第五专题矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)
第五专题 矩阵的数值特征
(行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数)
一、行列式
已知A p ×q , B q ×p , 则|I p +AB|=|I q +BA| 证明一:参照课本194页,例.
证明二:利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质;
从而I p +AB ,I q +BA 中不等于1的特征值的数目 相同,大小相同;其余特征值都等于1。
行列式是特征值的乘积,因此|I p +AB|和|I q +BA|等于特征值(不等于1)的乘积,所以二者相等。
二、矩阵的迹
矩阵的迹相对其它数值特征简单些,然而,它在许多领域,如数值计算,逼近论,以及统计估计等都有相当多的应用,许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。
定义:n
n
ii i i 1
i 1
tr(A)a ====λ∑∑,etrA=exp(trA)
性质:
1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ,线性性质;
2.
T
tr(A )tr(A)=;
3. tr(AB)tr(BA)=;
4.
1
tr(P AP)tr(A)-=; 5.
H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量; 6. n
n
k
k i i i 1
i 1
tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑;
从Schur 定理(或Jordan 标准形)和(4)证明; 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0;
8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥,且等号成立的充要条件是A=B (i i A B (A)(B)≥?λ≥λ);
9. 对于n 阶方阵A ,若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0(从Schur 定理或Jordan 标准形证明)。
若干基本不等式
对于两个m ×n 复矩阵A 和B ,tr(A H
B)是m ×n 维酉空间上的内积,也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积,利用Cauchy-schwarz 不等式
[x,y]2
≤[x,x]﹒[y,y]
得
定理:对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B)
这里等号成立的充要条件是A=cB,c 为一常数。特
别当A和B为实对称阵或Hermit矩阵时
0≤|tr(AB)|≤
定理:设A和B为两个n阶Hermite阵,且A≥0,B≥0,则
0≤tr(AB)≤λ1(B)tr(A) ≤tr(A)﹒tr(B)
λ1(B)表示B的最大特征值。
证明:
tr(AB)= tr(A1/2BA1/2) ≥0,又因为
A1/2[λ1(B)I-B]A1/2≥0,所以λ1(B)tr(A)≥A1/2BA1/2,得
tr(AB)= tr(A1/2BA1/2)≤tr(λ1(B) A)
=λ1(B) tr(A)≤tr(A)﹒tr(B)
推论:设A为Hermite矩阵,且A>0,则
tr(A)tr(A-1)≥n
另外,关于矩阵的迹的不等式还有很多,请参考《矩阵论中不等式》。
三、矩阵的秩
矩阵的秩的概念是由Sylvester于1861年引进的。它是矩阵的最重要的数字特征之一。下面讨论有
关矩阵秩的一些性质和不等式。
定义:矩阵A 的秩定义为它的行(或列)向量的最大无关组所包含的向量的个数。记为rank(A)
性质:
1. rank(AB)min(rank(A),rank(B))≤;
2. rank(A B)rank(A,B)rank(A)rank(B)+≤≤+;
3.
H H
rank(AA )rank(A )rank(A)==; 4.
rank(A)rank(XA)rank(AY)rank(XAY)===,其
中X 列满秩,Y 行满秩(消去法则)。
定理(Sylvester ):设A 和B 分别为m×n 和n×l 矩阵,则
rank(A)rank(B)n rank(AB)+-≤
min(rank(A),rank(B))≤
Sylveste 定理是关于两个矩阵乘积的秩的不等式。其等号成立的充要条件请参考王松桂编写的《矩阵论中不等式》,三个矩阵乘积的秩的不等式也一并参考上述文献。
四、相对特征根
定义:设A 和B 均为P 阶实对称阵,B>0,方程 |A-λB |=0的根称为A 相对于B 的特征根。
性质:|A-λB|=0等价于|B-1/2AB-1/2-λI|=0
(因为B>0,所以B1/2>0)
注:求A相对于B的特征根问题转化为求B-1/2AB-1/2的特征根问题或AB-1的特征根。因B-1/2AB-1/2是实对称阵,所以特征根为实数。
定义:使(A-λi B)l i=0的非零向量l i称为对应于λi的A相对于B的特征向量。
性质:
①设l是相对于λ的A B-1的特征向量,则
A B-1l=λl 或 A (B-1l)=λB( B-1l)
B-1l 为对应λ的A相对于B的特征向量
(转化为求A B-1的特征向量问题)。
②设l是相对于λ的B-1/2AB-1/2的特征向量,则
B-1/2AB-1/2l=λl
可得
A (B-1/2l)=λB(B-1/2l)
则B-1/2l 为对应λ的A相对于B的特征向量(转化为求B-1/2AB-1/2对称阵的特征向量问题)。
五、向量范数与矩阵范数
向量与矩阵的范数是描述向量和矩阵“大小”的一种度量。先讨论向量范数。
1. 向量范数定义:设V 为数域F 上的线性空间,若对于V 的任一向量x ,对应一个实值函数x ,并满足以下三个条件:
(1)非负性 x 0≥,等号当且仅当x=0时成立; (2)齐次性 x x ,k,x V;α=α?α∈∈ (3)三角不等式x y x y ,x,y V +≤+∈。 则称x 为V 中向量x 的范数,简称为向量范数。定义了范数的线性空间定义称为赋范线性空间。
例1. n x C ∈,它可表示成[]
T
1
2
n x =ξξξ,i C ξ∈,
1n
2
2i 2i 1x ?
=?
?=ξ ?
??∑就是一种范数,称为欧氏范数或2-范
数。 证明:
(i )非负性 1n
2
2i 2i 1x 0=?
?=ξ≥ ?
??
∑,
当且仅当()i 0i 1,2,,n ξ==时,即x =0时,
2
x
=0
(ii )齐次性
1
1
n
n 2
2
22i i 22i 1i 1x x ==??
??
α=αξ=α?ξ=α? ?
?
??
??
∑∑
(iii )三角不等式
[]T
1
2
n y =ηηη ,i C η∈
[]T
1122n n x y +=ξ+ηξ+ηξ+η
n
2
2
i i 2i 1
x y =+=ξ+η∑
()
222
22
i i i i i i i i i i 2Re 2ξ+η=ξ+η+ξη≤ξ+η+ξη n
2
2
2
i i 222i 1
x y x y 2=+≤++ξη∑
()2
2
2
222222x y x y 2x y +=++
根据H ?lder 不等式:
11
n
n
n
p
q
p q i i i i i 1i 1i 1a b a b ===????≤ ? ???
??∑∑∑,i i 11p,q 1,1,a ,b 0p q >+=> 1
1
n
n
n
22
22i i i i 2
2i 1i 1i 1
x y ===???
?=ξη≥ξη ? ?
????
∑∑∑
∴ 222x y x y +≤+
2. 常用的向量范数(设向量为[]
T
12
n x =ξξξ)
1-范数:n
i 1
i 1
x
==ξ∑;
∞-范数:1i n
x i max ∞≤≤=ξ;
P-范数:1
n
p
p i p i 1x =?
?=ξ ???
∑ (p>1, p=1, 2,…,∞,);
2-范数:(
)
1
H
2
2x x x
=;
椭圆范数(2-范数的推广):
(
)
1
H
2
A
x
x Ax
=,A 为Hermite 正定阵.
