从企业管理的倒三角图形说起

从企业管理的倒三角图形说起
从企业管理的倒三角图形说起

从企业管理的倒三角图形说起

传统的企业管理模式是管理层要确保对生产现场的有效控制,以最大程度地满足顾客的需求,如图1所示。

图1

在这里,管理的主要目的是不出差错,少出差错,减少客户的投诉。通常的做法是逐步强化各种控制手段,所以制度越定越多,管理层次也越来越

多,结果造成管理的效率也越来越低,许多问题得不到有效解决。

现代企业的管理模式是把生产现场作为管理的核心,各级管理组织都是为生产现场提供支援和服务的,如图2所示。

图2

这虽然是简单的一个三角形放置问题,但它代表了不同的管理理念。

在图1中,现场处于从属地位,企业对客户的承诺很难在现场得到体现,TnPM设备管理一站式解决企业人-机系统难题

企业要做到使客户真正满意也是困难的。

在图2中,企业对顾客的承诺是依靠现场来实现的。企业的产品是在现场生产出来的,而生产现场是有“人、机、料、法、环”构成的,是各种信

息的集散地,它反映了企业管理的最终效果。现场能满足客户的需要说明全

体员工实现了对客户的承诺,是企业能力的一种体现。

我们常常看到,客户在最终决定订单花落谁家时,现场考察的结果是至关重要的。尤其是主机厂对配套厂的产品验收和质量保证体系的确认,都是

以生产现场的为依据的。企业管理只有以现场为核心,不断地改进现场,才

能取得客户的信任。

所以说,以现场为出发点,发现问题,解决问题,不断改善现场,提升现场服务水平,才是我们企业管理的工作重心。

现场管理要体现出:以人为本、扁平化、高效化。

以现场为核心管理必然是“以人为本”的管理。企业要始终重视对员工的培训、教育和激励,才能造就一支充满活力的优秀团队。所以,以现场为

核心企业必然把企业文化建设看作企业管理的重要部分。

员工教育就是统一人们的目标指针,如图3所示。当企业各部门都把目标指针指向客户,并且上道工序都自觉把下道工序当作自己的客户对待时,

就会产生最大的合力。反之,各自为政,只会造成摩擦和内耗,企业的效率

也就无从谈起了。

TnPM设备管理一站式解决企业人-机系统难题

图3

以现场为中心的管理可以帮助我们逐步实现扁平化的管理体制。如果生产现场发生了问题,必然会引起各方的关注,解决问题的速度也会快些,因

为客户始终关注着生产现场,内部的互相推诿、扯皮就会就会影响大局,影

响对客户的承诺。在处理现场问题的过程中,各种应急机制都会逐步变成常

规机制。管理的简便化要求组织结构的扁平化,反应的快速化。工作效率也

会随之不断提高。

现场管理必须持续改善的方针。

我们不仅要确立以现场核心的管理理念,我们还必须坚持对现场的不断改善。

如何进行现场的改善呢?最有效的切入点在哪儿呢?我们在TnPM 管理体系中找到了行之有效的方法。

如图4所示的五个六活动就是其主要内容。

图4

TnPM设备管理一站式解决企业人-机系统难题

首先是推进6S管理,通过整理、整顿、清扫、清洁这些具体的细致的工作,不仅能有效改善生产现场的状况,还能逐步培养员工养成良好的工作

习惯。

随着6S工作的深入,必然会引导员工向纵深发掘,这就是寻找六源(6H)活动。六源即:污染源、难以清扫源、浪费源、故障源、缺陷源、危险源。

清除六源,企业的面貌会焕然一新,员工的工作效率会大大提高,产品质量

和产品成本会有较大改善,客户对企业也会更加有信心。

下一步就是引导员工积极开展改善活动(即6 Improvement)。

改善影响生产效率和设备效率的环节;

改善影响产品质量和服务质量的细微之处;

改善影响制造成本之处,如不增值劳动、能源、材料等各种浪费;

改善造成工人超强劳动、局部疲劳动作的环节;

改善易引起火灾、事故、环境危害的隐患之处;

改善工作和服务态度。

改善活动的目标是实现六个零(6Z)。

追求质量零缺陷;

追求材料零库存;

追求安全零事故;

追求工作零差错;

追求设备零故障;

TnPM设备管理一站式解决企业人-机系统难题

追求生产零浪费.

企业有氧运动也是有效的改善方法之一,广泛地开展员工合理化建议活动和员工的自编教材培训活动被称为企业的有氧运动。它可以更为有效地调

动员工的工作积极性,并能不断提高员工的技术水平,是企业文化发展的高

级阶段。

企业现场是复杂的,它是各种矛盾的集中地;它又是简单的,只要我们做好了每一件小事,就保证了我们总体目标的实现。

希望有更多的人能正确认识现场,积极投身到现场改善活动中,为改善现场不断努力,为企业管理水平的不断提高贡献力量。

TnPM设备管理一站式解决企业人-机系统难题

全等三角形知识点总结

全等三角形知识梳理 一、知识网络 ??????????→?????????????? ???对应角相等性质对应边相等边边边 SSS 全等形全等三角形应用边角边 SAS 判定角边角 ASA 角角边 AAS 斜边、直角边 HL 作图 角平分线性质与判定定理 二、基础知识梳理 (一)、基本概念 1、“全等”的理解 全等的图形必须满足:(1)形状相同的图形;(2)大小相等的图形; 即能够完全重合的两个图形叫全等形。同样我们把能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 当两个三角形完全重合时,互相重合的顶点叫做对应顶点,互相重合的边叫做对应边,互相重合的角叫做对应角。 (1)全等三角形对应角所对的边是对应边,两个对应角所夹的边是对应边; (2)全等三角形对应边所对的角是对应角,两条对应边所夹的角是对应角; (3)有公共边的,公共边一定是对应边; > (4)有公共角的,角一定是对应角; (5)有对顶角的,对顶角一定是对应角。 2、全等三角形的性质 (1)全等三角形对应边相等;(2)全等三角形对应角相等(即对应元素相等)

