函数的对称性
函数的基本性质
一、函数的单调性
函数的单调性函数的单调性反映了函数图像的走势，高考中常考其一下作用：比较大小，解不等式，求最值。
定义：（略）
定理1：[]2121,,x x b a x x ≠∈?那么
[]1212()()()0x x f x f x -->?[]1212()()
0(),f x f x f x a b x x ->?-在上是增函数；
[]1212()()()0x x f x f x --
[]1212
()()
0(),f x f x f x a b x x -
定理2：（导数法确定单调区间） 若[]b a x ,∈，那么
()[]b a x f x f ,)(0在?>'上是增函数； ()[]b a x f x f ,)(0在?<'上是减函数.
1.函数单调性的判断(证明)
(1)作差法(定义法) (2)作商法 (3)导数法
2.复合函数的单调性的判定
对于函数()y f u =和()u g x =，如果函数()u g x =在区间(,)a b 上具有单调性，当(),x a b ∈时
(),u m n ∈，且函数()y f u =在区间(,)m n 上也具有单调性，则复合函数(())y f g x =在区间(),a b 具
有单调性。
3.由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断
对于两个单调函数()f x 和()g x ，若它们的定义域分别为I 和J ，且I J ?≠?： (1)当()f x 和()g x 具有相同的增减性时， ①1()()()F x f x g x =+的增减性与()f x 相同， ②2()()()F x f x g x =?、3()()()F x f x g x =-、4()
()(()0)()
f x F x
g x g x =
≠的增减性不能确定；
(2)当()f x 和()g x 具有相异的增减性时，我们假设()f x 为增函数，()g x 为减函数，那么： ①1()()()F x f x g x =+的增减性不能确定； ②2()()()F x f x g x =?、3()()()F x f x g x =-、4()()(()0)()f x F x g x g x =
≠为增函数，5()
()(()0)()
g x F x f x f x =≠为减函数。
4.奇偶函数的单调性
奇函数在其定义域内的对称区间上的单调性相同，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。
二、函数的对称性
函数的对称性是函数的一个基本性质, 对称关系不仅广泛存在于数学问题之中,而且利用对称性往往能够更简捷的使问题得到解决,对称关系同时还充分体现数学之美。
1.函数()y f x =的图象的对称性（自身）:
定理1: 函数()y f x =的图象关于直2
a b
x +=
对称 ()()f a x f b x ?+=-()()f a b x f x ?+-=
特殊的有：
①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ?+=-(2)()f a x f x ?-=。 ②函数()y f x =的图象关于y 轴对称（奇函数）)()(x f x f =-?。 ③函数)(a x f y +=是偶函数)(x f ?关于a x =对称。
定理2：函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称
()2(2)f x b f a x ?=--?b x a f x a f 2)()(=-++
特殊的有：
① 函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ?
=--。
② 函数()y f x =的图象关于原点对称（奇函数）)()(x f x f -=-?。 ③ 函数)(a x f y +=是奇函数)(x f ?关于点()0,a 对称。
定理3：（性质）
①若函数y=f (x)的图像有两条铅直对称轴x=a 和x=b(a 不等于b),那么f(x)为周期函数且2|a-b|是它的一个周期。
②若函数y=f (x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。
③若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a ≠b ），则y = f (x)是周期函数，且2| a －b|是其一个周期。
④若一个函数的反函数是它本身,那么它的图像关于直线y=x 对称。
2.两个函数图象的对称性:
①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. ②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a b
x m
+=
对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称 ③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =- ④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =-- ⑤函数y = f (x)与a －x = f (a －y)的图像关于直线x +y = a 成轴对称。 函数y = f (x)与x －a = f (y + a)的图像关于直线x －y = a 成轴对称。 函数y = f (x)的图像与x = f (y)的图像关于直线x = y 成轴对称。
3．奇偶函数性质
对于两个具有奇偶性的函数()f x 和()g x ，若它们的定义域分别为I 和J ，且I J ?≠?： （1）满足定义式子)()(x f x f =-（偶）0)()(=-+x f x f （奇） （2）在原点有定义的奇函数有0)0(=f
(3)当()f x 和()g x 具有相同的奇偶性时，假设为奇函数，那么： ①函数1()()()F x f x g x =+、3()()()F x f x g x =-也为奇函数； ②2()()()F x f x g x =?、4()
()(()0)()
f x F x
g x g x =
≠为偶函数； ③两个偶函数之和、差、积、商为偶函数
简单地说：
奇函数±奇函数=奇函数， 偶函数±偶函数=偶函数， 奇函数×奇函数=偶函数， 偶函数×偶函数=偶函数， 奇函数×偶函数=奇函数.
(4)当()f x 和()g x 具有相异的奇偶性时，那么：
①1()()()F x f x g x =+、3()()()F x f x g x =-的奇偶性不能确定； ②2()()()F x f x g x =?、4()()(()0)()f x F x g x g x =≠、5()
()(()0)()
g x F x f x f x =≠为奇函数。
（6）任意函数)(x f 均可表示成一个奇函数[])()(21
)(x f x f x g --=
与一个偶函数[])()(2
1)(x f x f x h -+=的和。
（7）一般的奇函数都具有反函数，且依然是奇函数，偶函数没有反函数
（8）图形的对称性 关于y 轴对称的函数（偶函数）关于原点()0,0对称的函数（奇函数） （9）若)(x f 是偶函数，则必有[])()(b ax f b ax f +-=+ 若)(x f 是奇函数，则必有[])()(b ax f b ax f +--=+ （10）若)(b ax f +为偶函数，则必有)()(b ax f b ax f +-=+ 若)(b ax f +是奇函数，则必有)()(b ax f b ax f +--=+ （11）常见的奇偶函数
三、函数的周期性
函数的周期性反映了函数的重复性，在试题中它的主要用途是将大值化小，负值化正，求值。
1.周期性的定义
对于函数)(x f y =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有
)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。
如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。如果非零常数T 是函数()f x 的周期，那么T -、nT （*
n N ∈）也是函数()f x 的周期。
2. 函数的周期性的主要结论：
结论1：如果()()f x a f x b +=+（a b ≠），那么()f x 是周期函数，其中一个周期T a b =- 结论2：如果()()f x a f x b +=-+（a b ≠），那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a b =- 结论3：如果定义在R 上的函数()f x 有两条对称轴x a =、x b =对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a b =-
结论4：如果偶函数()f x 的图像关于直线x a =（0a ≠）对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a =
结论5：如果奇函数()f x 的图像关于直线x a =（0a ≠）对称，那么()f x 是周期函数，其中一个
周期4T a =
结论6：如果函数同时关于两点(),a c 、(),b c （a b ≠）成中心对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a b =-
结论7：如果奇函数()f x 关于点(),a c （0a ≠）成中心对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T a =
结论8：如果函数()f x 的图像关于点(),a c （0a ≠）成中心对称，且关于直线x b =（a b ≠）成轴对称，那么()f x 是周期函数，其中一个周期4T a b =- 结论9：如果1()()f x p f x +=或1
()()
f x p f x +=-，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T p = 结论10：如果1()()21()p f x f x f x ++=-或1()()21()
p f x f x f x -+=+，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T p =
结论11：如果()()f x p f x +=-，那么()f x 是周期函数，其中一个周期2T p =
例1：定义在R 上的非常数函数满足：f (10+x)为偶函数，且f (5－x) = f (5+x),则f (x)一定是（ ） （第十二届希望杯高二 第二试题） (A)是偶函数，也是周期函数 (B)是偶函数，但不是周期函数 (C)是奇函数，也是周期函数
(D)是奇函数，但不是周期函数
解：∵f (10+x)为偶函数，∴f (10+x) = f (10－x).
