对偶单纯形法
1.对偶单纯形法
2.F(x)=3x1+4x2+5x3
X1+2x2+3x3>=5
2x1+2x2+x3>=6
xi>=0
f=[3;4;5];
A=[-1 -2 -3
-2 -2 -1];
b=[-5;-6];
lb=zeros(3,1);
[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb) x =
1.0000
2.0000
0.0000
fval =
11.0000
exitflag =
1
output =
iterations: 8
algorithm: 'large-scale: interior point' cgiterations: 0
message: 'Optimization terminated.' lambda =
ineqlin: [2x1 double]
eqlin: [0x1 double]
upper: [3x1 double]
lower: [3x1 double]
x, lambda.ineqlin, lambda.lower
x =
1.0000
2.0000
0.0000
ans =
1.0000
1.0000
ans =
0.0000
0.0000
1.0000
2.单纯形法
f(x)=-9x1+-16x2
x1+4x2+x3=80
2x1+3x2+x4=90
xi>=0
f=[-9;-16;0;0];
Aeq=[1 4 1 0
2 3 0 1];
beq=[80;90];
lb=zeros(4,1);
[x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,[],[],Aeq,beq,lb) Optimization terminated.
x =
24.0000
14.0000
0.0000
0.0000
fval =
-440.0000
exitflag =
1
output =
iterations: 5
algorithm: 'large-scale: interior point'
cgiterations: 0
message: 'Optimization terminated.' lambda =
ineqlin: [0x1 double]
eqlin: [2x1 double]
upper: [4x1 double]
lower: [4x1 double]
x, lambda.ineqlin, lambda.lower
x =
24.0000
14.0000
0.0000
0.0000
ans =
Empty matrix: 0-by-1
ans =
0.0000
0.0000
1.0000 4.0000
用对偶单纯形法求解线性规划问题教学文案
用对偶单纯形法求解线性规划问题
例4-7用对偶单纯形法求解线性规划问题. Min z =5x1+3x 2 s.t.-2 x1 + 3x 2 ≥6 3 x1 - 6 x 2 ≥4 Xj≥0（j=1,2） 解：将问题转化为 Max z = -5 x1 - 3 x 2 s.t. 2 x1 - 3x 2+ x 3 = -6 -3 x1 + 6 x 2+ x 4 ≥-4 Xj≥0（j=1,2，3,4） 其中，x3 ，x4为松弛变量，可以作为初始基变量，单纯形表见表4-17. 表4-17 例4-7单纯形表 在表4-17中,b=-16<0,而y≥0,故该问题无可行解. 注意: 对偶单纯形法仍是求解原问题,它是适用于当原问题无可行基,且所有检验数均为负的情况.
若原问题既无可行基,而检验数中又有小于0的情况.只能用人工变量法求解. 在计算机求解时,只有人工变量法,没有对偶单纯形法. 3.对偶问题的最优解 由对偶理论可知,在原问题和对偶问题的最优解之间存在着密切的关系,可以根据这些关系,从求解原问题的最优单纯形表中,得到对偶问题的最优解. (1)设原问题(p)为 Min z=CX s.t. ???≥=0X b AX 则标准型(LP)为 Max z=CX s.t. ???≥=0X b AX 其对偶线性规划（D ）为 Max z=b T Y s.t. ???≥=0X b AX 用对偶单纯形法求解（LP ），得最优基B 和最优单纯形表T （B ）。对于（LP ）来说，当j=n+i 时，有Pj=-e i ，c j =0 从而，在最优单纯形表T （B ）中，对于检验数，有 （σn+1，σn+2…σn+m ）=（c n+1，c n+2…，c n+m ）-C B B -1（Pn +1,Pn+2…,Pn+m ）=- C B B -1 (-I)
用对偶单纯形法求解线性规划问题
