解析几何中的定值问题

1、已知曲线C 是到点1328P ⎛⎫- ⎪⎝⎭

，和到直线5

8

y =-

距离相等的点的轨迹. l 是过点(10)Q -，的直线,M 是C 上（不在l 上）的动点；A B ，在l 上，MA l ⊥,MB x ⊥轴（如图）.

(Ⅰ）求曲线C 的方程； (Ⅱ)求出直线l 的方程，使得

2

QB

QA

为常数．

(Ⅰ）解：设()N x y ，为C 上的点,则

||NP =N 到直线5

8

y =-的距离为58y +．

58y =+.

化简,得曲线C 的方程为2

1()2

y x x =

+. （Ⅱ)设22x x M x ⎛⎫

+ ⎪⎝

⎭，,直线:l y kx k =+,则()B x kx k +，，从而

||1|QB x +.

过Q (1

0)-，垂直于l 的直线11

:(1)l y x k

=-+． 因为||||QA MH =，所以2

||1

QA k

=

+，

2||1

2||QB x QA x k

+=+．

当2k =时,

2

||||

QB QA =从而所求直线

l 方程为220x y -+=．

y

2=4y

2、设动点(,)(0)P x y y ≥到定点F (0,1)的距离比它到x 轴的距离大1，记点P 的轨迹为曲线C .

(１）求点P 的轨迹方程;

(2）设圆M 过A (0,2),且圆心M 在曲线C 上，EG 是圆M 在x 轴上截得的弦,试探究当

M 运动时，弦长EG 是否为定值?为什么?

解:（1)依题意知,动点P 到定点F (0,1)的距离等于P 到直线1y =-的距离，曲线C 是以原

点为顶点，F (0,1)为焦点的抛物线………………………………2分

∵

12

p

= ∴2p = ∴ 曲线C 方程是2

4x y =………4分

（2)设圆的圆心为(,)M a b ,∵圆M 过A (0,2),

∴圆的方程为 2

2

2

2

()()(2)x a y b a b -+-=+- 令0y =得：2

2440x ax b -+-= 设圆与x 轴的两交点分别为1(,0)x ,2(,0)x

方法1:不妨设12

x x >，由求根公式得

1

x =2

x =…………………………10分

∴12x x -=

又∵点(,)M a b 在抛物线2

4x y =

上,∴2

4a b =，

∴ 124x x -==，即EG ＝4--－--------－---------－-－-------－－-－－－－－－-----－----－-－---１3分

∴当M 运动时,弦长EG 为定值4…………………………………………………14分 〔方法２：∵122x x a +=，1244x x b ⋅=- ∴

22121212()()4x x x x x x -=+-⋅22(2)4(44)41616a b a b =--=-+

又∵点(,)M a b 在抛物线24x y =上，∴2

4a b =， ∴ 212()16x x -= 124x x -=

∴当M 运动时，弦长EG 为定值4〕

3、设12,F F 分别是椭圆C ：22

221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点

(1)设椭圆C

上的点到12,F F 两点距离之和等于4,写出椭圆Ｃ的方程和焦点坐标

（2)设K 是(1）中所得椭圆上的动点,求线段1KF 的中点Ｂ的轨迹方程

（３）设点P 是椭圆C 上的任意一点,过原点的直线L 与椭圆相交于Ｍ，Ｎ两点，当直线

PM ，ＰN 的斜率都存在,并记为,PM PN k K 试探究PM PN k K ⋅的值是否与点P 及直线Ｌ有

关，并证明你的结论。

[解］：（1)

由于点在椭圆上

22

21b = －--－--1分 2a =4， ----－－2分

椭圆C 的方程为 22

143

x y +=--－----－3分

焦点坐标分别为(-１,0) ，(1，0）－-－－--－-－－-4分

（2)设1KF 的中点为Ｂ（x, y ）则点(21,2)K x y +------－-6分

把K 的坐标代入椭圆22

1

43x y +=中得22

(21)(2)1

43

x y ++=-----8分

线段1KF 的中点Ｂ的轨迹方程为2

21()132

4

y x ++=－-－－--－－--10分

（3）过原点的直线L 与椭圆相交的两点M,N 关于坐标原点对称

设0000(,)(,),(,)M x y N x y p x y -- ----１1分

,,M N P 在椭圆上，应满足椭圆方程,得2222

00222211x y x y a b a b

+=+=，--－－--12分

PM PN y y y y k K x x x x -+==

-+-----－－-－--－-------13分

PM

PN k K ⋅＝22

00022000y y y y y y x x x x x x -+-⋅=-+-=2

2b a

---－--------15分

故：PM PN k K ⋅的值与点Ｐ的位置无关,同时与直线L 无关,－-－-－16分