3、全等三角形的判定方法 (1)三边对应相等的两个三角形全等(SSS)。 (2)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(SAS)。 (3)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(ASA)。 , (4)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)。 (5)斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(HL)。 所以,SSS,SAS,ASA,AAS,HL均为判定三角形全等的定理。 注意:在全等的判定中,没有AAA和SSA,这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。 4、角平分线的性质及判定 性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 判定:到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上 尺规作图 < (二)灵活运用定理 1、判定两个三角形全等的定理中,必须具备三个条件,且至少要有一组边对应相等, 因此在寻找全等的条件时,总是先寻找边相等的可能性。 2、要善于发现和利用隐含的等量元素,如公共角、公共边、对顶角等。 3、要善于灵活选择适当的方法判定两个三角形全等。 (1)已知条件中有两角对应相等,可找: ①夹边相等(ASA)②任一组等角的对边相等(AAS) (2)已知条件中有两边对应相等,可找

基本图形知识和三角形基本知识

8.基本几何知识 【知识单】 1、基本知识 (1)两点确定一条直线,两点之间线段最短,____________角两点间的距离; (2)过直线外一点________________条直线与已知直线平行; (3)平面内,过一点有且只有_______条直线与已知直线垂直; (4)度、分、秒的转化是______进制. 2、长方体的再认识 (1)长方体的的元素:_______个顶点,_______条棱,_______个面; (2)长方体中棱与棱之间的位置关系有_____________________; (3)长方体中的线与面除了“线在面上”这一关系外,还有_______________; (4)长方体中长方体中的面与面的位置关系有分别为_____________; (5)画长方体的直观图时一般采用__________________画法. 3、平行线、相交线的基本概念 (1)同一平面内的不重合的两条直线的位置关系有_________________; (2)如果两个角互为补角,那么这两个角之和为___________;如果两个角互为余角,那么这两个角之和为___________; (3)对顶角相等; (4)同位角、内错角、同旁内角的判断; 4、平行线的判定 (1)_________________,两直线平行;(2)_______________,两直线平行; (3)________________,两直线平行;(4)________________,两直线平行; (5)_____________________,两直线平行. 5、平行线的性质:两直线平行,_____________;_____________;____________. (1)概念:若两条直线平行,其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离称为两条平行线间的距离; (2)平行线间的距离处处相等. 6、尺规作图:线段的垂直平分线;角平分线. 7、易错知识辨析:

相似三角形基本图形及练习题-绝对经典

1文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑. A D B D A B C 相似中的基本图形练习 相似三角形是初中数学中重要的内容,应用广泛,可以证明线段的比例式;也可证明线段相等、平行、垂直等;还可计算线段的长、比值,图形面积及比值。 而识别(或构造)A 字型、X 字型、母子相似型、旋转型等基本图形是解证题的关键。 1.A 字型及变形 △ABC 中 , AD=2,BD=3,AE=1 (1)如图1,若DE ∥BC , 求CE 的长 (2)如图2,若∠ADE=∠ACB , 求CE 的长 2. X 字型及变形 (1)如图1,AB ∥CD ,求证:AO :DO=BO :CO (2)如图2,若∠A=∠C ,求证:AO ×DO=BO ×CO 3. 母子相似型及变形 (1)如右图,在△ABC 中, AD 把△ABC 分成两个三角形△BCD 和△CAD ,当∠ACD =∠B 时,说明△CAD 与△ABC 相似。 说明:由于小三角形寓于大三角形中,恰似子依母怀,故被称为“母子三角形” (2)如图, Rt △ABC 中 ,CD ⊥AB, 求证:AC 2=ADxAB,CD 2=ADxBD, 4. 旋转型 如图,若∠ADE=∠B ,∠BAD=∠CAE ,说明△ADE 与△ABC 相似 练习题 GED :S △ 1、如图1,在△ABC 中,中线BE 、CD 相交于点G ,则BC DE = ;S △ GBC = ; 2、如图2,在△ABC 中, ∠B=∠AED ,AB=5,AD=3,CE=6,则AE= ; 3、如图3,△ABC 中,M 是AB 的中点,N 在BC 上,BC=2AB ,∠BMN=∠C ,则△ ∽△ , 相似比为 ,NC BN = ; 4、如图4,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,S △ADE :S △BCE =4:9,则S △ABD :S △ABC = ; 5、如图5,在△ABC 中,BC=12cm ,点D 、F 是AB 的三等分点,点E 、G 是AC 的三等分点,则DE+FG+BC= ; 二、选择题 6、如图,在△ABC 中,高BD 、CE 交于点O ,下列结论错误的是( ) A 、CO ·CE=CD ·CA B 、OE ·OC=OD ·OB C 、A D ·AC=A E ·AB D 、CO ·DO=BO ·EO 7、如图,D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点, AD BD =CE AE =3, 且∠AED=∠B ,则△AED 与△ABC 的面积比是( ) A 、1:2 B 、1:3 C 、1:4 D 、4:9 8、已知,如图, 在△ABC 中,DE ∥BC ,AD=5,BD=3,求S △ADE :S △ABC 的值。 9、如图,已知在△ABC 中,CD=CE ,∠A=∠ECB ,试说明CD 2 =AD ·BE 。 一、运用新知,解决问题 1、已知两个三角形相似,请完成下列表格 2、如图,D 、E 分别是AC ,AB 上的点,∠ADE =∠B ,AG ⊥BC 于点G ,AF ⊥DE 于点 F.若AD =3,AB =5,求: (1)AG AF ; (2)△ADE 与△ABC 的周长之比; (3)△ADE 与△ABC 的面积之比. 二、加强训练,巩固新知 1.若两个相似三角形的相似比是2∶3,则它们的对应高线的比是 ,对应中线的比是 ,对应角平分线的比是 ,周长比是 ,面积比是 。 2.两个等边三角形的面积比是3∶4,则它们的边长比是 ,周长是 。 3.某城市规划图的比例尺为1∶4000,图中一个氯化区的周长为15cm ,面积为12cm 2 ,则这个氯化区的实际周长和面积分别为多少? 相似比 2 周长比 面积比 10000 A B C D E G 图1 A B C D E 图2 A B M N 图3 A B C D E 图4 A B C D F G E A E C D O A B C D E C A B D E A B C D E F A B C D E