∴f (x)有两条对称轴 x = 5与x =10 ，因此f (x)是以10为其一个周期的周期函数， ∴x =0即y 轴也是f (x)的对称轴，因此f (x)还是一个偶函数。 故选(A)
例6.求证:若()f x ()x R ∈为奇函数，则方程()f x =0若有根一定为奇数个。 证:Q ()f x 为奇函数∴ ()0f =-()0f -=()0f
∴2()0f =0
即x =0是方程()f x =0的根
若1x 是()f x =0的根，即()1f x =0
由奇数定义得()1f x -=-()1f x =0
∴1x -也是方程的根
即方程的根除x =0外成对出现。
方程根为奇数个。
例2：设定义域为R 的函数y = f (x)、y = g (x)都有反函数，并且f(x －1)和g -1
(x －2)函数的图像关于直线y = x 对称，若g (5) = 1999，那么f(4)=（ ）。 （A ） 1999； （B ）2000； （C ）2001； （D ）2002。
解：∵y = f(x －1)和y = g -1
(x －2)函数的图像关于直线y = x 对称，
∴y = g -1(x －2) 反函数是y = f(x －1)，而y = g -1
(x －2)的反函数是:y = 2 + g(x), ∴f(x －1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2001 故f(4) = 2001,应选（C ）
例3.设f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(1+x)= f(1－x),当－1≤x ≤0时，
f (x) = －
2
1
x ，则f (8.6 ) = _________ （第八届希望杯高二 第一试题） 解：∵f(x)是定义在R 上的偶函数∴x = 0是y = f(x)对称轴；
又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 对称轴。故y = f(x)是以2为周期的周期函数，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3
例4. 设f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x+2)= －f(x),当0≤x ≤1时，
f (x) = x ，则f (7.5 ) = （ ） (A) 0.5
(B) －0.5
(C) 1.5 (D) －1.5
解：∵y = f (x)是定义在R 上的奇函数，∴点（0，0）是其对称中心；
又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直线x = 1是y = f (x) 对称轴，故
y = f (x)是周期为2的周期函数。
∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故选(B)
一、 反函数的性质和应用
（1）定义域值域相反 （2）图象关于x y =对称 （3）具有相同的单调性、奇偶性
（4）单调函数一定具有反函数，具有反函数的函数不一定单调，偶函数和周期函数一定不具有反函数 （5）原函数过()b a ,则反函数过()a b ,反之亦然 （6）
(
)
x x f
f =-)(1
，x x f f
=-))((1
，但(
)
不一定等于
)(1
x f
f -))((1
x f f
-仅当
)(x f Φ≠值域定义域I 才成立
（二）奇偶函数性质
（1）满足定义式子（2）在原点有定义的奇函数有0)0(=f （3）两个偶函数之和、差、积、商为偶函数；（4）两个奇函数之和、差为奇函数；积（商）为偶函数；（5）一个奇函数和偶函数之积、商为奇函数．（6）任意函数)(x f 均可表示成一个奇函数[])()(2
1
)(x f x f x g --=
与一个偶函数[])()(2
1
)(x f x f x h -+=
的和（7）一般的奇函数都具有反函数，且依然是奇函数，偶函数没有反函数（8）图形的对称性
（三） 周期性：定义、判断
常见具有周期性的函数)
()(x f a x f -=+
)
(1
)()(1)(x f a x f x f a x f -
=+=
+或 )(1)(1)(x f x f a x f -+=
+或)
(1)
(1)(x f x f a x f +-=+
（四） 对称性：判断、性质
（1）一个函数的对称性：
1、函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+或)2()(x a f x f -= 或
)2()(x a f x f +=- 显然： 特殊的有偶函数关于y （即x=0）轴对称，则有关系式 )()(x f x f =-；一般的有)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线
2
2)()(b
a x
b x a x +=
-++= 对称 2、函数)(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++
b x f x a f 2)()2(=-++?上述关系也可以写成或b x f x a f 2)()2(=+-显然特殊的有奇函
数关于（0，0）对称，奇函数有关系式0)()(=-+x f x f
一般的有c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2
,2(c
b a + 对称
3、函数自身不可能关于b y =对称，曲线则可能
（2）两个函数的对称性：
1、 )(x f y =与)(x f y -=关于X 轴对称。
2、 )(x f y =与)(x f y -=关于Y 轴对称。
3、 )(x f y =与)2(x a f y -=关于直线a x =对称。
4、 )(x f y =与)(2x f a y -=关于直线a y =对称。
5、 )2(2)(x a f b y x f y --==与关于点(a,b)对称。
6、)(x a f y -=与)(b x y -=关于直线2
b
a x +=对称。 7、)()(1
x f
y x f y -==与关于直线x y =对称
（四）三性的综合应用
（08湖北卷6）已知()
f x 在R 上是奇函数，且
2(4)(),(0,2)()2,(7)f x f x x f x x f +=∈==当时，则 A
A.-2
B.2
C.-98
D.98 （08四川卷）函数()f x 满足()()213f x f x ?+=，若()12f =，则()99f =( C ) （Ａ）13 （Ｂ）2 （Ｃ）
132 （Ｄ）213
（2010安徽理数）若f(x)是R 上周期为5的奇函数，且满足f(1)=1，f(2)=2则)4()3(f f -的值为（ ）A 、1- B 、1 C 、2- D 、2
（09江西卷）已知函数()f x 是(,)-∞+∞上的偶函数，若对于0x ≥，都有(2()f x f x +=），且当[0,2)x ∈时，2()log (1f x x =+），则(2008)(2009)f f -+的值为 ( C ) A ．2- B ．1- C ．1 D ．2
(09东兴十月)定义在R 上的函数)(x f 的图象关于点??