加权范数:
1
n
2
2i i w
i 1x
w =??=ξ ???
∑,
当[]12
n A W diag w w w ==,i w 0>
证明:
p
x
显然满足非负性和齐次性
(iii )[]
T
1
2
n y =ηηη
1n
p
p i p i 1x =?
?=ξ ?
??
∑,1n
p
p i p
i 1y =?
?=η ???∑,
1
n
p
p i i p i 1x y =?
?+=ξ+η ?
??
∑
(
)
n
n
p
p
p 1
i i i i
i i
p
i 1
i 1
n
n
p 1
p 1
i i
i i i
i
i 1
i 1
x y
-==--==+=ξ+η=ξ+ηξ+η≤ξ+ηξ+ξ+ηη∑∑∑∑
应用H ?lder 不等式
()1
1
n
n
n
q
p
p 1
p 1q p i
i i i i
i i 1i 1
i 1--===?
?
??ξ
+ηξ≤ξ+ηξ??????
??∑∑∑ ()11
n
n
n
q
p
p 1
p 1q p i
i
i i i
i i 1
i 1i 1--===??
?
?ξ
+ηη≤ξ+ηη??
????
??∑∑∑
()11
1p 1q p p q
+=?-= ∴
1
11
n n
n n q
p p p p p p i i i
i i i i 1
i 1
i 1i 1====????
???
???ξ+η≤ξ+ηξ+η ? ? ?????
??????
∑∑∑∑ 1
1
1n
n
n
p
p
p
p p p i
i i i i 1i 1i 1===?
??
??
?ξ+η≤ξ+η ? ? ???
??
??
∑∑∑
即 p p p
x y x y
+≤+
3. 向量范数的等价性 定理 设
α
、β
为n
C 的两种向量范数,则必定存在正数m 、M ,使得 m
x
x M x
α
βα
≤≤,(m 、M 与x 无关),
称此为向量范数的等价性。
同时有1
1x x
x M
m
βα
β
≤≤
注:
(1)对某一向量X 而言,如果它的某一种范数小(或大),那么它的其它范数也小(或大)。
(2)不同的向量范数可能大小不同,但在考虑向量序列的收敛性问题时,却表现出明显的一致性。
4、矩阵范数
向量范数的概念推广到矩阵情况。因为一个m ×n 阶矩阵可以看成一个mn 维向量,所以m n C ?中任何一种向量范数都可以认为是m ×n 阶矩阵的矩阵范数。
1. 矩阵范数定义:设m n C ?表示数域C 上全体m n ?阶矩阵的集合。若对于m n C ?中任一矩阵A ,均对应一个实值函数A ,并满足以下四个条件:
(1)非负性:A 0≥ ,等号当且仅当A=0时成立; (2)齐次性:A A ,C;α=αα∈
(3)三角不等式:m n A B A B ,A,B C ?+≤+∈,则称
A 为广义矩阵范数;
(4)相容性:AB A B ≤?,则称A 为矩阵范数。
5. 常用的矩阵范数
(1)Frobenius 范数(F-范数)
F-范数:
12
n
2ij F
i j 1A
a =?
?= ???
∑,
=
矩阵和向量之间常以乘积的形式出现,因而需要考虑矩阵范数与向量范数的协调性。
定义:如果矩阵范数A 和向量范数x 满足
Ax A x ≤?
则称这两种范数是相容的。
给一种向量范数后,我们总可以找到一个矩阵范数与之相容。 (2)诱导范数
设A ∈C m ×n ,x ∈C n , x 为x 的某种向量范数, 记
x 1
A max Ax == 则A 是矩阵A 的且与x 相容的矩阵范数,也称之为
A 的诱导范数或算子范数。 (3)p-范数:
p
p
p
Ax A
max
x
=,
()
ij m n
A a ?=,x 为所有可能的向量,[]
T
12
n x =ξξξ,
p
p
x x
α=α,
()
p p
1
Ax A x =αα
()0α≠
∴
p p p
x 1
A max Ax
==
111
x 1
A max Ax
==,
n
i 1i 1x 1==ξ=∑,n n
ij j
1i 1j 1
Ax a ===ξ∑∑
可以证明下列矩阵范数都是诱导范数: (1)
n
ij
11j n
i 1A max a ≤≤==∑ 列(和)范数;
(2
)21i n A ≤≤= 谱范数; H A A 的最大特征值称为H A A 的谱半径。
当A 是Hermite 矩阵时,i 21i n
A max
(A)≤≤=λ是A 的谱半径。
注:谱范数有许多良好的性质,因而经常用到。
2
H
H
222
2A
A ; A A A ==
(3)n
ij
1i m
j 1
A
max a ∞
≤≤==∑ 行(和)范数
(
x
∞
=1
n
p
p i i
1i n
i 1p max ≤≤=→∞
?
?ξ=ξ ???
∑ ,
2x =1
n
2
2i i 1=?
?ξ ?
??
∑)
定理 矩阵A 的任意一种范数A 是A 的元素的连续
函数;矩阵A 的任意两种范数是等价的。 定理 设A ∈C n ×n
,x ∈C n
, 则F A 和2x 是相容的
即
2F
2Ax A
x ≤?
证明:由于222F
2Ax A x A x ≤?≤?成立。
定理 设A ∈C n ×n ,则F A 是酉不变的,即对于任意酉矩阵U,V ∈C n ×n ,有
F F A UAV =
证明:
F
UAV
=
==
F A ===
定义 设A ∈C n ×n ,A 的所有不同特征值组成的集合
称为A 的谱;特征值的模的最大值称为A 的谱半径,记为ρ(A)。
定理 ρ(A)不大于A 的任何一种诱导范数,即
ρ(A)≤A
证明:设λ是A 的任意特征值,x 是相应的特征向
量,即
Ax=λx
则
|λ|·||x||= ||Ax||≤||A||·||x||, ||x||≠0
即
|λ|≤||A||
试证:设A是n阶方阵,||A||是诱导范数,当
||A||<1时,I-A可逆,且有
||(I-A)-1||≤(1-||A||)-1
证明:
若I-A不可逆,则齐次线性方程组
(I-A)x=0
有非零解x,即x=Ax,因而有
||x||=||Ax||≤||A||﹒||x||<||x||
但这是不可能的,故I-A可逆。
于是 (I-A)-1=[ (I-A)+A] (I-A)-1=I+A (I-A)-1
因此
||(I-A)-1||≤||I||+||A(I-A)-1||=1+||A(I-A)-1||
≤1+||A||﹒|| (I-A)-1||
即证
||(I-A)-1||≤(1-||A||)-1
补充证明||I||=1: 由相容性可知:
||A||﹒||A -1||≥||A A -1||=||I||
x Ix I x I 1=≤?≥
对于诱导范数( x 1
A max Ax ==) x 1I max Ix 1===。
六、条件数
条件数对研究方程的性态起着重要的作用。 定义:设矩阵A 是可逆方阵,称||A||﹒||A -1
||为矩阵A 的条件数,记为cond(A),即
cond(A)= ||A||﹒||A -1||
性质:
(1)cond(A) ≥1,并且A 的条件数与所取的诱导范数的类型有关。
因
cond(A)= ||A||﹒
||A -1||≥||A
A -1
||=||I||=1
(2)cond(kA)= cond(A)=cond(A -1),这里k 为任意非零常数。
当选用不用的范数时,就得到不同的条件数,如:
cond 1(A)= ||A||1﹒||A -1
||1
cond ∞(A)= ||A||∞﹒||A -1
||∞ cond 2(A)= ||A||2﹒||A -1
||2
=
,其中1n ,λλ分别为A H A 的特征值的模的最大值和最小值。谱条件数
特别地,如果A 为可逆的Hermite 矩阵,则有
cond 2(A)=
1
n
λλ
这里1n ,λλ分别为A 的特征值的模的最大值和最小值。
如果A 为酉阵,则cond 2(A)= 1
例 求矩阵A 的条件数cond 1(A),cond ∞(A)
1
52A 210382-?? ?
