简述组合数学应用
序言
组合数学也称为组合论，组合学。是一门古老而又崭新的学科。传说早在4000多年前的大禹时期就观察到了神龟背上的幻方，北宋数学家，贾宪著有《皇帝九章细草》、《算法教古集》，以及非常著名的杨辉三角都是组合数学的早期表现。但是在没有现代科学技术出现特别是计算机技术出现之前组合数学发展遇到了瓶颈。直到近代计算机技术的大力发展，给组合数学又带来了一次新生。与传统的数学课程相比，组合数学研究的是一些离散的事物之间存在的数学关系，包括存在性问题，计数性问题，构造性问题以及最优化问题，其主要内容是计数和枚举。计数问题是组合学中研究得最多的问题，它出现在所有的数学分支中。组合数学不仅在基础数学中具有极其重要的地位，在其他学科中也有重要的作用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中，甚至在企业管理，交通规则，战争指导，金融分析，城市物流等领域具有重要应用。具有重要的应用。组合数学的发展奠定了本世纪的计算机革命的基础。计算机应用的灵魂是算法，对计算机来说它的算法针对的都是离散的对象而组合数学主要研究的是构造算法对离散数据进行处理，因此在组合数学的发展对计算的发展起到至关重要的作用。
组合数学的应用
1.组合数学在计算机科学方面的应用
1.1 组合数学在无线传感器网络中的应用
近年来无线传感网络在军事，科研和日常生活中扮演着越来越重要的角色。
但是关于无线传感网络的技术也遇到了很大的困难。
无线传感网络节点在民用方面：主要用来长时间不间断的收集周围环境的数据，但是由于节点能量有限，存储有限，数据如果不加处理就传输，则会造成很大的网络带宽浪费，能量浪费甚至造成节点存储溢出。因此这时候我们就可以利
用组合学中的生成函数的相关知识，将节点收集到的数据进行压缩，然后再进行
传输，这样就可以解决上述问题。
无线传感网络节点由于它们能量有限需要给其不定时的充电，现在先进的充电方式是用充电小车周游节点覆盖区域对每个节点进行充电，如何使充电小车能
够更高效的对节点充电，我们可以将此类问题抽象看成组合数学中图论中的知识：将整个网络区域抽象成图，其中无线传感网节点为图中的顶点，节点之间的路径
为图中的边。从而这类问题可以看成是组合数学中旅行商问题的实例[1]，通过构
造多条哈密尔顿回路，并求的代价最小的那条回路来解决此类问题。
无线传感网络在国防，军事等领域也有广泛的应用。随着应用的普及，传感器网络的安全也显得日益重要，尤其是其中最基础和最关键的密钥管理问题。在
节点能量以及计算和通信能力非常有限的无线传感器网络中，一般采用密钥预分
配机制实现安全引导，在部署之初为节点预分配若干密钥，使得部署后不同节点
之间通过共享密钥保障安全基础，然后进行进一步的密钥协商[2]。但是由于无线
传感器网络要求具备规模，开放暴露环境和节点能力严格受限等特殊性，使得许
多指标都难易达到较好的水平，但是进来有人利用组合数学中区组设计的知识，提出了一种新的无线传感器网络密钥预分配方案，提高了共享概率，减小了密钥
路径长度，扩大了网络规模，增强了密钥强度，并降低密钥共享的复杂性和提高
节点部署的实际可行性。
1.2 组合数学在计算机软件以及信息化方面的应用
组合数学在计算机科学方面的应用极其广泛[3]。计算机软件与各种算法的研究分不开，为了衡量一个算法的效率，必须估计用此算法计算具有给定长度的输
入时需要多少步，例如算术运算，二进制比较，程序调用等的次数。这要求对算
法所需的计算量以及存储单元数进行估算，这就是计数问题的内容，而组合数学
分析主要研究内容就是计数和枚举的方法和理论。
纵观全世界软件产业，美国处于绝对的垄断地位，造成这种现象的一个根本原因是计算机科学在美国的飞速发展。当今计算机科学界最权威的人士很多都是
研究组合数据出身的。美国最重要的计算机科学系MIT，Princeton，Stanford，
Yale等都有第一流的组合数学家。组合数学在国外早已成为十分重要的学科。甚
至可以说是计算机科学的基础。一些大公司，如IBM，AT&T都有全世界最强的组合研究中心。美国政府也成立了离散数学及理论计算机科学中心DIMACS，该中心已成为组合数学理论和计算机科学的重要研究阵地。
信息检索是计算机科学中的一个基本而又重要的问题。如何组织数据，使用什么样的查找方法，对检索的效率有很大的影响。大家所熟知的在有序表结构上的二分搜索算法是一种很有效的方法，那么二分搜索是最好的算法吗？Yao利用组合数学中的Ramsey相关知识对这一问题做了肯定的回答。
网络是当今计算机发展的一个特点，是进入信息社会的巨大推动力。分组交换网是采用分组交换技术的网络，它从终端或计算机接收报文，把报文分割成分组，并按某种策略选择最佳路径在网络中传输，到达目的地后在将分组合并成报文交给目的终端或计算机。但是在设计分组网路的时候，要考虑一个n个顶点的
C的条件下，中间的设施的最少个数是多少？BELL分组交换网络网络在不出现
4
则通过Ramsey数的相关知识解决了此类问题。
2.组合数学在生活中的应用
在日常生活中我们常常遇到组合数学的问题[4]。如果你仔细留心一张世界地图，你会发现用一种颜色对一个国家着色，那么一共只需要四种颜色就能保证每两个相邻的国家的颜色不同。这样的着色能使每一个国家都能清楚地显示出来，这就是组合数学中的地图着色原理。
我国古代的河洛图上记载了三阶幻方，即把从一到九个数按三行三列的队行排列，使得每行，每列，以及两条对角线上的三个数只和都是15。组合数学中有许多像幻方这样精巧的结构。1977年美国旅行者1号，2号宇宙飞船就带上了幻方以作为人类智慧的信号。
航空调度和航班的设定也是组合数学的问题。怎样确定各个航班以满足，不同旅客转机的需要，同时也使得每个机场的航班起落分布合理。此外，在一些航班有延误等特殊情况下，怎样合理调整，这些都是组合数学的问题。
对于城市的交通管理，交通规划，哪些地方可能是阻塞要地，哪些地方应该设单行道，立交桥应该建在哪里最合适，红绿灯怎样设定最合理，如此等等全是组合数学的问题。
库房和运输的管理也是典型的组合数学问题。怎样安排运输使得库房充分发挥作用，进一步来说，货物放在什么地方最便于存取。