?
??-
o ,43对称，且满足)23()(+-=x f x f ，
1)1(=-f ，2)0(-=f ，则=++)2006(.......)2()1(f f f _______
2009广东三校一模）定义在R 上的函数()x f 是奇函数又是以2为周期的周期函数,则
()()()741f f f ++等于
( B )
A .-1
B .0
C .1
D .4 （2009全国卷Ⅰ理）函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，2)1(=f 则
=)2009(f ( D ) A 、2009 B 、-2009 C 、-2 D.、2
若函数y=f (x)的图像有一个对称中心M(m.n)和一条铅直对称轴x=a,那么f(x)为周期函数且4|a-m|为它的一个周期。
∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称， ∴f (x) + f (2a －x) =2c ，用2b －x 代x 得： f (2b －x) + f [2a －(2b －x) ] =2c ………………（*） 又∵函数y = f (x)图像直线x =b 成轴对称， ∴ f (2b －x) = f (x)代入（*）得：
f (x) = 2c －f [2(a －b) + x]…………（**），用2（a －b ）－x 代x 得 f [2 (a －b)+ x] = 2c －f [4(a －b) + x]代入（**）得：
f (x) = f [4(a －b) + x],故y = f (x)是周期函数，且4| a －b|是其一个周期。
例 2.()f x 是定义在R 上满足()()f x f x -=的函数且满足()()33f x f x +=-若()0,3x ∈时
()2x
f x =则()6,3x ∈--时＿＿
()()2x A f x =,()()2x B f x =-
()()()()66,22x x C f x D f x ++==-
解：如图
X
知识点及方法
对称性、函数的奇偶性；二次函数的对称性；对称性与函数的解析式；化归思想 二次函数的对称性
1． 已知)(x f 是二次函数，图象开口向上,)2()2(x f x f -=+, 比较)2
2
(),1(f f 大小。
2． 若二次函数)(x f 的图象开口向下，且f(x)=f(4-x),比较)22(),1(),0(f f f -的大小。
3． 二次函数32)(22+-+-=m mx x x f 满足)2()2(--=-x f x f ,求)(x f 的顶点的坐标。
4． 已知)0()(2>++=a c bx ax x f ,且)7()3(x f x f +=-.（1）写出b a ,的关系式 （2）指出)(x f 的单调区间。
函数的对称性求解析式
1． 已知)(x f 是偶函数，当0≤x 时，1)(3+=x x f ,求)(x f 的解析式.
2． 已知函数的)(x g 图象与函数29)(2+-=x x x f 的图象关于原点成中心对称, 求)(x g 的解析式。
3． 设函数y =f (x )的图象关于直线x =1对称，若当x ≤1时，y =x 2＋1，求当x >1时, ,f (x )的解析式.
4． 设 1)(+=x x f , 求 )1(+x f 关于直线2=x 对称的曲线的解析式.
5． 已知函数)1(-=x f y 是偶函数，且x ∈(0,+∞)时有f (x )=
x
1
, 求当x ∈(－∞,－2)时, 求)(x f y = 的解析式.
6． 已知函数)(x f 是偶函数，当)1,0[∈x 时，,1)(x x f -=又)(x f 的图象关于直线1=x 对称，求)(x f 在
)6,5[的解析式.
7． 已知函数()()y f x x R =∈）是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数()y f x =图象上
A ．(,())a f a -
B ．(,())a f a --
C ．(,())a f a ---
D ．(,())a f a -
8． 已知)(x f y =是定义在R 上的奇函数，当0>x 时，2)(-=x x f ，那么不等式2
1)(<
x f 的解集是（ ）
9． 设定义域为R 的函数)(x f 满足以下条件； ⑴ 对任意0)()(,=-+∈x f x f R x ； ⑵
对任意12,[1,]x x a ∈，当21x x >时，有0)()(12>>x f x f 则以下不等式不一定成立．．．．．
的是（ ） A ．)0()(f a f >B ．)()2
1(a f a
f >+ C ．)3()131(->+-f a a f D ．)()131(a f a
a f ->+-
5、 已知定义在R 上的函数()f x 的图象关于点3
(,0)4
-对称，且(1)1f -=，(0)2f =-，
3
()()2
f x f x =-+，则(1)(2)(3)(2005)f f f f +++???+的值为（ ）
A ．2-
B ．1-
C ．0
D ．1 7、已知函数2
()|2|()f x x ax b x R =-+∈，给出下列命题，
⑴ )(x f 不可能为偶函数； ⑵ 当)2()0(f f =时，)(x f 的图象必关于直线1x =对称； ⑶ 若≤-b a 2
0，则)(x f 在区间),[+∞a 上是增函数； ⑷ )(x f 有最小值2
a b -，其中正确命题的序
号是______（将你认为正确的命题的序号都填上）．
9．已知函数f(x)=x+x 3
+x 5
，x l ，x 2，x 3∈R ，且x I +x 2＜0，x 1+x 3<0，x 2+x 3<0，则f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)的值
(B )
A ．大于0
B ．小于0
C ．等于0
D ．不确定
10．函数a ax x x f +-=22
)(在区间),(1-∞上有最小值，则函数x
x f x g )
()(=
在区间),(∞+1上一定
（ D ） A ．有最小值
B ．有最大值
C ．是减函数
D ．是增函数
12．函数c bx x x f +-=2
)(，若f （0）=3，且f （2-x ）=f （x ），则有（B ）
A.)()(x x c f b f ≥
B.)()(x
x c f b f ≤
C.)()(x
x
c f b f < D.)(x
b f 与)(x
c f 的大小不确定
14．函数x
ax x f 1
)(2-=的单调递增区间为),0(+∞，那么实数a 的取值范围是
（ A ）
A ．0≥a
B ．0>a
C ．0≤a
D ．0 热点1 （图象与性质）．函数()f x 的图象是两条直线的一部分（如图所示），其定义域为[-1，0）∪（0，1]，则不等式()f x －()f x -＞-1的解集是 A ．{}:110x x x -≤≤≠且 B. {}:10x x -≤< C.1:1012x x x ??-≤<<≤????或 D.1:112x x x ??-≤<-<≤???? 或0 ５．函数)(x f 的定义域为D ：}0|{≠x x 且满足对于任意D x x ∈21,，有).()()(2121x f x f x x f +=? （１）求)1(f 的值； （２）判断)(x f 的奇偶性并证明； （３）如果),0()(,3)62()13(,1)4(+∞≤-++=在且x f x f x f f 上是增函数，求x 的取值范围. ７．对于函数()f x ，若存在0x R ∈，使()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的“滞点”.已知函数()f x = 2 22 x x -. (１)试问()f x 有无“滞点”？若有，求之，否则说明理由； 函数对称性的解题方法归纳 讲函数的对称性主要是讲奇偶函数图像的对称性，函数与反函数图像的对称性。前者是函数自身的性质，而后者是函数的变换问题。下文中我们均简称为函数的变换性。函数的对称性在近几年高考中屡见不鲜，对于解决其它问题也很有帮助，同时也是数学美的很好体现。