中考总复习讲义三角形的基本性质+特殊三角形

21 D C B A D C B A 学生: 科目: 数 学 教师: 刘美玲 ⒈ 三角形的定义:由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形. 三角形有三条边,三个内角,三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点, 三角形ABC 用符号表示为△ABC ,三角形ABC 的边AB 可用边AB 所对的角C 的小写字母c 表示,AC 可用b 表示,BC 可用a 表示. 注意:(1)三条线段要不在同一直线上,且首尾顺次相接; (2)三角形是一个封闭的图形; (3)△ABC 是三角形ABC 的符号标记,单独的△没有意义. ⒉ 三角形的分类: (1)按边分类: (2)按角分类: ⒊ 三角形的主要线段的定义: (1)三角形的中线 三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段. 表示法:1.AD 是△ABC 的BC 上的中线. 2.BD=DC= 1 2 BC. 注意:①三角形的中线是线段; ②三角形三条中线全在三角形的内部; ③三角形三条中线交于三角形内部一点; ④中线把三角形分成两个面积相等的三角形. (2)三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 表示法:1.AD 是△ABC 的∠BAC 的平分线. 2.∠1=∠2= 1 2 ∠BAC. 注意:①三角形的角平分线是线段; ②三角形三条角平分线全在三角形的内部; ③三角形三条角平分线交于三角形内部一点; ④用量角器画三角形的角平分线. 课 题 中考总复习 : 三角形基本性质、 特殊三角形 教学内容 三角形 等腰三角形 不等边三角形 底边和腰不相等的等腰三角形 等边三角形 三角形 直角三象形 斜三角形 锐角三角形 钝角三角形 _C _B _A

相似三角形基本模型及证明

相似三角形基本模型与证明一、基本图形回顾 经典模型

构造相似辅助线——双垂直模型 1.在平面直角坐标系xOy中,点A的坐标为(2,1),正比例函数y=kx的图象与线段OA的夹角是45°,求这个正比例函数的表达式. 2.在△ABC中,AB=,AC=4,BC=2,以AB为边在C点的异侧作△ABD,使△ABD为等腰直角三角形,求线段CD的长. 3.在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,点M是AC上的一点,点N是BC上的一点,沿着直线MN折叠,使得点C恰好落在边AB上的P点.求证:MC:NC=AP:PB. 4.如图,在直角坐标系中,矩形ABCO的边OA在x轴上,边OC在y轴上,点B的坐标为(1,3),将矩形沿对角线AC翻折B点落在D点的位置,且AD交y轴于点E.那么D点的坐标为 () A. B. C. D.

5.已知,如图,直线y=﹣2x+2与坐标轴交于A、B两点.以AB为短边在第一 象限做一个矩形ABCD,使得矩形的两边之比为1﹕2。 求C、D两点的坐标。 构造相似辅助线——A、X字型 6.如图:△ABC中,D是AB上一点,AD=AC,BC边上的中线AE交CD于F。 求证: 7.四边形ABCD中,AC为AB、AD的比例中项,且AC平分∠DAB。 求证: 8.已知:如图,在△ABC中,M是AC的中点,E、F是BC上的两点,且BE=EF=FC。求BN:NQ:QM.

9.(1)如图1,点在平行四边形ABCD的对角线BD上,一直线过点P分别交BA,BC的延长线于点Q,S,交于点.求证: (2)如图2,图3,当点在平行四边形ABCD的对角线或的延长线上时,是否仍然成立?若成立,试给出证明;若不成立,试说明理由(要求仅以图2为例进行证明或说明);

初中数学全等三角形部分知识点整理及经典例题

《全等三角形》 一、结构梳理 二、知识梳理 (一)概念梳理 1.全等图形 定义:两个能够完全重合的图形称为全等图形,全等图形的形状和大小都相同.例如图1中的两个图形形状相同,但大小不同,不能重合在一起,因此不是全等图形,图2中的两个图形面积相同,但形状不同,也不是全等图形. 2.全等三角形 这是学好全等三角形的基础.根据全等形定义:能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.完全重合有两层含义:(1)图形的形状相同;(2)图形的大小相等.符号“≌”也形象、直观地反映了这一点.“∽”表示图形形状相同,“=”表示图形大小相等. (二)性质与判定梳理 1.全等图形性质:全等多边形的对应边、对应角分别相等. 全等三角形的对应边、对应角分别相等. 2.全等三角形的判定 这是学好全等三角形的关键.只给定一个条件或两个条件画三角形时,都不能保证所画出的三角形全等,只要有三个条件对应相等就可以,于是判定两个三角形全等的方法有: (1)三边对应相等的两个三角形全等,简记为:SSS ; (2)两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等,简记为:ASA; (3)两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等,简记为:AAS; (4)两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等,简记为:SAS. 若是直角三角形,则还有斜边、直角边公理(HL)。由此可以看出,判断三角形全等,无论用哪一条件,都要有三个元素对应相等,且其中至少要有一对应边相等. (5)注意判定三角形全等的基本思路 从判定两个三角形全等的方法可知,要判定两个三角形全等,需要知道这两个三角形分别有 图 2