=- ? ?-??
解:
||A||1=max{6;14;4}=14; ||A||∞=max{8;3;13}=14;
1
2621A 4844132311-?? ?=- ? ???
故
||A -1
||1=17/4; ||A -1||∞=47/4;
cond 1(A)= ||A||1﹒||A -1
||1=14×17/4=259/2; cond ∞(A)= ||A||∞﹒||A -1||∞=611/4。 例 设线性方程组Ax=b 的系数矩阵A 可逆。讨论当b 有误差δb 时,解的相对误差δx 的大小。 解:因矩阵A 可逆,所以Ax=b 有唯一解x=A -1
b ,设解的误差为δx ,由
A(x+δx)=b+δb
得
A δx=δb 或δx=A -1δb 得
11x A b A b --δ=δ≤?δ (1)
又Ax=b ,可得
b A x ≤?,或A 1
x b ≤ (2)
所以由(1)和(2),得
1
x b b A A cond(A)x b b -δδδ≤??=?
这说明相误差x
x δ的大小与条件数cond(A)密切相关;当右端b 的相对误差b
b δ一定时,cond(A)越大,
解的相对误差就可能越大;cond(A)越小,解的相对误差就可能越小。因而条件数cond(A)可以反映A 的特性。
一般来说:条件数反映了误差放大的程度,条件数越大,矩阵越病态。条件数在最小二乘估计的稳定性研究中有重要应用。
鉴于矩阵A 的条件数范数cond(A)有多种,但最常用的条件数是由谱范数||A||2导出的,称为谱条件数。在本章中,若无特别声明,讨论的条件数都是谱条件数。
2A =
12
A -= 谱条件数:()
cond A =
若A 是m ×n 阶矩阵,且rank(A) =t≤n,则A 的条件数定义为
()()
()
max min A cond A A σ=
σ 即最大奇异值与最小非零奇异值的商。 (3)其它性质
对任意酉矩阵Q ,cond(QAQ H
)= cond(A -1
);
()()
H2
cond AA cond A cond(A)
=≥。
(因
()()
()()
H
max
H2
H
min
AA
cond AA cond A
AA
σ
==
σ)
第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)
第五专题 矩阵的数值特征 (行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数) 一、行列式 已知A p ×q , B q ×p , 则|I p +AB|=|I q +BA| 证明一:参照课本194页,例4.3. 证明二:利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质; 从而I p +AB ,I q +BA 中不等于1的特征值的数目 相同,大小相同;其余特征值都等于1。 行列式是特征值的乘积,因此|I p +AB|和|I q +BA|等于特征值(不等于1)的乘积,所以二者相等。 二、矩阵的迹 矩阵的迹相对其它数值特征简单些,然而,它在许多领域,如数值计算,逼近论,以及统计估计等都有相当多的应用,许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。 定义:n n ii i i 1 i 1 tr(A)a ====λ∑∑,etrA=exp(trA)
性质: 1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ,线性性质; 2. T tr(A )tr(A)=; 3. tr(AB)tr(BA)=; 4. 1 tr(P AP)tr(A)-=; 5. H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量; 6. n n k k i i i 1 i 1 tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑; 从Schur 定理(或Jordan 标准形)和(4)证明; 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0; 8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥,且等号成立的充要条件是A=B (i i A B (A)(B)≥?λ≥λ); 9. 对于n 阶方阵A ,若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0(从Schur 定理或Jordan 标准形证明)。 若干基本不等式 对于两个m ×n 复矩阵A 和B ,tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积,也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积,利用Cauchy-schwarz 不等式 [x,y]2≤[x,x]﹒[y,y]
第九章矩阵特征值问题的数值方法
第9章矩阵特征值问题的数值 方法 9.1 特征值与特征向量 9.2 Hermite矩阵特征值问题 9.3 Jacobi方法 9.4 对分法 9.5 乘幂法 9.6 反幂法 9.7 QR方法
9.1 特征值与特征向量设A是n阶矩阵,x是非零列向量. 如果有数λ存在,满足, (1) 那么,称x是矩阵A关于特征值λ的特征向量.
如果把(1)式右端写为 ,那么(1)式又可写为: x λ ()0 I A x λ-=||0 I A λ-=即1110 ()||...n n n f I A a a a λλλλλ--=-=++++记 它是关于参数λ的n 次多项式,称为矩阵A 的特 征多项式, 其中a 0=(-1)n |A |. (2)
显然,当λ是A的一个特征值时,它必然 是的根. 反之,如果λ是的根,那么齐次方程组(2)有非零解向量x,使(1)式 成立. 从而,λ是A的一个特征值. A的特征值也称为A的特征根 . ()0 fλ= ()0 fλ=
矩阵特征值和特征向量有如下主要性质: 定理9.1.1 n阶矩阵A是降秩矩阵的充分必要 条件是A有零特征值. 定理9.1.2 设矩阵A与矩阵B相似,那么它们 有相同的特征值. 定理9.1.3 n阶矩阵A与A T有相同的特征值. 定理9.1.4 设λ ≠λj是n阶矩阵A的两个互异特 i 征值,x、y分别是其相应的右特征向 量和左特征向量,那么,x T y=0 .
