高考数学函数专题复习 普通高中数学复习资料

函数专题 基本定义

1．映射f : A →B 的概念。

在理解映射概念时要注意： ⑴A 中元素必须都有象且唯一；

⑵B 中元素不一定都有原象，但原象不一定唯一。如

（1）设:f M N →是集合M 到N 的映射，下列说法正确的是 A 、M 中每一个元素在N 中必有象 B 、N 中每一个元素在M 中必有原象 C 、N 中每一个元素在M 中的原象是唯一的 D 、N 是

M 中所在元素的象的集合（答：A ）

； （2）点),(b a 在映射f 的作用下的象是),(b a b a +-，则在f 作用下点)1,3(的原象为点________（答：（2，－1））；

（3）若}4,3,2,1{=A ，},,{c b a B =，,,a b c R ∈，则A 到B 的映射有 个，B 到A 的映射有 个，A 到B 的函数有 个（答：81,64,81）

； （4）设集合{1,0,1},{1,2,3,4,5}M N =-=，映射:f M N →满足条件“对任意的x M ∈，()x f x +是奇数”，这样的映射f 有____个（答：12）；

（5）设2

:x x f →是集合A 到集合B 的映射，若B={1,2}，则B A 一定是_____（答：?或{1}）.

2．函数f : A →B 是特殊的映射。特殊在定义域A 和值域B 都是非空数集！据此可知函数图像与x 轴的垂线至多有一个公共点，但与y 轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个。如

（1）已知函数()f x ，x F ∈，那么集合{(,)|(),}{(,)|1}x y y f x x F x y x =∈=中所含元素的个数有 个（答： 0或1）； （2）若函数422

12

+-=

x x y 的定义域、值域都是闭区间]2,2[b ，则b ＝ （答：2）

3．同一函数的概念。构成函数的三要素是定义域，值域和对应法则。而值域可由定义域和对应法则唯一确定，因此当两个函数的定义域和对应法则相同时，它们一定为同一函数。如若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“天一函数”，那么解析式为2

y x =，值域为{4，1}的“天一函数”共有______个（答：9）

4．求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：

（1）根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数log a x 中0,0x a >>且1a ≠，三角形中0A π<<, 最大角3π≥

，最小角3

π

≤等。如

（1）函数

lg 3y x =

-的定义域是____(答：(0,2)(2,3)(3,4))；

（2）若函数2743kx y kx kx +=

++的定义域为R ，则k ∈_______(答：30,4??

????

)； （3）函数()f x 的定义域是[,]a b ，0b a >->，则函数()()()F x f x f x =+-的定义域是__________(答：[,]a a -)；

（4）设函数2

()lg(21)f x ax x =++，①若()f x 的定义域是R ，求实数a 的取值范围；②若()f x 的值域是R ，求实数a 的取值范围（答：①1a >；②01a ≤≤） （2）根据实际问题的要求确定自变量的范围。

（3）复合函数的定义域：若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域由不等式

()a g x b ≤≤解出即可；若已知[()]f g x 的定义域为[,]a b ,求()f x 的定义域，相当于当[,]x a b ∈时，求

()g x 的值域（即()f x 的定义域）

。如 （1）若函数)(x f y =的定义域为??

?

???2,21，则)(log 2x f 的定义域为__________（答：

{}

42|

≤≤x x ）；

（2）若函数2

(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________（答：[1,5]）．

5．求函数值域（最值）的方法：

（1）配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]m n 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如

