 叫做对数函数,其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）． 注意：○1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别．如：x y 2log 2=，5 log 5 x y = 都不是对数函数，而只能称其为对数型函数． ○ 2 对数函数对底数的限制：0(>a ，且)1≠a ． 练习：1．如图，曲线是对数函数 的图象，已知 的取值 ，则相应于曲线 的 值依次为( )． A ． B ． C ． D ． 2、对数函数的图象和性质 a>1 0高三数学基本初等函数单元测试题
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