上海十三校2013届高三上学期12月联考数学理试卷

上海十三校2013届高三上学期12月联考数学理试卷

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格4分。

1．已知集合{|12}M x x =-<<，2

1{|1,}2

N y y x x M ==-∈，则M N = __________。 2．不等式

1

11

x >-的解集是_________________。

3．设()f x 的反函数为1()f x -，若函数()f x 的图像过点(1,2)，且1(21)1f x -+=，则x =______。

4．若3sin 5

θ=-，则行列式

cos sin sin cos θθ

θθ

=__________。

5．已知函数()f x 是奇函数，当0x <时，2()cos f x x a x π=+?，若(1)2f =，则实数a =_____。

6．若函数()()()f x x a bx a =+-（常数,a b R ∈）是偶函数，且它的值域为[4,)-+∞，则该函数

的解析式为______________。

7．若1

444lim(

)9111n n a a a a a

-→∞+++=--- ，则实数a 的值等于________。

8．已知P 为ABC ?所在平面内一点，且满足1255

AP AC AB =+

，则APB ?的面积与PAC ?的面

积之比为________。

9．一个等差数列{}n a 中，

2n

n

a a 是一个与n 无关的常数，则此常数的集合为__________。

10．若函数2()(21)||f x x a x =-+-有四个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是_________。

11．已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，如果存在两项m n a a 、，

14a =，则

14

m n

+的最小值为__________。 12．已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为2，则1

12n n

a a a a a a a a +=??? __________。

13．设函数2013(),f x x x x R =+∈，若当[0,

)2

π

θ∈时，(sin )(1)0f m f m θ+->恒成立，则

m 的

取值范围是__________。

14．设二次函数2()4f x ax x c =-+的值域为[0,)+∞，且(

1)4f ≤，则22

44

a c

u c a =+++的

最大

值为__________。

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每小题4分。 15

．

已

知

{|l g (A x y x x R ==-∈，

1

{|1,}B x x R x

=<∈，则

（ ） （A ）“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件（B ）“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件 （C ）“x B ∈”是“x A ∈”的充分必要条件 （D ）“x B ∈”是“x A ∈”的既不充分又必要条件

16．若在直线l 上存在不同的三点A B C 、、，使得关于x 的方程20x OA xOB BC ++=

有解（点O

不在直

线

l

上），则此方程的解集为

（ ）

（A ）{1}- （B ）? （C

）, （D ）{1,0}-

17．已知函数(),f x x R ∈是偶函数，且(2)(2)f x f x +=-，当[0,2]x ∈时，()1f x x =-，

则方

程1

()1||

f x x =-在区间[10,10]-上的解的个数是

（ ）

（A ）8 （B ）9 （C ）10 （D ）11

18．数列{}n a 满足：11a =

11n a +=，记222

12n n S a a a =+++ ，若2130

n n t S S +-≤对任意

的*n N ∈恒成立，则正整数t 的最小值

为

（ ）

（A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）7

三、解答题（本大题共5小题，满分74分） 19．（本题满分12分） 解关于x 的不等式：

1

0(0)2

ax a x ->>-。

20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分。

定义在R 上的函数()f x 满足2log (1),0,

()(1)(2),0.x x f x f x f x x -≤?=?--->?

（1）计算：(1)(0)(1)(2)f f f f -、

、、，并求出(3)f n +与*(),f n n N ∈满足的关系式； （2）对于数列{}n a ，若存在正整数T ，使得n T n a a +=，则称数列{}n a 为周期数列，T 为数列的

周期，令*(),n a f n n N =∈，证明：{}n a 为周期数列，指出它的周期T ，并求2012a 的值。

21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分。

如图所示，有一块边长为1km 的正方形区域ABCD ，在点A 处有一个可转动的探照灯，

其照射角PAQ ∠始终为

4π

弧度（其中点P Q 、分别在边BC CD 、上运动），设PAB θ∠=，

tan t θ=。

（1）试用t 表示出PQ 的长度，并探求CPQ ?的周长l 是否为定值； （2）求探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 的最大值。

22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分。

定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意的x D ∈，存在常数0M >，都有|()|f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界。

