一次方程与一次不等式
第一轮复习（10） 一次方程与一次不等式（组）
【
教学目标】
重点:
应用一元一次不等式与一元一次方程、一次函数解决问题． 难点:
理解一元一次不等式与一元一次方程、一次函数的内在联系． 【教学流程】
【典型例题】
1.已知2x =是关于x 的方程352
x
x a +=
-的解,求2a a -的值.
2.解方程:x x x 65
124312+=--+ 3.如果a b 、满足21026
a b a b +=??
+=?,求3a b -的值.
4.在解方程组21222ax y x by +=??-=?时,小杰看错了方程组的a ,得方程组的解为2
6
x y =-??=?,
小丽看错了方程组中的b, 得方程组的解为4
2x y =??=?,求原方程组中a 和b 的值.
5. 某汽车厂一车间有39名工人，车间接到加工两种汽车零件的生产任务，每
个工人每天能加工甲种零件8个，或加工乙种零件15个.每一辆汽车只需甲零件6个和乙零件5个，为了能配套生产，每天应如何安排工人生产？
6.当a 在什么范围取值时，关于x 的不等式(2-a)x>1的解集为x< a
-21?
7.求使代数式261-x 的值不大于代数式12
1
-x 的值的最小整数x.
8.解不等式组23324646x x
x x --?>?
??≤-?
【基础训练】
1、方程 2x=0 的解是_______ .
2、不等式的?
??<->53
x x 解集是__________.
3、若a>b , c<0 , 则ac ____ bc .（填“>”“<”或“=”）
4、若不等式1)3(<-x a 的解集是3
1
->a x , 则a 的取值是__________
5、代数式2(1- 4x) 不小于3(x- 6) -20时的x 最大整数解是______.
6、已知???==21
y x 是方程13-=-my x 的一个解，则m=________.
7、写出一个以???==21
y x 为解得二元一次方程：_______.
8、解下列方程组:
1）???=+=-5032y x y x ; 2）??
???-=+-=+-=+6
84
x z z y y x .
方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题含答案
方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题含答案 一、选择题 1．某果园2011年水果产量为100吨，2013年水果产量为144吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x ，则根据题意可列方程为（ ） A ．144（1﹣x ）2=100 B ．100（1﹣x ）2=144 C ．144（1+x ）2=100 D ．100（1+x ）2=144 【答案】D 【解析】 试题分析：2013年的产量=2011年的产量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可． 解：2012年的产量为100（1+x ）， 2013年的产量为100（1+x ）（1+x ）=100（1+x ）2， 即所列的方程为100（1+x ）2=144， 故选D ． 点评：考查列一元二次方程；得到2013年产量的等量关系是解决本题的关键． 2．上海世博会的某纪念品原价168元，连续两次降价a %后售价为128元，下面所列方程中正确的是( ) A ．168(1＋a %)2＝128 B ．168(1－a %)2＝128 C ．168(1－2a %)＝128 D ．168(1－a 2%)＝128 【答案】B 【解析】 【分析】 【详解】 解：第一次降价a%后的售价是168（1-a%)元， 第二次降价a%后的售价是168（1-a%)(1-a%)=168(1-a%)2； 故选B. 3．将方程()2 2230x x x m n --=-=化为的形式，指出,m n 分别是（ ） A ．1和3 B ．-1和3 C ．1和4 D ．-1和4 【答案】C 【解析】 【分析】 此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用，把左边配成完全平方式，右边化为常数． 【详解】 移项得x 2-2x=3， 配方得x 2-2x+1=4， 即（x-1）2=4， ∴m=1，n=4．
《二次函数与一元二次方程、一元二次不等式》复习题汇编
《二次函数与一元二次方程、一元二次不等式》复习题汇编 【知识梳理】： 1.二次函数与一元二次方程关系非常密切，可以相互转化，若已知函数值，可以利用一元二次方程的知识求自变量的值。 2.从“形”的方面看，函数2 y ax bx c =++的图像与 轴交点的横坐标，即为方程 20ax bx c ++=的解；从“数”的方面看，当二次函数2y ax bx c =++的函数值为 时，相应的自变量的值即为方程2 0ax bx c ++=的解。 3.抛物线2 y ax bx c =++与x 轴有 个， 个， 个交点，相应的一元二次方程 20ax bx c ++=有两个不相等的实数根，两个相等的实数根，没有实数根；反过来，如 果一元二次方程2 0ax bx c ++=有两个不相等的实数根，两个相等的实数根，没有实数 根，那么抛物线2 y ax bx c =++与x 轴有 个， 个， 个交点。 4.二次函数2 y ax bx c =++与一元二次方程2 的关系如下： 5.直线y=kx+b 与抛物线y ax bx c =++有0个、1个、2个交点，则由方程y ax bx c =++； y=kx+b 联立并消元后的一元二次方程分别满足24b ac -＜0、24b ac -=0、2 4b ac -＞0. 6.