我们知道，用形状相同的方形砖块可以把一个地面铺满，但是如果用不同形状，而用非方型的砖块来铺一个地面，能否铺满呢？这不仅是一个与实际相关的问题，也设计到深奥的组合数学问题。
组合数学中有一个著名问题：是否存在稳定婚姻的问题。假如能找到两对夫妇A和B，如果A中的男主人更喜欢B中的女主人，或者A中的女主人喜欢B 中的男主人（或者相反亦然）那么这样就可能有不稳定性。组合数学的方法可以找到一种婚姻的安排方法，使得没有上述的不稳定情况出现。同时这种组合学方法的一个实际用途是：美国的医院在确定录取住院医生时，他们将考虑申请者的志愿先后顺序，同时也给申请排序，按这样的次序考虑出的总的方案将没有医院和申请者两者同时后悔的情况。而我国前几年的高考录取方案也采取这种方法。
随着中国经济快速的增长，城市化是未来中国的发展方向。人大通过的“十五”规划，把物流业作为战略重点列入要打理发展的新兴服务产业。如何制定一个运输计划使生产地到销售地的产品运输量最大。这就是组合数学中的网络最大流问题。
组合数学还可用于融资分析，投资方案的确定，怎样找出好的投资组合以降低投资风险。也涉及到组合数学深奥的知识。
总结
总之，组合数学无处不在，它的主要应用就是在各种复杂关系中找出最优的方案，所以组合数学完全可以看成是一门量化了的关系学，一门量化了的运筹学，一门量化了的管理学。这篇论文只是介绍了组合数学在无线传感器网络，计算机软件和信息化以及人们日常生活中应用的一小部分，希望借此论文可以激发起我们对组合数学的关注，学会在生活中运用组合数学来解决具体的问题，作为计算机专业的学生，我们必须把组合数学的学习放在一个重要的位置上，掌握基本的组合学原理，培养专业的数学思维，这样才能在以后的工作学习中掌握主动和先机。作为富有生命力的数学分支，组合数学这个古老而又年轻的学科，正在迸发出勃勃生机推动着各行各业的发展。
参考文献
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配方案[J]计算机研究与发展，2008(15)154-164
[3].陈家组合数学在计算及科学中的应用[J]成都信息工程学院学报，
2006(21):94-97
[4].陈永川话说组合数学[J]科学中国人，2003(5):15-17
排列组合-离散数学(1)
排列和组合-离散数学(1) 原创：https://www.360docs.net/doc/664289574.html,/ 编辑：fhj0930@https://www.360docs.net/doc/664289574.html, 1 排列 排列的任务是确定个不同的元素的排序的可能性。从右边的示意图可看出，3个不同颜色的彩球一共有6种不同的排列方式，因此有如下定理：“个不同的元素可以有种不同的排列方式，即的阶乘。”因此上 面的例子的算法是3! = 6 另一个问题，如果从个元素中取出个元素，这个元素的排列是多少呢？ 公式如下： 例如，在赌马游戏中一共有8匹马参加比赛，玩家需要在彩票上填入前三位胜出的马匹的号码，按照上面的公式，＝ 8，＝ 3，玩家一共可以填出的3匹马号的排列数为： 因为一共存在336种可能性，因此玩家在一次填入中中奖的概率应该是：
以上提到的都是在不发生重复的情况下的排列。 如果在个元素中取出个元素进行排列，这个元素可以重复出现， 那么排列数则有如下公式： 还是上面的例子，可以重复出现，这意味着玩家可以在前三名的位 置上填入同一匹马号，因此在这种情况下可能出现的排列总数为： 83 = 512 另外，也可以记为 这时的一次性添入中奖的概率就应该是： （当然，同一匹马同时获得1，2，3名的情况在现实中是不存在的）另一个来自数字技术的例子，在二进制中只有0和1两种状态，一个有位的二进制数字可以有2x种排列方式，也即可以表达2x个不同的数字。 2 组合
和排列不同的是，在组合中取出元素的顺序则不在考虑之中。从个元素中取出个元素，这个元素可能出现的组合数为： 最常见的例子应该是六合彩游戏了。在六合彩游戏中从49个球中取出6个进行组合的可能性一共有： 如同排列，上面的例子是建立在如下前提的(即球从摇奖机中出来后不再放回去，或者说组合不发生重复)，但如果球摇出来后再放回摇奖机中，这时的组合的可能性则是： 类似的例子比如连续掷两次骰子，获得的两个点数的组合可能性一共有： 另外也可以记为
组合数学题库答案.docx
填空题 1．将 5 封信投入 3 个邮筒，有 _____243_种不同的投法． 2． 5 个男孩和 4 个女孩站成一排。如果没有两个女孩相邻，有43200方法． 3． 22 件产品中有 2 件次品，任取 3 件，恰有一件次品方式数为__ 380 ______． 4．( x y)6所有项的系数和是_64_ _．答案：645．不定方程 x1x2x3 2 的非负整数解的个数为 _ 6 ___． 6 ．由初始条件 f (0)1, f (1) 1 及递推关系 f ( n2) f (n1) f ( n) 确定的数列{ f (n)} ( n0) 叫做Fibonacci数列 10 7．（ 3x-2y ）20的展开式中 x10y10的系数是c20310( 2)10． 8．求 6 的 4 拆分数P4(6)2． 9．已知在Fibonacci数列中，已知 f (3)3,f (4)5, f (5) 8 ，试求Fibonacci 数f (20)10946 10 ．计算P4(12) 4 P4 (12)P k (12)P1 (8)P2 (8)P3 (8)P4 (8) k1 34 P1 (8) P2 (8)P k (5)P k (4)14 5 515 k1k 1 11．P4(9)（ D） A． 5 B. 8 C. 10 D. 6 12．选择题 1．集合 A{ a1 , a 2 ,L , a10 } 的非空真子集的个数为（A） C. 1024 2．把某英语兴趣班分为两个小组，甲组有 2 名男同学， 5 名女同学；乙组有 3 名男同学， 6名女同学，从甲乙两组均选出 3 名同学来比赛，则选出的 6 人中恰有 1 名男同学的方式数是（ D ） A． 800 B. 780 C. 900 D.850 3．