已知函数11()1()()39

x x

f x a =+?+，13()13x x m

g x m -?=+?。

（1）当1a =时，求函数()f x 在(,0)-∞上的值域，并判断函数()f x 在(,0)-∞上是否为有

界函

数，请说明理由；

（2）若函数()f x 在[0,)+∞上是以4为上界的有界函数，求实数a 的取值范围；

（3）若0m >，函数()g x 在[0,1]上的上界为()T m ，求()T m 的取值范围。

23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分。

已知集合12{,,,}n A a a a = 中的元素都是正整数，且12n a a a <<< ，对任意的

,x y A ∈，且x y ≠，都有||36

xy x y -≥

。 （1）求证：

111136

n n a a --≥； （提示：可先求证

1111

36

i i a a +-≥(1,2,,1)i n =- ，然后再完成所要证的结论。）

（2）求证：11n ≤；

（3）对于11n =，试给出一个满足条件的集合A 。

,

2012年高三年级十三校联考数学（理科）试卷

一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，每个空格4分。

1．已知集合{|12}M x x =-<<，2

1{|1,}2

N y y x x M ==-∈，则M N = (1,1)-。

2．不等式

1

11

x >-的解集是(0,1)(1,2) 。 3．设()f x 的反函数为1()f x -，若函数()f x 的图像过点(1,2)，且1(21)1f x -+=，则x =12

。 4．若3

sin 5

θ=-，则行列式

cos sin sin cos θθθθ

=7

25。

5．已知函数()f x 是奇函数，当0x <时，2()cos f x x a x π=+?，若(1)2f =，则实数a = 3 。

6．若函数()()()f x x a bx a =+-（常数,a b R ∈）是偶函数，且它的值域为[4,)-+∞，则该函数

的解析式为2()4f x x =-。

7．若1444lim(

)9111n n a a a a a

-→∞+++=--- ，则实数a 的值等于1

3。 8．已知P 为ABC ?所在平面内一点，且满足1255

AP AC AB =+

，则APB ?的面积与PAC

?的面

积之比为12

。

9．一个等差数列{}n a 中，

2n n

a a 是一个与n 无关的常数，则此常数的集合为1

{1,}2。

10．若函数2()(21)||f x x a x =-+-有四个不同的单调区间，则实数a 的取值范围是1

(,)2

+∞。

11．已知正项等比数列{}n a 满足：7652a a a =+，如果存在两项m n a a 、，

14a =，则

14m n

+的最小值为3

2。

12．已知等比数列{}n a 的首项为2，公比为2，则1

12n n

a a a a a a a a +=??? 4 。

13．设函数2013(),f x x x x R =+∈，若当[0,

)2

π

θ∈时，(sin )(1)0f m f m θ+->恒成立，则

m 的

取值范围是(,1)-∞。

14．设二次函数2()4f x ax x c =-+的值域为[0,)+∞，且(

1)4f ≤，则2244

a c

u c a =+

++的最大

值为7

4

。

二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每小题4分。 15

．

已

知

{|l g (A x y x x R ==-∈，

1

{|1,}B x x R x

=<∈，则

（ B ） （A ）“x B ∈”是“x A ∈”的充分不必要条件（B ）“x B ∈”是“x A ∈”的必要不充分条件 （C ）“x B ∈”是“x A ∈”的充分必要条件 （D ）“x B ∈”是“x A ∈”的既不充分又必要条件