现通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称变换这两个方面来探讨函数对称性有关的性质。 1. 函数自身的对称性探究 设函数 )2()2(),()(x f x f x f +=-∞+-∞上满足在，)7()7(x f x f +=-，且在闭区间［0，7］上只有0)3()1(==f f （1）试判断函数)(x f y =的奇偶性； （2）试求方程0)(=x f 在闭区间［－2005，2005］上根的个数并证明你的结论。 分析：由)7()7(),2()2(x f x f x f x f +=-+=-可得：函数图象既关于x ＝2对称，又关于x ＝7对称，进而可得到周期性，然后再继续求解，而本题关键是要首先明确函数的对称性，因此，熟悉函数对称性是解决本题的第一步。 定理1 函数)(x f y =的图像关于直线x ＝a 对称的充要条件是)()(x a f x a f -=+即)2()(x a f x f -= 证明（略） 推论 函数)(x f y =的图像关于y 轴对称的充要条件是)()(x f x f -= 定理2 函数)(x f y =的图像关于点A （a ，b ）对称的充要条件是 b x a f x f 2)2()(=-+ 证明（略） 推论 函数)(x f y =的图像关于原点O 对称的充要条件是0)()(=-+x f x f 偶函数、奇函数分别是定理1，定理2的特例。 定理3 ①若函数)(x f y =的图像同时关于点A （a ，c ）和点B （b ，c ）成中心对称（b a ≠），则)(x f y =是周期函数，且b a -2是其一个周期。 函数的对称性 知识梳理 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数;②一次函数;③二次函数;④反比例函数;⑤指数函数;⑥对数函数;⑦幂函数;⑧正弦函数; ⑨正弦型函数sin()y A x ω?=+既是轴对称又是中心对称;⑩余弦函数;⑾正切函数;⑿耐克函数; ⒁绝对值函数：这里主要说的是(||)y f x =和|()|y f x =两类。前者显然是偶函数，它会关于y 轴对称;后者是把x 轴下方的图像对称到x 轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如|ln |y x =就没有对称性，而|sin |y x =却仍然是轴对称。 ⒂形如(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+的图像是双曲线，其两渐近线分别直线d x c =- (由分母为零确定)和直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定)，对称中心是点(,)d a c c -。 二、抽象函数的对称性 【此类问题涉及到了函数图象的两种对称性，一种是同一函数自身的对称性，我们称其为自对称；另一种是两个函数之间的对称性 ，我们称其为互对称。】 1、函数)(x f y =图象本身的对称性（自对称问题） （1）轴对称 ①)(x f y =的图象关于直线a x =对称 ?)()(x a f x a f -=+ ?)2()(x a f x f -= ?)2()(x a f x f +=- 专题：函数的周期性对称性 1、周期函数的定义 一般地，对于函数)(x f y =，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+，那么函数)(x f y =就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的一个周期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 显然，若T 是函数的周期，则)0,(≠∈k z k kT 也是)(x f 的周期。如无特别说明，我们后面一般所说的周期是指函数的最小正周期。 说明：1、周期函数定义域必是无界的。 2、周期函数不一定都有最小正周期。 推广：若)()(b x f a x f +=+，则)(x f 是周期函数，a b -是它的一个周期； )2 ()2(T x f T x f -=+，则)(x f 周期为T ； ()f x 的周期为)(x f T ω?的周期为 ω T 。 2、常见周期函数的函数方程： （1）函数值之和定值型，即函数)()()(b a C x b f x a f ≠=+++ 对于定义域中任意x 满足)()()(b a C x b f x a f ≠=+++，则有)()]22([x f a b x f =-+，故函数)(x f 的周期是)(2a b T -= 特例：()()f x a f x +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数； （2）两个函数值之积定值型，即倒数或负倒数型 若)()()(可正可负，C b a C x b f x a f ≠=+?+，则得 )]22()2[()2(a b a x f a x f -++=+，所以函数)(x f 的周期是)(2a b T -= 二次函数图象对称性的应用 一、几个重要结论： 1、抛物线的对称轴是直线__________。 2、对于抛物线上两个不同点P1（），P2（），若有，则P1，P2两点是关于_________对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线_____________；反之亦然。 3、若抛物线与轴的两个交点是A（，0），B（，0），则抛物线的对称轴是__________（此结论是第2条性质的特例，但在实际解题中经常用到）。 4、若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是A（，0），且其对称轴是，则另一个交点B 的坐标可以用＿＿＿＿表示出来（注：应由A、B两点处在对称轴的左右情况而定，在应用时要把图画出）。 5、若抛物线与轴的两个交点是B（，0），C（，0），其顶点是点A，则?ABC是＿＿＿＿三角形，且?ABC的外接圆与内切圆的圆心都在抛物线的＿＿＿＿＿＿＿上。 二、在解题中的应用： 例1已知二次函数的图象经过A（-1，0）、B（3，0），且函数有最小值-8，试求二次函数的解析式。 例2已知抛物线,设,是抛物线与轴两个交点的横坐标，且满足 . （1）求抛物线的解析式； （2）设点P（，），Q（，）是抛物线上两个不同的点，且关于此抛物线的对称轴对称，求的值。 例3已知抛物线经过点A（-2，7）、B（6，7）、C（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是。 例4已知抛物线的顶点A在直线上。 （1）求抛物线顶点的坐标； （2）抛物线与轴交于B、C两点，求B、C两点的坐标； （3）求?ABC的外接圆的面积。 y O x -1 -2 1 2 - 3 3 -1 1 2 -2 二次函数专题训练——对称性与增减性 一、选择 1、若二次函数 ，当x 取 ， （ ≠ ）时，函数值相等，则 当x 取+时，函数值为（ ） （A ）a+c （B ）a-c （C ）-c （D ）c 2、抛物线2)1(2++=x a y 的一部分如图所示，该抛物线在y 轴右 侧部分与x 轴交点的坐标是 （A ）（ 2 1 ，0） （B ）（1，0） （C ）（2，0） （D ）（3，0） 3、已知抛物线2 (1)(0)y a x h a =-+≠与x 轴交于1(0)(30)A x B ，，，两点，则线段AB 的长度为（ ） Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4 4、抛物线c bx x y ++-=2 的部分图象如图所示，若0>y ，则的取值范围是（ ） A.14<<-x B. 13<<-x C. 4- 函数周期性与对称性的函数方程 【问题提出】 问题1：满足下列条件的函数是否为周期函数？为什么？如果是，请写出它的一个正周期. （1）)()(a x f x f += ； （2）)()(a x f x f +-=；（3）)()(a x f b x f +=+ （4）) (1 )(a x f x f +± =.