数列求极限的方法总结
数列求极限的方法总结
数列求极限的方法有那些？极限的保号性很重要,就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。极限分为一般极限,还有个数列极限,下面是为大家总结的数列求极限的方法总结。
数列求极限的方法总结
1、等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）。
2、洛必达法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）。首先他的使用有严格的使用前提！必须是X趋近而不是N趋近！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！（假如告诉你g（x）,没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死！！）必须是0比0无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是
写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0）。
3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意！）E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。
4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母！！！看上去复杂,处理很简单！
5、无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了！
6、夹逼定理（主要对付的是数列极限！）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。
7、等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）。
8、各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数。
9、求左右极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下,xn的极限与xn+1的极限时一样的，因为极限去掉有限项目极限值不变化。
10、两个重要极限的应用。这两个很重要！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大，无穷小都
有对有对应的形式（第2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1的时候要特别注意可能是用地两个重要极限）
11、还有个方法，非常方便的方法,就是当趋近于无穷大时候,不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！x的x次方快于x！快于指数函数，快于幂数函数，快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）!!当x趋近无穷的时候，他们的比值的极限一眼就能看出来了。
12、换元法是一种技巧,不会对单一道题目而言就只需要换元，而是换元会夹杂其中。
13、假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的。
14、还有对付数列极限的一种方法，就是当你面对题目实在是没有办法，走投无路的时候可以考虑转化为定积分。一般是从0到1的形式。
15、单调有界的性质，对付递推数列时候使用证明单调性！
16、直接使用求导数的定义来求极限，（一般都是x趋近于0时候，在分子上f（x加减某个值）加减f（x）的形式,看见了要特别注意）（当题目中告诉你F(0)=0时候f（0）导数=0的时候，就是暗示你一定要用导数定义！
函数是表皮,函数的性质也体现在积分微分中。例如他的奇偶性质他的周期性。还有复合函数的性质：
1、奇偶性，奇函数关于原点对称偶函数关于轴对称偶函数左右2边的图形一样（奇函数相加为0）；
2、周期性也可用在导数中在定积分中也有应用定积分中的函数是周期函数积分的周期和他的一致；
3、复合函数之间是自变量与应变量互换的关系；
4、还有个单调性。(再求0点的时候可能用到这个性质！（可以导的函数的单调性和他的导数正负相关）:o再就是总结一下间断点的问题（应为一般函数都是连续的所以间断点是对于间断函数而言的）间断点分为第一类和第二类剪断点。第一类是左右极限都存在的（左右极限存在但是不等跳跃的的间断点或者左右极限存在相等但是不等于函数在这点的值可取的间断点；第二类间断点是震荡间断点或者是无穷极端点（这也说明极限即使不存在也有可能是有界的）。
数列的极限数学归纳法
数列的极限、数学归纳法 一、知识要点 （一） 数列的极限 1.定义：对于无穷数列{a n }，若存在一个常数A ，无论预选指定多么小的正数ε，都能在数列中找到一项a N ，使得当n>N 时，|an-A|<ε恒成立，则称常数A 为数列{a n }的极限，记作 A a n n =∞ →lim . 2.运算法则：若lim n n a →∞ 、lim n n b →∞ 存在，则有 lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞ →∞ →∞ ±=±；lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞ →∞ →∞ ?=? )0lim (lim lim lim ≠=∞→∞ →∞→∞→n n n n n n n n n b b a b a 3.两种基本类型的极限：<1> S=?? ? ??-=>=<=∞ →)11() 1(1) 1(0lim a a a a a n n 或不存在 <2>设()f n 、()g n 分别是关于n 的一元多项式，次数分别是p 、q ，最高次项系数分别为p a 、 p b 且)(0)(N n n g ∈≠,则??? ????>=<=∞→)()() (0)()(lim q p q p b a q p n g n f q p n 不存在 4.无穷递缩等比数列的所有项和公式：1 1a S q = - （|q|<1） 无穷数列{a n }的所有项和：lim n n S S →∞ = （当lim n n S →∞ 存在时） （二）数学归纳法 数学归纳法是证明与自然数n 有关命题的一种常用方法，其证题步骤为： ①验证命题对于第一个自然数0n n = 成立。 ②假设命题对n=k(k ≥0n )时成立,证明n=k+1时命题也成立. 则由①②,对于一切n ≥ 0n 的自然数,命题都成立。 二、例题（数学的极限）