例4-7用对偶单纯形法求解线性规划问题. Min z =5x1+3x 2 ≥6 s.t. -2 x1 + 3x 2 ≥4 3 x1 - 6 x 2 Xj≥0（j=1,2） 解：将问题转化为 Max z = -5 x1 - 3 x 2 + x3 = -6 s.t. 2 x1 - 3x 2 -3 x1 + 6 x + x4≥-4 2 Xj≥0（j=1,2，3,4） 其中，x3 ，x4为松弛变量，可以作为初始基变量，单纯形表见表4-17. 在表4-17中,b=-16<0,而y≥0,故该问题无可行解. 注意: 对偶单纯形法仍是求解原问题,它是适用于当原问题无可行基,且所有检验数均为负的情况. 若原问题既无可行基,而检验数中又有小于0的情况.只能用人工变量法求解. 在计算机求解时,只有人工变量法,没有对偶单纯形法. 3.对偶问题的最优解 由对偶理论可知,在原问题和对偶问题的最优解之间存在着密切的关系,可以根据这些关系,从求解原问题的最优单纯形表中,得到对偶问题的最优解. (1)设原问题(p)为 Min z=CX
s.t. ?? ?≥=0 X b AX 则标准型(LP)为 Max z=CX s.t. ? ??≥=0X b AX 其对偶线性规划（D ）为 Max z=b T Y s.t. ? ? ?≥=0X b AX 用对偶单纯形法求解（LP ），得最优基B 和最优单纯形表T （B ）。对于（LP ）来说，当j=n+i 时，有Pj=-e i ，c j =0 从而，在最优单纯形表T （B ）中，对于检验数，有 （σn+1，σn+2…σn+m ）=（c n+1，c n+2…，c n+m ）-C B B -1（Pn +1,Pn+2…,Pn+m ）=- C B B -1 (-I) 于是，Y*=（σn+1，σn+2…σn+m ）T 。可见，在（LP ）的最优单纯形表中，剩余变量对应的检验数就是对偶问题的最优解。 同时，在最优单纯形表T （B ）中，由于剩余变量对应的系数 所以 B -1 =（-y n+1，-y n+2…-y n+m ） 例4-8 求下列线性规划问题的对偶问题的最优解。 Min z =6x 1+8x 2 s.t. x 1 + 2x 2≥20 3 x 1 + 2x 2≥50 Xj ≥0（j=1,2） 解： 将问题转化为 Max z =-6x 1-8x 2 s.t. -x 1 — 2x 2 + x 3=20 -3 x 1 - 2x 2+ x 4 =50 Xj ≥0（j=1,2，3,4）
用对偶单纯形法求解线性规划问题
用对偶单纯形法求解线性 规划问题 The final edition was revised on December 14th, 2020.
例4-7用对偶单纯形法求解线性规划问题. Min z =5x1+3x 2 .-2 x1 + 3x 2 ≥6 3 x1 - 6 x 2 ≥4 Xj≥0（j=1,2） 解：将问题转化为 Max z = -5 x1 - 3 x 2 . 2 x1 - 3x 2+ x 3 = -6 -3 x1 + 6 x 2+ x 4 ≥-4 Xj≥0（j=1,2，3,4） 其中，x3 ，x4为松弛变量，可以作为初始基变量，单纯形表见表4-17. 表4-17 例4-7单纯形表 在表4-17中,b=-16<0,而y≥0,故该问题无可行解. 注意: 对偶单纯形法仍是求解原问题,它是适用于当原问题无可行基,且所有检验数均为负的情况.
若原问题既无可行基,而检验数中又有小于0的情况.只能用人工变量法求解. 在计算机求解时,只有人工变量法,没有对偶单纯形法. 3.对偶问题的最优解 由对偶理论可知,在原问题和对偶问题的最优解之间存在着密切的关系,可以根据这些关系,从求解原问题的最优单纯形表中,得到对偶问题的最优解. (1)设原问题(p)为 Min z=CX . ???≥=0X b AX 则标准型(LP)为 Max z=CX . ???≥=0X b AX 其对偶线性规划（D ）为 Max z=b T Y . ???≥=0X b AX 用对偶单纯形法求解（LP ），得最优基B 和最优单纯形表T （B ）。对于（LP ）来说，当j=n+i 时，有Pj=-e i ，c j =0 从而，在最优单纯形表T （B ）中，对于检验数，有 （σn+1，σn+2…σn+m ）=（c n+1，c n+2…，c n+m ）-C B B -1（Pn +1,Pn+2…,Pn+m ）=- C B B -1 (-I)
对偶单纯形法
