(完整版)含参数的一元一次方程

初一部分知识点拓展

◆含参数的一元一次方程 复习：

解方程：（1）2

1

5123+=

--x x （2）)4(x -40%+60%x =2 （3）14.01.05.06.01.02.0=+--x x （4）)1(3

2

12121-=??????--x x x ）（

一、含参数的一元一次方程解法（分类讨论）

1、讨论关于x 的方程b ax =的解的情况.

2、已知a 是有理数，有下面5个命题：

（1）方程0=ax 的解是0=x ； （2）方程1==x a ax 的解是； （3）方程a

x ax 1

1=

=的解是； （4）方程a x a =的解是1±=x （5）方程1)1(+=+a x a 的解是1=x

中，结论正确的个数是（ ）

A.0

B.1

C.2

D.3

二、含参数的一元一次方程中参数的确定 ①根据方程解的具体数值来确定

例：已知关于x 的方程32

3+=+ax

x a 的解为4=x

变式训练： 1、已知方程

)1(42

2-=+x a

x 的解为3=x ，则=a ； 2、已知关于x 的方程)(22x m mx -=+的解满足方程02

1

=-

x ，则=m ； 3、如果方程20)1(3)1(2+=--+a x x 的解为，求方程：[]a a x x 3)(3)3(22=--+的解.

②根据方程解的个数情况来确定

例：关于x 的方程n x mx -=+34，分别求n m ，为何值时，原方程： （1）有唯一解；（2）有无数多解；（3）无解.

变式训练：

1、已知关于x 的方程b x a x a 3)5()1(2+-=-有无数多个解，那么=a ，=b .

2、若关于x 的方程512)2(+=+x b x a 有无穷多个解，求b a ，值.

3、已知关于x 的方程)12(6

1

23--=+x x m x 有无数多个解，试求m 的值.

4、已知关于x 的方程5)12()2(3+-=+x b x a 有无数多个解，求a 与b 的值.

5、x b ax x b a 是关于0)23(2=+++的一元一次方程，且x 有唯一解，求x 的值.

③根据方程定解的情况来确定

例：若b a ，为定值，关于x 的一元一次方程26

32=--bx

x ka ，无论k 为何值时，它的解总是1=x ，求b a 和的值.

变式训练:

1、如果b a 、为定值，关于x 的方程6

232bk

x a kx -+

=+，无论k 为何值，它的解总是1，求b a 和的值.

④根据方程公共解的情况来确定 例：若方程3

25328)1(3x

k x x x -=

++=+-与方程的解相同，求k 的值.

变式训练：

1、若关于x 的方程03=+a x 的解与方程042=-x 的解相同，求a 的值.

2、已知关于x 的方程18511234)2(23=--+=?????

?

--x a x x a x x 和方程

有相同的解，求出方程的解.

⑤根据方程整数解的情况来确定

例：m 为整数，关于x 的方程mx x -=6的解为正整数，求m 的值.

变式训练：

1、若关于x 的方程kx x =-179的解为正整数，则k 的值为 ；

2、已知关于x 的方程1439+=-kx x 有整数解，那么满足条件的所有整数=k ；

3、已知a 是不为0的整数，并且关于x 的方程453223+--=a a a ax 有整数解，则a 的值共有（ ） A.1个 B.6个 C.6个 D.9个

◆含绝对值的方程：

一、利用绝对值的非负性求解

例题1：已知n m ，为整数，n m n m m +=++-，求02的值.

练习：

1、已知n m ，为整数，n m n m m +=-+-，求12的值.

2、已知)42

1

(410)124(2323124++-=-+--b b a a a b b a ，求.

二、形如)0(≠=+a c b ax 型的绝对值方程解法： 1、当0

2、当0=c 时，原方程变为0=+b ax ，即a b

x b ax -==+，解得0；

3、当0>c 时，原方程变为c b ax c b ax -=+=+或，解得a

b

c x a b c x --=

-=或 例题2：解方程532=+x .

练习：

（1）01263=-+x （2）0545=++x

三、形如)0(≠+=+ac d cx b ax 型的绝对值方程的解法： 1、根据绝对值的非负性可知，0≥+d cx 求出x 的取值范围；

2、根据绝对值的定义将原方程化为两个方程)(d cx b ax d cx b ax +-=++=+和；

3、分别解方程)(b cx b ax b cx b ax +-=++=+和；

4、将求得的解代入0≥+d cx 检验，舍去不合条件的解. 例题3：解方程525-=--x x

练习：

（1）9234+=+x x （2）43234+=--x x

例题4：如果044=-+-a a ，那么a 的取值范围是多少.

变型题：已知022=-+-x x ，求（1）2+x 的最大值；（2）x -6的最小值.

练习：

1、解关于x 的方程02552=-+-x x .

2、已知关于x 的方程06363=+++x x ，求25+x 的最大值.