总结16种方法求极限
首先对极限的总结如下 极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致 1 极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？） 1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记 （x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2落笔他法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！ 必须是 X趋近而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x 趋近的一种情况而已，是必要条件 （还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！） 必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！） 必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！ 当然还要注意分母不能为0 落笔他法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用 2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方 对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0） 3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！） E的x展开 sina 展开 cos 展开 ln1+x展开 对题目简化有很好帮助 4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法 取大头原则最大项除分子分母！！！！！！！！！！！ 看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！ 5无穷小于有界函数的处理办法 面对复杂函数时候，尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。 面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！ 6夹逼定理（主要对付的是数列极限！） 这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。 7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1） 8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限） 可以使用待定系数法来拆分化简函数 9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下， xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化 10 2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。地2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式 （地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限） 11 还有个方法，非常方便的方法 就是当趋近于无穷大时候 不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！ x的x次方快于 x！快于指数函数快于幂数函数快于对数函数（画图也能看出速率的快慢） !!!!!! 当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了 12 换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换元会夹杂其中 13假如要算的话四则运算法则也算一种方法，当然也是夹杂其中的 14还有对付数列极限的一种方法，
求数列极限方法总结归纳
求数列极限方法总结归纳 极限是考研数学每年必考的内容,在客观题和主观题中都有可能会涉及到，平均每年直接考查所占的分值在10分左右，而事实上，由于这一部分内容的基础性，每年间接考查或与其他章节结合出题的比重也很大。极限的计算是核心考点，考题所占比重最大。熟练掌握求解极限的方法是得高分的关键。 极限无外乎出这三个题型：求数列极限、求函数极限、已知极限求待定参数。熟练掌握求解极限的方法是的高分地关键, 极限的运算法则必须遵从,两个极限都存在才可以进行极限的运算,如果有一个不存在就无法进行运算。以下我们就极限的内容简单总结下。 极限的计算常用方法：四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限、利用泰勒公式求极限、夹逼定理、利用定积分求极限、单调有界收敛定理、利用连续性求极限等方法。 四则运算、洛必达法则、等价无穷小代换、两个重要极限是常用方法，在基础阶段的学习中是重点，考生应该已经非常熟悉，进入强化复习阶段这些内容还应继续练习达到熟练的程度;在强化复习阶段考生会遇到一些较为复杂的极限计算，此时运用泰勒公式代替洛必达法则来求极限会简化计算，熟记一些常见的麦克劳林公式往往可以达到事半功倍之效; 夹逼定理、利用定积分定义常常用来计算某些和式的极限，如果最大的分母和最小的分母相除的极限等于1，则使用夹逼定理进行计算，如果最大的分母和最小的分母相除的极限不等于1，