1.对偶单纯形法 2.F(x)=3x1+4x2+5x3 X1+2x2+3x3>=5 2x1+2x2+x3>=6 xi>=0 f=[3;4;5]; A=[-1 -2 -3 -2 -2 -1]; b=[-5;-6]; lb=zeros(3,1); [x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,A,b,[],[],lb) x = 1.0000 2.0000 0.0000 fval = 11.0000 exitflag = 1 output = iterations: 8 algorithm: 'large-scale: interior point' cgiterations: 0 message: 'Optimization terminated.' lambda = ineqlin: [2x1 double] eqlin: [0x1 double] upper: [3x1 double] lower: [3x1 double] x, lambda.ineqlin, lambda.lower x = 1.0000 2.0000 0.0000 ans = 1.0000 1.0000 ans = 0.0000 0.0000 1.0000
2.单纯形法 f(x)=-9x1+-16x2 x1+4x2+x3=80 2x1+3x2+x4=90 xi>=0 f=[-9;-16;0;0]; Aeq=[1 4 1 0 2 3 0 1]; beq=[80;90]; lb=zeros(4,1); [x,fval,exitflag,output,lambda] = linprog(f,[],[],Aeq,beq,lb) Optimization terminated. x = 24.0000 14.0000 0.0000 0.0000 fval = -440.0000 exitflag = 1 output = iterations: 5 algorithm: 'large-scale: interior point' cgiterations: 0 message: 'Optimization terminated.' lambda = ineqlin: [0x1 double] eqlin: [2x1 double] upper: [4x1 double] lower: [4x1 double] x, lambda.ineqlin, lambda.lower x = 24.0000 14.0000 0.0000 0.0000 ans = Empty matrix: 0-by-1 ans =
5、对偶单纯形法
5、对偶单纯形法 在标准形式的线性规划问题中，如果σj =c j -C B P j ≤0，但b i 的值不一定为正，这时可用对偶单纯形法继续求解，直到所有b i ≥0。 对偶单纯形法的步骤： 1、 确定出基变量 存在小于零的b i 时，令b r =min{b i }，其对应变量x r 为出基变量。（先定出基变量） 2、 确定入基变量 在非基变量中找出a rj <0（j=m+1,….,n ）,令 θ=mjn ??????????<0rj rj j a a σ=rs s a σ 称a rs 为主元素，x s 为入基变量 3、 用入基变量替换出基变量，得到一个新的基。用新的基再检查是否所有b i ≥0，如果是，找到了问题的最优解，否则，回到第一步再重复计算。 【例】求解线性规划问题 min ω=12y 1+16y 2+15y 3 s.t. ?????≥≥+≥+0,,3522423 213121y y y y y y y 【解】 转化为目标函数最大化，并化为标准形 min （-ω）=-12y 1-16y 2-15y 3+0y 4+0y 5 s.t. ?????≥=-+=-+)5,4,3,2,1(0352242531421j y y y y y y y 但这时没有单位矩阵，需要用大M 法或两阶段法求解，较麻烦。 但这时可用对偶单纯形法求解。 在约束条件的两边乘-1，得 min （-ω）=-12y 1-16y 2-15y 3+0y 4+0y 5 s.t. ?????≥-=---=--)5,4,3,2,1(0352242531421j y y y y y y y 有单位矩阵，
对偶单纯形法
§6 对偶单纯形法 在介绍对偶单纯形法之前，让我们先利用对偶理论来重温一下单纯形法的基本思想， 以便给单纯形法一种新的解释。 考虑线性规划（LP ）和其对偶规划（DP ）： x c T min b w T max (LP) s.t ???≥=0 x b Ax (DP) s.t T T c A w ≤ 我们已经知道，（LP ）的单纯形表为 基变量 x 1 x 2 ┄ x n x B B -1 A B -1b f c B T B -1 A – c T c B T B – 1b 定理1 设(LP)的任一基本解为x 0，它对应于基B ，并作(w 0 )T = c B T B – 1。若x 0 和w 0 分别是(LP)和（DP ）的可行解，则x 0 和w 0 也分别是(LP)和（DP ）的最优解。 证明 因w 0 是（DP ）的可行解，即 (w 0 )T A ≤ c T 从而有 c B T B – 1A - c T ≤ 0 此式说明，x 0是对应于基B 的基本可行解，且所有的检验数 λj ≤ 0 故x 0是（LP ）的最优解。