（其中0,0>>b a ） 问题2：满足下列条件的函数是否具有对称性？为什么？如果有，请写出它的对称性质. （1）)()(x a f x a f -= +； （2）)()(x b f x a f -=+ （3）)()(x a f x a f --=+；（4）)()(x b f x a f --=+ 【探究拓展】 探究1：设()b a ,为函数) (x f y =的对称中心，则必有等式 ________________________ 变式：（复旦自主招生）写出函数)3sin()(-+=x x x f 的一个对称中心为____________ 探究2：已知奇函数 )(x f 的图像关于直线2-=x 对称，当[]2,0∈x 时， ,2)(x x f = 则______)9(=-f 变式1：奇函数()f x 的定义域为R ，若(2)f x +为偶函数，且1)1(=f ，则 =+)9()8(f f _____ 1 变式2：已知偶函数)(x f 满足)(1 )2(x f x f - =+，当 32< 函数的对称性应用（一） ──含绝对值函数的图象 内蒙古赤峰市翁牛特旗乌丹一中熊明军 在学习函数时，若将函数的自变量或应变量带上绝对值“”，再研究其性质就不仅仅要从函数的角度来考虑，还得结合绝对值的意义来共同探讨。 图象是刻画变量之间关系的一个重要途径。函数图象是函数的一种表示形式，是形象直观地研究函数性质的常用方法，是数形结合的基础和依据。本文针对含绝对值函数的性质进行分析，然后利用对称性作出函数图象，并借助图象来展示绝对值对函数性质特征的影响。 一、含绝对值的函数常见情况的分类： 已知函数，叫做函数的自变量；叫做函数的应变量（函数值）。 ①对自变量取绝对值：；②对应变量取绝对值：； ③对全都取绝对值：；④对整个函数取绝对值：； ⑤对都取绝对值：；⑥部分自变量取绝对值：。 二、分析不同情况含绝对值函数的性质特点及图象作法： ①对自变量取绝对值： 【特征分析：】 已知函数，设是函数图象上任意一点，则该点与点关于 轴对称。因为点与都在函数上，所以其函数图象关于轴对称。 【作图步骤：】 （1）作出函数的图象； （2）保留时函数的图象； （3）当时，利用对称性作出（2）中图象关于轴对称后的图象。 【作图展示：】作函数的图象 ②对应变量取绝对值：； 【特征分析：】 已知函数，设是函数图象上任意一点，则该点与点关于 轴对称。因为点与都在函数上，所以其函数图象关于轴对称。 【作图步骤：】 （1）作出函数的图象； （2）保留时函数的图象； （3）当时，利用对称性作出（2）中图象关于轴对称后的图象。 【作图展示：】作函数的图象 ③对全都取绝对值：； 【特征分析：】 已知函数，设是函数图象上任意一点，它与点关于轴对称、与点关于轴对称且与点关于原点对称。因为点、、 与都在函数上，所以函数图象关于轴、轴及原点对称。 【作图步骤：】 （1）作出函数的图象； （2）保留（第一象限）时函数的图象； （3）利用对称性作出（2）中图象关于轴、轴及原点对称后的图象。 函数的对称性 新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念： ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为a b x 2-=。 ④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x 与y=-x 均为它的对称轴。 ⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y 轴；而其他的幂函数不具备对称性。 ⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，2π π+=k x 是它的对称轴。 ⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x ，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x ，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。 ⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，)0,2(ππ+k 是它的对称中心。 （11）正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中)0,2(π k 是它的对称中心， 容易犯错误的是可能有的同学会误以为对称中心只是（kπ,0）。 （12）对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。但容易犯错误的是同学们可能误以为最值处是它的对称轴。 （13）三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。 函数对称性、周期性和奇偶性规律 一、 同一函数的周期性、对称性问题(即函数自身) 1、 周期性：对于函数 )(x f y =，如果存在一个不为零的常数 T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有 )()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周 期。如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。 2、 对称性定义（略），请用图形来理解。 3、 对称性： 我们知道：偶函数关于y （即x=0）轴对称，偶函数有关系式 )()(x f x f =- 奇函数关于（0，0）对称，奇函数有关系式 0)()(=-+x f x f 上述关系式是否可以进行拓展？答案是肯定的 探讨：（1）函数)(x f y =关于a x =对称?)()(x a f x a f -=+ )()(x a f x a f -=+也可以写成)2()(x a f x f -= 或 )2()(x a f x f +=- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，通过)2()(x a f x f -=可知，)2()(111x a f x f y -==， 即点)(),2(11x f y y x a =-也在上，而点),(11y x 与点),2(11y x a -关于x=a 对称。得证。 若写成：)()(x b f x a f -=+，函数)(x f y =关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++= 对称 （2）函数 )(x f y =关于点),(b a 对称?b x a f x a f 2)()(=-++ b x f x a f 2)()2(=-++上述关系也可以写成 或 b x f x a f 2)()2(=+- 简证：设点),(11y x 在 )(x f y =上，即) (11x f y =，通过 b x f x a f 2)()2(=+-可知， b x f x a f 2)()2(11=+-，所以 1 112)(2)2(y b x f b x a f -=-=-，所以点 )2,2(11y b x a --也在)(x f y =上，而点)2,2(11y b x a --与),(11y x 关于),(b a 对称。得 证。 若写成：c x b f x a f =-++)()(，函数)(x f y =关于点)2 ,2( c b a + 对称 （3）函数 )(x f y =关于点b y =对称:假设函数关于b y =对称，即关于任一个x 值，都有两个 y 值与其对应，显然这不符合函数的定义，故函数自身不可能关于b y =对称。但在曲线c(x,y)=0，则 有可能会出现关于 b y =对称，比如圆04),(22=-+=y x y x c 它会关于y=0对称。 