则凑成定积分的定义的形式进行计算;单调有界收敛定理可用来证明数列极限存在，并求递归数列的极限。 与极限计算相关知识点包括： 连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限； 可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验存在的定义是极限存在； 渐近线，(垂直、水平或斜渐近线)； 多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在。 下面我们重点讲一下数列极限的典型方法。 求数列极限可以归纳为以下三种形式。 1.抽象数列求极限 这类题一般以选择题的形式出现, 因此可以通过举反例来排除。此外,也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证。 2.求具体数列的极限,可以参考以下几种方法： 利用单调有界必收敛准则求数列极限。首先,用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性,进而确定极限存在性；其次,通过递推关系中取极限，解方程,从而得到数列的极限值。 利用函数极限求数列极限。如果数列极限能看成某函数极限的特例,形如,则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限,此时再用洛必达法则求解。
数列求极限的方法总结
数列求极限的方法总结 数列求极限的方法有那些？极限的保号性很重要,就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。极限分为一般极限,还有个数列极限,下面是为大家总结的数列求极限的方法总结。 数列求极限的方法总结 1、等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小）。 2、洛必达法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）。首先他的使用有严格的使用前提！必须是X趋近而不是N趋近！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！（假如告诉你g（x）,没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死！！）必须是0比0无穷大比无穷大！当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用；0乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了；0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是
写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0）。 3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意！）E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。 4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母！！！看上去复杂,处理很简单！ 5、无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了！ 6、夹逼定理（主要对付的是数列极限！）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。 7、等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）。 8、各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数。 9、求左右极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下,xn的极限与xn+1的极限时一样的，因为极限去掉有限项目极限值不变化。 10、两个重要极限的应用。这两个很重要！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大，无穷小都
求极限的16个方法总结
求极限的16个方法总结 求极限的16个方法总结 总结是把一定阶段内的有关情况分析研究，做出有指导性的经验方法以及结论的书面材料，它可以帮助我们有寻找学习和工作中的规律，是时候写一份总结了。但是总结有什么要求呢？以下是小编为大家收集的求极限的16个方法总结，欢迎阅读，希望大家能够喜欢。 首先对极限的总结如下。极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。 1、极限分为一般极限，还有个数列极限(区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种)。 2、解决极限的方法如下 1)等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在)e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记。(x趋近无穷的时候还原成无穷小) 2)洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法) 首先他的使用有严格的使用前提。必须是X趋近而不是N趋近。(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件。还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用无疑是死路一条)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。 洛必达法则分为三种情况 1)0比0无穷比无穷时候直接用 2)0乘以无穷无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的`形式了 3)0的0次方1的无穷次方无穷的0次方 对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能