此外，还有 (w 0 )T b = c B T B – 1 b = c B T x B 0 = c x 0 从而由线性规划的对偶定理知，w 0 也是（DP ）的最优解。 证毕。 由以上证明过程可看到： x 0（（LP ）的任一基本解）的检验数全部非正与(w 0 )T = c B T B – 1是对偶问题（DP ）的可行解等价。 据此我们可对单纯形法作如下解释： 从一个基本解x 0出发迭代到另一个基本解，在迭代过程中始终保持解的可行性（基本 可行解），同时使它所对应的对偶规划的解w 0（满足（w 0 ）T = c B T B – 1 ）的不可行性逐步消失（即检验数逐步变为非正）；直到w 0是（DP ）的可行解，x 0就是（LP ）的最优解。 因（LP ）和（DP ）互为对偶问题，故基于对称的想法，我们也可以把迭代过程建立在满足对偶问题（DP ）的可行解上，即在迭代过程中保持对应的对偶问题的解w 0的可行性（从而x 0的检验数全部非正），逐步消除原问题（LP ）的基本解x 0的不可行性（即使x 0非负），最后达到双方同时为可行解，x 0和w 0也就同时为最优解了。这就是对偶单纯形法的基本思想。 按照此设想，为求原问题（LP ）的最优解，出发点将是一个不一定可行的基本解（某些变量可能取负值），但满足最优性判别条件（所有λj ≤ 0）。下面将讨论对偶单纯形法的迭代步骤。 设x 0是（LP ）的一个基本解（不一定可行），不失一般性，可设相应的典式为
(运筹学大作业)单纯性法与对偶单纯性法比较
对偶单纯形法与单纯形法对比分析 1．教学目标： 通过对偶单纯形法的学习，加深对对偶问题的理解 2．教学内容： 1）对偶单纯形法的思想来源 2）对偶单纯形法原理 3．教学进程： 1）讲述对偶单纯形法解法的来源： 所谓对偶单纯形法，就是将单纯形法应用于对偶问题的计算，该方法是由美国数学家C.莱姆基于1954年提出的，它并不是求解对偶问题解的方法，而是利用对偶理论求解原问题的解的方法。 2）为什么要引入对偶单纯形法： 单纯形法是解线性规划的主要方法，对偶单纯形法则提高了求解线性规划问题的效率，因为它具有以下优点： （1）初始基解可以是非可行解, 当检验数都为负值时, 就可以进行基的变换, 不需加入人工变量, 从而简化计算； （2）对于变量多于约束条件的线性规划问题,用对偶单纯形法可以减少计算量,在灵敏度分析及求解整数规划的割平面法中,有时适宜用对偶规划单纯形法。 由对偶问题的基本性质可以知道，线性规划的原问题及其对偶问题之间存在一组互补的基解，其中原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题的变量；这些互相对应的变量如果在一个问题的解中是基变量，则在另一问题的解中是非基变量；将这对互补的基解分别代入原问题和对偶问题的目标函数有z=w 。据此可知，用单纯形法求解线性规划问题时，在得到原问题的一个基可行解的同时，在检验数行得到对偶问题的一个基解，并且将两个解分别代入各自的目标函数时其值相等。 我们知道，单纯形法计算的基本思路是保持原问题为可行解（这时一般其对偶问题为非可行解）的基础上，通过迭代，增大目标函数，当其对偶问题的解也为可行解时，就达到了目标函数的最优值。那么对偶单纯形法的基本思想可以理解为保持对偶问题为可行解（这时一般原问题为非可行解）的基础上，通过迭代，减小目标函数，当原问题也达到可行解时，即达到了目标函数的最优值。其实对偶单纯形法本质上就是单纯形法, 只不过在运用时需要将单纯形表旋转一下而已。 一.单纯形法和对偶单纯性法 单纯形法是求解线性规划的主要方法, 单纯形表则是单纯形法和对偶单纯形法的运算工具。设线性规划问题为 Max ∑==n j j j x c Z 1
用对偶单纯形法求对偶问题的最优解
用对偶单纯形法求对偶问题的最优解 摘要：在线性规划的应用中，人们发现一个线性规划问题往往伴随着与之配对的另一个线性规划问题.将其中一个称为原问题，另一个称为对偶问题.对偶理论深刻揭示了原问题与对偶问题的内在联系.由对偶问题引申出来的对偶解有着重要的经济意义.本文主要介绍了对偶问题的基本形式以及用对偶单纯形法求解对偶问题的最优解. 