9.2 Hermite矩阵特征值问题?设A为n阶矩阵,其共轭转置矩阵记为A H. 如果A=A H,那么,A称为Hermite矩阵.
线性代数行列式算与性质
线性代数行列式的计算与性质 行列式在数学中,是一个函数,其定义域为的矩阵,取值为一个标量,写作或。行列式可以看做是有向面积或体积的概 念在一般的欧几里得空间中的推广。或者说,在维欧几里得空间中,行列式描述的是一个线性变换对“体积”所造成的影响。无论是在线性代数、多项式理论,还是在微积分学中(比如说换元积分法中),行列式作为基本的数学工具,都有着重要的应用。 行列式概念最早出现在解线性方程组的过程中。十七世纪晚期,关孝和与莱布尼茨的著作中已经使用行列式来确定线性方程组解的个数以及形式。十八世纪开始,行列式开始作为独立的数学概念被研究。十九世纪以后,行列式理论进一步得到发展和完善。矩阵概念的引入使得更多有关行列式的性质被发现,行列式在许多领域都逐渐显现出重要的意义和作用,出现了线性自同态和矢量组的行列式的定义。 行列式的特性可以被概括为一个多次交替线性形式,这个本质使得行列式在欧几里德空间中可以成为描述“体积”的函数。 矩阵 A 的行列式有时也记作 |A|。绝对值和矩阵范数也使用这个记法,有可能和行列式的记法混淆。不过矩阵范数通常以双垂直线来表示(如: ),且可以使用下标。此外,矩阵的绝对值是没有定义的。因此,行 列式经常使用垂直线记法(例如:克莱姆法则和子式)。例如,一个矩阵: A= ? ? ? ? ? ? ? i h g f e d c b a , 行列式也写作,或明确的写作: A= i h g f e d c b a , 即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代 行列式的概念最初是伴随着方程组的求解而发展起来的。行列式的提出可以追溯到十七世纪,最初的雏形由日本数学家关孝和与德国数学家戈特弗里德·莱布尼茨各自独立得出,时间大致相同。
数值分析向量,矩阵范数,矩阵的条件数
§8 向量,矩阵范数,矩阵的条件数 一 、 向量、矩阵范数 为了讨论线性方程组近似解的误差估计与研究解方程组迭代法的收敛性,需要在)(n n n R R ?或中引进向量序列(或矩阵序列)极限概念。为此, 这就需要对量空间n R (或n n R ?矩阵空间)元素的“大小”引进某种度量即向量范数(或矩阵范数)即距离的概念。 (一)向量范数:向量范数是3R 中向量长度概念的推广。 },{1为复数i n n x x x x x C ??????????== 称为n 维复向量空间。 },)({为复数ij n n ij n n a a A A C ??==称为n n ?复矩阵空间。 (2)设n n n C A C x ?∈∈,,称T n H x x x x =≡),,(1 为x 的共轭转置 , T H A A =称为A 共轭转置矩阵。 在许多应用中,对向量的范数(对向量的“大小”的度量)都要求满足 正定条件,齐次条件和三角不等式,下面给出向量范数的抽象定义。 n R x ∈(或n C x ∈)的某个实值非负函数 x x N ≡)(,如果满足下述条件 (1)正定性 00,0=??=≥x x x (2)齐次性 x ax α=其中R ∈α(或C ∈α) (3)三角不等式 )(,,n n C R y x y x y x ∈∈?+≤+或,称x x N ≡)(是n R 上(或n C )一个向量范数(或为模)。
由三角不等式可推出不等式 (4)y x y x -≤- 下面给出矩阵计算中一些常用向量范数。 设)(),,(1n n T n C x R x x x ∈∈=或 (1)向量的“∞”范数 i n i x x x N ≤≤∞ ∞=≡1max )( (2)向量的“1”范数 ∑==≡n i i x x x N 1 1 1)( (3)向量的“2”范数 2/11 2 2 /12 2)() ,()(∑===≡n i i x x x x x N (4)向量的能量范数 设n n R A ?∈为对称正定阵 2 /1),()(x Ax x x N R x A A n =≡→∈? 称为向量的能量范数。 设n R x ∈(或n C x ∈),则)(),(),(12x N x N x N ∞是n R 上(或n C )的向量范数。 证明 只验证三角不等式:对任意n R y x ∈,,则222 y x y x +≤+ 利用哥西不等式:22 ),(y x y x ≤,则有 ),(22 y x y x y x ++=+),(),(2),(y y y x x x ++= 22 2 2 22 2y y x x ++≤222))(y x += 对任何n R y x ∈,则 (1) ∞∞ ≤≤x n x x 2 (2) 212 x n x x ≤≤ (3) ∞∞ ≤≤x n x x 1
工程数学教案12行列式的性质与计算
教案头 教学详案 一、回顾导入(20分钟) ——复习行列式的概念,按照定义计算一个四阶行列式,一般需要计算四个三阶行列式,如果计算阶数较高的行列式利用定义直接计算会比较麻烦,为简化行列式的计算,我们需要研究行列式的主要性质。 二、主要教学过程(60分钟,其中学生练习20分钟) 一、行列式的性质 定义 将行列式D 的行换为同序数的列就得到D 的转置行列式,记为T D 。 性质1 行列式与它的转置行列式相等。 性质2 互换行列式的两行(列),行列式变号。 推论 如果行列式有两行(列)完全相同,则此行列式为零。性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k ,等于用数k 乘此行列式。 推论 行列式的某一行(列)中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面。性质4 行列式中如果有两行(列)元素成比例,则此行列式为零。性质5 若行列式的某一列(行)的元素都是两数之和。 性质6 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去,行列式不变。二、行列式按行(列)展开 定义 在n 阶行列式中,把元素 ij a 所在的第i 行和第j 列划去后,留下来的1-n 阶行列式叫做元素ij a 的余子式,记作ij A 。记ij j i ij M A +-=)1(,叫做元素ij a 的代数余子式。引理 一个n 阶行列式,如果其中第i 行所有元素除ij a 外都为零,那末这行列式等于ij a 与它的代数余子式的乘积,即 ij ij A a D =。定理 行 列式等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即 ),,2,1(,2211n i A a A a A a D in in i i i i =+++=。 推论 行列式任一行(列)的元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零,即 j i A a A a A a D jn in j i j i ≠+++=,2211 。 行列式的代数余子式的重要性质: ???≠===∑=;,0,,1j i j i D D A a ij n k kj ki 当当δ???≠===∑=;,0, ,1j i j i D D A a ij n k jk ik 当当δ
第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)
第五专题 矩阵的数值特征 (行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数) 一、行列式 已知A p ×q , B q ×p , 则|I p +AB|=|I q +BA| 证明一:参照课本194页,例4.3. 证明二:利用AB 和BA 有相同的非零特征值的性质; 从而I p +AB ,I q +BA 中不等于1的特征值的数目 相同,大小相同;其余特征值都等于1。 行列式是特征值的乘积,因此|I p +AB|和|I q +BA|等于特征值(不等于1)的乘积,所以二者相等。 二、矩阵的迹 矩阵的迹相对其它数值特征简单些,然而,它在许多领域,如数值计算,逼近论,以及统计估计等都有相当多的应用,许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。 定义:n n ii i i 1i 1tr(A)a ====λ∑∑,etrA=exp(trA) 性质: 1. tr(A B)tr(A)tr(B)λ+μ=λ+μ,线性性质; 2. T tr(A )tr(A)=; 3. tr(AB)tr(BA)=; 4. 1tr(P AP)tr(A)-=;
5. H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量; 6. n n k k i i i 1i 1tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑; 从Schur 定理(或Jordan 标准形)和(4)证明; 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0; 8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥,且等号成立的充要条件是A=B (i i A B (A)(B)≥?λ≥λ); 9. 对于n 阶方阵A ,若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0(从Schur 定理或Jordan 标准形证明)。 若干基本不等式 对于两个m ×n 复矩阵A 和B ,tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积,也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积,利用Cauchy-schwarz 不等式 [x,y]2≤[x,x]﹒[y,y] 得 定理:对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B) 这里等号成立的充要条件是A=cB,c 为一常数。特别当A 和B 为实对称阵或Hermit 矩阵时 0≤|t r(AB)|≤ 定理:设A 和B 为两个n 阶Hermite 阵,且A≥0,
矩阵的特征多项式与特征根
矩阵的特征多项式与特征根 定义3 设A =(a ij )是数域F 上的一个n 阶矩阵,行列式 nn n n n n A a a a a a a a a a A I f ---------=-=λλλλλ 212222111211 )(叫做矩阵A 的特征多项式.f A (λ)在C 内的根叫做矩阵A 的特征根. 设λ0∈C 是矩阵A 的特征根,而k 0∈C n 是一个非零的列向量,使Ax 0=λ0x 0,就是说,x 0是齐次线性方程组(λ0I-A )X=0的一个非零解.我们称x 0是矩阵A 的属于特征根λ 0的特征向量. 例6 分别在实数域R 和复数域C 内求矩阵 ????? ??-----310425 2373 的特征根和相应的特征向量. 解)1)(1(3104252 373)(2+-=???? ? ??--+--=λλλλλλA f ))()(1(i i -+-=λλλ ① 在R 内,A 只有特征根1,A 的属于特征根1的特征向量为k (2,-1,-1),k ∈R ,k≠0. ② 在C 内,A 有特征根λ1=1,λ2=i, λ3=-i.A 的属于特征根1的特征向量为k (2,-1,-1),k ∈C ,k≠0;A 的属于特征根i 的特征向量为k 1(-1+2i,1-i,2), k 1∈C, k 1≠0 A 的属于特征根-i 的特征向量为k 2(-1-2i,1+I,2), k 2∈C, k 2≠0 注意:求A 的特征根时,要考虑给定的数域,若没有指定数域,就在C 内讨论;表示属于某个特征根的特征向量(关于基础解系)组合系数要取自指定的数域F (或C ),且不全为零.