（1）求函数2

25,[1,2]y x x x =-+∈-的值域（答：[4,8]）；

（2）当]2,0(∈x 时，函数3)1(4)(2

-++=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是___（答：2

1-

≥a ）；（3）已知()3(24)x b f x x -=≤≤的图象过点（2,1），则1212

()[()]()F x f x f x --=-的值域为______（答：[2, 5]）

（2）换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如

（1）2

2sin 3cos 1y x x =--的值域为_____（答：17[4,

]8

-）；

（2）21y x =++_____（答：(3,)+∞）t =，0t ≥。运用换元法时，

要特别要注意新元t 的范围）；

（3）sin cos sin cos y x x x x =++的值域为____（答：1

[1,

2

-+）

；

（4）4y x =+的值域为____（答：4]）；

（3）函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界性，如

求函数2sin 11sin y θθ-=+，313x x y =+，2sin 11cos y θθ-=+的值域（答： 1(,]2-∞、（0,1）、3

(,]2

-∞）

； （4）单调性法――利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如求

1

(19)y x x x =-<<，229sin 1sin y x x =++，5

3

2log x y -=+______（答：80(0,)9、11

[,9]2

、[2,10]）

； （5）数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如

（1）已知点(,)P x y 在圆2

2

1x y +=上，求

2

y

x +及2y x -的取值范围（答：[33-

、

[）；

（2）求函数y =[10,)+∞）；

（3）求函数y =

及y 的值域（答：

)+∞、(）注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在x 轴的两侧，而求

两点距离之差时，则要使两定点在x 轴的同侧。

（6）判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式：

①2b y k x =

+型，可直接用不等式性质，如求2

32y x =+的值域（答：3

(0,]2

） ②2bx

y x mx n

=++型，先化简，再用均值不等式，如

（1）求21x y x =+的值域（答：1

(,]2

-∞）；

（2）求函数3y x =

+的值域（答：1

[0,]2

） ③22x m x n y x mx n ''++=++型，通常用判别式法；如已知函数232

8log 1

mx x n

y x ++=+的定义域为R ，值域为[0，2]，求常数,m n 的值（答：5m n ==）

④2x m x n y mx n ''++=+型，可用判别式法或均值不等式法，如求211

x x y x ++=+的值域（答：

(,3][1,)-∞-+∞）

（7）不等式法

――利用基本不等式,)a b a b R ++≥∈求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。如

设12,,,x a a y 成等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则2

12

21)(b b a a +的取值范围是____________.（答：

(,0][4,)-∞+∞）

。 （8）导数法――一般适用于高次多项式函数，如求函数3

2

()2440f x x x x =+-，[3,3]x ∈-的最小值。（答：－48）

提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？

6．分段函数的概念。分段函数是在其定义域的不同子集上，分别用几个不同的式子来表示对应关系的函数，它是一类较特殊的函数。在求分段函数的值0()f x 时，一定首先要判断0x 属于定义域的哪个子集，然后再代相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集。如

（1）

设函数2

(1).(1)

()41)

x x f x x ?+

(,2][0,10]-∞-）； （2）已知1(0)()1(0)x f x x ≥?=?

-

，则不等式(2)(2)5x x f x +++≤的解集是________（答：3

(,]2-∞）

7．求函数解析式的常用方法：

（1）待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：

2()f x ax bx c =++；顶点式：2()()f x a x m n =-+；零点式：12()()()f x a x x x x =--，要会根据已

知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。如

已知()f x 为二次函数，且 )2()2(--=-x f x f ，且f(0)=1,图象在x 轴上截得的线段长为22,

求()f x 的解析式 。（答：2

1()212

f x x x =

++） （2）代换（配凑）法――已知形如(())f g x 的表达式，求()f x 的表达式。如

（1）已知,sin )cos 1(2

x x f =-求()2

x

f

的解析式（答：2

4

2()2,[f x x

x x =-+∈）；

（2）若22

1)1(x

x x

x f +

=-，则函数)1(-x f =_____（答：2

23x x -+）； （3）若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)1()(3x x x f +=，那么当

)0,(-∞∈x 时，)(x f =________（答：(1x ）. 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，

即()f x 的定义域应是()g x 的值域。

（3）方程的思想――已知条件是含有()f x 及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函数的方程组。如