四、形如)(b a c b x a x <=-+-型的绝对值方程的解法： 1、根据绝对值的几何意义可知b a b x a x -≥-+-；

2、当b a c -<时，此时方程无解；当b a c -=时，此时方程的解为b x a ≤≤； 当b a c ->时，分两种情况：

①当a x <时，原方程的解为2c

b a x -+=

； ②当b x >时，原方程的解为2

c

b a x ++=.

例题5：解关于x 的方程213=-+-x x

变型题：解关于x 的方程21443=-+-x x

练习：解关于x 的方程

（1）752=-++x x （2）75222=-++x x

例题6：求方程421=++-x x 的解.

练习：解关于x 的方程

（1）723=++-x x （2）62152=+++x x

例题7：求满足关系式413=+--x x 的x 的取值范围.

练习：解关于x 的方程

（1）321=+--x x （2）752=--+x x

7升8数学金牌班课后练习

1、已知012=--x x ，代数式200823++-x x 的值是 ；

2、已知关于x 的方程32

3+=

-x

x a 的解是4，则=--a a 2)(2 ； 3、已知2+=x x ，那么2731999++x x 的值为 ； 4、321=-++x x ，则x 的取值范围是 ； 5、088=-+-x x ，则x 的取值范围是 .

6、已知关于x 的一次方程07)23(=++x b a 无解，则ab 是（ ）； A 正数 B.非正数 C.负数 D.非负数

7、方程011=-+-x x 的解有（ ）；

A.1个

B.2个

C.3个

D.无数个 8、使方程0223=++x 成立的未知数x 的值是（ ）； A.-2 B.0 C.

3

2

D.不存在 9、若关于x 的方程只有一个解，无解，043032=+-=+-n x m x 054=+-k x 有两个解，则k n m 、、的大小关系是（ ）

； A.k n m >> B.m k n >> C.n m k >> D.n k m >> 10、解下列关于x 的方程

（1）01078=+-x （2）428-=--x x

（3）963=--+x x （4）451=-+-x x

（5）9234+=+x x （6）612=++-x x

（7）43212=+--x x （8）75345=++-x x

（9）2004112=--x

11、若0)3(2=-+-y y x ，求y x 32+的值.

※12、已知y y x x +---=-++15911，求y x +的最大值与最小值.

◆含参的二元一次方程组

类型一、基本含参的二元一次方程组

例题1：已知方程组{

k

y x k y x =++=-321143的解y x ，满足方程35=-y x ，求k 的值。

总结：对于这一类含有参数的题目，并且求参数的问题，方法非常多，同学在学习时，可以经常练习多寻找一下各个系数之间的关系，这样能够锻炼同学们的观察能力！

练习：

1.已知方程组{

3

27262=-=+y x ky x 的解满足方程1929-=+y x 的解，求k 的值。

2.已知方程组{

k

y kx y x 62382=+=+的解满足方程10=+y x ，求k 的值。

3.已知关于y x ，的方程组{

m

y x m y x 329=+=-的解满足方程1723=+y x ，求m 的值。

类型二、含参的二元一次方程组解的情况探讨

对于二元一次方程组{

1

11222c y b x a c y b x a =+=+的解的情况有以下三种： ①?==2

1

2121c c b b a a 方程组有无数多解；（两个方程式等效的） ②?≠=21

2121c c b b a a 方程组无解；（两个方程式矛盾的） ③

?≠2

1

21b b a a 方程组有唯一的解。 例题2：当b a 、满足什么条件时使得方程组{

7

52=+=+y x b y ax 满足：（1）有无数多解；（2）无解；（3）

有唯一解。

练习：

1.二元一次方程组{

b

ay x y x =+=+324，当b a 、满足什么条件时，（1）方程组有唯一解；（2）方程组无解；

（3）方程组有无数解。

2.当b a 、满足什么条件时，方程3)182(2=-x b 与方程组{

1

523=--=-y ax b y x 都无解。

3.解关于y x ，的方程组{

5

2752=+=-ax by x ；若当2

1

=x 时，该方程的解y x ，互为相反数，求此时b a ，的

值。

类型三、同解方程组问题

例题3：已知关于y x ，的二元一次方程组{

373=+-=-y x y x 和方程组{

7

9=+-=-by ax by ax 的解相同，求b a 、的

值。

例题4：已知关于y x ，的二元一次方程组{

10

329=+=+y x by ax 与方程组{

8234=-=-ay bx y x 的解相等，试求

b a 、的值。

练习：

1.若关于y x ，的方程组{

31

=+=-y x y x 与{

8

4=+=-ny mx ny mx 的解相同，求n m ，的值。

2.已知关于y x ，的二元一次方程组{

3321=--=+y x by ax 和{

11

23332=+=+y x by ax 的解相同，求2012)3(b a +的值为

多少？

3.解方程组{

4

32765=+=+y x y x ，并将其解与方程组{

543876=+=+y x y x 的解进行比较，这两个方程的解有什

么关系？

4.若关于y x ，的两个方程组{

b y x a

y x =-=-2与

{

1238

53+=--=-b y x a x y 有相同的解，求b a ，的值。

不等式及一元一次不等式

不等式的性质

1、不等式的基本性质：

（1）不等式两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变； ①如果：b a >，那么c b c a ±>± ②如果：b a <，那么c b c a ±<±