二次函数与一元二次不等式的关系也非常密切，当c bx ax ++2 ＞0时，则相应的二次函 数图象2y ax bx c =++上的点位于x 轴的上方；当c bx ax ++2 ＜0时，则相应的二次函 数图象2 y ax bx c =++上的点位于x 轴的下方。 7.抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2 与x 轴两交点为 ()()0021，，，x B x A ，由于1x 、2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故12b x x a +=- 、12c x x a = ； ()()a a ac b a c a b x x x x x x x x AB ?= -=-?? ? ??-=--= -= -=44422 212 212 2121【典型例题】 例1．已知函数()()()() 2 2 113513x x y x x ?--? =?--??≤＞，则使y=k 成立的x 值恰好有三个，则k 的值为（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 例2．已知函数12)3(2++-=x x k y 的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是 A.4 §2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式（第一课时） 导学目标： 1．从函数观点看一元二次方程．会结合一元二次函数的图象，求解一元二次方程． 2．从函数观点看一元二次不等式．会结合一元二次函数图像，求解一元二次不等式． 3．借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式、方程与其相应函数的联系． （预习教材P 51~ P 53，回答下列问题） 情景：学校要在长为8，宽为6 的一块长方形地面上进行绿化， 计划四周种花卉，花卉带的宽度相同， 中间种植草坪(图中阴影部分)为了美观， 现要求草坪的种植面积超过总面积的一半， 此时花卉带的宽度的取值范围是什么? 【知识点一】一元二次不等式的定义 只含有一个未知数，并且未知数最高次数是2 的不等式叫做一元二次不等式. 其一般形式可表示为：2 0ax bx c ++>或2 0ax bx c ++<()0a ≠ 自我检测1：下列不等式中是一元二次不等式的是( ) A ．22 20a x x +≥ B ． 2 1 3x < C ．20x x m -+-≤ D ．32 410x x x +-+> 【知识点二】一元二次不等式的解法 下图是一元二次函数76y x x =--的图像，请根据图像回答： （1）当x 取 时，0y = 当x 取 时，0y < 当x 取 时，0y > 由上面可知： （2）一元二次不等式2 760x x --<的解集为 一元二次不等式2 760x x --<的解集为 有何发现： 第二章 一元二次函数、方程和不等式 - 2 - （3）一元二次方程2760x x --=的解集为 有何发现： 请归纳求解一元二次不等式()2 00ax bx c ++><的解集的步骤？ 自我检测2：一元二次不等式2 20x x -<的解集是 【知识点三】三个二次之间的关系 请根据右图回答： 一元二次方程()2 00ax bx c a ++=≠、 一元二次不等式()2 00ax bx c a ++>≠ 与其对应的一元二次函数()2 0y ax bx c a =++≠图像的关系？ （1）一元二次方程()2 00ax bx c a ++=≠的两根为21,x x 是一元二次函数 ()20y ax bx c a =++≠图像与x 轴 ． （2）一元二次方程()2 00ax bx c a ++>≠的解集的端点是一元二次方程 ()200ax bx c a ++=≠的 ． （3）一元二次方程()2 00ax bx c a ++=≠的两根为21,x x ，则 ． 自我检测3：不等式2 50ax x c ++>的解集为1 13 2x x ??<≠恒成立的充要条件是：0a >且2 40()b ac x -<∈R ． （2）2 0(0)ax bx c a ++<≠恒成立的充要条件是：0a <且2 40()b ac x -<∈R ． 怀文中学2014—2015学年度第一学期随堂练习 初 三 数 学（5.3二次函数与一元二次方程和不等式(1)） 设计：吴兵 审校：蔡应桃 班级__________ 学号___________ 姓名____________ 一、知识点 1.二次函数与一元二次方程之间的关系是通过 与 的交点来体现的:若抛物线0(2 ≠++=a c bx ax y ）与x 轴的交点为(m ,0)、(n ,0),则对应的一元二次方程 02=++c bx ax 的两根为 . 一元二次方程根的情况对应决定着抛物线与x 轴的交点个数. （1）抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠与x 轴有两个交点, 02 =+ +c bx ax ac b 42- 0； （2）抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠与x 轴只有一个交点， 02 =++c bx ax ac b 42- 0； （3）抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠与x 轴没有交点, 02 =++c bx ax ac b 42- 0. 2.抛物线与直线的交点: ①二次函数图象与x 轴及平行于x 轴的直线； ②二次函数图象与y 轴及平行于y 轴的直线； ③二次函数图象与其它直线(不平行于坐标轴,即一次函数图象). 