三个元素(其中至少一个元素是边)对应相等,这样就可以利用题目中的已知边(角)去迅速准确地确定要补充的边(角),不致盲目地而能有目标地完善三角形全等的条件.从而得到判定两个三角形全等的思路有: ?? ???→→S S S S A S 找另一边找夹角 ??? ?????????→→→→→SAS AAS ASA AAS 找该角的另一边找这条边上的对角找这条边上的另一角边就是角的一条边 找任一角边为角的对边 ???→→AAS ASA 找任一边找两角的夹边 (6)学会辨认全等三角形的对应元素 辨认全等三角形的对应元素最有效的方法是,先找出全等三角形的对应顶点,再确定对应角和对应边,如已知△ABC ≌EFD ,这种记法意味着A 与E 、B 与F 、C 与D 对应,则三角形的边AB 与EF 、BC 与FD 、AC 与ED 对应,对应边所夹的角就是对应角,此外,还有如下规律:(1)全等三角形的公共边是对应边,公共角是对应角,对顶角是对应角;(2)全等三角形的两个对应角所夹的边是对应边,两条对应边所夹的角是对应角. (三)基本图形梳理 注意组成全等三角形的基本图形,全等图形都是由图形的平移、旋转、轴对称等图形变换而得到的,所以全等三角形的基本图形大致有以下几种: 1.平移型 如图3,下面几种图形属于平移型: 它们可看成有对应边在一直线上移动所构成的,故该对应边 的相等关系一般可由同一直线上的线段和或差而得到. 2.对称型 如图4 ,下面几种图形属于对称型: 它们的特征是可沿某一直线对折,直线两旁的部分能完全重合(轴对称图形),重合的顶点就是全等三角形的对应顶点. 3.旋转型 如图5,下面几种图形属于旋转型: 它们可看成是以三角形的某一顶点为中心旋转 所构成的,故一般有一对相等的角隐含在 对顶角、某些角的和 或差中. 三、易混、易错点剖析 1.探索两个三角形全等时,要注意两个特例 (1两个三角形不一定全等;如图6(1已知两边 已知一边一角 已知两角 图3 图4 图6(1)

相似三角形的几种基本图形复习

相似三角形的几种基本图形: (1)称为“平行线型”的相似三角形. (2)其中∠1=∠2,则△ADE∽△ABC称为“相交线型”的相似三角形. A B C D A B C D E (3)如图:∠1=∠2,∠B=∠D,则△ADE∽△ABC,称为“旋转型”的相似三角形. (4)一线三等角型

1、矩形ABCD中,把DA沿AF对折,使D与CB边上的点E重合,若 AD=10, AB= 8,则EF=______ 2、如图,在矩形ABCD中,E在AD上,连结BE、EF、BF。已知 AE=4,ED=2,AB=3,若△ABE和△EDF相似,则 DF=__________。 3、如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠B=900,AD=3, BC=6,点P在AB上滑动。若△DAP与△PBC相似,且 AP=4.5 ,求PB的长。

4、如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=8,AC=6.点P从点B出发,沿着BC 方向点C以2cm/s的速度移动;点Q从点C出发,沿着CA向点A以1cm/s的速度移动。如果P、Q分别从B、C同时出发,问:经过多少秒时以C、P、Q为顶点的三角形恰好与△ABC相似?

5、如图,菱形ABCD的边长为24厘米,∠A=60°,点P从点A出发沿线路AB→BD作匀速运动,点Q从点D同时出发沿线路DC→CB→BA作匀速运动. (1)求BD的长; (2)已知点P、Q运动的速度分别为4厘米/秒,5厘米/秒,经过12秒后,P、Q分别到达M、N两点,若按角的大小进行分类,请你确定 △AMN是哪一类三角形,并说明理由; (3)设(2)中的点P、Q分别从M、N同时沿原路返回,点P的速度不变,点Q的速度改变为a厘米/秒,经过3秒后,P、Q分别到达E、F两点,若△BEF与(2)中的△AMN相似,试求a的值. 如图, □ABCD中, G是AB延长线上一点, DG交AC A B F C D E G

全等三角形与旋转问题专题练习

全等三角形与旋转问题专题练习 中考要求 知识点睛 基本知识 把图形G绕平面上的一个定点O旋转一个角度θ,得到图形G',这样的由图形G到G'变换叫做旋转变换,点O叫做旋转中心,θ叫做旋转角,G'叫做G的象;G叫做G'的原象,无论是什么图形,在旋转变换下,象与原象是全等形. 很明显,旋转变换具有以下基本性质: ①旋转变换的对应点到旋转中心的距离相等; ②对应直线的交角等于旋转角. 旋转变换多用在等腰三角形、正三角形、正方形等较规则的图形上,其功能还是把分散的条件盯对集中,以便于诸条件的综合与推演. 重、难点 重点:本节的重点是全等三角形的概念和性质以及判定,全等三角形的性质是以后证明三角形问题的基础,也是学好全章的关键。同时全等三角形的判定也是 本章的重点,特别是几种判定方法,尤其是当在直角三角形中时,HL的判定 是整个直角三角形的重点 难点:本节的难点是全等三角形性质和判定定理的灵活应用。为了能熟练的应用性质定理及其推论,要把性质定理和推论的条件和结论弄清楚,哪几个是条件, 决定哪个结论,如何用数学符号表示,即书写格式,都要在讲练中反复强化