关键词：线性规划；对偶问题；对偶单纯形 Using Dual Simplex Method To Get The Optimal Solution Of The Dual Problem Abstract：In the application of the linear programming，people find that a linear programming problem is often accompanied by another paired linear programming problem.One is called original problem. Another is called the dual problem. Duality theory reveals the internal relations between the dual problem and the original problem. The solution of the dual problem is of a great economic significance. In this paper，we mainly discuss the basic form of the dual problem and how to use dual simplex method to get the optimal solution of the dual problem. Key words: linear programming；dual problem；dual simplex method 1 引言 首先我们先引出什么是线性规划中的对偶问题.任何一个求极大化的线性规划问题都有一个求极小化的线性规划问题与之对应，反之亦然，如果我们把其中一个叫原问题，则另一个就叫做它的对偶问题，并称这一对互相联系的两个问题为一对对偶问题.每个线性规划都有另一个线性规划(对偶问题)与它密切相关，对偶理论揭示了原问题与对偶问题的内在联系.下面将讨论线性规划的对偶问题的基本形式以及用对偶单纯形法求最优解.在一定条件下，对偶单纯形法与原始单纯形法相比有着显著的优点. 2 对偶问题的形式 对偶问题的形式主要包括对称形对偶问题[]3和非对称性对偶问题. 2.1对称形对偶问题 设原线性规划问题为 Max 1122... n n Z c x c x c x =+++
对偶单纯形法 哈工大
对偶单纯形法教案 一．教学目标： 通过对偶单纯形法的学习，加深对对偶问题的理解，让学生了解对偶单纯形法思想来源和原理和引入单纯形法的原因，了解对偶单纯形法和原始单纯形法各自特点和适用问题，掌握对偶单纯形法解题步骤并能熟练运用对偶单纯形法配合原始单纯形法解决一些线性规划问题。 二.教学内容： 1）.对偶单纯形法的思想来源(5 min) 2）对偶单纯形法原理（难点）(10 min) 3）用标准流程图表示对偶单纯形算法 4）结合实际案例讲解对偶单纯形法求解过程 5）对比分析单纯形法和对偶单纯形法，说明什么类型的问题适合转化为对偶问题求解 三．教学过程： 1）：思想来源 对偶单纯形法是美国数学家C.莱姆基于1954年提出的。单纯形法是从原始问题的一个可行解通过迭代转到另一个可行解，直到检验数满足最优性条件为止。对偶单纯形法则是从满足对偶可行性条件出发通过迭代逐步搜索原始问题的最优解。在迭代过程中始终保持基解的对偶可行性，而使不可行性逐步消失。 设原始问题为min{cx|Ax=b，x≥0}，则其对偶问题（Dual Problem）为max{yb|yA≤c}。当原始问题的一个基解满足最优性条件时,其检验数cBB-1A-c ≤0。即知y=cBB-1（称为单纯形算子）为对偶问题的可行解。所谓满足对偶可行性，即指其检验数满足最优性条件。因此在保持对偶可行性的前提下，一当基解成为可行解时，便也就是最优解。 2）：对偶单纯形法原理 对偶单纯形法的原理，要用到前面讲到的几种性质： 弱对偶性原理：若X是原问题的可行解，Y是对偶问题的可行解。则存
在X C ≦b Y 。 无界性原理： 若原问题（对偶问题）为无界解，则其对偶问题（原问题）无可行解。 最优性原理：如果x j （j=1，…，n)是原问题的可行解，y j （i=1，…，m ） 是其对偶问题的可行解，且有∑=n j j j x c 1 =∑=m i i i y b 1 ，则x j （j=1，…，n ）是原问题 的最优解， y j （i=1，…，m ）是其对偶问题的最优解。 性质6：线性规划问题的原问题及其对偶问题之间存在一对互补的基解，其中原问题的松弛变量对应对偶问题的变量，对偶问题的剩余变量对应原问题的变量；这些互相对应的变量如果在一个问题的解中是基变量，则在另一问题的解中是非基变量；将这对互补的基解分别代入原问题和对偶问题的目标函数有z=w. 前面已经讲到原问题与对偶问题的解之间的对应关系时指出：在单纯形表中进行迭代时，在b 列中得到的是原问题的基可行解，而在检验数行得到的是对偶问题的基解。通过逐步迭代，挡在检验数行得到对偶问题的解也是基可行解时，根据弱对偶性原理和无界性原理可知，已得到最优解。即原问题与对偶问题都是最优解。 根据对偶问题的对称性，也可以这样考虑：若保持对偶问题的解是基可行解，即j B P B c 1-≦0，而原问题在非可行解的基础上，通过逐步迭代达到基可行解，这样也得到了最优解。其优点是原问题的初始解不一定是基可行解，可从非基可行解开始迭代，方法如下。 设原问题 max z=CX AX=b X ≧0 又设B 是一个基。不失一般性，令B=（,,21P P …m P ），它对应的变量为 =B X （,,21x x …m x ）