3.根据示意图求一元二次不等式的解集. 二、典型例题 不画图象，你能判断函数 的图象与x 轴是否有公共点吗？请说明理由。 三、适应练习 1、方程 的根是 ；则函数 的图象与x 轴的交点有 个，其坐标是 ． 2、方程 的根是 ；则函数 的图象与x 轴的 交点有 个，其坐标是 ． 3、下列函数的图象中，与x 轴没有公共点的是（ ） 62 -+=x x y 0542 =-+x x 025102=-+-x x 25102 -+-=x x y 542 -+=x x y 2)(2-=x y A x x y B -=2)(96)(2-+-=x x y C 2)(2+-=x x y D 初中数学方程与不等式之一元二次方程知识点 一、选择题 1．关于x 的一元二次方程ax 2+2x+1=0有两个不相等的实数根，那么a 的取值范围是( ) A ．a ＞1 B ．a=1 C ．a ＜1 D ．a<1且a≠0 【答案】D 【解析】 【分析】 由于原方程是一元二次方程，首先应该确定的是a≠0；然后再根据原方程根的情况，利用根的判别式建立关于a 的不等式，求出a 的取值范围． 【详解】 解：由于原方程是二次方程，所以a≠0； ∵原方程有两个不相等的实数根， ∴△=b 2-4ac=4-4a ＞0，解得a ＜1； 综上，可得a≠0，且a ＜1； 故选D ． 【点睛】 本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系： (1)△＞0?方程有两个不相等的实数根； (2)△=0?方程有两个相等的实数根； (3)△＜0?方程没有实数根． 2．对于一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），下列说法： ①若b ＝ax 2+bx +c ＝0一定有两个相等的实数根； ②若方程ax 2+bx +c ＝0有两个不等的实数根，则方程x 2﹣bx +ac ＝0也一定有两个不等的实数根； ③若c 是方程ax 2+bx +c ＝0的一个根，则一定有ac +b +1＝0成立； ④若x 0是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的根，则b 2﹣4ac ＝（2ax 0+b ）2，其中正确的（ ） A ．只有①②③ B ．只有①②④ C ．①②③④ D ．只有③④ 【答案】B 【解析】 【分析】 判断上述方程的根的情况，只要看根的判别式△=-24b ac 的值的符号就可以了．④难度较大，用到了求根公式表示0x ． 【详解】 解：①若b =，方程两边平方得b 2＝4ac ，即b 2﹣4ac ＝0，所以方程ax 2+bx +c ＝0一定有两个相等的实数根； ②若方程ax 2+bx +c ＝0有两个不等的实数根，则b 2﹣4ac ＞0 九年级数学第十周拓展训练（部分习题选自《新思维》）（2017.11.5） 1．（永州）抛物线122-++=m x x y 与x 轴有两个不同的交点，则m 的取值范围是----（ ） A ．m ＜2 B ．m ＞2 C ．0＜m≤2 D ．m ＜﹣2 2.(陕西)根据下表中的二次函数c bx ax y ++=2的自变量x 与函数y 的对应值，可判断该二次函数的图 （ ） x … 1- 0 1 2 … y … 1- 47- 2- 4 7- … A.只有一个交点 B.有两个交点，且它们分别在y 轴两侧 C.有两个交点，且它们均在y 轴同侧 D.无交点 3.（宜昌）已知抛物线122+-=x ax y 与x 轴没有交点，那么该抛物线的顶点所在的象限是------（ ） A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限 4．（南宁）二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 和正比例函数x y 3 2=的图象如图所示，则方程0)3 2(2=+-+c x b ax 的两根之和-------------------------------------------------------（ ） A ．大于0 B ．等于0 C ．小于0 D ．不能确定 5.（安徽）如图，一次函数x y =1与二次函数c bx ax y ++=22的图象相交于P 、Q 两点，则函数 c x b ax y +-+=)1(2的图象可能为-----------------------------------------------------（ ） 6.（绵阳）若)(,2121x x x x ＜是方程)(1))((b a b x a x ＜=--的两个根，则b a x x ,,,21的大小关系（ ） A. b a x x ＜＜＜21 B. b x a x ＜＜＜21 C. 21x b a x ＜＜＜ D. 21x b x a ＜＜＜ 7.（泰安）二次函数bx ax y +=2 的图象如图所示，若一元二次方程02=++m bx ax 有实数根，则m 的最大值为-----------------------------------------------------------------------------（ ） A.-3 B.3 C.-6 D.9 第4题 第5题 第7题 一元二次方程练习题 1. 解下列方程：（1）2(1) 9x -=； （2）2(21)3x +=； （3）2(61)250x --=． （4）281(2)16x -=． 2. 用直接开平方法解下列方程： （1）25(21)180y -=； （2）21(31)644 x +=； （3）26(2) 1x +=； （4）2()(00)ax c b b a -=≠，≥ 3. 