线性代数之行列式的性质与计算
第二节 行列式的性质与计算 §2.1 行列式的性质 考虑11 1212122212n n n n nn a a a a a a D a a a = L L L L L L L 将它的行依次变为相应的列,得 11 21112 222 12n n T n n nn a a a a a a D a a a = L L L L L L L 称T D 为D 的转置行列式 . 性质1 行列式与它的转置行列式相等.(T D D =) 事实上,若记111212122212n n T n n nn b b b b b b D b b b = L L L L L L L L L L 则(,1,2,,)ij ji b a i j n ==L 1212() 12(1)n n p p p T p p np D b b b τ∴=-∑L L 1212()12(1).n n p p p p p p n a a a D τ=-=∑L L 说明:行列式中行与列具有同等的地位, 因此行列式的性质凡是对行成立的结论, 对列也同样成立. 性质2 互换行列式的两行(i j r r ?)或两列(i j c c ?),行列式变号. 例如 123 123086351.351 086 =- 推论 若行列式D 有两行(列)完全相同,则0D =. 证明: 互换相同的两行, 则有D D =-, 所以0D =. 性质3 行列式某一行(列)的所有元素都乘以数k ,等于数k 乘以此行列式,即 111211112112121212 n n i i in i i in n n nn n n nn a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a =L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L 推论:(1) D 中某一行(列)所有元素的公因子可提到行列式符号的外面;
矩阵特征根的有关问题
矩阵特征根的有关问题 吴晗 数学系 数学与应用数学 06180226 [摘 要] 首先给出了矩阵特征根的定义,接着介绍了矩阵特征根的有关求法,其次讨论了矩 阵特征根的性质,最后利用其求法与性质解决一些代数问题。 [关键字] 矩阵 特征根 特征向量 求法 性质 应用 矩阵,线性代数研究的基本对象。按照矩阵的观点,线性代数就是研究矩阵在各种意义下的分类问题及其标准型理论。在矩阵的有关内容之中其特征根就是一个非常重要的内容,与之相对应的就是在指定特征根下的特征向量。在多数《高等代数》教材中,特征值与特征向量的引入是为了研究线性空间中线性变换A 的属性,描述为线性空间中线性变换A 的特征值与特征向量;而在大部分《线性代数》教材中,特征值与特征向量的讨论被作为矩阵理论研究的一个重要组成,定义为n 阶矩阵A 的特征值与特征向量。 所以二者有相辅相成之意。涉及到矩阵特征根的有关问题将在如下文之中列举: 1 矩阵的特征根的定义 设() ij A a =是数域F 上的一个n 阶矩阵,行列式 ()11 12121 22212.......... ............n n A n n nn x a a a a x a a f x xI A a a x a ------=-=--- 叫做矩阵A 的特征多项式,而在复数域内的根就叫做矩阵A 的特征根。即在方程中求解出x (x 在复数域内),其中I 是n 阶单位矩阵。而在矩阵的特征根研究中,我们不只是就仅仅要知道特征根是什么,它不是一个孤立存在的知识点,往往与它紧密联系在一起的就是特征向量。就像前面所说特征值与特征向量的引入是为
第五章 矩阵的特征值与特征向量
第五章 矩阵的特征值与特征向量 5.1矩阵的特征值与特征向量 5.1.1矩阵的特征值与特征向量的概念 设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量α,使得:λαα=A (0≠α)成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量α是矩阵A 属于特征值λ的特征向量. 5.1.2矩阵的特征值与特征向量的求法 把定义公式λαα=A 改写为()0=-αλA E ,即α是齐次方程组()0=-x A E λ的非零解.根据齐次方程组有非零解的充分条件可得:0=-A E λ. 所以可以通过0=-A E λ求出所有特征值,然后对每一个特征值i λ,分别求出齐 次方程组()0=-x A E i λ的一个基础解系,进而再求得通解. 【例5.1】求??? ? ? ?????------=324262423A 的特征值和特征向量. 解:根据()()0273 2 4 26 24 23 2 =+-=---= -λλλλλλA E ,可得71=λ,22-=λ. 当7=λ时,??? ? ? ?????? ??? ???????=-0000002124242124247A E , 所以()07=-x A E 的一个基础解系为:()T 0,2,11-=α,()T 1,0,12-=α,则相应的特征向量为2211ααk k +,其中21,k k 是任意常数且()()0,0,21≠k k . 当2-=λ时,???? ? ?????--? ??? ? ??????---=--00012014152428242 52A E ,所以()02=--x A E 的一个基础解系为()T 2,1,23=α,则相应的特征向量为33αk ,其中3k 是任意常数且
行列式的计算方法(课堂讲解版)
计算n 阶行列式的若干方法举例 n 阶行列式的计算方法很多,除非零元素较少时可利用定义计算(①按照某一列或某一行展开②完全展开式)外,更多的是利用行列式的性质计算,特别要注意观察所求题目的特点,灵活选用方法,值得注意的是,同一个行列式,有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常用的方法,并举例说明。 1.利用行列式定义直接计算 例 计算行列式 0 0100 200 100 00n D n n = - 解 D n 中不为零的项用一般形式表示为 1122 11!n n n n n a a a a n ---=. 该项列标排列的逆序数t (n -1 n -2…1n )等于(1)(2) 2 n n --, 故(1)(2) 2 (1) !.n n n D n --=- 2.利用行列式的性质计算 例: 一个n 阶行列式n ij D a =的元素满足,,1,2, ,,ij ji a a i j n =-= 则称D n 为反对称 行列式, 证明:奇数阶反对称行列式为零. 证明:由ij ji a a =-知ii ii a a =-,即0,1,2, ,ii a i n == 故行列式D n 可表示为1213112 23213 233123000 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -=-----,由行列式的性质T A A =,1213112 23213 23312300 00 n n n n n n n a a a a a a D a a a a a a -----=-12131122321323312300( 1)0 n n n n n n n a a a a a a a a a a a a -=------(1)n n D =- 当n 为奇数时,得D n =-D n ,因而得D n = 0.