（1）已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式（答：2

()33

f x x =--）； （2）已知()f x 是奇函数，)(x

g 是偶函数，

且()f x +)(x g = 11

-x ,则()f x = __（答：21

x x -）。

8．反函数：

（1）存在反函数的条件是对于原来函数值域中的任一个y 值，都有唯一的x 值与之对应，故单调函数一定存在反函数，但反之不成立；偶函数只有()0({0})f x x =∈有反函数；周期函数一定不存在反函数。如

函数2

23y x ax =--在区间[1, 2]上存在反函数的充要条件是

A 、(],1a ∈-∞

B 、[)2,a ∈+∞

C 、[1,2]a ∈

D 、(]

,1a ∈-∞[)2,+∞

（答：D ）

（2）求反函数的步骤：①反求x ；②互换 x 、y ；③注明反函数的定义域（原来函数的值域）。注意函数(1)y f x =+的反函数不是1(1)y f x -=+，而是1()1y f x -=-。如

设)0()1(

)(2

>+=x

x

x x f .求)(x f 的反函数)(1

x f -（答：1

()1)f

x x -=

>）． （3）反函数的性质：

①反函数的定义域是原来函数的值域，反函数的值域是原来函数的定义域。如

单调递增函数)(x f 满足条件)3(+ax f = x ，其中a ≠ 0 ，若)(x f 的反函数)(1

x f

-的定义域

为??

????a

a 4,1 ，则)(x f 的定义域是____________（答：[4,7]）.

②函数()y f x =的图象与其反函数1

()y f x -=的图象关于直线y x =对称，注意函数()y f x =的图

象与1

()x f

y -=的图象相同。如

（1）已知函数()y f x =的图象过点(1,1),那么()4f x -的反函数的图象一定经过点_____（答：（1,3））；

（2）已知函数1

3

2)(-+=

x x x f ，若函数()y g x =与)1(1

+=-x f y 的图象关于直线x y =对称，求

(3)g 的值（答：7

2

）； ③1

()()f a b f

b a -=?=。如

（1）已知函数)24

(

log )(3+=x

x f ，则方程4)(1

=-x f 的解=x ______（答：1）；

（2）设函数f (x )的图象关于点（1,2）对称，且存在反函数1

()f x -，f (4)＝0，则1(4)f -＝ （答：

－2）

④互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇函数性。如

已知()f x 是R 上的增函数，点()()1,1,1,3A B -在它的图象上，()1f x -是它的反函数，那么不等

式()12log 1f x -<的解集为________（答：（2,8））；

⑤设()f x 的定义域为A ，值域为B ，则有1

[()]()f f

x x x B -=∈，1[()]f f x x -=

()x A ∈，但11[()][()]f f x f f x --≠。

9．函数的奇偶性。

（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如若函数)(x f 2sin(3)x θ=+， [25,3]x απα∈-为奇函数，其中)2,0(πθ∈，则θα-的值是 （答：0）

； （2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）： ①定义法：如判断函数

y =

____（答：奇函数）。

②利用函数奇偶性定义的等价形式：()()0f x f x ±-=或

()

1()

f x f x -=±（()0f x ≠）。如 判断11

()(

)212

x f x x =+-的奇偶性___.（答：偶函数） ③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称。

（3）函数奇偶性的性质：

①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.

②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数.

③若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==.如

若定义在R 上的偶函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，且)3

1(f =2，则不等式2)(log 8

1>x f 的解

集为______.（答：(0,0.5)(2,)+∞）

④若奇函数()f x 定义域中含有0，则必有(0)0f =.故(0)0f =是()f x 为奇函数的既不充分也不必要

条件。如若22()21

x x a a f x +-=+·为奇函数，则实数a ＝____（答：1）.

⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。如设)(x f 是定义域为R 的任一函数， ()()

()2

f x f x F x +-=

，()()()2f x f x G x --=

。①判断)(x F 与)(x G 的奇偶性； ②若将函数)110lg()(+=x

x f ，表示成一个奇函数)(x g 和一个偶函数)(x h 之和，则)(x g ＝____（答：①)(x F 为偶函数，)(x G 为奇函数；②)(x g ＝

1

2

x ） ⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.