填空 （1）28x x ++（ ）=（x + ）2．（2）223x x -+（ ）＝（x - ）2． （3）2b y y a -+（ ）＝（y - ）2． 4. 用适当的数（式）填空： 23x x -+ (x =- 2)；2x px -+ ＝(x - 2) 23223(x x x +-=+ 2)+ ． 5. 用配方法解方程． 23610x x --= 22540x x --= 6. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ． 7. 用适当的方法解方程（1）23(1) 12x +=； （2）2410y y ++=； （3）2884x x -=； （4）2310y y ++=． （5） ()9322=-x ； （6）162=-x x ； 一元二次不等式 2．一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>之间 1、把二次项的系数变为正的。（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正） 2、解对应的一元二次方程。（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根） 3、求解一元二次不等式。（根据一元二次方程的根及不等式的方向） 一次函数与方程和不等式的关系 1．如图1，直线y=kx+b与x轴交于点A（-4，0），则当y>0时，x的取值范围是（?）A．x>-4 B．x>0 C．x<-4 D．x<0 （1）（2） 2．已知一次函数y=kx+b的图像，如图2所示，当x<0时，y的取值范围是（?）A．y>0 B．y<0 C．-2 8．对于一次函数y=2x+4，当______时，2x+4>?0；?当________?时，?2x+?4 13.3 一次函数与一次方程、一次不等式 ◆知识概述 1、通过简单的实例发现并了解一次函数、一元一次方程与一元一次不等式之间的联系． 2、通过用函数观点处理方程（组）与不等式问题，体验用函数观点认识问题和处理问题的意义和方法，进一步体验数与形的相互联系的紧密性和相互转化的灵活性． 3、任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0 (a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y＝ax＋b确定它与x轴的交点的横坐标的值. 4、任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b>0或ax＋b<0 (a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围. 5、一次函数y＝kx＋b与一元一次方程kx＋b＝0和一元一次不等式的关系：函数y＝kx＋b的图象在x轴上方点所对应的自变量x的值，即为不等式kx＋b>0的解集；在x轴上所对应的点的自变量的值即为方程kx＋b＝0的解；在x轴下方所对应的点的自变量的值即为不等式kx＋b<0的解集. ◆典型例题 例1、若正比例函数y＝（1－2m）x的图象经过点A（x，y）和点B（x，y），当x＜x时，y＞1211212 ＞．m＜ 0C＜mO B．m＞．mD），则ym的取值范围是（ A．2答案：D．例2、一次函数y＝kx＋b的自变量x的取值范围是－3≤x≤6，相应函数值的取值范围是－5≤y≤－2，则这个函数的解读式为____________. 分析： 本题分两种情况讨论：①当k＞0时，y随x的增大而增大，则有：当x＝－3，y＝－5；当x ＝6中可得b ＋，把它们代入y＝－2y＝kx时，＝x－y∴∴函 数解读式为4． 1 / 7 ②当k 二次函数与一元二次方程、不等式之间的关系(第8课时) 知识回顾： 1如图填空：（1）a____0 2）b___0 （3）c___0 （4）b 2－4ac____0 2如图一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝3 的解为_________________ 探究实践： 例1．画出函数322 --=x x y 的图象，根据图象回答下列问题． （1）图象与x 轴、y 轴的交点坐标分别是什么 （2）当x 取何值时，y=0这里x 的取值与方程0322=--x x 有什么关系 （3）x 取什么值时，函数值y 大于0x 取什么值时，函数值y 小于0 例2、关察图像回答下列问题: 1．特殊代数式求值： ①如图 看图填空：（1）a ＋b ＋c___0 （2）a －b ＋c_____0 （3）2a －b __0 ②如图2a ＋b _______0 4a ＋2b ＋c_______0 2．利用抛物线图象求解一元二次方程及二次不等式 （1）方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为___________； （2）方程ax 2＋bx ＋c ＝－3的根为__________； （3）方程ax 2＋bx ＋c ＝－4的根为__________； （4）不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为________； （5）不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为________； （6）不等式－4＜ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为________． 