【例1】 如图,有四个图案,它们绕中心旋转一定的角度后,都能和原来的图案相互重合, 其中有一个图案与其余三个图案旋转的角度不同,它是_____________. 【解析】 A 【例2】 如图,同学们曾玩过万花筒,它是由三块等宽等长的玻璃片围成的,其中菱形AEFG 可以看成是把菱形ABCD 以A 为中心_____________。 A .顺时针旋转60°得到 B .顺时针旋转120°得到 C .逆时针旋转60° 120°得到 【解析】 D 【例3】 如图,C 是线段BD 上一点,分别以BC 、CD 为边在BD 同侧作等边△ABC 和等边 △CDE ,AD 交CE 于F ,BE 交AC 于G ,则图中可通过旋转而相互得到的三角形对数有_____________。 A .1对 B .2对 C .3对 D .4对 K G F E D C B A 【解析】 C 【例4】 已知:如图,点C 为线段AB 上一点,ACM ?、CBN ?是等边三角形.求证: AN BM =. M D N E C B F A 例题精讲

初中数学总复习《几何基本图形1—三角形》讲义

教师辅导讲义 学员姓名:辅导课目:数学年级:九年级学科教师:汪老师 授课日期及时段 课题初中数学总复习——几何基本图形1——三角形 学习目标 教学内容 初中数学总复习——几何基本图形1——三角形 【一、三角形的有关概念】 【基本知识考点:】 一、三角形的分类: 1、三角形按角分为______________,______________,_____________. 2、三角形按边分为_______________,__________________. 二、三角形的性质: 1、三角形中任意两边之和____第三边,两边之差_____第三边 2、三角形的内角和为_______,外角与内角的关系:__________________. 三、三角形中的主要线段: 1、___________________________________叫三角形的中位线. 2、中位线的性质:____________________________________________. 3、三角形三条中位线将三角形分成四个面积相等的全等三角形。 4、角平分线:三角形的角平分线交于一点,这点叫三角形的内心,它到三角形三边的距离, 内心也是三角形内切圆的圆心。 5、三角形三边的垂直平分线:三角形三边的垂直平分线交于一点,这点叫做三角形的外心,它到三角形 三个顶点的距离,外心也是三角形外接圆的圆心。 6、三角形的中线、高线、角平分线都是____________.(线段、射线、直线) 四、等腰三角形的性质与判定:

1、等腰三角形的两底角__________; 2、等腰三角形底边上的______、底边上的________和顶角的_______互相重合(三线合一); 3、有两个角相等的三角形是_________. 五、等边三角形的性质与判定: 1、等边三角形每个角都等于_______,同样具有“三线合一”的性质; 2、三个角相等的三角形是________,三边相等的三角形是_______,一个角等于60°的 三角形 是等边三角形. 六、直角三角形的性质与判定: 1、直角三角形两锐角________. 2、直角三角形中30°所对的直角边等于斜边的________. 3、直角三角形中,斜边的中线等于斜边的 ; 4、勾股定理:_________________________________________. 5、勾股定理的逆定理:_________________________________________________. 【相关中考试题:】 1、如果一个等腰三角形的两边长分别是5cm 和6cm ,那么此三角形的周长是( ) A .15cm B .16cm C .17cm D .16cm 或17cm 2、如图,在ABC △中,13AB AC ==,10BC =,点D 为BC 的中点, DE DE AB ⊥,垂足为点E ,则DE 等于( ) A . 1013 B .1513 C .6013 D .75 13 3、如图,⊿ABC 和⊿CDE 均为等腰直角三角形,点B,C,D 在一条直线上, 点M 是AE 的中点,下列结论:① tan ∠AEC=CD BC ;② S ⊿ABC +S ⊿CDE ≧S ⊿ACE ; ③ BM ⊥DM; ④ BM=DM.正确结论的个数是( ) (A )1个 (B )2个 (C )3个 (D )4个 4、如图3,在Rt △ABC 中,∠C =90°,BC =6cm ,AC =8cm ,按图中所示方法将△BCD 沿BD 折叠,使点C 落在AB 边的 M E D C B A

相似三角形知识点梳理

相似三角形知识点大总结 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形,在相似多边形中,最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数). 知识点2 比例线段的相关概念 (1)如果选用同一单位量得两条线段b a ,的长度分别为n m ,,那么就说这两条线段的比是 n m b a =,或写成n m b a ::=.注:在求线段比时,线段单位要统一。 (2)在四条线段d c b a ,,,中,如果b a 和的比等于d c 和的比,那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段,简称 比例线段. 注:①比例线段是有顺序的,如果说a 是d c b ,,的第四比例项,那么应得比例式为:a d c b =. ②()a c a b c d b d ==在比例式 ::中, a 、d 叫比例外项, b 、 c 叫比例内项, a 、c 叫比例前项,b 、 d 叫比例后项,d 叫第四比例项,如果b=c ,即 a b b d =::那么b 叫做a 、d 的比例中项, 此时有2 b ad =。 (3)黄金分割:把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >,且使AC 是BC AB 和的比例中项,即2AC AB BC =?,叫做把线段AB 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点, (4)其中AB AC 215-=≈0.618AB .即AC BC AB AC == 简记为:1 2 长短==全长 注:黄金三角形:顶角是360 的等腰三角形。黄金矩形:宽与长的比等于黄金数的矩形 知识点3 比例的性质(注意性质立的条件:分母不能为0) (1) 基本性质: ①bc ad d c b a =?=::;②2 ::a b b c b a c =?=?. 注:由一个比例式只可化成一个等积式,而一个等积式共可化成八个比例式,如bc ad =,除 了可化为d c b a ::=,还可化为d b c a ::=,b a d c ::=,c a d b ::=,c d a b ::=,b d a c ::=,a b c d ::=,a c b d ::=. (2) 更比性质(交换比例的内项或外项): ()() ()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=?? ?=??, 交换内项,交换外项. 同时交换内外项 (3)反比性质(把比的前项、后项交换): a c b d b d a c =?=. (4)合、分比性质:a c a b c d b d b d ±±=?=. 注:实际上,比例的合比性质可扩展为:比例式中等号左右两个比的前项,后项之间