求数列极限的几种典型方法
求数列极限的几种典型方法 首先我们要知道数列极限的概念:设{}a n 为数列，为定数，若对任给的正数，总存在正 整数N ，使得当nN 时有ε<-a a n ，则称数列 {}a n 收敛于，定数则称为数列{}a n 的极限， 并记作 a a a a n n n →=∞ →或lim （∞→n ） 。 若数列没有极限，则称 {}a n 不收敛，或称{}a n 为发散数列。 下面我们来研究求数列极限的几种方法： 方法一：应用数列极限的定义 例一：证明 01 lim =∞ →n n α ，这里为正数。 证明：由于 n n α α 1 01 = - 故对任给的0>ε，只要取11 1+???? ??????=εαN ，则当N n >时就有 εα α << N n 1 1 这就证明了 01 lim =∞ →n n α 。 用定义求数列极限有几种模式： （1）0>?ε，作差a a n -，解方程ε<-a a n ，解出()εf n >，则取() εf N =或() ,1+=εf N （2）将 a a n -适当放大，解出()εf n >； （3）作适当变形，找出所需N 的要求。 方法二：（迫敛性）设收敛数列{}{}b a n n ,都以为极限，数列{}c n 满足：存在正整数N , 当N n 0 > 时有： b c a n n n ≤≤ 则数列 {}c n 收敛，且a c n n =∞ →lim 。
例二：求数列{}n n 的极限。 解：记h a n n n n +==1，这里0>h n （)1>n ，则有 h h n n n n n n 2 2 )1() 1(-?> = + 由上式的12 0-< < n h n )1(>n ,从而有 1 2 111-+ ≤+=≤ n h a n n 数列???? ??-+121n 是收敛于1的， 因为任给的0>ε，取ε 22 1+=N ，则当N n >时有ε<--+ 112 1n ，于是上述不等式两边的极限全为1，故由迫敛性证得1lim =∞ →n n n 。 方法三：（单调有界定理）在实系数中，有界的单调数列必有极限。 例三：设 ,2,1,1 1 1 13 2=+ ++ + =n n a n α α α 其中实数2≥α，证明数列{}a n 收敛。 证明：显然数列 {}a n 是递增的，下证有上界，事实上， n a n 2 2 2 1 1 1 13 2++++ ≤ 2 1 2) 1 11()3121()211(1)1(1 3212111<-=--++-+-+=?-++?+?+ ≤n n n n n 于是由单调有界定理知 {}a n 收敛。 方法四：对于待定型 1 ∞ 利用 =+∞ →) 11(lim n n n e
求数列极限的几种方法
求数列极限的几种方法 求数列极限是数学中一个重要的概念，它也是数学家研究多类数列的重要理论基础。 求数列极限有几种方法，下面我们来权衡它们。 - 单调变换法：单调变换法是将求取极限转化为求内隐函数极限的方法，从而实现极 限求取。单调变换法使用连续性、联系性和函数极限的概念，允许在一定范围内，特定的 函数值不断变化，推到特定的独立的函数的极值。单调变换法可以用来求取数列的极限， 但它需要求出原函数的极限才有效。 - 无穷级数法：无穷级数法也称为极限法，它是一种利用级数无限增长变成收敛的定 义来求取数列极限的方法。无穷级数法要求数列中各项均为连续函数。使用本方法求解的 特点是，数列的有限项收敛速度越快，其极限就越容易求解。比如多项式无穷级数，若多 项式的项数不断增加，多项式前n项的和就会越来越接近多项式的极限，最后当n趋于无穷，多项式无穷级数的和就会收敛至它的极限。 - 分析法：分析法是求数列极限的一种有效方法，它利用大数量数学分析手段，包括 局部函数之间的联系、连续性、导数法则等，把数列中的局部性函数转换成无穷级数法来 求取极限，从而解决数列极限问题。这样不仅能够求出数列极限，还能得出某一种函数的 定义。 - 平方根测试法：平方根测试法，不仅可以求取数列的极限，也可以用来判断某数列 是否存在极限。特别是求取不可分解的方程的极限的时候，可以应用此方法。它的基本原 理是：如果某一数列的 n 项和有如下关系，即 an ∗ an+1=bn，那么该数列必须存在极限，并且极限的值为 b 的平方根；如果 an ∗ an+1=ln，则表明该数列无限增长，即有极限， 而且极限值为∞。 以上就是常见求数列极限的几种方法，在不同的情况下，可以根据特定的情况来选择 合适的方法，来实现数列极限的求取。
求数列极限的方法总结