16．若在直线l 上存在不同的三点A B C 、、，使得关于x 的方程20x OA xOB BC ++=

有解（点O

不在直

线

l

上），则此方程的解集为

（ A ）

（A ）{1}- （B ）? （C

）, （D ）{1,0}-

17．已知函数(),f x x R ∈是偶函数，且(2)(2)f x f x +=-，当[0,2]x ∈时，()1f x x =-，

则方

程1

()1||

f x x =-在区间[10,10]-上的解的个数是

（ B ）

（A ）8 （B ）9 （C ）10 （D ）11

18．数列{}n a 满足：11a =

11n a +=，记222

12n n S a a a =+++ ，若2130

n n t S S +-≤对任意

的

*

n N ∈恒成立

，

则

正整数t 的最小值为

（ A ）

（A ）10 （B ）9 （C ）8 （D ）7

三、解答题（本大题共5小题，满分74分） 19．（本题满分12分） 解关于x 的不等式：

1

0(0)2

ax a x ->>-。

19．∵0a >，∴原不等式等价于1

(2)()0x x a

-->。……………………………………………………………

（3分） 当1

2

a =时，不等式的解集为(,2)(2,)-∞+∞ ；…………………………………………………………（6分） 当12a >时，不等式的解集为1

(,)(2,)a

-∞+∞ ；…………………………………………………………（9分）

当102a <<时，不等式的解集为1

(,2)(,)a -∞+∞ 。……………………………………………………（12分）

20．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题满分7分，第2小题满分7分。

定义在R 上的函数()f x 满足2log (1),0,

()(1)(2),0.x x f x f x f x x -≤?=?--->?

（1）计算：(1)(0)(1)(2)f f f f -、

、、，并求出(3)f n +与*(),f n n N ∈满足的关系式； （2）对于数列{}n a ，若存在正整数T ，使得n T n a a +=，则称数列{}n a 为周期数列，T 为数列的

周期，令*(),n a f n n N =∈，证明：{}n a 为周期数列，指出它的周期T ，并求2012a 的值。

20．（1）2(1)log 21f -==，(0)0f =，(1)(0)(1)1f f f =--=-，(2)(1)(0)1f f f =-=-。…………………（4分）

当*n N ∈时，由已知可得：(2)(1)()f n f n f n +=+-，(3)(2)(1)f n f n f n +=+-+，……………（6分）

两式相加：(3)()f n f n +=-。……………………………………………………………………………（7分）

（2）由（1）得：3n n a a +=-，∴63n n n a a a ++=-=。…………………………………………………………（10分）

∴{}n a 是周期为6的周期数列。…………………………………………………………………………（11分）

∴2012335622(2)1a a a f ?+====-。………………………………………………………………………（14分）

21．（本题满分14分）本题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分。

如图所示，有一块边长为1km 的正方形区域ABCD ，在点A 处有一个可转动的探照灯，

其照射角PAQ ∠始终为

4

π

弧度（其中点P Q 、分别在边BC CD 、上运动），设PAB θ∠=，

tan t θ=。

（1）试用t 表示出PQ 的长度，并探求CPQ ?的周长l 是否为定值； （2）求探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S 的最大值。

21．（1）设BP t =，1CP t =-，01t ≤≤，4

DAQ π

θ∠=-，1tan(

)4

1t

DQ t

π

θ-=-=

+， 12111t t CQ t t

-=-

=++。………………………………………………………（2分）

∴2

11t PQ t

++，2211111t t l CP CQ PQ t t t +=++=-++=++为定值。（6分）

（2）12

2(1)(01)21ABP ADQ ABCD S S S S t t t

??=--=-++

≤≤+正方形。…………………………………………（8分）

又函数2

11y t t

=+++

在[01]

上是减函数，在1,1]上是增函数，………………………

（10分）

∴2131t t ++≤+

，∴1122(1)2221t t

≤-++≤+（13分）

所以探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S

的最大值为22)km 。……………………（14分）

22．（本题满分16分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分。

定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意的x D ∈，存在常数0M >，都有|()|f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界。

已知函数11()1()()39

x x

f x a =+?+，13()13x x

m g x m -?=+?。 （1）当1a =时，求函数()f x 在(,0)-∞上的值域，并判断函数()f x 在(,0)-∞上是否为有

界函

数，请说明理由；

（2）若函数()f x 在[0,)+∞上是以4为上界的有界函数，求实数a 的取值范围； （3）若0m >，函数()g x 在[0,1]上的上界为()T m ，求()T m 的取值范围。

22．（1）1a =时，11

()1()()39

x x f x =++，()f x 在(,0)-∞上递减()(0)3f x f ?>=，∴()(3,)f x ∈+∞。

（2分）

故不存在常数0M >，使得|()|f x M ≤成立。∴函数()f x 在(,0)-∞上不是有界函数。…………（4分）

（2）由题意可知|()|4f x ≤在[0,)+∞上恒成立，4()4f x -≤≤，即111

5()()3()939

x x x a --≤?≤-。……

（5分）

∴1153()33()33x x x x a -?-≤≤?-在[0,)+∞上恒成立，∴max min 11

[53()][33()]33

x x x x a -?-≤≤?-。…

（7分）

设3x t =，1()5h t t t =--，1

()3p t t t

=-，由[0,)x ∈+∞，得1t ≥。

设121t t ≤<，则21121212()(51)()()0t t t t h t h t t t ---=

>，12121212

()(31)