中考复习 相似三角形的几种基本图形及复习题训练

B E A D C 相似三角形的几种基本图形: (1)如图: 称为“平行线型”的相似三角形 . (2)如图:其中∠1=∠2,则△ ADE ∽△ABC 称为“相交线型”的相似三角形 . A B C D E 1 2A A B B C C D D E E 124 1 2 (∠B=∠D ) (双垂直) (3)如图:∠1=∠2,∠B=∠D ,则△ADE ∽△ABC ,称为“旋转型”的相似三角形. (4)一线三等角型 B E A C D 12 A B C D E A B C D A B C D A B B C D D E E

相似三角形复习题 1、(1)求能与数 2、 3、4成比例的数x.. (2)若4 3b b a ,则 b a =_________ (3)由 3 2y x 不能推出的比例是 ( ) (A ) 3 2 y x (B ) 3 5y y x ( C) 3 1y y x (D) ) 3(3 23 2y y x 2、如图,已知直线a ∥b ∥c ,直线m 、n 与a 、b 、c 分别 交于点A 、C 、E 、B 、D 、F ,AC =4,CE =6,BD =3,则BF =() A .7 B .7.5 C .8 D .8.5 3、(1)若(2x-3y )∶(x+y)=1∶2,求x ∶y ; (2)已知三角形三边之比为 a ∶ b ∶c=2∶3∶4,三角形的周长为18㎝,求 各边的长. a b c A B C D E F m n

(3)若 k b c a a c b c b a ,求k 的值; 4、已知 z y x 732,求 2 2 2 z y x yz xz xy 的值。 5、△ABC ∽△DEF ,若△ABC 的边长分别为5cm 、6cm 、7cm ,而4cm 是△DEF 中一边的长度,你能求出△DEF 的另外两边的长度吗?试说明理由. 解析:因没有说明4cm 的线段是△DEF 的最大边或最小边,因此需分三种情况进行讨论. 6、已知△ABC 与△A 1B 1C 1的相似比为2:3,△A 1B 1C 1与△A 2B 2C 2的相似比为4:5,那么△ABC 与△A 2B 2C 2的相似比是多少? 7、如果整张纸和它的一半相似,那么整张纸的长和宽的比是多少? 8、边长为4的等边△ABC 中,DE 为中位线,则四边形BCED 的面积为( ) (A )3 2(B )3 3(C )3 4(D )3 6

基本图形在相似三角形中

相似三角形中的基本图形 1.锐角△ABC 中,BC=6,S △ABC =12,两动点M,N 分别在边AB,AC 上滑动,且MN ∥BC ,以MN 为边向下作正方形MPQN ,设其边长为x ,正方形MPQN 与△ABC 公共部分的面积为y(y>0). (1)△ABC 中BC 边上高AD= ; (2)当x= 时,PQ 恰好落在BC 边上(如图1); (3)当PQ 在△ABC 外部时(如图2),求y 关于x 的函数关系式(注明x 的取值范围),并求出x 为何值时y 最大,最大值是多少? 变式:现用一块直角三角形的边角料来加工一个正方形,已知两直角边AC=30cm,BC=40cm.甲,乙两种加工方法如图所示,请你通过计算说明哪种加工方法能使加工成的正方形面积更大。 2. 如图, 边长为4的正方形ABCD 中, P 是边BC 上的一点, QP ⊥AP 交 DC 于Q, 设BP= x, △ADQ 的面积为y. (1) 求y 与x 之间的函数关系式,并求自变量x 的取值范围; (2) 问P 点在何位置时,△ADQ 的面积最小?最小面积是多少? Q B C P D A A A B B C M M N N P P Q Q D D (图1 ) (图2) E E

X 变式1:如图,在直角梯形ABCD 中,AB ∥CD, ∠A=900,AB=2, AD=5,P 是AD 上一动点(不与A 、D 重合),PE⊥BP,PE交DC于点E. (1)△ABP 与△DPE 是否相似?请说明理由; (2)设AP=x DE=y ,求y 与x 之间的函数关系式,并指出自变量x 的取值范围; (3)请你探索在点P 运动的过程中,四边形ABED 能否构成矩形?如果能,求出AP 的长;如果不能,请说明理由; (4)请你探索在点P 运动的过程中,△BPE 能否成为等腰三角形?如果能,求出AP 的长,如果不能,请说明理由。 变式2:如图,梯形ABCD 中 AD ∥BC ,∠ABC=90°,AD=9, BC=12,AB=10,在线段BC 上任取一P ,作射线PE ⊥PD ,与线段AB 交于点E. (1)试确定CP=5时点E 的位置; (2)若设CP=x ,BE=y ,试写出y 关于自变量x 的函数关系式, 并求出自变量x 的取值范围. 变式3:如图,已知抛物线与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于C 点. (1)求此抛物线的解析式; (2)抛物线上有一点P ,满足∠PBC=90°,求点P 的坐标; (3)在(2)的条件下,问在y 轴上是否存在点E ,使得以A 、O 、E 为顶点的三角形与⊿PBC 相似?若存在,求出点E 的坐标;若不存在,请说明理由. A B D P E C B C A D E P A X=4 2 3 6 C B