设( x , y) 满足条件x y10 ，则有序正整数对( x, y) 的个数为（D） A. 100 C. 50 4．求( x03x12x2x3 )6中 x02 x13 x2项的系数是（C） B. 60 5．多项式(2 x0x14x2x3 )4中项 x02x12x2的系数是（C） A． 78 B. 104 C. 96 D. 48 6．有 4 个相同的红球， 5 个相同的白球，那么这9 个球有（ B）种不同的排列方式 A. 63 B. 126 C. 252 7．递推关系 f (n ) 4 f ( n1) 4 f (n 2) 的特种方程有重根2，则（ B ）是它的一般解 A．c12n 1c2 2n B.(c1c2n)2 n C.c(1n)2 n D.c1 2n c2 2n 8．用数字 1,2,3,4（数字可重复使用）可组成多少个含奇数个1、偶数个 2 且至少含有一个 3 的n (n1) 位数（）运用指数生产定理 A. 4n 3n ( 1)n B.4n3n14n2n 1 .4n3n( 1)n 4433
组合数学题目及标准答案
组合数学 例1: 将8个“车”放在8×8的国际象棋棋盘上，如果它们两两均不能互吃，那么称8个“车”处于一个安全状态。问共有多少种不同的安全状态? 解：8个“车”处于安全状态当且仅当它们处于不同的8行和8列上。 用一个排列a1,a2,…,a8 ，对应于一个安全状态，使ai 表示第i 行的ai 列上放置一个“车”。这种对应显然是一对一的。因此，安全状态的总数等于这8个数的全排列总数8!＝40320。 例4：n 位客人在晚会上每人与他人握手d 次，d 是奇数。证明n 偶数。 证：由于每一次握手均使握手的两人各增加 一次与他人握手的次数，因此n 位客人与他人握手 次数的总和 nd 是偶数 — 握手次数的2倍。根据奇偶 性质，已知d 是奇数，那么n 必定是偶数。 例４ 从1到2n 的正整数中任取n +1个，则这n +1个数中，至少有一对数，其中一个是另一个的倍数。 证 设n +1个数是a 1, a 2, ···, an +1。每个数去掉一切2的因子，直至剩下一个奇数为止。组成序列r 1, r 2,, ···, rn +1。这n +1个数仍在[1 , 2n ]中，且都是奇数。而[1, 2n ]中只有n 个奇数，故必有ri =rj = r , 则ai = 2αi r , aj = 2αj r 。若ai ＞aj ，则ai 是aj 的倍数。 例5 设a 1, a 2, ···, am 是正整数，则至少存在一对k 和l , 0≤k
排列组合测试题(含答案)
排例组合专题训练 1． 将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有A ．81 B ．64 C ．12 D ．14 2．5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有 A ．33A B ．334A C ．523533A A A - D ．23113 23233A A A A A + 3．,,,,a b c d e 共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a 不能当副组长，不同的选法总数是 A.20 B ．16 C ．10 D ．6 4．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是 A ．男生2人女生6人 B ．男生3人女生5人 C ．男生5人女生3人 D ．男生6人女生2人. 5．在8 2 x ? ?的展开式中的常数项是A.7 B ．7- C ．28 D ．28- 6．5 (12)(2)x x -+的展开式中3 x 的项的系数是A.120 B ．120- C ．100 D ．100- 7．22n x ???展开式中只有第六项二项式系数最大,则展开式中的常数项是 A ．180 B ．90 C ．45 D ．360 8．由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 A ．60个 B ．48个 C ．36个 D ． 24个 9．3张不同的电影票全部分给10个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是 A ．1260 B ．120 C ．240 D ．720 10．n N ∈且55n <,则乘积(55)(56)(69)n n n ---L 等于 A ．5569n n A -- B ．15 69n A - C ．15 55n A - D ．14 69n A - 11．从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为 A ．120 B ．240 C ．280 D ．60 12．把10 )x -把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是 A ．135 B ．135- C ．- D ． 13．2122n x x ??+ ?? ?的展开式中，2 x 的系数是224，则2 1x 的系数是A.14 B ．28C ．56 D ．112 14．不共面的四个定点到面α的距离都相等，这样的面α共有几个A ．3 B ．4 C ．6 D ．7
最新小学数学组合图形试题及答案
一、填空题 1.如图,阴影部分的面积是 . 2 1 2 2.大圆的半径比小圆的半径长6厘米,且大圆半径是小圆半径的4倍.大圆的面积比小圆的面积大平方厘米. 3.在一个半径是 4.5厘米的圆中挖去两个直径都是2厘米的圆.剩下的图形的面积是平方厘米.(π取3.14,结果精确到1平方厘米) 4.右图中三角形是等腰直角三角形,阴影部分的面 积是 (平方厘米). 5.如图所求,圆的周长是1 6.4厘米,圆的 面积与长方形的面积正好相等.图中阴影部分 π 的周长是厘米.) 14 .3 (= 6.有八个半径为1厘米的小圆,用它们的圆周的一部分连成一个花瓣图形 π,那么花瓣图形的面积(如图).图中黑点是这些圆的圆心.如果圆周率1416 .3 = 是平方厘米.