4、 周期性： （1）函数 )(x f y =满足如下关系系，则T x f 2)(的周期为 A 、 )()(x f T x f -=+ B 、) (1 )()(1)(x f T x f x f T x f - =+= +或 C 、 )(1)(1)2(x f x f T x f -+=+或) (1) (1)2(x f x f T x f +-=+（等式右边加负号亦成立） 高中函数对称性总结 新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。以笔者的经验看，这方面一直是教学的难点，尤其是抽象函数的对称性判断。所以这里我对高中阶段所涉及的函数对称性知识做一个粗略的总结。 一、对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念 ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。 2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为x=-b/(2a)。 ④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴。 ⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性。 ⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，x=kπ+π/2是它的对称轴。 ⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上 函数的对称性 集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN] 函数的对称性 一、教学目标 函数图象的对称性是一类函数的特性，是函数性质的重要方面，它包括自身对称和两个函数图象之间的对称，理解掌握函数对称性，对数学问题的解决有很大的帮助，对也是数形结合思想的重要体现。 1．自身对称函数，函数图象本身具有对称轴或是对称中心，该函数的图象是轴对称图形或是中心对称图形，奇函数与偶函数是最典型的两类函数，其它自身对称的函数都可以由奇偶函数平移得到； 2．两个函数图象的对称，是指两个图形之间的关系，它们之间存在某种关联，即它们关于某一点对称或是关于某一条直线对称，研究其中一个函数的性质就可知另一个函数的特点（互为反函数的两个函数图象）。 二、举例分析 例1． 设()f x 是定义在R 上的函数， （1）若对任意x R ∈，都有()()f a x f b x -=+成立，则函数()f x 的图象关于直线2 a b x +=对称； （2）若对任意x R ∈，都有()()22f x f a x b +-=，则函数()f x 的图象关于点(),a b 成中心对称。 选题目的：通过此题的学习，让学生明白一个道理，函数()f x 的图象是轴对称或是中心对称，函数解析式()f x 应满足一关系式是什么，并能通过奇偶函数的平移获得理解这种关系式的钥匙。 思路分析： （1）要证明()f x 图象上任意一点()00,P x y 关于直线2 a b x +=对称的点()00,Q a b x y +-也在()f x 的图象上。 事实上，()()()()00000y f x f a a x f b a x f a b x ==--=+-=+-????????，即得点 ()00,Q a b x y +-也在()f x 的图象上。 特别地，当,a b 都为0时，就是偶函数的特征了。 函数的对称性?专题练习试卷?及解析 1.2015年北 京市西城区高 三第一次模拟 考试数学理科 试题第8题 已知抛物线和?214y x = 21 516 y x =-+所围成的封闭?曲线如图所示?， 给定点(0,)A a ，若在此封闭曲?线上恰有三对?不同的点，满足每一对点?关于点A 对称，则实数的取值?a 范围是 ( ) A. (1,3) B. (2,4) C. 3 (,3)2 D. 5(,4)2 2.2012年天?津市河北区高?三第一次模拟?数学理科试题?第8题 下图展示了一?个由区间到实?(0,1)数集的映射过?R 程：如图1，在区间中数轴?(0,1)上的点对应实?M 数m ；如图2，将线段围成一?AB 个圆，使两端点A 、B 恰好重合；如图3，将这个圆放在?平面直角坐标?系中，使其圆心在轴?y 上，点A 的坐标为(0,1)，射线与轴交于?AM x 点(,0)N n ．则n 就是m 的象，记作()f m n =．下列说法： ① ()f x 的定义域为(0,1)，值域为R ； ②()f x 是奇函数； ③ ()f x 在定义域上是?单调函数； ④11()42 f = ； ⑤ ()f x 的图象关于点?1(,0)2 对称． 其中正确命题?的序号是（ ） A. ②③⑤ B. ①③⑤ C. ①③④ D. ③④⑤ 3.2015年皖?北协作区高三?年级联考数学?文科试卷第9?题 定义在上的函? R 数的图像关于?()f x 直线3 2 x = 对称，且对任意实数?x 都有3 ()(),(1)1,(0)22 f x f x f f =-+-==-，则 (2013)(2014)(2015) f f f ++=（ ） A. 0 B. 2- C. 1 1.对称性f(x+a)=f(b_x)记住此方程式是对称性的一般形式.只要x有一个正一个负.就有对称性.至于对称轴可用吃公式求X=a+b/2 如f(x+3)=f(5_x) X=3+5/2=4等等.此公式对于那些未知方程,却知道2方程的关系的都通用.你可以去套用,在此不在举例. 对于已知方程的要求对称轴的首先你的记住一些常见的对称方程的对称轴.如一原二次方程f(x)=ax2+bx+c对称轴Ｘ＝ｂ／２ａ 原函数与反函数的对称轴是ｙ＝ｘ． 而对于一些函数如果不加限制条件就不好说它们的对称轴如三角函数，它的对称轴就不仅仅是Ｘ＝９０还有．．．（２ｎ＋！）９０度等等．因为他的定义为Ｒ． ｆ（ｘ）＝｜Ｘ｜他的对称轴则是Ｘ＝０， 还应该注意的是一些由简单函数平移后要求的对称轴就只要把它反原成出等的以后在加上平移的数量就可以了． 如ｆ（ｘ－３）＝ｘ－３令ｔ＝ｘ－３则ｆ（ｔ）＝ｔ可见原方程是由初等函数向右移动了３个单位．同样对称轴也向右移３个单位Ｘ＝３（记住平移是左加右减的形式，如本题的Ｘ－３说明向由移） ２，至于周期性首先也的从一般形式说起ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋Ｔ） 注意此公式里面的Ｘ都是同号，而不象对称方程一正一负．此区别也是判断对称性还是周期性的关键． 同样要记住一些常见的周期函数如三角函数什么正弦函数，余弦函数正切函数等．当然它们的最小周期分别是．２π，２π，π，当然 他们的周期不仅仅是这点只要是它们最小周期的正数倍都可以是题目的周期．如ｆ（ｘ）＝ｓｉｎＸＴ＝２π（Ｔ＝２π／Ｗ） 但是如果是ｆ（ｘ）＝｜ｓｉｎｘ｜的话它的周期就是Ｔ＝π因为加了绝对值之后Ｙ轴下面的图形全被翻到上面去了，由图不难看出起最小对称周Ｔ＝π． y1=(sinx)^2=(1-cos2x)/2 y2=(cosx)^2=(1+cos2x)/2 上面的２个方程Ｔ＝π（Ｔ＝２π／Ｗ） 而对于≥２个周期函数方程的加减复合方程，如果他们的周期相同，则它的周期还是相同的周期．如y=sin2x+cos２x因为他们有一个公共周期Ｔ＝π所以它的周期为Ｔ＝π而对于不相同的周期则它的周期为它们各个周期的最小公倍数．如 y=sin３πx+cos２πxＴ１＝２／３Ｔ２＝１则Ｔ＝２／３ 函数的对称性 一、教学目标 函数图象的对称性是一类函数的特性，是函数性质的重要方面，它包括自身对称和两个函数图象之间的对称，理解掌握函数对称性，对数学问题的解决有很大的帮助，对也是数形结合思想的重要体现。 1．自身对称函数，函数图象本身具有对称轴或是对称中心，该函数的图象是轴对称图形或是中心对称图形，奇函数与偶函数是最典型的两类函数，其它自身对称的函数都可以由奇偶函数平移得到； 2．两个函数图象的对称，是指两个图形之间的关系，它们之间存在某种关联，即它们关于某一点对称或是关于某一条直线对称，研究其中一个函数的性质就可知另一个函数的特点（互为反函数的两个函数图象）。 二、举例分析 例1． 设()f x 是定义在R 上的函数， （1）若对任意x R ∈，都有()()f a x f b x -=+成立，则函数()f x 的图象关于直线2 a b x +=对称； （2）若对任意x R ∈，都有()()22f x f a x b +-=，则函数()f x 的图象关于点(),a b 成中心对称。 