（2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；

①如果：b a >、0>c ，那么)(c b

c a bc ac >>或

②如果：b a <、0>c ，那么)(c

b

c a bc ac <<或

（3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向要改变；

①如果：b a >、0

c a bc ac <<或

②如果：b a <、0

b

c a bc ac >>或

（4）如果：b a >，那么a b <； （5）如果：，，c b b a >>那么c a >. 2、不等式的其他性质：

由不等式的基本性质可以得到如下结论：

（1）若d c b a >>，，则d b c a +>+（同向可加性） （2）若，，00>>>>d c b a 则0>>bd ac （可乘性）

（3）若0>>b a ，则b

a 1

1<

例题1：解下列不等式，并用数轴表示出来

（1）13)1(5+<-x x （2）2

2

37-≤

-x x

（3）16

510213-+≤-y y

练习：

1.解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来：

（1）)9(2)1(3+<-x x （2）2

21131x

x -≤

--

（3）x x 5)1(23>-- （4）x x 2

11

3843-≤-

（5）023254<--x （6）641221x x +≤

--

例题2：解不等式13

)

1(2423-+≥--x x x ，并将解集在数轴上表示出来，并写出它的正整数。

练习：

1.当x 为何值时，代数式32--x 的值总不大于15-x 的值。

2.m 为何正整数时，关于x 的方程2

232x

m x x -=

--的解是非负数。

3.求不等式2

1

429323-≤

---x x x 的非负整数解。

例题3：解下列不等式：

（1）132

)6(36+>---+x x x

（2）511

12914716518320>-+-+-+-+-x x x x x

练习：

1.解不等式54

5

6110312-≥+--x x x ，并把它的解集在数轴上表示出来，并求出非负整数解。

2.解不等式099

2

98252423222≤---+??????+---+---x x x x x x

例题4：已知方程???-=++=+②

①m 1y 2x m 31y x 2满足0y x <+，求m 的取值范围。

练习：

1.已知关于x ，y 的方程组???-=++=+134,

123p y x p y x 的解满足x ＞y ，求p 的取值范围．

2.已知关于x 、y 的方程组???-=-+=+3421

22m y x m y x 的解是一对正数。

（1）试确定m 的取值范围；（2）化简|2||13|-+-m m

3.已知???+=+=+122,

42k y x k y x 中的x ，y 满足0＜y －x ＜1，求k 的取值范围．

7升8金牌班课后练习

一、选择题：

1.二元一次方程21115=-b a （ ）

A.有且只有一解

B.有无数解

C.无解

D.有且只有两解 2.方程5231=+-=y x x y 与的公共解是（ ）

A.{

3

2==x y B.{

34-==x y C.

{

32=-=x y D.{

32-=-=x y

3.若不等式组?

?

?+>+<+1m x 1

x 59x 的解集为2x >，则m 的取值范围是（ ）

A. 2m ≤

B. 2m ≥

C. 1m ≤

D. 1m > 4.若不等式组?

?

?>+>-01x 0

x a 无解，则a 的取值范围是（ ）

A. 1a -≤

B. 1a -≥

C. 1a -<

D. 1a ->

5.如果不等式组???<->-m x x x )

2(312的解集是x ＜2，那么m 的取值范围是（ ）

A 、m=2

B 、m ＞2

C 、m ＜2

D 、m ≥2 6.若不等式组有解，则a 的取值范围是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ． 二、填空题：

7.关于x 的不等式组的解集是，则m = ．

8.已知关于x 的不等式组有五个整数解，这五个整数是____________,a 的取值范围是

________________。

9.若m

2x m x n >-??<+?

的解集是

10．若不等式组2113

x a

x ??无解，则a 的取值范围是 ．

11.已知方程组24

20x ky x y +=??

-=?

有正数解，则k 的取值范围是 ．

12.若关于x 的不等式组61

5

40

x x

x m +?>+???+>m x x 2

的解集是2>x ，则m 的取值范围是 ．

三、解答题：

14.二元一次方程组。

的值相等，求，的解k y x y k kx y x ???=-+=+3)1(7

34

15.已知不等式组???>-<-321

2b x a x 的解集为11x -<<，则)1)(1(-+b a 的值等于多少？

16.已知关于x ，y 的方程组???-=-+=+34,

72m y x m y x 的解为正数，求m 的取值范围．

17.不等式组12,

3 5.

a x a x -<<+??<

0,

122x a x x +??

->-?

≥1a >-1a -≥1a ≤1a <1

2x m x m >->+???

1x >-0

321x a x -≥??->-?