课内练习： 1、根据图象填空： （1）a_____0；（2）b_____0；（3）c______0； （4）△＝b 2－4ac_____0；（5）a ＋b ＋c_____0； （6）a －b ＋c_____0；（7）2a ＋b_____0； （8）方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根为__________； （9）当y ＞0时，x 的范围为___________； （10）当y ＜0时，x 的范围为___________； 求一次函数解析式专项练习 1．已知A（2，﹣1），B（3，﹣2），C（a，a）三点在同一条直线上． （1）求a的值； （2）求直线AB与坐标轴围成的三角形的面积． 2．已知一次函数的图象经过（1，2）和（﹣2，﹣1），求这个一次函数解析式及该函数图象与x轴交点的坐标． 3．如图所示，直线l是一次函数y=kx+b的图象． （1）求k、b的值； （2）当x=2时，求y的值； （3）当y=4时，求x的值． 4．已知y与x+2成正比例，且x=0时，y=2，求： （1）y与x的函数关系式； （2）其图象与坐标轴的交点坐标． 5．如果y+3与x+2成正比例，且x=3时，y=7． （1）写出y与x之间的函数关系式； （2）画出该函数图象；并观察当x取什么值时，y＜0？ 6．直线y=kx+b是由直线y=﹣x平移得到的，此直线经过点A（﹣2，6），且与x轴交于点B． （1）求这条直线的解析式； （2）直线y=mx+n经过点B，且y随x的增大而减小．求关于x的不等式 mx+n＜0的解集． 7．已知，直线AB 经过A （﹣3，1），B （0，﹣2），将该直线沿y 轴向下平移3个单位得到直线MN ． （1）求直线AB 和直线MN 的函数解析式； （2）求直线MN 与两坐标轴围成的三角形面积． 8．已知：关于x 的一次函数y=（2m ﹣1）x+m ﹣2若这个函数的图象与y 轴负半轴相交，且不经过第二象限，且m 为正整数． （1）求这个函数的解析式． （2）求直线y=﹣x 和（1）中函数的图象与x 轴围成的三角形面积． 一次函数与方程不等式关系 1、直线l 1∶y ＝k 1x ＋b 与直线l 2∶y ＝k 2x ＋c 在同一平面直角坐标系中的图象如图， 则关于x 的不等式k 1x ＋b ＜k 2x ＋c 的解集为( ) A ．x ＞1 B ．x ＜1 C ．x ＞－2 D ．x ＜－2 2、如图,已知直线y 1=x+m 与y 2=kx-1相交于点P(-1,1),则关于x 的不等式x+m>kx-1的解集在数轴 上表示正确的 是( ) 3、用图象法解某二元一次方程组时，在同一直角坐标系中作 出相应的两个一次函数的图象（如图所示），则所解的二元 一次方程 组是 （ ） 第4节从函数的观点看一元二次方程和 一元二次不等式 知识梳理 1.一元二次不等式 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式不等式叫作一元二次不等式. 2.三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根有两相异实根x1， x2(x1＜x2) 有两相等实根x1＝ x2＝－ b 2a 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集{x|x＞x2 或x＜x1}?? ? ? ? ? x|x≠－ b 2a R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}??3.(x－a)(x－b)>0或(x－a)(x－b)<0型不等式的解集 不等式 解集 ab (x－a)·(x－b)>0{x|x (1)f (x ) g (x )>0(<0)?f (x )·g (x )>0(<0). (2)f (x ) g (x )≥0(≤0)?f (x )·g (x )≥0(≤0)且g (x )≠0. [微点提醒] 1.绝对值不等式|x |>a (a >0)的解集为(－∞，－a )∪(a ，＋∞)；|x |0)的解集为(－a ，a ). 记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间. 2.解不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)时不要忘记当a ＝0时的情形. 3.不等式ax 2＋bx ＋c >0(<0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定. (1)不等式ax 2＋bx ＋c >0对任意实数x 恒成立????a ＝b ＝0，c >0或???a >0，Δ<0. (2)不等式ax 2 ＋bx ＋c <0对任意实数x 恒成立????a ＝b ＝0，c <0或???a <0， Δ<0. 基 础 自 测 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)若不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集是(－∞，x 1)∪(x 2，＋∞)，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根是x 1和x 2.( ) (2)若不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集为(x 1，x 2)，则必有a ＞0.( ) (3)不等式x 2≤a 的解集为[－a ，a ].( ) (4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ＜0)没有实数根，则不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a <0)的解集为R .