选题目的：通过此题的学习，让学生明白一个道理，函数()f x 的图象是轴对称或是中心对称，函数解析式()f x 应满足一关系式是什么，并能通过奇偶函数的平移获得理解这种关系式的钥匙。 思路分析： （1）要证明()f x 图象上任意一点()00,P x y 关于直线2 a b x +=对称的点()00,Q a b x y +-也在()f x 的图象上。 事实上，()()()()00000y f x f a a x f b a x f a b x ==--=+-=+-????????，即得点()00,Q a b x y +-也在()f x 的图象上。 特别地，当,a b 都为0时，就是偶函数的特征了。 函数对称性 一知识点精讲： I 函数)(x f y =图象本身的对称性（自身对称） 1、)()(x b f x a f -=+?)(x f y =图象关于直线2 2)()(b a x b x a x +=-++=对称 证明：函数)(x f y =图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f x y =）关于直线a b x +=的对称点为 (Q a b +∴点Q 推论1推论2推论32、f ((Q a b +∴点Q 推论1推论2推论3II 1、y 2、y 345.函数证明：函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于直线2b a x -= 的对称点为00(,)Q b a x y --，Q 000[()]()f b b a x f a x y ---=+= ∴点Q 在函数()y f b x =-的图象上；反之函数()y f b x =-的图象上任一点关于直线2 b a x -= 的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =-的图象关于直线2 b a x -=对称. 推论1:函数)(x a f y +=与)(x a f y -=图象关于直线0=x 对称 推论2:函数)(x f y =与)2(x a f y -=图象关于直线a x =对称 推论3:函数)(x f y -=与)2(x a f y +=图象关于直线a x -=对称 6若函数)(x f y =的定义域为R ，则函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点( ,0)2 b a -对称. 证明：函数()y f a x =+图象上的任一点00(,)P x y （满足00()f a x y +=）关于点(,0)2 b a -的对称点为00(,)Q b a x y ---，Q 000[()]()f b b a x f a x y ----=-+=- ∴点Q 在函数()y f b x =--的图象上；反之函数()y f b x =--的图象上任一点关于点(,0)2 b a -的对称点也在函数()y f a x =+图象上.从而函数()y f a x =+与()y f b x =--的图象关于点(,0)2b a -对称. 二典例解析： 11x (log 2f 解析：)(x f -(log f 234 5 解析：的，故6、设y )2(x f =解析：)2(x f 是由2 1=x ，=x 7个实根之和为解析：)(x f y =的图象关于直线3=x 对称，故五个实根，有两对关于直线3=x 对称，它们的和为12，还有一个根就是3。故这5个实根之和为15，正确答案为15 8、设函数)(x f y =的定义域为R ，则下列命题中， ①若)(x f y =是偶函数，则)2(+=x f y 图象关于y 轴对称； ②若)2(+=x f y 是偶函数，则)(x f y =图象关于直线2=x 对称； ③若)2()2(x f x f -=-，则函数)(x f y =图象关于直线2=x 对称； ④)2(-=x f y 与)2(x f y -=图象关于直线2=x 对称， 其中正确命题序号为_______。 解析：①错)2(+=x f y 关于直线2-=x 对称，②对③错若)2()2(x f x f -=-，则函数)(x f y =图象关于直线0=x 对称；④对正确答案为②④ 第5炼 函数的对称性与周期性 一、基础知识 （一）函数的对称性 1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称 2、轴对称的等价描述： （1）()()f a x f a x -=+?()f x 关于x a =轴对称（当0a =时，恰好就是偶函数） （2）()()()f a x f b x f x -=+?关于2 a b x += 轴对称 在已知对称轴的情况下，构造形如()()f a x f b x -=+的等式只需注意两点，一是等式两侧f 前面的符号相同，且括号内x 前面的符号相反；二是,a b 的取值保证2 a b x += 为所给对称轴即可。例如：()f x 关于1x =轴对称()()2f x f x ?=-，或得到 ()()31f x f x -=-+均可，只是在求函数值方面，一侧是()f x 更为方便 （3）()f x a +是偶函数，则()()f x a f x a +=-+，进而可得到：()f x 关于x a =轴对称。 ① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在()f x a +中，x 仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的x 取相反数时，函数值相等，即()()f x a f x a +=-+，要与以下的命题区分： 若()f x 是偶函数，则()()f x a f x a +=-+????：()f x 是偶函数中的x 占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有()()f x a f x a +=-+???? ② 本结论也可通过图像变换来理解，()f x a +是偶函数，则()f x a +关于0x =轴对称，而()f x 可视为()f x a +平移了a 个单位（方向由a 的符号决定），所以()f x 关于x a =对称。 3、中心对称的等价描述： （1）()()f a x f a x -=-+?()f x 关于(),0a 轴对称（当0a =时，恰好就是奇函数） （2）()()()f a x f b x f x -=-+?关于,02a b +?? ??? 轴对称 在已知对称中心的情况下，构造形如()()f a x f b x -=-+的等式同样需注意两点，一是 一次函数的对称性专题 1．关于一次函数21y x =-，21y x =-+的图象，下列说法正确的是（ ） A ．关于直线y x =-对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线y x =对称 【答案】B 2．若一次函数(0)(0)y kx b x k =+≠≠与一次函数112y x = +的图象关于x 轴对称，则一次函数y kx b =+的解析式为 ． 【答案】112y x =-- 3． ①函数24y x =--关于1y =对称的直线函数解析式为________________； ②函数24y x =--关于y x =对称的直线函数解析式为________________； ③一次函数y ax b =+的图象1L 关于直线y x =-轴对称的图象2L 的函数解析式是________________． 【答案】①26y x =+；②122y x =--；③1b y x a a =+ 4．和直线53y x =-关于y 轴对称的直线解析式为__________________． 和直线2y x =--关于x 轴对称的直线解析式为__________________． 【答案】53y x =--；2y x =+ 5．求一次函数21y x =+的图象关于原点对称图象的解析式． 【答案】解：直线21y x =+关于原点对称的解析式为21y x =-． 6．