⑦既奇又偶函数有无穷多个（()0f x =，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.

10．函数的单调性。

（1）确定函数的单调性或单调区间的常用方法：

①在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号）、导数法（在区间(,)a b 内，若总有

()0f x '>，则()f x 为增函数；反之，若()f x 在区间(,)a b 内为增函数，则()0f x '≥，请注意两者的区

别所在。如已知函数3

()f x x ax =-在区间[1,)+∞上是增函数，则a 的取值范围是____(答：(0,3]）)；

②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意(0b

y ax a x

=+

>

0)b >型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为(,)-∞+∞，减区间为

[.如 （1）若函数2)1(2)(2

+-+=x a x x f 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数a 的取值范围是______(答：3-≤a ）)；

（2）已知函数1

()2

ax f x x +=

+在区间()2,-+∞上为增函数，则实数a 的取值范围_____（答：1

(,)2

+∞）； （3）若函数()()log 40,1a a f x x a a x ??

=+->≠ ???

且的值域为R ，则实数a 的取值范围是______(答：04a <≤且1a ≠）)；

③复合函数法：复合函数单调性的特点是同增异减，如函数(

)

2

12

log 2y x x =-+的单调递增区间是

________(答：（1,2）)。

（2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数2

()log (3)a f x x ax =-+在区间(,]

2

a -∞

上为减函数，求a 的取值范围（答：(1,）；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．

（3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数,若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围。（答：

1223

m -

<<） 11．常见的图象变换

①函数()a x f y +=)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴向左平移a 个单位得到的。如设

()2,()x f x g x -=的图像与()f x 的图像关于直线y x =对称，()h x 的图像由()g x 的图像向右平移1个单

位得到，则()h x 为__________(答： 2()log (1)h x x =--)

②函数()a x f y +=()0(

(199)443f x x x +=++，则函数()f x 的最小值为____(答：2)；

（2）要得到)3lg(x y -=的图像，只需作x y lg =关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位而得到(答：y ；右)；

（3）函数()lg(2)1f x x x =?+-的图象与x 轴的交点个数有____个(答：2)

③函数()x f y =+a )0(>a 的图象是把函数()x f y =助图象沿y 轴向上平移a 个单位得到的； ④函数()x f y =+a )0(

将函数a a

x b

y ++=

的图象向右平移2个单位后又向下平移2个单位,所得图象如果与原图象关于直线x y =对称,那么 0,1)(≠-=b a A R b a B ∈-=,1)( 0,1)(≠=b a C

R b a D ∈=,0)( (答：C)

⑤函数()ax f y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿x 轴伸缩为原来的a

1

得到的。如 （1）将函数()y f x =的图像上所有点的横坐标变为原来的

1

3

（纵坐标不变），再将此图像沿x 轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____(答：(36)f x +)；

（2）如若函数(21)y f x =-是偶函数，则函数(2)y f x =的对称轴方程是_______(答：12

x =-)． ⑥函数()x af y =)0(>a 的图象是把函数()x f y =的图象沿y 轴伸缩为原来的a 倍得到的.

12．函数的对称性。

①满足条件()()f x a f b x -=-的函数的图象关于直线2

a b

x +=

对称。如 已知二次函数)0()(2

≠+=a bx ax x f 满足条件)3()5(-=-x f x f 且方程x x f =)(有等根，则

)(x f ＝_____(答：21

2

x x -+)；

②点(,)x y 关于y 轴的对称点为(,)x y -；函数()x f y =关于y 轴的对称曲线方程为()x f y -=； ③点(,)x y 关于x 轴的对称点为(,)x y -；函数()x f y =关于x 轴的对称曲线方程为()x f y -=； ④点(,)x y 关于原点的对称点为(,)x y --；函数()x f y =关于原点的对称曲线方程为()x f y --=； ⑤点(,)x y 关于直线y x a =±+的对称点为((),)y a x a ±-±+；曲线(,)0f x y =关于直线y x a =±+的对称曲线的方程为((),)0f y a x a ±-±+=。特别地，点(,)x y 关于直线y x =的对称点为(,)y x ；曲线