()()0t t t t p t p t t t -+-=<，

∴()h t 在[1,)+∞上单调递减，()p t 在[1,)+∞上单调递增。…………………………………………（9分）

∴在[1,)+∞上，max ()(1)6h t h ==-，min ()(1)2p t p ==。∴实数a 的取值范围是[6,2]-。………（10分）

（3）2()131x

g x m =-+?+，∵0m >，[0,1]x ∈，∴()g x 在[0,1]上递减，∴131()131m m

g x m m

--≤≤++。 （12分） ①若113||||113m m m m --≥++

，即(0m ∈时，1|()|||1m g x m -≤+；此时1()||1m T m m -≥+；………………（13分） ②若113||||113m m m m --<++

，即)m ∈+∞时，13|()|||13m g x m -≤+；此时13()||13m T m m -≥+。…………（14分）

综上，当(0m ∈时，1()[||,)1m T m m -∈+∞+

；当,)m ∈+∞时，13()[||,)13m T m m -∈+∞+。（16分）

23．（本题满分18分）本题共有3小题，第1小题4分，第2小题6分，第3小题8分。

已知集合12{,,,}n A a a a = 中的元素都是正整数，且12n a a a <<< ，对任意的

,x y A ∈，且x y ≠，都有||36

xy x y -≥

。 （1）求证：

111136

n n a a --≥； （提示：可先求证

1111

36

i i a a +-≥(1,2,,1)i n =- ，然后再完成所要证的结论。）

（2）求证：11n ≤；

（3）对于11n =，试给出一个满足条件的集合A 。

23．（1）依题意有1

1||36

i i i i a a a a ++-≥

(1,2,,1)i n =- ，又12n a a a <<< ， ∴111113636i i i i i i i i a a a a a a a a ++++--≥?≥，可得1111

36

i i a a +-≥

(1,2,,1)i n =- 。…………………………（2分） ∴12231111111136n n n a a a a a a ---+-++-≥

，即111136

n n a a --≥。………………………………………（4分）

（2）由（1）可得111

36

n a ->

，又11a ≥，可得1136n ->，因此37n <。……………………………………（5分） 同理，1136i n n i a a --≥

，可知136

i n i

a ->。又i a i ≥，可得136n i i ->。…………………………………（7分）

∴()36i n i -<(1,2,,1)i n =- 都成立。………………………………………………………………（8分）

当12n ≥时，取6i =，则()6(6)36i n i n -=-≥，与()36i n i -<不符，∴12n <。………………（9分）

又当11n ≤时，22()(

)()3622

i n i n

i n i +--≤=<，符合题意，∴11n ≤。……………………………

（10分）

（3）由（1）可知，1111

36

i i a a +-≥

， ∵111236-

≥，1112336-≥，1113436-≥，1114536-≥，111

5636

-≥， ∴可设11a =，22a =，33a =，44a =，55a =，66a =。…………………………………………（12分） 由67111

36

a a -≥

，可得7365a ≥，取78a =；……………………………………………………………（13分） 由78111

36

a a -≥

，可得8727a ≥，取811a =；……………………………………………………………（14分） 由89111

36

a a -≥

，可得939625a ≥，取916a =；…………………………………………………………（15分） 由910111

36

a a -≥

，可得101445a ≥，取1029a =；………………………………………………………（16分） 由1011111

36

a a -≥

，可得1110447a ≥，取11150a =；……………………………………………………（17分）

∴满足条件的一个集合{1,2,3,4,5,6,8,11,16,29,150}A =（答案不唯一）。…………………（18分）

说明：也有同学在第（2）小题的证明过程中，先逐一求得11a =，22a =，33a =，44a =，55a =，66a =，

78a =，811a =，916a =，1029a =，11150a =， 然后由

111211136a a -≥，可得121111111

03615036

a a ≤-=-<，∴12a 不存在，即11n ≤。