相似三角形经典的基本图形及练习题

D A B C 相似中的基本图形练习 相似三角形是初中数学中重要的内容,应用广泛,可以证明线段的比例式;也可证明线段相等、平行、垂直等;还可计算线段的长、比值,图形面积及比值。 而识别(或构造)A 字型、X 字型、母子相似型、旋转型等基本图形是解证题的关键。 1.A 字型及变形 △ABC 中 , AD=2,BD=3,AE=1 (1)如图1,若DE ∥BC , 求CE 的长 (2)如图2,若∠ADE=∠ACB , 求CE 的长 2. X 字型及变形 (1)如图1,AB ∥CD ,求证:AO :DO=BO :CO (2)如图2,若∠A=∠C ,求证:AO ×DO=BO ×CO 3. 母子相似型及变形 (1)如右图,在△ABC 中, AD 把△ABC 分成两个三角形△BCD 和△CAD ,当∠ACD =∠B 时,说明△CAD 与△ABC 相似。 说明:由于小三角形寓于大三角形中,恰似子依母怀,故被称为“母子三角形” (2)如图, Rt △ABC 中 ,CD ⊥AB, 求证:AC 2=ADxAB,CD 2=ADxBD, 4. 旋转型 如图,若∠ADE=∠B ,∠BAD=∠CAE ,说明△ADE 与△ABC 相似 A D B

练习题 1、如图1,在△ABC 中,中线BE 、CD 相交于点G ,则BC DE = ;S △GED :S △GBC = ; 2、如图2,在△ABC 中, ∠B=∠AED ,AB=5,AD=3,CE=6,则AE= ; 3、如图3,△ABC 中,M 是AB 的中点,N 在BC 上,BC=2AB ,∠BMN=∠C ,则△ ∽△ ,相似比为 , NC BN = ; 4、如图4,在梯形ABCD 中,AD ∥BC ,S △ADE :S △BCE =4:9,则S △ABD :S △ABC = ; 5、如图5,在△ABC 中,BC=12cm ,点D 、F 是AB 的三等分点,点E 、G 是AC 的三等分点,则DE+FG+BC= ; 二、选择题 6、如图,在△ABC 中,高BD 、CE 交于点O ,下列结论错误的是( ) A 、CO ·CE=CD ·CA B 、OE ·OC=OD ·OB C 、AD ·AC=AE ·AB D 、CO ·DO=BO ·EO 7、如图,D 、E 分别是△ABC 的边AB 、AC 上的点, AD BD =CE AE =3, 且∠AED=∠B ,则△AED 与△ABC 的面积比是( ) A 、1:2 B 、1:3 C 、1:4 D 、4:9 8、已知,如图, 在△ABC 中,DE ∥BC ,AD=5,BD=3,求S △ADE :S △ABC 的值。 9、如图,已知在△ABC 中,CD=CE ,∠A=∠ECB ,试说明CD 2 =AD ·BE 。 A B C D E G 图1 A B C D E 图2 A B C M 图3 A B C D E 图4 A B C D F 图5 G E A E C D O A B C D E C A B D E A B C D E

相似三角形的几种基本图形

A 相似三角形的几种基本图形: (1)如图:称为“平行线型”的相似三角形. (2)如图:其中∠1=∠2,则△ADE ∽△ABC 称为“相交线型”的相似三角形. A B C D E 1 2A A B B C C D D E E 124 1 2 (∠B=∠D ) (双垂直) (3)如图:∠1=∠2,∠B=∠D ,则△ADE ∽△ABC ,称为“旋转型”的相似三角形. (4)一线三等角型 二、例题分析 1、下列说法不正确的是( ) A 、 两对应角相等的三角形是相似三角形; B 、两对应边成比例的三角形是相似三角形; C 、三边对应成比例的三角形是相似三角形; D 、以上有两个说法是正确。 2、如图,DE ∥BC ,EF ∥AB ,则图中相似三角形有( ) A 、 2对 B 、3对 C 、4对 D 、5对 3、如图,若P 为△ABC 的边AB 上一点(AB>AC ),则下列条件不一定能保证△ACP ∽△ABC 的有( ) A 、∠ACP=∠ B B 、∠APC=∠ACB C 、AC AP AB AC = D 、AB AC BC PC = 4、如图,在△ABC 中,点D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则下列结论:①BC=2DE ;②△ADE ∽△ABC ;③ AD AB AE AC =;其中正确的有 ( ) A 、3个 B 、2个 C 、1个 D 、0个 E D C B A B E A C D 1 2 A B C D E B D B E A C D A B D E F A B C P

5、如图AD ⊥AB 于D ,CE ⊥AB 于E 交AB 于F ,则图中相似三角形的对数是 。 ; 6、已知AD 为Rt △ABC 斜边BC 上的高,且AB=15cm ,BD=9cm ,则AD= ,CD= 。 7、如图四,在平行四边形ABCD 中,AB = 4cm ,AD = 7cm , ∠ABC 的平分线交AD 于点E ,交CD 的延长线于点F ,则DF = ________cm 8、已知:如图,ΔABC 中,AD=DB,∠1=∠2.求证:ΔABC ∽Δ EAD. 9、已知,如图,D 为△ABC 内一点,连结ED 、AD ,以BC 为边 在△ABC 外作∠CBE=∠ABD ,∠BCE=∠BAD 求证:△DBE ∽△ABC 10、已知△ABC 中,AB=AC ,∠A=36°,BD 是角平分线,求证:△ABC ∽△BCD 11、矩形ABCD 中,BC=3AB ,E 、F ,是BC 边的三等分点,连结AE 、AF 、AC ,问图中是否存在非全等的相似三角形?请证明你的结论。 A B C D E F A B C D