(,)0f x y =关于直线y x =的对称曲线的方程为(,)f y x

0=；点(,)x y 关于直线y x =-的对称点为(,)y x --；曲线(,)0f x y =关于直线y x =-的对称曲线的方

程为(,)0f y x --=。如己知函数33

(),()232

x f x x x -=

≠-,若)1(+=x f y 的图像是1C ,它关于直线y x =对称图像是22,C C 关于原点对称的图像为33,C C 则对应的函数解析式是___________（答：2

21

x y x +=-+）；

⑥曲线(,)0f x y =关于点(,)a b 的对称曲线的方程为(2,2)0f a x b y --=。如若函数x x y +=2

与

)(x g y =的图象关于点（-2，3）对称，则)(x g ＝______（答：276x x ---）

⑦形如(0,)ax b y c ad bc cx d +=≠≠+的图像是双曲线，其两渐近线分别直线d x c

=-

(由分母为零确定)和直线a y c =(由分子、分母中x 的系数确定)，对称中心是点(,)d a c c

-。如已知函数图象

C '与2:(1)1C y x a ax a ++=++关于直线y x =对称，且图象C '关于点（2，－3）对称，则a 的值为______（答：2）

⑧|()|f x 的图象先保留()f x 原来在x 轴上方的图象，作出x 轴下方的图象关于x 轴的对称图形，然后擦去x 轴下方的图象得到；(||)f x 的图象先保留()f x 在y 轴右方的图象，擦去y 轴左方的图象，然后作出y 轴右方的图象关于y 轴的对称图形得到。如

（1）作出函数2|log (1)|y x =+及2log |1|y x =+的图象；

（2）若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，则函数)()()(x f x f x F +=的图象关于____对称 （答：

y 轴）

提醒：

（1）从结论②③④⑤⑥可看出，求对称曲线方程的问题，实质上是利用代入法转化为求点的对称问题；

（2）证明函数图像的对称性，即证明图像上任一点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；

（3）证明图像1C 与2C 的对称性，需证两方面：

①证明1C 上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在2C 上； ②证明2C 上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在1C 上。如 （1）已知函数)(1)(R a x

a a

x x f ∈--+=

。求证：函数)(x f 的图像关于点(,1)M a -成中心

对称图形；

（2）设曲线C 的方程是x x y -=3

,将C 沿x 轴, y 轴正方向分别平行移动,t s 单位长度后

得曲线1C 。①写出曲线1C 的方程（答：3

()()y x t x t s =---+）；②证明曲线C 与1C 关于点??

? ??2,2s t A 对称。

13．函数的周期性。

（1）类比“三角函数图像”得：

①若()y f x =图像有两条对称轴,()x a x b a b ==≠，则()y f x =必是周期函数，且一周期为

2||T a b =-；

②若()y f x =图像有两个对称中心(,0),(,0)()A a B b a b ≠，则()y f x =是周期函数，且一周期为

2||T a b =-；

③如果函数()y f x =的图像有一个对称中心(,0)A a 和一条对称轴()x b a b =≠，则函数()y f x =必是周期函数，且一周期为4||T a b =-；

如已知定义在R 上的函数()f x 是以2为周期的奇函数，则方程()0f x =在[2,2]-上至少有__________个实数根（答：5）

（2）由周期函数的定义“函数()f x 满足()()x a f x f +=(0)a >，则()f x 是周期为a 的周期函数”得：

①函数()f x 满足()()x a f x f +=-，则()f x 是周期为2a 的周期函数；

②若1

()(0)()

f x a a f x +=

≠恒成立，则2T a =； ③若1

()(0)()

f x a a f x +=-

≠恒成立，则2T a =. 如(1) 设)(x f 是),(+∞-∞上的奇函数，)()2(x f x f -=+，当10≤≤x 时，x x f =)(，则)5.47(f 等于_____(答：5.0-)；