( ) 解析 (3)错误.对于不等式x 2≤a ，当a >0时，其解集为[－a ，a ]；当a ＝0时，其解集为{0}，当a <0时，其解集为?. (4)若方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a <0)没有实根，则不等式ax 2＋bx ＋c >0(a <0)的解集为?. 答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)× 2.(必修5P103A2改编)已知集合 A ＝???? ?? x ???12x －1≤0，B ＝{x |x 2－x －6<0}，则A ∩B 一元二次方程和不等式 1. 如图，抛物线从 c bx ax y ++=2与x 轴交于点A （1,0），B （3,0），则 (1) a 0, b 0, c 0； (2) 方程02=++c bx ax 的解集为 ； (3) 不等式02>++c bx ax 的解集为 ； (4) 不等式02<++c bx ax 的解集为 ； 2. 如图，是二次函数 c bx ax y ++=21和一次函数n mx y +=2的图象， (1) n x c bx ax +=++m 2的解为 ； (2) 不等式n x c bx ax +>++m 2的解集为 ； (3) 不等式n x c bx ax +<++m 2的解集为 ； 3. 解一元二次不等式 (1) 解不等式0342<+-x x (2) 已知二次函数21x y -=与一次函数432--=x y 交于A 、B 两点 a 、 求A 、B 两点的坐标； b 、判断x 为何值时，21 y y < 4、抛物线c bx ax y ++=2分别交坐标轴于A （-2,0），B （6,0），C （0,4），则402<++≤c bx ax 的解集是 。 y y 2y 1 根与系数关系（一） 基本问题：直线与抛物线相交所截线段长度可用根与系数关系得到。 例1：基本图形，抛物线所截弦长。如图，直线1+=x y 与m m mx x y ++-=222交于A ，B 两点（A 在B 左边）。求证无论m 为任何值，AB 的长总为定值。 例2：(线段和差)如图,抛物线342+-=x x y 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，将直线BC 向上平移交抛物线于M ，N ，交y 轴于点P ，求PM-PN 的 值。 例3：（线段乘积）如图，已知直线k kx 9y -=(k<0)与抛物线322 --=x x y 交于A,B 两点，与x 轴交于点P ，过点A 做AC ⊥x 轴于点C ，过点B 做BD ⊥x 轴于点D ，求证：PC PD ? 为定值。 例4．抛物线L ：y ＝－x 2＋bx ＋c 经过点A (0，1)，与它的对称轴直线x ＝1交于点B (1) 直接写出抛物线L 的解析式 (2) 如图1，过定点的直线y ＝kx －k ＋4（k ＜0）与抛物线L 交于点M 、N ．若 △BMN 的面积等于1，求k 的值 一次函数与方程、不等式之间的关系 人教版九年制义务教育八年级数学下册 宁都县赖村中学谢新华 教学重点、难点： 一次函数与方程、不等式之间的关系 教学目标： 1.让学生理解一次函数与方程、不等式之间的关系，从而解答有关的函数坐标、函数值等问题 2.通过探索一次函数与方程、不等式之间的关系，经历具体到抽象再到具体，到抽象，最后具体的学习过程，体会探索的严谨性，科学性，掌握循序渐进的学习方法，树立数形结合的学习函数的思想方法 3.经历了探索一次函数与方程、不等式之间的关系过程，掌握了学法，树立起了学好函数的信心，体会到成功的喜悦 教学策略： 运用多媒体技术，讲练结合与小组讨论法 教学教学过程 谭金林说：可是这两个点怎么画呢?当函数值大于某值时，x怎 样取值？ 这下难住了他们，为此他们举出一个例子已知一次函数y=2x+8，请你帮他们画出两点，作出直线？当y>4时，x取何值？ 设计意图：通过举自己身边的两位同学的例子引入课题，从而让问题变得那么的贴近自身实际，提高学习的兴趣 板书：一次函数与方程、不等式之间的关系学习目标 1.能理解感悟一次函数与方程、不等式之间的数形关系，并能运用这种关系解决有关一次函数的问题 2.通过问题解决，经历探索一次函数与方程、不等式之间关系的过程，体验知识产生、发展、形成的过程，感悟数形结合思想 3.通过问题解决，经历探索一次函数与方程、不等式之间的数形关系，掌握了学习函数的方法 设计意图：明确学习目标，使学习更具针对性 一、动动手，填一填 (1)当x 取___值时，函数值等于3. (2)当x 取___值时，函数值等于0. (3)当x 取___值时，函数值等于-1 2.已知一次函数y=2x+3的图像（如右上图）及图像上的一 方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题 一、选择题 1．已知x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣ax ﹣2=0的两根，下列结论一定正确的是（ ） A ．x 1≠x 2 B ．x 1+x 2＞0 C ．x 1?x 2＞0 D ．x 1＜0，x 2＜0 【答案】A 【解析】 分析：A 、根据方程的系数结合根的判别式，可得出△＞0，由此即可得出x 1≠x 2，结论A 正确； B 、根据根与系数的关系可得出x 1+x 2=a ，结合a 的值不确定，可得出B 结论不一定正确； C 、根据根与系数的关系可得出x 1?x 2=﹣2，结论C 错误； D 、由x 1?x 2=﹣2，可得出x 1＜0，x 2＞0，结论D 错误． 综上即可得出结论． 