矩阵的特征值和特征向量
第五章矩阵的特征值和特征向量 来源:线性代数精品课程组作者:线性代数精品课程组 1.教学目的和要求: (1) 理解矩阵的特征值和特征向量的概念及性质,会求矩阵的特征值和特征向量. (2) 了解相似矩阵的概念、性质及矩阵可相似对角化的充分必要条件,会将矩阵化为相似对 角矩阵. (3) 了解实对称矩阵的特征值和特征向量的性质. 2.教学重点: (1) 会求矩阵的特征值与特征向量. (2) 会将矩阵化为相似对角矩阵. 3.教学难点:将矩阵化为相似对角矩阵. 4.教学内容: 本章将介绍矩阵的特征值、特征向量及相似矩阵等概念,在此基础上讨论矩阵的对角化问题. §1矩阵的特征值和特征向量 定义1设是一个阶方阵,是一个数,如果方程 (1) 存在非零解向量,则称为的一个特征值,相应的非零解向量称为属于特征值的特 征向量. (1)式也可写成, (2) 这是个未知数个方程的齐次线性方程组,它有非零解的充分必要条件是系数行列式 , (3) 即 上式是以为未知数的一元次方程,称为方阵的特征方程.其左端是的 次多项式,记作,称为方阵的特征多项式.
== = 显然,的特征值就是特征方程的解.特征方程在复数范围内恒有解,其个数为方程的次数(重根按重数计算),因此,阶矩阵有个特征值. 设阶矩阵的特征值为由多项式的根与系数之间的关系,不难证明 (ⅰ) (ⅱ) 若为的一个特征值,则一定是方程的根, 因此又称特征根,若为 方程的重根,则称为的重特征根.方程的每一个非 零解向量都是相应于的特征向量,于是我们可以得到求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下: 第一步:计算的特征多项式; 第二步:求出特征方程的全部根,即为的全部特征值; 第三步:对于的每一个特征值,求出齐次线性方程组: 的一个基础解系,则的属于特征值的全部特征向量是 (其中是不全为零的任意实数). 例1 求的特征值和特征向量. 解的特征多项式为 =
矩阵的特征根的求法及应用
矩阵的特征根的求法及应用
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矩阵的特征根的求法及应用 摘要 本文主要讨论关于矩阵特征值的求法及矩阵特征值一些常见的证明方 法。对于一般矩阵,我们通常是采用求解矩阵特征多项式根的方法。 关键字 矩阵 特征值 特征多项式 1.特征值与特征向量的定义及其性质; 1 矩阵特征值与特征向量的概念及性质 1.1 矩阵特征值与特征向量的定义 设A 是n 阶方阵,如果存在数λ和n 维非零向量x ,使得x Ax λ=成立,则称 λ为A 的特征值,x 为A 的对应于特征值λ的特征向量. 1.2 矩阵特征值与特征向量的性质 矩阵特征值与特征向量的性质包括: (1)若i i r A 的是λ重特征值,则i i s A 有对应特征值λ个线性无关的特征向量,其中i i r s ≤. (2)若线性无关的向量21,x x 都是矩阵A 的对应于特征值0λ的特征向量,则当21,k k 不全为零时,2211x k x k +仍是A 的对应于特征值0λ的特征向量. (3)若A n 是矩阵λλλ,,,21Λ的互不相同的特征值,其对应的特征向量分别是 n x x x ,,,21Λ,则这组特征向量线性无关. (4)若矩阵()n n ij a A ?=的特征值分别为n λλλ,,,21Λ,则 nn n a a a +++=+++ΛΛ221121λλλ,A n =λλλΛ21. (5)实对称矩阵A 的特征值都是实数,且对应不同特征值的特征向量正交. (6)若i λ是实对称矩阵A 的i r 重特征值,则对应特征值i λ恰有i r 个线性无关的特征向量.
第五专题 矩阵的数值特征(行列式、范数、条件数、迹、秩、相对特征根)
第五专题矩阵的数值特征 (行列式、迹、秩、相对特征根、范数、条件数) 一、行列式 已知A p×q, B q×p, 则|I p+AB|=|I q+BA| 证明一:参照课本194页,例4.3. 证明二:利用AB和BA有相同的非零特征值的性质; 从而I p+AB,I q+BA中不等于1的特征值的数目相同,大小相同;其余特征值都等于1。 行列式是特征值的乘积,因此|I p+AB|和|I q+BA|等于特征值(不等于1)的乘积,所以二者相等。 二、矩阵的迹 矩阵的迹相对其它数值特征简单些,然而,它在许多领域,如数值计算,逼近论,以及统计估计等都有相当多的应用,许多量的计算都会归结为矩阵的迹的运算。下面讨论有关迹的一些性质和不等式。 定义: n n ii i i1i1 tr(A)a == ==λ ∑∑,etrA=exp(trA) 性质: 1. tr(A B)tr(A)tr(B) λ+μ=λ+μ,线性性质;
2. T tr(A )tr(A)=; 3. tr(AB)tr(BA)=; 4. 1 tr(P AP)tr(A)-=; 5. H H tr(x Ax)tr(Axx ),x =为向量; 6. n n k k i i i 1 i 1 tr(A),tr(A )===λ=λ∑∑; 从Schur 定理(或Jordan 标准形)和(4)证明; 7. A 0≥,则tr(A)0≥,且等号成立的充要条件是A=0; 8. A B(A B 0)≥-≥即,则tr(A)tr(B)≥,且等号成立的充要条件是A=B (i i A B (A)(B)≥?λ≥λ); 9. 对于n 阶方阵A ,若存在正整数k,使得A k =0,则tr(A)=0(从Schur 定理或Jordan 标准形证明)。 若干基本不等式 对于两个m ×n 复矩阵A 和B ,tr(A H B)是m ×n 维酉空间上的内积,也就是将它们按列依次排成的两个mn 维列向量的内积,利用Cauchy-schwarz 不等式 [x,y]2≤[x,x]﹒[y,y] 得 定理:对任意两个m ×n 复矩阵A 和B |tr(A H B)|2≤tr(A H A)﹒tr(B H B)
矩阵特征值的意义
矩阵特征值的意义 数学里面的特征值和特征矩阵到底有什么用,它的物理意义在于什么?? 矩阵的特征值要想说清楚还要从线性变换入手,把一个矩阵当作一个线性变换在某一组基下的矩阵,最简单的线性变换就是数乘变换,求特征值的目的就是看看一个线性变换对一些非零向量的作用是否能够相当于一个数乘变换,特征值就是这个数乘变换的变换比,这样的一些非零向量就是特征向量,其实我们更关心的是特征向量,希望能把原先的线性空间分解成一些和特征向量相关的子空间的直和,这样我们的研究就可以分别限定在这些子空间上来进行,这和物理中在研究运动的时候将运动分解成水平方向和垂直方向的做法是一个道理! 特征值时针对方阵而言的。 两个向量只有维数相同时才能考虑相等的问题,才能有和、有差。 引入特征值与特征向量的概念 ? 引例 在一个n 输入n 输出的线性系统y=Ax 中,其中 ? 我们可发现系统A 对于某些输入x ,其输出y ? 恰巧是输入x 的 倍,即 ;对某些输入,其输出与输入就不存在这种按比例放大的关系。 ??????? ??=??????? ??=??????? ??=n n nn n n n n y y y y x x x x a a a a a a a a a A M M L L L L L L L 2121212222111211,,λx y λ=