(2)定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)()f x f x +=，且在[3,2]--上是减函数，若,αβ是锐角三角形的两个内角，则(sin ),(cos )f f αβ的大小关系为_________(答：(sin )(cos )f f αβ>)；

（3）已知()f x 是偶函数，且(1)f =993，()g x =(1)f x -是奇函数，求(2005)f 的值(答：993)； （4）设()f x 是定义域为R 的函数，且()()21f x f x +-????()1f x =+，又(

)22f =，则

()2006f =

(

14．指数式、对数式：

m n

a =，1m n

m n

a

a -=，，0

1a =，log 10a =，log 1a a =，lg 2lg51+=，log ln e x x =，log (0,1,0)b a a N N b a a N =?=>≠>，log a N a N =，log log log c a c b b a

=

， log log m n a a n

b b m

=。

如2

log 1()2的值为________(答：

1

64

)

15．指数、对数值的大小比较： （1）化同底后利用函数的单调性； （2）作差或作商法；

（3）利用中间量（0或1）；

（4）化同指数（或同真数）后利用图象比较。

16．函数的应用。

（1）求解数学应用题的一般步骤：

①审题――认真读题，确切理解题意，明确问题的实际背景，寻找各量之间的内存联系； ②建模――通过抽象概括，将实际问题转化为相应的数学问题，别忘了注上符合实际意义的定义域； ③解模――求解所得的数学问题；

④回归――将所解得的数学结果，回归到实际问题中去。 （2）常见的函数模型有：

①建立一次函数或二次函数模型； ②建立分段函数模型； ③建立指数函数模型；

④建立b

y ax x

=+

型。

17. 抽象函数：抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是：

（1）借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 ：

①正比例函数型：()(0)f x kx k =≠ ---------------()()()f x y f x f y ±=±；

②幂函数型：2

()f x x = --------------()()()f xy f x f y =，()

()()

x f x f y f y =

； ③指数函数型：()x

f x a = ------------()()()f x y f x f y +=，()

()()

f x f x y f y -=

； ④对数函数型：()log a f x x = -----()()()f xy f x f y =+，()()()x f f x f y y

=-；

⑤三角函数型：()tan f x x = ----- ()()

()1()()

f x f y f x y f x f y ++=

-。如已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，

且为周期函数，若它的最小正周期为T ，则=-

)2

(T

f ____（答：0） （2）利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：如

（1）设函数()()f x x N ∈表示x 除以3的余数，则对任意的,x y N ∈，都有 A 、(3)()f x f x +=

B 、()()()f x y f x f y +=+

C 、(3)3()f x f x =

D 、()()()f xy f x f y =（答：A ）；

（2）设)(x f 是定义在实数集R 上的函数，且满足)()1()2(x f x f x f -+=+，如果2

3

lg

)1(=f ，15lg )2(=f ，求)2001(f （答：1）

； （3）如设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)()2(x f x f -=+，证明：直线1=x 是函数)(x f 图

象的一条对称轴；

（4）已知定义域为R 的函数)(x f 满足)4()(+-=-x f x f ，且当2>x 时，)(x f 单调递增。

如果421<+x x ，且0)2)(2(21<--x x ，则)()(21x f x f +的值的符号是____（答：负数）

（3）利用一些方法（如赋值法（令x ＝0或1，求出(0)f 或(1)f 、令y x =或y x =-等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。如

（1）若x R ∈，()f x 满足()()f x y f x +=()f y +，则()f x 的奇偶性是______（答：奇函数）； （2）若x R ∈，()f x 满足()()f xy f x =()f y +，则()f x 的