求数列极限的方法总结 数学科学学院数学与应用数学 11级电子张玉龙陈进进指导教师鲁大勇 摘要数列极限的求法一直是数列中一个比较重要的问题，本文通过归纳和总结，从不同的方面罗列了它的几种求法。 关键词数列极限、定义、泰勒公式、无穷小量极限一直是数学分析中的一个重点内容，而对数列极限的求法可谓是多种多样，通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。求数列极限的最基本的方法还是利用数列极限的定义，也要注意运用两个重要极限，其中，可以利用等量代换，展开、约分，三角代换等方法化成比较好求的数列，也可以利用数列极限的四则运算法则计算。夹逼性定理和单调有界原理是很重要的定理，在求的时候要重点注意运用。泰勒公式、洛必达法则、黎曼引理是针对某些特殊的数列而言的。还有一些比较常用的方法，在本文中都一一列举了 1.定义法利用数列极限的定义求出数列的极限.设｛Xn｝是一个数列,a 是实数,如果对任意给定的ε〉0,总存在一个正整数N，当n〉N 时,都有Xn ? a < ε ,我们就称a 是数列{Xn}的极限.记为lim Xn = a . n→∞例1: 按定义证明lim 1 = 0. n →∞n! 解:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n 1 令1/n< ε ,则让n> 即可, ε存在N=[ 立, 1 ε ],当n>N 时,不等式:1/n!=1/n(n-1)(n-2)…1≤1/n< ε成1 = 0. n →∞ n! 2.利用极限四则运算法则对和、差、积、商形式的函数求极限,自然会想到极限四则运算法则. 1+ a + a2 + L+ an 例2: 求lim ,其中a < 1, b < 1 . n →∞ 1 + b + b 2 + L + b n 解: 分子分母均为无穷多项的和,应分别求和,再用四则运算法则求极限1 ? a n +1 1 ? b n +1 1+ a + a2 +L + an = ,1 + b + b 2 + L + b n = , 1? a 1? b 1 ? a n+1 1 lim 1? b n →∞ 1 ? a 1? a 原式= = , n +1 = 1 1? b 1? a lim n →∞ 1 ? b 1? b 所以lim 3. 利用夹逼性定理求极限若存在正整数N, 当n>N 时, 有Xn ≤Yn ≤Zn, 且lim Xn = lim Zn = a , 则有n →∞ n →∞ lim Yn = a . n →∞例3:求{ 解: 1+ n }的极限. n2 对任意正整数n,显然有1 1 + n 2n 2 < 2 ≤ 2 = , n n n n 1 2 而→ 0 , → 0 ,由夹逼性定理得n n 1+ n lim 2 = 0 . n →∞ n 4．换元法通过换元将复杂的极限化为简单. an ?1 例4.求极限lim n ，此时n →∞ a + 2 有，令解：若5.单调有界原理 4. 例 5.证明数列证：令我们用归纳法证明若≤２则则有极限，并求其极限。，易知｛｝递增，且≤2. 显然。。中两故由单调有界原理｛｝收敛，设→，则在边取极限得即解之得=２或=-１明显不合要求，舍去，从而 5. 6. 6.先用数学归纳法,再求极限. 1 ? 3 ? 5 ? L ? (2n ? 1) 例6:求极限lim n →∞ 2 ? 4 ? 6 ? L ? 2n 1 3 5 2n ? 1 1 解: 0 < ? ? ? L ? < 2 4 6 2n 2n + 1 1 3 5 2n ? 1 S= ? ? ? L ? 2 4 6 2n 2 4 2n 设S * = ? ?L? 则有S< S * 3 5 2n + 1 1 S2=S*S 极限的计算方法总结归纳 “极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。下面为大家整理的是极限的计算方法总结，希望对大家有所帮助~ 1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。 2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的 幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0)。 3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。 4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母!!!看上去复杂,处理很简单! 5、无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了! 6、夹逼定理(主要对付的是数列极限!)这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。 7、等比等差数列公式应用(对付数列极限)(q绝对值符号要小于1)。 8、各项的拆分相加(来消掉中间的大多数)(对付的还是数列极限)可以使用待定系数法来拆分化简函数。 9、求左右极限的方式(对付数列极限)例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下,xn的极限与xn+1的极限时一样的，因为极限去掉有限项目极限值不变化。 10、两个重要极限的应用。这两个很重要!对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大，无穷小都有对有对应的形式(第2个实际上是用于函数是1的无穷的形式)(当底数 数列极限的三种求法 在数学学科中，数列是一种有规律的数字序列，其中每个数字都按照特定的规则来排列。而数列极限则是数列中无限靠近某一特定值的最终数字，也就是说，数列极限可以确定一个数列的整体趋势。 在实际应用中，数列的极限在物理、计算机科学、经济学等领域发挥着重要的作用。因此，学会如何求解数列的极限非常重要。 接下来就介绍三种常见的数列极限求解方法： 一、代数法 第一种方法是代数法，这种方法比较直接，只需要代入n趋向无穷大的值即可。例如，对于数列{1/n}（n=1, 2, 3, ……），我们可以使用代数法求它的极限。 当n趋向无穷大时，1/n的值越来越小，而我们可以看到1/n的值最小为无限接近于0。因此，根据代数法，当n趋向无穷大时，1/n的极限为0。 二、夹逼法 第二种方法是夹逼法，这种方法需要利用已知的数列加上一个比较紧密的数列来夹逼住待求解的数列，从而推导出它的极限。当然，夹逼法对所要求解的数列和两个比较紧密的数列有一定的要求。 例如，对于数列（-1）的n次方/n，我们可以使用夹逼法求它的极限。当n为奇数时，数列（-1）的n次方/n小于等于0，而数列（-1）的n+1次方/n大于等于0。因此，当n趋向无穷大时，夹在它们之间的数列（-1）的n次方/n的极限为0。 三、通项法 第三种方法是通项法，也就是通过特定的公式推导出数列的通项公式，然后求出它的极限。