直线3y x =-与一次函数y kx b =+关于1x =对称，求k ，b ． 【答案】解：直线3y x =-与x ，y 轴交点分别为(3,0)，(0,3)-， ∴点(3,0)，(0,3)-关于直线1x =的对称点分别为(1,0)-，(2,3)-， ∴023k b k b -+=??+=-?，解得11k b =-??=-? ． 函数的对称性知识点讲解及典型习题分析 新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连 续性、凹凸性的考查。尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角 函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。 对称性的概念及常见函数的对称性 1、对称性的概念： ①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称， 该直线称为该函数的对称轴。 ②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的 中心对称，该点称为该函数的对称中心。 常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值） ①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。 ③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为 a b x2。 ④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x与y=-x均为它的对称轴。 ⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。 ⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y轴；而其他的幂函数不具备对称性。 ⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0 ）是它的对称中心，2kx是它的对称轴。 ⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不 会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。 ⑩余弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中x=kπ是它的对称轴，) 0,2 (k是它的对称中心。 （11 ）正切函数：不是轴对称，但是是中心对称，其中)0,2 ( k是它的对称中心，容易犯错误的是可能有的同学会误以为对 称中心只是（kπ,0）。 对号函数：对号函数y=x+a/x(其中a>0)因为是奇函数所以是中心对称，原点是它的对称中心。但容易犯错误的是同学们可能 误以为最值处是它的对称轴。 三次函数：显然三次函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点，而其他的三次函数是否具备对称性得因题而异。 绝对值函数：这里主要说的是y=f(│x│)和y=│f(x)│两类。前者显然是偶函数，它会关于y轴对称;后者是把x轴下方的图像对称到x轴的上方，是否仍然具备对称性，这也没有一定的结论，例如y=│lnx│就没有对称性，而y=│sinx│却仍然是轴对称。 二、函数的对称性猜测： 具体函数特殊的对称性猜测 ①一个函数一般是不会关于x轴对称，这是由函数定义决定的，因为一个x不会对应两个y的值。但一个曲线是可能关于x 轴对称的。例1、判断曲线xy42 ②函数关于y轴对称例2、判断函数y=cos(sinx)的对称性。 ③函数关于原点对称例3、判断函数xxysin3 ④函数关于y=x对称例4 、判断函数x y1 ⑤函数关于y=-x对称例5 、判断函数x y4 总结为：设（x,y）为原曲线图像上任一点，如果（x,-y）也在图像上，则该曲线关于x轴对称；如果（-x,y）也在图像上，则该曲线关于y轴对称；如果（-x,-y）也在图像上，则该曲线关于原点对称；如果（y,x）也在图像上，则该曲线关 于y=x对称；如果（-y,-x）也在图像上，则该曲线关于y=-x轴对称。2、抽象函数的对称性猜测①轴对称 例6、如果函数y=f(x)满足f(x+1)=f(4-x)，求该函数的所有对称轴。（任意取值代入例如x=0有f(1)=f(4)，正中间 2.5，从而该函数关于x=2.5对称） 例7、如果函数y=f(x)满足f(x)=f(-x)，求该函数的所有对称轴。（按上例一样的方法可以猜出对称轴为x=0，可见偶函数是特殊的轴对称） 例8、如果f(x)为偶函数，并且f(x+1)=f(x+3)，求该函数的所有对称轴。（因为f(x+1)=f(-x-3)，按上例可以猜出对称轴x=-1，又因为它以2为周期，所以x=k是它所有的对称轴，k∈Z）②中心对称 例9、如果函数y=f(x)满足f(3+x)+f(4-x)=6，求该函数的对称中心。（因为自变量加起来为7时函数值的和始终为6，所以中点固定为（3.5，3），这就是它的对称中心） 高一数学《函数的对称性》知识点总结 高一数学《函数的对称性》知识点总结 一、函数自身的对称性探究 定理1.函数 y = f (x)的图像关于点A (a ,b)对称的充要条件是 f (x) + f (2a－x) = 2b 证明：（必要性）设点P(x ,y)是y = f (x)图像上任一点，∵点P( x ,y)关于点A (a ,b)的对称点P'（2a－x，2b－y）也在y = f (x)图像上，∴ 2b－y = f (2a－x) 即y + f (2a－x)=2b故f (x) + f (2a－x) = 2b，必要性得证。（充分性）设点P(x0,y0)是y = f (x)图像上任一点，则y0 = f (x0) ∵ f (x) + f (2a－x) =2b∴f (x0) + f (2a－x0) =2b，即2b－y0 = f (2a－x0) 。 故点P'（2a－x0，2b－y0）也在y = f (x) 图像上，而点P与点P'关于点A (a ,b)对称，充分性得征。 推论：函数 y = f (x)的图像关于原点O对称的充要条件是f (x) + f (－x) = 0 定理2. 函数 y = f (x)的图像关于直线x = a对称的充要条件是 f (a +x) = f (a－x) 即f (x) = f (2a－x) （证明留给读者） 推论：函数 y = f (x)的图像关于y轴对称的充要条件是f (x) = f (－x) 定理3. ①若函数y = f (x) 图像同时关于点A (a ,c)和点B (b ,c)成中心对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2 a－b是其一个周期。 ②若函数y = f (x) 图像同时关于直线x = a 和直线x = b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且2 a－b是其一个周期。 ③若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b），则y = f (x)是周期函数，且4 a－b是其一个周期。 ①②的证明留给读者，以下给出③的证明： ∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称， ∴f (x) + f (2a－x) =2c，用2b－x代x得：《函数对称性的解题方法归纳》
函数的对称性
函数的周期和对称性
二次函数对称性的专题复习
函数周期性与对称性的函数方程 专题
函数的对称性应用
函数的对称性
函数对称性、周期性和奇偶性的规律总结大全 .分解
高中函数对称性总结分析
函数的对称性
函数的对称性专题练习试卷及解析
函数对称性
函数的对称性完美
(完整word)高考专题函数对称性
高考数学复习专题函数的对称性与周期性
一次函数的对称性专题-教师版
函数的对称性知识点讲解及典型习题分析
高一数学函数的对称性知识点总结