7.已知:ABC D 是正方形, ED =DA =AF =2厘米,阴影部分的面积是 . 8.图中,扇形BAC 的面积是半圆ADB 的面积的3 11倍,那么,CAB 是 度. 9. 算出圆内正方形的面积为 . 10.右图是一个直角等腰三角形, 直角边长2厘米,图中阴影部分面积是 平方厘米 11一个扇形圆心角120,以扇形的半径为边长画一个正方形,这个正方形的面积是120平方厘米.这个扇形面积是 . 12.如图所示,以B 、C 为圆心的两个半圆的直径都是2厘米,则阴影部分的周长是 厘米.(保留两位小数)
13.三角形ABC 是直角三角形,阴影部分①的面积比阴影部分②的面积小28 长 厘米 . 积为2平方厘米,等腰直角三角形的面积 15.扇形的面积是31.4平方厘米,它所在圆的面积是157平方厘米,这个扇形的圆心角是 度. 16.图中扇形的半径OA =OB =6厘米.45=∠AOB , AC 垂直OB 于C ,那么图中阴影部分的面积是 平方厘米.)14.3(=π 17.右图中正方形周长是20厘米.图形的总面积是 平方厘米. 45
组合数学
组合数学论文 现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的组合数学。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。而组合数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。计算机之所以可以被称为电脑，就是因为计算机被人编写了程序，而程序就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。正是因为有了组合算法才使人感到，计算机好像是有思维的。组合数学不仅在软件技术中有重要的应用价值，在企业管理，交通规划，战争指挥，金融分析等领域都有重要的应用。在美国有一家用组合数学命名的公司，他们用组合数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功。此外，试验设计也是具有很大应用价值的学科，它的数学原理就是组合设计。用组合设计的方法解决工业界中的试验设计问题，在美国已有专门的公司开发这方面的软件。 广义的组合数学就是离散数学，离散数学是狭义的组合数学和图论、代数结构、数理逻辑等的总称。但这只是不同学者在叫法上的区别。总之，组合数学是一门研究离散对象的科学。随着计算机科学的日益发展，组合数学的重要性也日渐凸显，因为计算机科学的核心内容是使用算法处理离散数据。 狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态（也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面的问题。组合数学的主要内容有组合计数、组合设计、组合矩阵、组合优化等。 组合数学中有几个著名的问题： 地图着色问题：对世界地图着色，每一个国家使用一种颜色。如果要求相邻国家的颜色相异，是否总共只需四种颜色？这是图论的问题。 船夫过河问题：船夫要把一匹狼、一只羊和一棵白菜运过河。只要船夫不在场，羊就会吃白菜、狼就会吃羊。船夫的船每次只能运送一种东西。怎样把所有东西都运过河？ 这是线性规划的问题。 中国邮差问题：由中国组合数学家管梅谷教授提出。邮递员要穿过城市的每一条路至少一次，怎样行走走过的路程最短？这不是一个NP完全问题，存在多项式复杂度算法：先求出度为奇数的点，用匹配算法算出这些点间的连接方式，然后再用欧拉路径算法求解。这也是图论的问题。 货郎问题：一个货郎要去若干城镇卖货，然后会到出发地，给定各个城镇之间的旅行时间，应怎么样计划他的路线，使他可以去每个城镇而且所用的时间最短。这个问题至今都没有有效的算法。 这几个问题将组合数学研究的问题具体表现出来，同时也可以看出他在我们生活中有着很重要的地位。 组合数学中主要可以分成以下几个部分：排列组合与容斥原理、二项式定理、递推关系与生成函数、polya定理。下面我将以这四个部分分别介绍组合数学的各方面问题。 1、排列组合与容斥原理： 排列组合里面的4个重要的基本原理：加法原理、乘法原理、减法原理、除法原理 前面两个最为基本，后面两个是根据前两个派生出来的。乘法原理有的时候的应用很巧妙，可以作为一种打开思路的办法。
组合数学 试题及答案11
组合数学试题 共 5 页 ，第 1 页 电子科技大学研究生试卷 （考试时间： 至 ，共 2 小时） 课程名称 组合数学 教师 学时 40 学分 2 教学方式 讲授 考核日期 2011 年 11 月 日 成绩 考核方式： （学生填写） 一、(共10分) 1、（4分）名词解释：广义Ramsey 数R (H 1，H 2，…，H r )。 2、（6分）证明：R(C 4,C 4) ≥ 6，其中C 4为4个顶点的无向回路图。 解： 1、使得K n 对于(H 1，H 2，…，H r )不能r －着色的最小正整数n 称为广义Ramsey 数R (H 1，H 2，…，H r )。-----------------4分 2、如下图所示的5个顶点的完全图就没有一个纯的C 4，实线和虚线分别代表不同的颜色。 -----------------4分 故R(C 4,C 4)>=6。-----------------2分 二、(16分)未来5届欧盟主席职位只能有法国、德国、意大利、西班牙、葡萄牙五国的人当选，一个国家只能当选一次。假如法国只能当选第一届、第二届或者第三届，德国不能当选第二届和第三届，意大利不能当选第一届，西班牙不能当选第五届，葡萄牙只能能当选第二届、第四届或者第五届。问未来的5届欧盟主席职位有多少种不同的当选方案？ 解：原问题可模型化为一个5元有禁位的排列. 其禁区棋盘C 如下图的阴影部分。 -----------------4分 学 号 姓 名 学 院 ……………………密……………封……………线……………以……………内……………答……………题……………无……………效……………………
组合数学前沿介绍
组
合
数
学
Combinatorics
马昱春 MA Yuchun myc@https://www.360docs.net/doc/664289574.html,
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组
合
数
学
Combinatorics
组合数学:有人认为广义的组合数学就是离散数学，也有人认 为离散数学是狭义的组合数学和图论、代数结构、数理逻辑 等的总称。但这只是不同学者在叫法上的区别。总之，组合 数学是一门研究离散对象的科学。
https://www.360docs.net/doc/664289574.html,/zh-cn/%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6
Combinatorics: Combinatorics is a branch of pure mathematics concerning the study of discrete (and usually finite) objects. It is related to many other areas of mathematics, such as algebra, probability theory, ergodic theory and geometry, as well as to applied subjects in computer science and statistical physics.