用对偶单纯形法求解线性规划问题
例4-7 用对偶单纯形法求解线性规划问题 Min z =5x 1+3x 2 X 1 - 6 x 2 A 4 在表4-17中,b=-16<0,而yA 0,故该问题无可行解. 注意：对偶单纯形法仍是求解原问题 ，它是适用于当原问题无可行基 ，且所有检验数均为负 的情况. 若原问题既无可行基，而检验数中又有小于 0的情况.只能用人工变量法求解. 在计算机求解时，只有人工变量法，没有对偶单纯形法. 3.对偶问题的最优解 由对偶理论可知，在原问题和对偶问题的最优解之间存在着密切的关系 从求解原问题的最优单纯形表中 ，得到对偶问题的最优解. (1)设原问题(P)为 Min z= ex s.t. -2 X i + 3x 2 A 6 A 0 (j=1,2 ) 解：将问题转化为 Xj Max z = -5 X 1 -3 x 2 s.t. 2 x i - 3x X 3 = -6 -3 x i + 6 X 2 + x 4A -4 Xj 其中，X 3 , X 4 ,3,4 ) A 0 (j=1,2 为松弛变量，可以作为初始基变量，单纯形表见表 4-17. ,可以根据这些关系，
Xj > 0 (j=1,2 , 3,4 ) 则标准型 (LP) 为 AX b s.t. X0 Max z=CX AX b s.t. X0 其对偶线性规划(D )为 Max z=b T Y AX b s.t. X0 用对偶单纯形法求解 时，有 Pj=-e i ， c j =0 (LP ),得最优基B 和最优单纯形表 T ( B )。对于(LP )来说，当j=n+i T (B )中，对于检验数，有 (b n+1,b n+2???b n+m) = (C n+i , c n+2…，c n+m ) -C B B -1 (Pn +1,Pn+2 …,Pn+m ) =- C B B -1 (-I) 于是，Y*= (b n+1,b n+2…b n+m T 。可见，在(LP )的最优单纯形表中，剩余变 量对应的检验数就是对偶问题的最优解。 同时，在最优单纯形表 T ( B )中，由于剩余变量对应的系数 所以 从而，在最优单纯形表 b n +2 …b B 1 = ( -y n+1 , -y n+2 …-y n+m ) 例 4-8 求下列线性规划问题的对偶问题的最优解。 Min z =6x 1+8x 2 s.t. X i + 2x 2 >20 X 1 + 2x 2 A 50 Xj > 0 (j=1,2 ) 解： 将问题转化为 Max z =-6x 1-8x 2 s.t. -x 1 — 2x 2 + x 3=20 -3 X 1 - 2X 2 + X 4 =50
对偶单纯形法编程
云南大学数学与统计学实验教学中心 实 验 报 告 一、实验目的 编程实现对偶（改进）单纯形法求解线性规划问题，加深对单纯形法的理解和掌握 二、实验环境 VS2010（C++） 三、实验内容 改进单纯形法的实验： 由于在一些情况下，当检验数Cj-Zj 都小于零后了，但是其b 的值却存在有负数了。这样的话，x 中就会存在负值，这样与约束条件中xi>0，就不符合。所以需要对单纯形法改进，得到对偶单纯形法。 四、实验过程 A 、对偶单纯形法的算法思想 1. 先用单纯形法计算，当检验数都为非正后，检查b 是否有存在负值，若是有则使用 对偶单纯形法。 2. 确定换出量，找到b 中为负值的最小值。确定对应的xi 的换出。 3. 再对单纯形表中的xi 所在行的各系数进行检查，若所有Aij 都大于零，则表示无可 行解。若存在Aij 小于零，则计算c min j j j ij z a -，找到其所换入的列以保证的到的对偶问题仍有可行解。 4. 然后再按照原单纯形算法经行求解。重复上述步骤。 B 、编译运行程序，输入约束方程的系数矩阵A ，常矩阵B,价值系数C,得到最优解 为了保证得到的算法既能对特殊情形（有bi<0）的情况下能求解，也能对一般的问题求解。这里给出了一下两组数据。 1、上一个实验报告中的求解的数据。 412011001011301110002310220101A ---????=-????----?? B=[2 ; 14 ; 2]; X=[3 -4 2 0 -5 5 0 0]
2、参照课本P62例题6中的2-6表给出的数据 133max 234z x x x =--- 123123232340;1,2,3i x x x x x x x i ++≥??-+≥??≥=? 1211021301A ---??=??--?? []12B =-- X=[-2 -3 -4 0 0] D 、运行结果如下图： 1）下图表示的是第一个数据带入后得到的结果。表示对偶单纯形法对一般的数据成立 2）下图表示的对偶单纯形法对b 中存在负值时纠正的结果： a 、初始化后的结果：