通项法对于有规律的数列比较有效，但是如果无规律，通项公式就很难求出。 例如，对于数列{sin(n*π/4)}（n=1, 2, 3, ……），我们可以使用通项法求它的极限。由于规律是sin(n*π/4)，而当n趋向无穷大时，sin(n*π/4)在8个值中循环。因此，当n趋向无穷大时，数列{sin(n*π/4)}的极限等于该循环的最大值和最小值之间的所有值的平均值，即（1+√2）/2和（1-√2）/2的平均值，即0。 这三种方法，代数法相对简单直接，夹逼法应用范围比较广泛，而通项法对于有规律的数列比较有效。当然，这三种方法也并非适用于所有数列的极限求解，因此，掌握这些方法需要有足够的练习和深度的理解，才能够应用自如、有效解决实际问题。 数列的极限、数学归纳法 、知识要点 (一) 数列的极限 列中找到一项 aN,使得当n>N 时，|an-A|< 恒成立，则称常数 A 为数列｛a n ｝的极限，记作 lim a n A . n 2.运算法则：若lim a n 、lim b n 存在，则有 lim(a n b n ) lim a n lim ； lim( a n b n ) lim a n lim b n n n n n n n a lim a n lim —— , (lim b n 0) n b n lim b n n n (a 1 ) 3.两种基本类型的极限 <1> S= lima n n 1 (a 1) 不存在 (a 诚a <2>设f (n)、g(n)分别是关于n 的一元多项式，次数分别是p 、q ，最高次项系数分别为 a p 、 0 (p q) b p 且 g( n) 0(n N),则 lim n g(n ) (二)数学归纳法 ①验证命题对于第一个自然数 n n 0成立。 ②假设命题对 n=k(k > n o )时成立，证明n=k+1时命题也成立 则由①②，对于一切n > n o 的自然数，命题都成立。 、例题(数学的极限) 1.定义：对于无穷数列｛a n ｝，若存在一个常数 A,无论预选指定多么小的正数 ，都能在数 4.无穷递缩等比数列的所有项和公式： S 「q E ) 无穷数列｛a n ｝的所有项和: a p - (p q) b q 不存在 (p q) S lim S n (当 lim S n 存在时) n n 数学归纳法是证明与自然数 n 有关命题的一种常用方法，其证题步骤为: 数列的极限 一、知识要点 1数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．． 某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限记作 l i m n n a a →∞ =．（注：a 不一定是｛a n ｝中的项） 2几个重要极限： （1）01 lim =∞→n n （2）C C n =∞→lim （C 是常数） （3）()()()?? ???-=>=<=∞ →1,11,110lim a a a a a n n 或不存在， （4）??? ?? ??<=>=++++++++----∞→)()() (0lim 0 11101110t s t s b a t s b n b n b n b a n a n a n a s s s s t t t t n 不存在 3. 数列极限的运算法则: 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞ →∞ →那么 B A b a n n n +=+∞ →)(lim B A b a n n n -=-∞ →)(l i m B A b a n n n .).(lim =∞→ 0(l i m ≠=∞→B B A b a n n n 4．无穷等比数列的各项和 ⑴公比的绝对值小于1的无穷等比数列前n 项的和，当n 无限增大时的极限，叫做这个无穷等比数列各项的和，记做lim n n S S →∞ = ⑵1 lim ,(0||1)1n n a S S q q →∞ == <<- 二、方法与技巧 ⑴只有无穷数列才可能有极限，有限数列无极限. ⑵运用数列极限的运算法则求数列极限应注意法则适应的前提条件.（参与运算的数列都有极限，运算法则适应有限个数列情形） ⑶求数列极限最后往往转化为()N m n m ∈1 或()1 数列极限计算的方法与技巧 数列的极限是数学分析中一个非常重要的概念，它在许多数学理论和 实际问题中都有广泛的应用。在计算数列的极限时，我们可以使用一些方 法和技巧来简化计算并找到结果。 1. 直接代入法：对于一些简单的数列，我们可以直接将数列的项代 入求极限的表达式中进行计算，即代入法。例如，对于数列an = n，我 们可以将n代入求极限的表达式中得到极限为lim(n→∞) n = ∞。 2. 利用数列的性质：数列的性质包括单调性、有界性和收敛性等。 当数列满足这些性质时，我们可以利用它们来求极限。例如，若数列an 为递增有界数列，则其极限为其上确界（也称为最大上界）lim(n→∞) an = sup{an}。 3. 利用等价无穷小：若数列an的极限为0，我们可以将其写成等价 无穷小的形式，即an= o(1)，其中o(1)表示当n趋向于无穷大时，an无 穷小于任何正数。这样，我们可以用等价无穷小来简化计算，根据极限的 性质得到结果。 4. 利用等比数列的性质：对于等比数列an = ar^n，其中a是首项，r是公比，可以利用等比数列的性质求其极限。若，r，<1，即公比小于1，则极限lim(n→∞) an = 0；若，r，>1，即公比大于1，则极限 lim(n→∞) an = ±∞，取决于公比的正负；若，r，=1，则不存在有限 极限。 5. 利用递推关系：当数列的递推关系很明显时，我们可以利用递推 关系来求极限。例如，对于斐波那契数列{an}，其中a1 = 1，a2 = 1， an = an-1 + an-2，我们可以通过递推关系得到极限lim(n→∞) an / an-1 = φ，其中φ是黄金分割比。 6. 利用夹逼准则：夹逼准则是数列极限计算中常用的技巧之一、当 我们无法直接求得极限时，可以找到两个较为简单的数列，使得它们的极 限与原数列的极限相同，然后利用夹逼准则求解。