https://www.360docs.net/doc/664289574.html,/wiki/Combinatorics 2
组合数学与离散数学
? 狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态（ 也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面的 问题。
– 组合数学的主要内容有组合计数、组合设计、组合矩 阵、组合优化等。
? 离散数学(Discrete mathematics)是数学的几个分 支的总称，以研究离散量的结构和相互间的关系 为主要目标，其研究对象一般地是有限个或可数 无穷个元素；因此它充分描述了计算机科学离散 性的特点。
– 离散数学通常研究的领域包括：数理逻辑、集合论、 关系论、函数论、组合学、代数系统与图论。 。
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组合数学 试题及答案07
组合数学试题 共 4 页 ，第 1 页 电子科技大学研究生试卷 （考试时间： 19：30 至 21：30 ，共 2 小时） 课程名称 组合数学 教师 学时 40 学分 2 教学方式 讲授 考核日期 2007 年 11 月 27 日 成绩 考核方式： （学生填写） 一、填空题（每空3分，共27分） 1．将6本无区别的书放入3个无区别的箱子中的放法数为 7 ，又每个箱子都不为空的放法数为 3 。 2．将8个有区别的球放入6个无区别的盒子中,每个盒子不空的放法数为 266 ；将8个有区别的球放入7个无区别的盒子中, 每个盒子不空的放法数又为28 。（注：将9个有区别的球放入7个无区别的盒子中, 每个盒子不空的放法数为462）。 3．现有4个女士6个男士围圆桌就坐，则其中女士两两不相邻的入座方式数有 5!·6·5·4·3= 43200 种； 所有女士坐在一起的方式数有 6!·4!= 17280 种。 4．将单词〝motorola 〞中的所有字母作排列，其排列方式数有 8!/3!＝6720 种；其中所有〝o 〞均不相邻的排列方式数有 ???? ???36!5＝2400 种。（两问均只要求给出解的表达式，不必算出最终结果）。 5. 方程???≥≥≥=+++0,1,2123214321x x x x x x x 的整数解的个数为 F(4,9)=220 。 学 号 姓 名 学 院 …… … …… …… …密 …… …… … 封 … … … … … 线 … … … … … 以 … … … … … 内 … … … … … 答 … …… … … 题 … …… … … 无 … … … … … 效… … … …… …… …
组合数学作业答案1-2章2016
组合数学作业 第一章引言 Page 13, ex3,4,7,30 ex3. 想象一座有64个囚室组成的监狱，这些囚室被排列成8 8棋盘。所有相邻的囚室间都有门。某角落处意见囚室例的囚犯被告知，如果他能够经过其它每一个囚室正好一次之后，达到对角线上相对的另一间囚室，那么他就可以获释。他能获得自由吗？ 解：不能获得自由。 方法一：对64个囚室用黑白两种颜色染色，使得横和竖方向相邻的囚室颜色不同。则对角线上两个囚室颜色为同黑或同白。总共偶数个囚室，若能遍历且不重复，则必然是黑出发白结束，矛盾。 方法二：64个囚室，若要经过每个囚室正好一次，需要走63步，即奇数步。 不妨假设该囚犯在第1行第1列，那么到第8行第8列，横着的方向需要走奇数步，竖着的方向需要走奇数步，即总共需要偶数步。 所以不能恰好经过每个囚室一次到达对角线上的囚室。 ex4. (a) 设f(n)是用多米诺牌(2-牌)对2×n棋盘作完美覆盖的个数。估计一下f(1),f(2),f(3),f(4)和f(5). 试寻找(或证明)这个计数函数f满足的简单关系。利用这个关系计算f(12)。 (b) 设g(n)是用多米诺牌(2-牌)对3×n棋盘作完美覆盖的个数。估计g(1),g(2),…,g(6). 解：(a) f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3, f(n+2)=f(n+1)+f(n) f(4)=f(3)+f(2)=5, f(5)=f(4)+f(3)=8 f(6)=f(5)+f(4)=13 f(7)=f(6)+f(5)=21 f(8)=f(7)+f(6)=34 f(9)=f(8)+f(7)=55 f(10)=f(9)+f(8)=89 f(11)=f(10)+f(9)=144 f(12)=f(11)+f(10)=233 (b) g(1)=0, g(2)=3, g(3)=0, g(4)=9+2=11, g(n+4)=4g(n+2)-g(n), g(5)=0, g(6)=41. ex7. 设a和b是正整数，且a是b的因子。证明m×n棋盘有a×b的完美覆盖当且仅当a 既是m又是n的因子，而b是m或n的因子。(提示: 把a×b牌分割成a个1×b牌。) 解：充分性。当a既是m又是n的因子，而b是m或n的因子，则m×n棋盘有a×b的平凡完美覆盖。 必要性。假设m×n棋盘有a×b牌的完美覆盖。则m×n棋盘必有b牌的完美覆盖。根据书中的定理，b是m的因子或n的因子。 下面证明a既是m的因子又是n的因子。 方法一: 因为a是b的因子，所以a×b牌可以分割成b/a个a×a牌。m×n棋盘有a×a的完美覆盖，则必然有a×a牌的完美覆盖。而a×a牌是正方形的，所以只有唯一的一种平凡覆盖方式。从而m是a的倍数，n也是a的倍数。 方法二: 因为a是b的因子，不妨设b=ka。由m×n棋盘有a×b牌的完美覆盖，可任取一个完美覆盖。设第一行的n个方格由p个a×b牌和q个b×a牌盖住，则有n=pb+qa=(pk+q)a，所以n是a的倍数。同理，m也是a的倍数。
排列组合练习试题和答案解析86421