? 例如,对系统 ,若输入 ? 则 ? ? 若输入 ,则 ? 所以,给定一个线性系统A ,到底对哪些输入,能使其输出按比例放大,放大倍数 等于多少?这显然是控制论中感兴趣的问题。 基于此给出特征值与特征向量的概念: ? 定义 设A 是一个n 阶方阵,若存在着一个数 和一个非零n 维向量x ,使得 则称 是方阵A 的特征值,非零向量x 称为A 对应于特征值 的特征向量,或简称为A 的特征向量 ???? ??=4312A ? ?? ? ??=31x x Ax y 5315155314312=???? ??=???? ??=???? ?????? ??==???? ??=52x x Ax y λ≠???? ??=???? ?????? ??==269524312λx Ax λ=λλ
矩阵的特征根的求法及应用
矩阵的特征根的求法及应用 摘要 本文主要讨论关于矩阵特征值的求法及矩阵特征值一些常见的证明方法。对于一般矩阵,我们通常是采用求解矩阵特征多项式根的方法。 关键字 矩阵 特征值 特征多项式 1.特征值与特征向量的定义及其性质; 1 矩阵特征值与特征向量的概念及性质 1.1 矩阵特征值与特征向量的定义 设A 是n 阶方阵,如果存在数λ和n 维非零向量x ,使得x Ax λ=成立,则称λ为A 的特征值,x 为A 的对应于特征值λ的特征向量. 1.2 矩阵特征值与特征向量的性质 矩阵特征值与特征向量的性质包括: (1)若i i r A 的是λ重特征值,则i i s A 有对应特征值λ个线性无关的特征向量,其中i i r s ≤. (2)若线性无关的向量21,x x 都是矩阵A 的对应于特征值0λ的特征向量,则当21,k k 不全为零时,2211x k x k +仍是A 的对应于特征值0λ的特征向量. (3)若A n 是矩阵λλλ,,,21 的互不相同的特征值, 其对应的特征向量分别是n x x x ,,,21 ,则这组特征向量线性无关. (4)若矩阵()n n ij a A ?=的特征值分别为n λλλ,,,21 ,则 nn n a a a +++=+++ 221121λλλ,A n =λλλ 21. (5)实对称矩阵A 的特征值都是实数,且对应不同特征值的特征向量正交. (6)若i λ是实对称矩阵A 的i r 重特征值,则对应特征值i λ恰有i r 个线性无关的特征向量.
(7)设λ为矩阵A 的特征值,()x P 为多项式函数,则()λP 为矩阵多项式()A P 的特征值. 2.特征值与特征向量的常规求法; 1.一般教科书[求特征值的传统方法是令特征多项式| λE- A| = 0, 求出A 的特征值, 对于A 的任一特征值λ, 特征方程(λE- A)X= 0的所有非零解X 即为矩阵A 的属于特征值的特征向量. 两者的计算是分割的, 一个是计算行列式, 另一个是解齐次线性方程组, 且计算量都较大.下面介绍利用矩阵的初等变换求特征值与特征向量的两种方法. 1:特征方程(λE- A)X= 0进行行列式计算,求特征值与特征向量。 列1:求实数域上矩阵122212221A -????=--????--?? 的特征值与特征向量。 传统解法;解 ()()()21 221422 12232221001 1411523E A λλλλλλλλλλλλ+--+---=-+=-+-+-+-??=-=-+ ?-+?? 令()()() ()() 11i j j i i i j i i j c c r r kc r k k c kc r kr π???? ?? ?+-0E A λ-=,得121λλ==(二重),35λ=-是A 的全部特征值。 当121λλ==时,对应的特征方程; 12312312322202220 2220x x x x x x x x x --=??-++=??-++=?
矩阵范数详解
《周国标师生交流讲席010》 向量和矩阵的范数的若干难点导引(二) 一. 矩阵范数的定义 引入矩阵范数的原因与向量范数的理由是相似的,在许多场合需要“测量”矩阵的“大小”,比如矩阵序列的收敛,解线性方程组时的误差分析等,具体的情况在这里不再复述。 最容易想到的矩阵范数,是把矩阵m n A C ?∈可以视为一个mn 维的向量(采用所谓“拉 直”的变换),所以,直观上可用mn C 上的向量范数来作为m n A C ?∈的矩阵范数。比如 在1l -范数意义下,111 ||||||m n ij i j A a === ∑∑( ) 12 tr()H A A =; () 在2l -范数意义下,1 2 211||||||m n F ij i j A a ==??= ??? ∑∑, () 注意这里为了避免与以后的记号混淆,下标用“F ”,这样一个矩阵范数,称为Frobenius 范数,或F-范数。可以验证它们都满足向量范数的3个条件。 那么是否矩阵范数就这样解决了?因为数学上的任一定义都要与其对象的运算联系起来,矩阵之间有乘法运算,它在定义范数时应予以体现,也即估计AB 的“大小”相对于A B 与的“大小”关系。 定义1 设m n A C ?∈,对每一个A ,如果对应着一个实函数()N A ,记为||||A ,它满 足以下条件: (1)非负性:||||0A ≥; (1a )正定性:||||0m n A O A ?=?= (2)齐次性:||||||||||,A A C ααα=∈; (3)三角不等式:||A ||||||||||||, m n A B A B B C ?+≤+?∈ 则称()||||N A A =为A 的广义矩阵范数。进一步,若对,,m n n l m l C C C ???上的同类广义矩阵 范数||||?,有 (4)(矩阵相乘的)相容性:||A ||||||||||||AB A B ≤, n l B C ?∈, 则称()||||N A A =为A 的矩阵范数。
第五章 求矩阵特征值和特征向量
第五章 求矩阵特征值与特征向量 n 阶方阵A 的n 个特征值就是其特征方程 det()0λ-=A I 的n 个根,方程A 属于特征值λ的特征向量x 是线性方程组 λ=Ax x 的非零解。本章讨论求方阵A 的特征值和特征向量的两个常用的数值方法。以及求实对称矩阵特征值的对分法。 5.1 幂 法 在实际问题中,矩阵的按模最大特征根起着重要的作用。例如矩阵的谱半径即矩阵的按模最大特征根的值,它决定了迭代矩阵是否收敛。本节先讨论求实方阵的按模最大特征根的常用迭代法:幂法。 5.1.1幂法的基本思想 幂法是求实方阵A 按模最大特征值及其特征向量的一种迭代方法。它的基本思想是:先任取非零 初始向量0x ,然后作迭代序列 1k k +=x Ax ,0,1,k =??? (5。1) 再根据k 增大时,k x 各分量的变化规律:按模最大的特征向量会愈来愈突出,从而可求出方阵A 的按模最大特征值及其特征向量。 先看一个计算实例。 例1 设矩阵 122 1??= ??? A 用特征方程容易求得A 的两个特征值为 11-=λ,32=λ 下面用幂法来计算,取初始向量()01,0T =x ,计算向量序列 1k k +=x Ax ,0,1,k =??? 具体结果如表5.1所示. 表5.1 幂法计算结果 k ()1k x () 2 k x 0 1