详解：A ∵△=（﹣a ）2﹣4×1×（﹣2）=a 2+8＞0， ∴x 1≠x 2，结论A 正确； B 、∵x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣ax ﹣2=0的两根， ∴x 1+x 2=a ， ∵a 的值不确定， ∴B 结论不一定正确； C 、∵x 1、x 2是关于x 的方程x 2﹣ax ﹣2=0的两根， ∴x 1?x 2=﹣2，结论C 错误； D 、∵x 1?x 2=﹣2， ∴x 1＜0，x 2＞0，结论D 错误． 故选A ． 点睛：本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键． 2．从4-，2-，1-，0，1，2，4，6这八个数中，随机抽一个数，记为a ．若数a 使关于x 的一元二次方程()22 240x a x a --+=有实数解．且关于y 的分式方程1311y a y y +-=--有整数解，则符合条件的a 的值的和是（ ） A ．6- B ．4- C ．2- D ．2 【答案】C 【解析】 【分析】 由一元二次方程()22240x a x a --+=有实数解，确定a 的取值范围，由分式方程1311y a y y +-=--有整数解，确定a 的值即可判断． 【详解】 一次函数与方程（或不等式）结合的问题 一般地，一次函数中，令是一元一次方程，它的根就是的图象与x轴交点的横坐标，一元一次不等式（或）可以看作是取正值（或负值）的特殊情况，其解集可以看作相应的自变量x的取值范围。两直线的交点坐标，就是由这两条直线的解析式组成的二元一次方程组的解。下面举例说明。 例1. 在一次蜡烛燃烧实验中，甲、乙两根蜡烛燃烧时剩余部分的高度y（厘米）与燃烧时间x（小时）之间的关系如图1所示，请根据图象所提供的信息解答下列问题： （1）甲、乙两根蜡烛燃烧前的高度分别是__________，从点燃到燃尽所 用的时间分别是_________； （2）分别求甲、乙两根蜡烛燃烧时y与x之间的函数关系式； （3）燃烧多长时间，甲、乙两根蜡烛的高度相等（不考虑都燃尽时的情况）在什么时间段内，甲蜡烛比乙蜡烛高在什么时间内，甲蜡烛比乙蜡烛低 析解：（1）由图1知，燃烧前两根蜡烛的高度分别为30厘米、25厘米；燃尽所用的时间分别是2小时、小时。（2）设甲蜡烛燃烧时，y与x之间的函数关系式为。由图1可知，函数的图象过点 （2，0），（0，30），所以，解得 所以甲蜡烛燃烧时y与x的关系式为：；同理乙蜡烛燃烧时y与x的关系式为。 （3）由题意得，解得。 ； 所以，当燃烧1小时的时候，甲、乙两根蜡烛的高度相等。观察图象知当时，甲蜡烛比乙蜡烛高；当时，甲蜡烛比乙蜡烛低。 说明：本题是一次函数与二元一次方程的结合，利用图象的信息，提供数据解决问题。 例2. 某零件制造车间有工人20名，已知每人每天可以制造甲种零件6个或乙种零件5个，且每制造一个甲种零件可获利润150元，每制造一个乙种零件可获利润260元，在这20人中，车间每天安排x人制 二次函数与一元二次方程和一元二次不等式 二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值2 44ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值2 44ac b a -，无最小值． 方程与函数不仅是初中数学中的重要内容，也是高中数学学习的重要内容，方程与函数之间存在着密切的联系，二次函数的图象与x 轴交点的横坐标即为相应的二次方程的解，课程标准要求我们能利用二次函数的图象求二次方程的近似解。 本节我们将进一步研究一元二次方程与函数问题，研究当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用． 【例1】已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为 ． 分析：因为二次方程220x x m -++=的根为二次函数22y x x m =-++的图象与x 轴交点 横坐标。根据已知条件22y x x m =-++ ，可知抛物线的对称轴为直线1x =；根据图象可知抛物线与x 轴的一个交点的横坐标为3x =，所以利用抛物线的对称性知抛物线与x 轴的另一个交点横坐标为―1，因此，方程220x x m -++=的解为3和－1。本题利用抛 物线的轴对称性求抛物线与轴的交点坐标，从而求出相应的一元二次方程的根。 【例2】 二次函数2(0y ax bx c a a b c =++≠，，，是常数)中，自变量x 与函数y 的对应值如下表： 方程与不等式之一元二次方程经典测试题及答案解析 一、选择题 1．若一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限，则关于x 的方程20x kx b ++=的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ．有两个相等的实数根 C ．无实数根 D ．无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】 利用一次函数性质得出k ＞0，b≤0，再判断出△=k 2-4b ＞0，即可求解. 【详解】 解：Q 一次函数y kx b =+的图象不经过第二象限， 0k ∴>，0b ≤， 240k b ∴?=->， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A ． 【点睛】 本题考查的是一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一次函数的图像和一元二次方程根的判别式是解题的关键. 2．