《排列组合》 一、排列与组合 1.从9人中选派2人参加某一活动，有多少种不同选法 2.从9人中选派2人参加文艺活动，1人下乡演出，1人在本地演出，有多少种不同选派方法 3. 现从男、女8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全校“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女同学的人数是 A.男同学2人，女同学6人 B.男同学3人，女同学5人 C. 男同学5人，女同学3人 D. 男同学6人，女同学2人 4.一条铁路原有m个车站，为了适应客运需要新增加n个车站（n>1），则客运车票增加了58种（从甲站到乙站与乙站到甲站需要两种不同车票），那么原有的车站有 个个个个 5．用0，1，2，3，4，5这六个数字， （1）可以组成多少个数字不重复的三位数 （2）可以组成多少个数字允许重复的三位数 （3）可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数 （4）可以组成多少个数字不重复的小于1000的自然数 （5）可以组成多少个大于3000，小于5421的数字不重复的四位数 二、注意附加条件 人排成一列（1）甲乙必须站两端，有多少种不同排法 （2）甲乙必须站两端，丙站中间，有多少种不同排法 2.由1、2、3、4、5、6六个数字可组成多少个无重复数字且是6的倍数的五位数 3.由数字1，2，3，4，5，6，7所组成的没有重复数字的四位数，按从小到大的顺序排列起来，第379个数是
4. 设有编号为1、2、3、4、5的五个茶杯和编号为1、2、3、4、5的五个杯盖，将五个杯盖盖在五个茶杯上，至少有两个杯盖和茶杯的编号相同的盖法有 种 种 种 种 5.从编号为1，2，…，10,11的11个球中取5个，使这5个球中既有编号为偶数的球又有编号为奇数的球，且它们的编号之和为奇数，其取法总数是 种 种 种 种 6.从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有1双同色的取法有 种 种 种 种 7. 用0，1，2，3，4，5这六个数组成没有重复数字的四位偶数，将这些四位数从小到大排列起来，第71个数是 。 三、间接与直接 1.有4名女同学，6名男同学，现选3名同学参加某一比赛，至少有1名女同学，由多少种不同选法 2. 6名男生4名女生排成一行，女生不全相邻的排法有多少种 3.已知集合A 和B 各12个元素，A B I 含有4个元素，试求同时满足下列两个条件的集合C 的个数：（1）()C A B ?U 且C 中含有三个元素；（2）C A ≠?I ,?表示空集。 4. 从5门不同的文科学科和4门不同的理科学科中任选4门，组成一个综合高考科目组，若要求这组科目中文理科都有，则不同的选法的种数 种 种 种 种 5.四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点不同取法有多少种 6. 以正方体的8个顶点为顶点的四棱锥有多少个 7. 对正方体的8个顶点两两连线，其中能成异面直线的有多少对 四、分类与分步 1.求下列集合的元素个数． （1）{(,)|,,6}M x y x y N x y =∈+≤； （2）{(,)|,,14,15}H x y x y N x y =∈≤≤≤≤．
组合数学
组合数学概述 组合数学，又称为离散数学，但有时人们也把组合数学和图论加在一起算成是离散数学。组合数学是计算机出现以后迅速发展起来的一门数学分支。计算机科学就是算法的科学，而计算机所处理的对象是离散的数据，所以离散对象的处理就成了计算机科学的核心，而研究离散对象的科学恰恰就是组合数学。组合数学的发展改变了传统数学中分析和代数占统治地位的局面。现代数学可以分为两大类：一类是研究连续对象的，如分析、方程等，另一类就是研究离散对象的组合数学。组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位，在其它的学科中也有重要的应用，如计算机科学、编码和密码学、物理、化学、生物等学科中均有重要应用。微积分和近代数学的发展为近代的工业革命奠定了基础。而组合数学的发展则是奠定了本世纪的计算机革命的基础。计算机之所以可以被称为电脑，就是因为计算机被人编写了程序，而程序就是算法，在绝大多数情况下，计算机的算法是针对离散的对象，而不是在作数值计算。正是因为有了组合算法才使人感到，计算机好象是有思维的。 组合数学不仅在软件技术中有重要的应用价值，在企业管理，交通规划，战争指挥，金融分析等领域都有重要的应用。在美国有一家用组合数学命名的公司，他们用组合数学的方法来提高企业管理的效益，这家公司办得非常成功。此外，试验设计也是具有很大应用价值的学科，它的数学原理就是组合设计。用组合设计的方法解决工业界中的试验设计问题，在美国已有专门的公司开发这方面的软件。最近，德国一位著名组合数学家利用组合数学方法研究药物结构，为制药公司节省了大量的费用，引起了制药业的关注。 在1997年11月的南开大学组合数学研究中心成立大会上，吴文俊院士指出， 每个时代都有它特殊的要求，使得数学出现一个新的面貌，产生一些新的数学分支，组合数学这个新的分支也是在时代的要求下产生的。最近，吴文俊院士又指出，信息技术很可能会给数学本身带来一场根本性的变革，而组合数学则将显示出它的重要作用。杨乐院士也指出组合数学无论在应用上和理论上都具有越来越重要的位置，它今后的发展是很有生命力，很有前途的，中国应该倡导这个方面的研究工作。万哲先院士甚至举例说明了华罗庚，许宝禄，吴文俊等中国老一辈的数学家不仅重视组合数学，同时还对组合数学中的一些基本问题作了重大贡献。迫于中国组合数学发展自身的需要，以及中国信息产业发展的需要，在中国发展组合数学已经迫在眉睫，刻不容缓。 2. 组合数学与计算机软件 随着计算机网络的发展，计算机的使用已经影响到了人们的工作，生活，学习，社会活动以及商业活动，而计算机的应用根本上是通过软件来实现的。我在美国听到过一种说法，将来一个国家的经济实力可以直接从软件产业反映出来。我国在软件上的落后，要说出根本的原因可能并不是很简单的事，除了技术和科学上
组合数学
组合数学 一．前言 我们已经在数学课上学习了有关排列与组合的一些知识。实际上，这些只是组合数学这一数学大家庭中的沧海一粟。广义的组合数学等价于整个离散数学，囊括了离散计数、图论、整数规划等等繁杂且深奥的内容。 组合数学来源于实际，不少的讨论引人入胜，也有不少的讨论让人抓狂。本文将结合部分我们做过的数学作业中的题目，对他们进行深入讨论，并给出更通用更简便的解法，并推及一般。 二．基础知识 1．一一对应 生活中有许多有关“一一对应”的例子：“一个萝卜一个坑”，立方烷的二氯代物同分异构体数等于立方烷的六氯代物同分异构体数。 一一对应是对于两个集合而言的。如果两个集合构成了一一对应关系，那么这两个集合的元素数量一定相等。这是一一对应最基本的性质。 一般的，若满足性质α的集合A 与满足性质β的集合B 构成一一对应关系，则一定有： ?a ∈A ,?!b ∈B ,a →b ?b ∈B ,?!a ∈A ,b →a 其中?!的含义为“存在唯一的”。上面的两个关系式为使A 和B 一一对应的充要条件。 我们知道组合数的一个性质：C n +m m =C n +m n ，下面我们用一一对应的观点解释这一性质。 有(n+m)个人排成一队，选取m 个人向前一步，并将行从前向后编号1和2，这所有的情况构成集合A 。同样的，选取n 个人向前一步，并将行从前向后编号1和2，这所有的