1 2 3 1 5 13 2 4 14 4 5 6 7 41 121 365 1093 40 122 364 1094 考察两个相邻向量对应分量之比: 5) 1(1)2(1=x x ,6.2)2(1 )3(1=x x ,(4)1(3)1 3.154x x =,(5)1(4)1 2.951x x =,(6)1(5)1 3.016x x =,(7) 1(6)1 2.994x x = 2) 1(2)2(2=x x ,5.3)2(2 )3(2=x x ,(4)2(3)2 2.857x x =,(5)2(4)2 3.05x x =,(6)2(5)2 2.983x x =, (7) 2 (6)2 3.005x x = 由上面计算看出,两相邻向量对应分量之比值,随k 的增大而趋向于一个固定值3,而且这个值恰 好就是矩阵A 的按模最大的特征值。这一现象是否有普通性?下面进行具体分析。 5.1.2 幂法的计算公式 为简便起见,设矩阵A 的几个特征值按模的大小排列如下: n λλλ≥≥≥ 21 其相应特征向量为12 ,,n u u u ,并且是线性无关的,因此可作为n 维向量空间的一组基。 任取初始向量( )(0)(0) (0)012,, 0T n x x x =≠x ,首先将0x 表示为 01122n n a a a =++ +x u u u 作迭代序列 1k k +=x Ax , 0,1,k =??? 则 10111222n n n a a a λλλ==++???+x Ax u u u …… …… 1111222k k k k k n n n a a a λλλ-==++???+x Ax u u u 于是 21112211k k k n k n n a a a λλλλλ?????? ?=++???+ ? ? ??????? x u u u 为了得出计算1λ和1u 的公式,下面分三种情况讨论。 1.1λ为实根,且 12λλ>
矩阵的特征根的求法及应用
矩阵 摘要 本文主要讨论关于矩阵特征值的求法及矩阵特征值一些常见的证明方 法。对于一般矩阵,我们通常是采用求解矩阵特征多项式根的方法。 关键字 矩阵 特征值 特征多项式 1.特征值与特征向量的定义及其性质; 1 矩阵特征值与特征向量的概念及性质 1.1 矩阵特征值与特征向量的定义 设A 是n 阶方阵,如果存在数λ和n 维非零向量x ,使得x Ax λ=成立,则称 λ为A 的特征值,x 为A 的对应于特征值λ的特征向量. 1.2 矩阵特征值与特征向量的性质 矩阵特征值与特征向量的性质包括: (1)若i i r A 的是λ重特征值,则i i s A 有对应特征值λ个线性无关的特征向量,其中i i r s ≤. (2)若线性无关的向量21,x x 都是矩阵A 的对应于特征值0λ的特征向量,则当21,k k 不全为零时,2211x k x k +仍是A 的对应于特征值0λ的特征向量. (3)若A n 是矩阵λλλ,,,21 的互不相同的特征值, 其对应的特征向量分别是n x x x ,,,21 ,则这组特征向量线性无关. (4)若矩阵()n n ij a A ?=的特征值分别为n λλλ,,,21 ,则 nn n a a a +++=+++ 221121λλλ,A n =λλλ 21. (5)实对称矩阵A 的特征值都是实数,且对应不同特征值的特征向量正交. (6)若i λ是实对称矩阵A 的i r 重特征值,则对应特征值i λ恰有i r 个线性无关的特征向量.
(7)设λ为矩阵A 的特征值,()x P 为多项式函数,则()λP 为矩阵多项式()A P 的特征值. 2.特征值与特征向量的常规求法; 1.一般教科书[求特征值的传统方法是令特征多项式| λE- A| = 0, 求出A 的特征值, 对于A 的任一特征值λ, 特征方程(λE- A)X= 0的所有非零解X 即为矩阵A 的属于特征值的特征向量. 两者的计算是分割的, 一个是计算行列式, 另一个是解齐次线性方程组, 且计算量都较大.下面介绍利用矩阵的初等变换求特征值与特征向量的两种方法. 1:特征方程(λE- A)X= 0进行行列式计算,求特征值与特征向量。 列1:求实数域上矩阵122212221A -????=--????--?? 的特征值与特征向量。 传统解法;解 ()()() 2 1 22142 2 12232221001 1411523E A λλλλλλλλλλλλ+--+---=-+=-+-+-+-??=-=-+ ?-+?? 令()()() ()() 11i j j i i i j i i j c c r r kc r k k c kc r kr π???? ?? ? +-0E A λ-=,得121λλ==(二重) ,35λ=-是A 的全部特征值。 当121λλ==时,对应的特征方程; 123123123222022202220 x x x x x x x x x --=?? -++=??-++=?
矩阵的特征根和特征向量
哪位能帮我把这个矩阵的特征根和特征向量计算出来,我只要结果就行,急用!谢谢了! 0.776 0.258 0.166 0.121 0.045 0.112 -0.235 0.258 0.969 0.220 0.181 0.196 -0.086 -0.715 0.166 0.220 0.999 0.276 0.302 -0.062 0.020 0.121 0.181 0.276 0.969 0.293 0.309 -0.139 0.045 0.196 0.302 0.293 0.863 -0.161 0.031 0.112 -0.086 -0.062 0.309 -0.161 1.000 -0.050 -0.235 -0.715 0.020 -0.139 0.031 -0.050 1.000 最佳答案 A=[0.776 ,0.258 ,0.166 ,0.121 ,0.045 ,0.112 ,-0.235;0.258,0.969,0.220,0.181 , 0.196 ,-0.086 ,-0.715 ;0.166 ,0.220,0.999 ,0.276 ,0.302 ,-0.062 ,0.020; 0.121 ,0.181 ,0.276 ,0.969 ,0.293, 0.309 ,-0.139; 0.045,0.196,0.302,0.293 ,0.863, -0.161 ,0.031 ;0.112 ,-0.086 ,-0.062 ,0.309, -0.161, 1.000 ,-0.050 ; -0.235,-0.715 , 0.020 , -0.139, 0.031, -0.050 ,1.000]; [x,y]=eig(A); eigenvalue=diag(y); lamda = eigenvalue(1) y_lamda = x(:, 1) 特征值lamda = 0.2074 特征向量y_lamda = -0.0088 0.7057 -0.1593 0.0664 -0.1873 0.0430 0.6597