例如，对于数列an = (2n^2 + n + 1)/(3n^2 - 1)，我们可以通过夹逼准则证明其极限为 lim(n→∞) an = 2/3 7. 利用极限的性质：极限具有一些性质，如四则运算和复合函数的 性质。利用这些性质可以简化计算，将复杂的数列分解成一系列简单的数列，再求解其极限。例如，对于数列an = sin(nπ/3)，我们可以利用周 期性和极限的性质将其分解成两个简单的数列，即an = {0, 1/2, √3/2, 1/2, ...}，然后求解其极限。 以上是一些常见的数列极限计算方法和技巧，通过灵活运用这些方法，我们可以更加简化计算过程，找到数列的极限。同时，数列极限的计算也 需要掌握一定的数学分析知识和技巧，不同的数列可能需要不同的方法和 技巧，需要在实践中不断积累和运用。 求极限的方法总结 极限是数学中的一个重要概念，它可以描述函数或数列在某一点 或某个无穷远的情况下的趋势或结果。在求解极限时，有许多不同的 方法可以使用，下面我将简要总结一下常见的求极限的方法。 一、替换法 替换法是求函数极限的常用方法之一。当我们在计算某一点的函数极 限时，可以尝试将该点的数值代入函数中，然后计算函数的值。如果 当点趋近于某个有限值时函数的极限存在，那么我们可以得出该极限 的值。 二、分子分母因式分解法 当我们计算一个分式的极限时，可以尝试对分子和分母进行因式分解。通过因式分解，我们可以减少计算的复杂性，进而更容易求得极限的 结果。 三、洛必达法则 洛必达法则是求解函数极限的重要工具。这个法则的基本思想是将一 个函数的极限转化为同一点处的两个函数的极限之比。如果这两个函 数的极限都存在并且是有限的，那么我们可以得出原函数极限的结果。 四、夹逼定理 夹逼定理是求解数列极限的常用方法之一。这个定理的主要思想是通 过两个逼近数列来逼近待求数列，进而确定数列的极限值。夹逼定理 在实际计算中可以大大简化问题的求解。 五、泰勒展开式 泰勒展开式是一种将函数展开为无穷项级数的方法。通过将函数展开 为级数，我们可以更加准确地计算函数的极限值。泰勒展开式有时候 可以帮助我们求解一些复杂的函数极限，特别是在计算高阶导数时。 六、变量代换法 变量代换法是一种将复杂极限转化为简单极限的方法。通过对函数中 的自变量进行适当的替代，我们可以将复杂的极限转化为简单的极限。 这种方法可以大大减少计算的难度，提高求解极限问题的效率。 七、松弛变量法 松弛变量法是一种求解含有未知数的极限问题的方法。通过引入一个 松弛变量，我们可以使得原来的极限问题变得简单，从而更容易求解。这种方法在求解一些复杂的函数极限时特别有用。 总结： 求解极限的方法有替换法、分子分母因式分解法、洛必达法则、夹逼 定理、泰勒展开式、变量代换法和松弛变量法等。每种方法都有其适 用的范围和特点，我们可以根据具体问题的不同选择合适的方法。在 实际计算中，我们可以根据问题的特点和我们的目的选择合适的方法，以求得更精确和有效的极限结果。通过熟练掌握这些方法，并结合具 体问题的特点灵活运用，我们可以更好地理解和应用极限概念，为数 学问题的解决提供有力的工具和方法。 求极限的方法及例题总结解读 第一篇：求极限的方法及例题总结解读 1．定义： 说明：（1）一些最简单的数列或函数的极限（极限值可以观察得到）都可以用上面的极限严格定义证明，例如：；x→2lim(3x-1)=5 （2）在后面求极限时，（1）中提到的简单极限作为已知结果直接运用，而不需再用极限严格定义证明。 利用导数的定义求极限 这种方法要求熟练的掌握导数的定义。 2．极限运算法则 定理1 已知limf(x)，limg(x)都存在，极限值分别为A，B，则下面极限都存在，且有（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B（2）limf(x)⋅g(x)=A⋅B （3）limf(x)A=,(此时需B≠0成立)g(x)B 说明：极限号下面的极限过程是一致的；同时注意法则成立的条件，当条件不满足时，不能用。.利用极限的四则运算法求极限这种方法主要应用于求一些简单函数的和、乘、积、商的极限。通常情况下，要使用这些法则，往往需要根据具体情况先对函数做某些恒等变形或化简。 8.用初等方法变形后，再利用极限运算法则求极限 limx→1 例1 3x+1-2x-1 (3x+1)2-223x-33lim=lim=x→1(x-1)(3x+1+2)x→1(x-1)(3x+1+2 )4解：原式=。 注：本题也可以用洛比达法则。 例2 limn(n+2-n-1)n→∞ nn[(n+2)-(n-1)]分子分母同除以lim=n→∞n+2+n-1limn→∞31+21+1-nn=32解：原式=(-1)n+3nlimnn例3 n→∞2+3 。上下同除以3n=解：原式 1(-)n+1lim3=1n→∞2n()+13。 3．两个重要极限 sinx=1x→0x（1）lim（2）x→0lim(1+x)=e1xlim(1+1)x=ex；x→∞ 说明：不仅要能够运用这两个重要极限本身，还应能够熟练运用它们的变形形式，sin3x3lim=1lim(1-2x)-2x=elim(1+)3=ex例如：x→03x，x→0，x→∞；等等。 1x 利用两个重要极限求极限 1-cosx2x→03x例 5 limxx2sin22=lim2=1limx→0x→0x63x212⋅()22解：原式=。2sin2注：本题也可以用洛比达法则。例6 lim(1-3sinx)x→02x 1-6sinx⋅-3sinxx解：原式=x→0 lim(1-3sinx)=lim[(1-3sinx)x→01-3sinx]-6sinxx=e-6。例7 lim(n→∞n-2n)n+1 n+1-3nn+1-3-3⋅lim(1+)n→∞n+1解：原式=-3-3n+1=lim[(1+)]=e-3n→∞n+1。 n+1-3n 4．等价无穷小 定理2 无穷小与有界函数的乘积仍然是无穷小（即极限是0）。定理3 当x→0时，下列函数都是无穷小（即极限是0），且相互等价，即有： x～sinx～tanx～arcsin面的等价 x～arctanx～ln(1+x)～ex-1。 说明：当上面每个函数中的自变量x换成g(x)时（g(x)→0），仍有上关系成立，例如：当x→0时，e3x-1～3x；ln(1-x2)～-x2。 