情况构成集合B 。对于A 中的任何一种情况，将行编号调换，一定可以得到一个B 中的元素；同样的，对于B 中的任何一种情况，将行编号调换，一定可以得到一个A 中的元素。所以集合A 与集合B 构成了一一对应关系。那么A 的元素数量一定等于B 的元素数量。 一一对应是计数问题的一个利器。它可以将较难的计数问题转化为另一个较简单的计数问题。使用一一对应时，一定要确定两个对象满足了上述的两个要求。 2．组合的几何意义 1）组合的几何意义 C n +m m 表示在一个n 行m 列的方格图中， 从左下角走到右上角，期间只能向上或向右走的方案数。 证明：从(0,0)走到(n,m)需要走(n+m)步，在这(n+m)步之中选取m 步向上走，其余向 右走，共C n +m m 种取法。 每一个这样的选取对应一个从(0,0)走到(n,m)的方案，而每一个从(0,0)走到(n,m)的方案对应一个这样的选取。于是，我们确定了这两者的一一对应关系，也就确定了它们之间的数字关系。 2）应用 组合的几何意义大多用来加深对组合性质与运算的理解，并简化一些复杂组合公式的证明的过程，使之更加容易接受。 例2-2-1.C n r =C n?1r +C n?1r?1（杨辉三角） C n r 看作是(0,0)点到(n ?r,r)点的路径数，C n?1r 看作是(0,0)点到(n ?r ?1,r)点的路径数，C n?1r?1看作是(0,0)点到(n ?r,r-1)点的路径数。即从(0,0)点到(n ?r,r)点的路径由两部分组成，一部分是从(0,0)到(n ?r,r ?1)点再向y 轴方向走一步；另一部分是从(0,0)点到(n ?r ?1,r)点的路径，再向x 轴方向走一步。 例2-2-2.C m 0+C m 1+C m 2+?+C m m =2m
排列组合测试题含答案
排列组合 2016.11.16 一、选择题： 1． 将3个不同的小球放入4个盒子中，则不同放法种数有 A ．81 B ．64 C ．12 D ．14 2．5个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法种数有 A ．33A B ．334A C ．523533A A A - D ．23113 23233A A A A A + 3．,,,,a b c d e 共5个人，从中选1名组长1名副组长，但a 不能当副组长，不同的选法总数是 A.20 B ．16 C ．10 D ．6 4．现有男、女学生共8人，从男生中选2人，从女生中选1人分别参加数学、物理、化学三科竞赛，共有90种不同方案，那么男、女生人数分别是 A ．男生2人女生6人 B ．男生3人女生5人 C ．男生5人女生3人 D ．男生6人女生2人. 5． 6． A ．180 B ．90 C ．45 D ．360 6．由数字1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有 A ．60个 B ．48个 C ．36个 D ． 24个 7．3张不同的电影票全部分给10个人,每人至多一张,则有不同分法的种数是 A ．1260 B ．120 C ．240 D ．720 8．n N ∈且55n <,则乘积(55)(56) (69)n n n ---等于 A ．5569n n A -- B ．15 69n A - C ．15 55n A - D ．14 69n A - 9．从不同号码的5双鞋中任取4只，其中恰好有1双的取法种数为 A ．120 B ．240 C ．280 D ．60 10．不共面的四个定点到面α的距离都相等，这样的面α共有几个 A ．3 B ．4 C ．6 D ．7 11．设含有10个元素的集合的全部子集数为S ，其中由3个元素组成的子集数为T ，则T S 的值为 A. 20128 B ．15128 C ．16128 D ．21128 15．4名男生，4名女生排成一排，女生不排两端，则有 种不同排法. （8640 ） 17．在1,2,3,...,9的九个数字里，任取四个数字排成一个首末两个数字是奇数的四位数，
离散数学(第一讲)
一、离散数学介绍 离散数学是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。通过离散数学的学习，不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。 离散数学常常被分成三门课程进行教学，即集合论与图论、代数结构与组合数学、数理逻辑。 其中各部分内容在本书中又有如下涉及： 1．集合论部分：集合及其运算(3.1)、二元关系(3.2)与函数(3.5)、自然数及自然数集、集合的基数注：集合这个概念比较了解，在数学上，基数(cardinal number)也叫势(cardinality)，指集合论中刻画任意集合所含元素数量多少的一个概念。这是康托尔在1874年～1884年引入最原始的集合论（现称朴素集合论）时, 给出的基数概念。他最先考虑的是集合{1,2,3} 和 {2,3,4}，它们并非相同，但有相同的基数。 那何谓两个集合有相同数目的元素？ 康托尔的答案，是所谓一一对应，即把两个集合的元素一对一的排起来，若能做到，两个集合的基数自然相同。 这个答案虽然简单，却起到了革命性的作用，因为用相同的方法即可比较任意集合，包括无穷集合的大小。 2．图论部分(第5章)：图的基本概念、欧拉图与哈密顿图、树、图的矩阵表示、平面图、图着色、支配