若关于x 的一元二次方程x 2﹣2x +m ＝0没有实数根，则实数m 的取值是( ) A ．m ＜1 B ．m ＞﹣1 C ．m ＞1 D ．m ＜﹣1 【答案】C 【解析】 试题解析：关于x 的一元二次方程2x 2x m 0-+=没有实数根， ()2 24241440b ac m m ?=-=--??=-<， 解得： 1.m > 故选C ． 3．对于一元二次方程ax 2+bx +c ＝0（a ≠0），下列说法： ①若b ＝ax 2+bx +c ＝0一定有两个相等的实数根； ②若方程ax 2+bx +c ＝0有两个不等的实数根，则方程x 2﹣bx +ac ＝0也一定有两个不等的实数根； ③若c 是方程ax 2+bx +c ＝0的一个根，则一定有ac +b +1＝0成立； ④若x 0是一元二次方程ax 2+bx +c ＝0的根，则b 2﹣4ac ＝（2ax 0+b ）2，其中正确的（ ） A ．只有①②③ B ．只有①②④ C ．①②③④ D ．只有③④ 二次函数与一元二次方程及不等式 一，二次方程基础概念 当2()f x ax bx c =++中，()0f x =时，即得到二次方程 20ax bx c ++= 其解的几何意义即为二次函数的图象与x 轴的交点横坐标． 1． 根的判别式24b ac ?=- ?＞0时，方程有两个不相等的实数根； ?＝0时，方程有两个相等的实数根； ?＜0时，方程无实数根，但有两个共轭的虚数根． 2． 根与系数的关系（韦达定理） 12b x x a +=- 12c x x a = 二次方程根的分布 根的位置<=>图象位置<=>等价条件 20ax bx c ++=（0a >） 三、一元二次不等式 一元二次不等式20ax bx c ++>（或＜0）的解集，即函数2()f x ax bx c =++的自变量的取值范围，使其函数值()0f x >（或＜0）的自变量的取值范围． 0? > 0?= 0?< a 1，例题： 选择题 ①2 =++对任意实数t都有(2)(2) () f x x bx c +=-，那么（ A ） f t f t A．(2)(1)(4) << f f f f f f < ② 已知22log (2)a y x x =-在区间（－∞，0）上单调递增，则a 的取值范围是（ B ） A ．1a > B ．11a -<< C ．R a ∈且0a ≠ D ．1a <-或1a > ③ 已知函数y ＝log 2 1（x 2－6x ＋7），则y （ D ） A ．有最大值没有最小值 B ．有最小值没有最大值 C ．有最大值也有最小值 D ．没有最大值也没有最小值 填空题 ①方程22||(R)x x a a -=∈有且仅有两个不同的实数根，则实数a 的取值范围是_______． 解：令212||y x x =-，2y a = 则2 122(0) 2(0) x x x y x x x ?-?=?+ 方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题附答案 一、选择题 1．以3和4为根的一元二次方程是（ ） A ．27120x x -+= B ．27120x x ++= C ．27120x x +-= D ．27120x x --= 【答案】A 【解析】 【分析】 分别求出各个选项中一元二次方程的两根之和与两根之积，进行判断即可． 【详解】 A 、在x 2﹣7x+12=0中，x 1+x 2=7，x 1x 2=12，此选项正确； B 、在x 2+7x+12=0中，x 1+x 2=﹣7，x 1x 2=12，此选项不正确； C 、在x 2+7x ﹣12=0中，x 1+x 2=7，x 1x 2=﹣12，此选项不正确； D 、在x 2﹣7x ﹣12=0中，x 1+x 2=﹣7，x 1x 2=﹣12，此选项不正确； 故选：A ． 【点睛】 本题主要考查了根与系数的关系的知识，解答本题的关键是要掌握一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两个为x 1，x 2，则x 1+x 2=b a ，x 1?x 2=c a ． 2．某水果园2017年水果产量为50吨，2019年水果产量为70吨，求该果园水果产量的年平均增长率．设该果园水果产量的年平均增长率为x ，则根据题意可列方程为（ ） A ．()250170x -= B ．()2 50170x += C ．()270150x -= D ．()270150x += 【答案】B 【解析】 【分析】 根据2019年的产量=2017年的产量×（1+年平均增长率）2，即可列出方程． 【详解】 解：根据题意可得，2018年的产量为50（1+x ）， 2019年的产量为50（1+x ）（1+x ）=50（1+x ）2， 即所列的方程为：50（1+x ）2=70． 故选：B ． 【点睛】 此题主要考查了一元二次方程的应用，解题关键是要读懂题意，根据题目给出的条件，找2.3.1 二次函数与一元二次方程、不等式(第一课时)导学案
二次函数与一元二次方程和不等式教学提纲
初中数学方程与不等式之一元二次方程知识点
二次函数与一元二次方程不等式之间的关系
解一元二次方程及一元二次不等式练习题 -
一次函数与方程和不等式的关系
一次函数与一次方程一次不等式
次函数与一元二次方程、不等式之间的关系
一次函数和方程不等式的关系
第4节 从函数的观点看一元二次方程和一元二次不等式
一元二次方程和不等式
一次函数与方程、不等式之间的关系
方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题
一次函数与方程(或不等式)结合的问题
二次函数与一元二次方程和一元二次不等式
方程与不等式之一元二次方程经典测试题及答案解析
二次函数与一元二次方程及不等式
方程与不等式之一元二次方程技巧及练习题附答案