f1(x)f(x)limg1(x)存在时，x→x0g(x)也存在且定理4 如果函数f(x),g(x),f1(x),g1(x)都是x→x0时的无穷小，且f(x)～f1(x)，g(x)～g1(x)，则当x→x0limf1(x)f1(x)f(x)limlimlimx→xx→x0g(x)x→x0g(x)0g(x)f(x)11 极限的计算方法总结 极限的计算方法总结 “极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。下面为大家整理的是极限的计算方法总结，希望对大家有所帮助~ 1、等价无穷小的转化，(只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用,前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者(1+x)的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记(x趋近无穷的时候还原成无穷小)。 2、洛必达法则(大题目有时候会有暗示要你使用这个方法)。首先他的使用有严格的使用前提!必须是X趋近而不是N 趋近!(所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件(还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷!)必须是函数的导数要存在!(假如告诉你g(x),没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!)必须是0比0无穷大比无穷大!当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：0比0无穷比无穷时候直接用;0乘以无穷，无穷减去无穷(应为无穷大于无穷小成倒数的关系)所以无穷大都写成了无穷小的倒数 形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了;0的0次方，1的无穷次方，无穷的0次方。对于(指数幂数)方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的.形式了，(这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0)。 3、泰勒公式(含有e的x次方的时候,尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!)E的x展开sina，展开cosa,展开ln1+x,对题目简化有很好帮助。 4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法,取大头原则最大项除分子分母!!!看上去复杂,处理很简单! 5、无穷小于有界函数的处理办法,面对复杂函数时候,尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候,一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了! 6、夹逼定理(主要对付的是数列极限!)这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。 7、等比等差数列公式应用(对付数列极限)(q绝对值符号要小于1)。 8、各项的拆分相加(来消掉中间的大多数)(对付的还是数列极限)可以使用待定系数法来拆分化简函数。 数列极限知识点归纳总结 数列是数学中的一个重要概念，由一系列有序的数字组成。数列极限是数列在无穷项处的趋势或趋近的值。在数学分析中，数列极限是一个基本的概念，具有广泛的应用。本文将对数列极限的相关知识进行归纳总结，并以此为标题。 一、数列的定义和性质 1. 数列的定义：数列是按照一定的规律排列的一系列数字。 2. 数列的通项公式：数列中的每一项可以用一个公式来表示，这个公式称为数列的通项公式。 3. 数列的性质：数列可以是有界的或无界的，可以是递增的或递减的，还可以是周期性的或非周期性的。 二、数列的极限 1. 数列的极限定义：对于一个数列，如果随着项数的增加，数列中的元素逐渐接近一个确定的值，那么这个确定的值就是数列的极限。 2. 数列极限的表示：数列极限常用符号lim表示，写作lim(an)=a，其中an为数列的第n项，a为数列的极限。 3. 数列极限的存在性：数列的极限可能存在，也可能不存在。如果数列极限存在，则称数列收敛；如果数列极限不存在，则称数列发散。 三、数列极限的计算方法 1. 直接计算法：对于一些简单的数列，可以通过对数列的通项公式 进行计算，得到数列的极限。 2. 套路法：对于一些特殊的数列，可以利用一些已知的极限结果和数列运算的性质，通过一些套路求得数列的极限。 3. 夹逼准则：对于一些复杂的数列，可以通过夹逼准则来求得数列的极限。夹逼准则指的是如果数列a(n)≤b(n)≤c(n)，且lim(a(n))=lim(c(n))=a，那么lim(b(n))=a。 四、数列极限的性质 1. 唯一性：如果数列极限存在，则极限值唯一。 2. 保号性：如果数列的极限为正数（负数），那么数列的项数足够大时，数列的元素大于（小于）零。 3. 有界性：如果数列的极限存在，则数列有界。 五、数列极限的应用 1. 函数极限：函数极限是数列极限的推广，通过将自变量取为数列，将函数值作为数列的项，就可以研究函数的极限。 2. 数列极限在微积分中的应用：数列极限在微积分中有广泛的应用，如计算导数、积分等。 3. 数列极限在物理学中的应用：数列极限在物理学中有多种应用，如描述物体的运动、研究物理规律等。 数列极限是数学中的重要概念，通过研究数列极限可以揭示数列的性质和趋势，具有广泛的应用价值。对数列极限的研究有助于深入理解数学中的其他概念和定理，并在实际问题中提供解决方案。极限的计算方法总结归纳
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