初中数学《相似三角形》优秀教案

相似三角形 一、知识概述 (一)相似三角形 1、对应角相等,对应边成比例的两个三角形,叫做相似三角形. 温馨提示: ①当且仅当一个三角形的三个角与另一个(或几个)三角形的三个角对应相等,且三条对应边的比相等时,这两个(或几个)三角形叫做相似三角形,即定义中的两个条件,缺一不可; ②相似三角形的特征:形状一样,但大小不一定相等; ③相似三角形的定义,可得相似三角形的基本性质:对应角相等,对应边成比例,其应用广泛. 2、相似三角形对应边的比叫做相似比. 温馨提示: ①全等三角形一定是相似三角形,其相似比k=1.所以全等三角形是相似三角形的特例.其区别在于全等要求对应边相等,而相似要求对应边成比例. ②相似比具有顺序性.例如△ABC∽△A′B′C′的对应边的比,即相似比为k,则△A′B′C′∽△ABC的相似比,当且仅当它们全等时,才有k=k′=1. ③相似比是一个重要概念,后继学习时出现的频率较高,其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数,这一点借助相似三角形可观察得出. 3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等,对应边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形. 4、相似三角形的预备定理:如果一条直线平行于三角形的一条边,且这条直线与原三角形的两条边(或其延长线)分别相交,那么所构成的三角形与原三角形相似.

①定理的基本图形有三种情况,如图其符号语言: ∵DE∥BC,∴△ABC∽△ADE; ②这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理.它不但本身有着广泛的应用,同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础,故把它称为“预备定理”; ③有了预备定理后,在解题时不但要想到上一节“见平行,想比例”,还要想到“见平行,想相似”. (二)相似三角形的判定 1、相似三角形的判定: 判定定理(1):两角对应相等,两三角形相似. 判定定理(2):两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似. 判定定理(3):三边对应成比例,两三角形相似. 温馨提示: ①有平行线时,用上节学习的预备定理; ②已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角)时,可考虑利用判定定理(1)或判定定理(2); ③已有两边对应成比例时,可考虑利用判定定理2或判定定理3.但是,在选择利用判定定理2时,一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等. 2、直角三角形相似的判定:斜边和一条直角边对应成比例,两直角三角形相似.

全等三角形基本图形

A B E D C F A B C D 123 4A B C D E F O O D C B A A B C D F O D C B A A B C D E M N 12E D C B A A B C D E A B D C E F 4321E D C B A 第八讲 全等三角形基本图形(2) 一、知识点 1、熟悉一些全等中的基本图形; 2、熟练运用全等三角形的判定方法和性质。 二、典型例题和练习 例1、已知:如图,AD ∥BC ,AD =BC .求证:AB ∥CD . 例2、已知:如图,AD ∥BC ,AD =BC ,AE =CF .求证:BE =DF . 例3、已知:如图,点E ,F 在BC 上,且BE =CF ,AB =CD ,∠B =∠C .求证:AF =DE . 例4、已知:如图,∠1=∠2,∠3=∠4.求证:AC =AD . 例5、已知:如图,AB =CD ,BC =AD ,E 、F 是AC 上的两点,且AE =CF 求证:BF =DE . 例6、已知:如图,AB ,CD 相交于点O ,AC ∥DB ,OC=OD ,E 、F 为AB 上的两点,且AE=BF . 求证:CE =DF . 例7、已知:如图,AB ∥CD ,OA =OC .求证:△AOB ≌△COD . 练习: 1、已知:如图,AB =AC ,DB =CD ,F 是AD 的延长线上的一点.求证:BF =CF . 2、如图:AD =BC ,AC ⊥BC ,BD ⊥AD .求证:∠CAO =∠DBO . 3、已知:如图,AB =DC ,AC =BD .求证:∠A =∠D . 4、已知:如图,AB =AC ,AD =AE ,∠DAB =∠EAC AB 、DC 相交于点M ,AC 、 BE 相交于点N ,.求证:AM =AN . 5、如图,AB =AD ,BC =DE ,∠1=∠2.求证:(1)AC =AE ;(2)∠CAE =∠CDE . 6、已知:AD ∥BC ,∠1=∠2,∠3=∠4,直线DC 过点E 交AD 于D ,交BC 于C . 求证:AD +BC =AB . 7、已知:如图,AD ∥BC ,AE ,BE 分别平分∠A ,∠B ,点E 在CD 上. 求证:(1)E 为CD 的中点;(2)BC +AD =AB . 例8、已知:如图,在正方形ABCD 中AB =AD ,∠B =∠D =90°. (1)如果BE +DF =EF .求证:①∠EAF =45°.②FA 平分∠DFE . (2)如果∠EAF =45°.求证:BE +DF =EF . (3)如果点F 在DC 的延长线上,点E 在CB 的延长线上,满足(1)的条件,则(1)中结论是否仍然成立? 例9、如图,△ABE 和△ACF 分别是以△ABC 的AB 、AC 为一边在形外所作的等边三角形, CE 、BF 相交于O ,求∠EOB 的度数. 三、巩固提高 1.如图,已知如图,∠B=∠DEF ,AB=DE ,要说明△ABC ≌△DEF , (1)若以“ASA ”为依据,还缺条件 . (2)若以“AAS ”为依据,还缺条件 . (3)若以“SAS ”为依据,还缺条件 . 2. AD 是△ABC 的边BC 上的中线,AB =12,AC =8,则边BC 的取值范围是____;中线AD 的取值范围是____. 3. 已知EF 是AB 上的两点, AC ∥DB , DE ∥CF ,且AE =BF ,求证:CF =DE . 4. 已知:如图, AO 平分∠EAD 和∠EOD 求证:① △A OE ≌△A OD ②EB=DC F E D C B A

相关文档
最新文档