集、覆盖集、独立集与匹配、带权图及其应用3．代数结构部分（第6、7章）：代数系统的基本概念、半群与独异点、群、环与域、格与布尔代数4．组合数学部分：组合存在性定理、基本的计数公式、组合计数方法、组合计数定理 组合数学在本书中没有介绍，而关于组合数学的问题却是十分有趣的，可以供大家思考一下。 组合数学中的著名问题 ?计算一些物品在特定条件下分组的方法数目。这些是关于排列、组合和整数分拆的。 ?地图着色问题：对世界地图着色，每一个国家使用一种颜色。如果要求相邻国家的颜色相异，是 否总共只需四种颜色？这是图论的问题。 ?船夫过河问题：船夫要把一匹狼、一只羊和一棵白菜运过河。只要船夫不在场，羊就会吃白菜、 狼就会吃羊。船夫的船每次只能运送一种东西。 怎样把所有东西都运过河？这是线性规划的问 题。 ?中国邮差问题：由中国组合数学家 ?管梅谷教授① ?提出。邮递员要穿过城市的每一条路至少一次，怎样行走走过的路程最短？这不是一个NP完全 问题，存在多项式复杂度算法：先求出度为奇数 的点，用匹配算法算出这些点间的连接方式，然 后再用欧拉路径算法求解。这也是图论的问题。 ?任务分配问题（也称婚配问题）：有一些员工要完成一些任务。各个员工完成不同任务所花费的时 间都不同。每个员工只分配一项任务。每项任务 只被分配给一个员工。怎样分配员工与任务以使 所花费的时间最少？这是线性规划的问题。 ?如何构作幻方。
排列组合典型题大全附答案解析
排列组合典型题大全 一．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重 复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”， 则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使用住店处理的策 略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数 【例1】（1）有4名学生报名参加数学、物理、化学竞赛，每人限报一科，有多少种不同的报名方法？ （2）有4名学生参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？ （3）将3封不同的信投入4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？ 【解析】：（1）43（2）34（3）34 【例2】把6名实习生分配到7个车间实习共有多少种不同方法？ 【解析】：完成此事共分6步，第一步；将第一名实习生分配到车间有7种不同方案， 第二步：将第二名实习生分配到车间也有7种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同方案. 【例3】8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A、38 B、83 C、38A D、 3 C 8 【解析】：冠军不能重复，但同一个学生可获得多项冠军，把8名学生看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意一家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。所以选A 1、4封信投到3个信箱当中，有多少种投法？ 2、4个人争夺3项冠军，要求冠军不能并列，每个人可以夺得多项冠军也可以空手而还，问最后有多少种情况？ 3、4个同学参加3项不同的比赛 （1）每位同学必须参加一项比赛，有多少种不同的结果？ （2）每项竞赛只许一名同学参加，有多少种不同的结果？ 4、5名学生报名参加4项比赛，每人限报1项，报名方法的种数有多少？又他们争夺这4项
组合数学题库答案
填空题 1．将5封信投入3个邮筒，有_____243 _种不同的投法． 2．5个男孩和4个女孩站成一排。如果没有两个女孩相邻，有 43200 方法． 3．22件产品中有2件次品，任取3件，恰有一件次品方式数为__ 380 ______． 4．6()x y +所有项的系数和是_64_ _．答案：64 5．不定方程1232++=x x x 的非负整数解的个数为_ 6 ___． 6．由初始条件f f (0)1,(1)1==及递推关系)()1()2(n f n f n f ++=+确定的数列 f n n {()}(0)≥叫做Fibonacci 数列 7．（3x-2y ）20 的展开式中x 10y 10的系数是 10101020 )2(3-c ． 8．求6的4拆分数P 4(6)= 2 ． 9．已知在Fibonacci 数列中，已知f f f (3)3,(4)5,(5)8===，试求Fibonacci 数f (20)=10946 10．计算P 4(12)= k k P P P P P P 4 412341 (12)(12)(8)(8)(8)(8) ===+++∑k k k k P P P P 34 121 1 (8)(8)(5)(4)145515===+++=+++=∑∑ 11．P 4(9)=（ D ）A ．5 B. 8 C. 10 D. 6 12．选择题 1．集合A a a a 1210{,,,}=的非空真子集的个数为（ A ）A.1022 B.1023 C. 1024 D.1021 2．把某英语兴趣班分为两个小组，甲组有2名男同学，5名女同学；乙组有3名男同学，6名女同学，从甲乙两组均选出3名同学来比赛，则选出的6人中恰有1名男同学的方式数是（ D ） A ．800 B. 780 C. 900 D. 850 3．设x y (,)满足条件x y 10+≤，则有序正整数对x y (,)的个数为（ D ） A. 100 B.81 C. 50 D.45 4．求60123(32)+++x x x x 中x x x 23 012项的系数是（ C ） A.1450 B. 60 C.3240 D.3460 5．多项式40123(24)x x x x +++中项2 2012x x x ??的系数是（ C ） A ．78 B. 104 C. 96 D. 48 6．有4个相同的红球，5个相同的白球，那么这9个球有（ B ）种不同的排列方式 A. 63 B. 126 C. 252 D.378 7．递推关系f n f n f n ()4(1)4(2)=---的特种方程有重根2，则（B ）是它的一般解 A ．n n c c 11222-+ B. n c c n 12()2+ C. n c n (1)2+ D. n n c c 1222+ 8．用数字1,2,3,4（数字可重复使用）可组成多少个含奇数个1、偶数个2且至少含有一个3的n n (1)>位数（ ）运用指数生产定理 A.n n n 43(1) 4 -+- B. n n 4314-+ C.n n 4213 -+ D. n n n 43(1)3-+-