奇偶性是______（答：偶函数）；

（3）已知()f x 是定义在(3,3)-上的奇函数，当03x <<时，()f x 的图像如右图所示，那么不

等式()cos 0f x x <的解集是_____________（答：(,1)(0,1)(,3)22

π

π

-

-）

； （4）设()f x 的定义域为R +，对任意,x y R +

∈，都有()()()x

f f x f y y

=-，且1x >时，

()0f x <，又1

()12

f =，①求证()f x 为减函数；②解不等式2()(5)f x f x ≥-+-.（答：(]

[)0,14,5）

．

能力训练

一、选择题

1．设集合A 和B 都是自然数集合N ，映射f ：A →B 把集合A 中的元素n 映射到集合B 中的元素2n ＋n ，则在映射f 下，象20的原象是

[ ]

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

2．设f(x)、g(x)都是单调函数，有如下四个命题：

①若f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)单调递增； ②若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递增； ③若f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)单调递减； ④若f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递减； 其中，正确的命题是

[ ]

A ．①③

B ．①④

C ．②③

D ．②④

3．设全集为R ，A ＝{x|x 2－5x －6＞0}，B={x|x －5|＜a}(a 为常数)，且11∈B ，则

[ ]

A A

B =R B A B =R

C A B =R

D A B =R

．∪．∪．∪．∪

4I M N I M N N ．已知全集为，集合、．若∩＝，则?

[ ]

A M N

B M N

C M N

D M N

．．．．????

5．若定义在区间(－1，0)内的函数 f(x)＝log 2a (x ＋1)满足f(x)＞0，则a 的取值范围是

[ ]

A (0)

B (0

)

C (1

2

)

D (0)

．，．，．，＋∞．，＋∞1

21

2

6．设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x ＋2)＝－f(x)，当0≤x ≤1时，f(x)=x ，则f(7.5)＝________

[ ]

A ．0.5

B ．－0.5

C ．1.5

D ．－1.5

7．将 y=2x 的图象__________，再作关于直线y=x 对称的图象，可得到函数y=log 2(x ＋1)的图象．

[ ]

A ．先向左平行移动一个单位

B ．先向右平行移动一个单位

C ．先向上平行移动一个单位

D ．先向下平行移动一个单位

8．若0＜a ＜1，则函数y=log a (x ＋5)到的图象不经过

[ ]

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第三象限

D ．第四象限

9．定义在区间(－∞，＋∞)的奇函数f(x)为增函数；偶函数g(x)在〔0，＋∞)的图象与f(x)的图象重合，设a ＞b ＞0，给出下列不等式：

①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)； ②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)； ③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a)； ④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a)． 其中成立的是

[ ]

A ．①与④

B ．②与③

C ．①与③

D ．②与④

10．如图，I 是全集，M 、P 、S 是I 的3个子集，则阴影部分所表示的集合是

[ ]

A (M P)S

B (M P)S

C (M P)S

D (M P)S

．∩∩．∩∪．∩∩．∩∪

11．已知映射f ：A →B ，其中，集合A ＝{－3，－2，－1，1，2，3，4}，集合B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的像，且对任意的a ∈A ，在B 中和它对应的元素是|a|，则集合B 中元

素的个数是

[ ]

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7

12．若函数y=f(x)的反函数是y ＝g(x)，f(a)＝b ，ab ≠0，则g(b)等于

[ ]

A ．a

B ．a －1

C ．b

D ．b －1 二、填空题

13．设含有10个元素集合的全部子集数为S ，其中由3个元素组

成的子集数为，则

的值为．T T

S

14．设f(x)=4x －2x ＋1(x ≥0)，则f -1(0)＝________． 15．lg20＋log 10025=________．

16．方程log 2(x ＋1)2＋log 4(x ＋1)＝5的解集是________．

17．在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n 次测量分别得到a 1，a 2，…，a n 共n 个数据．我们规定所测量物理量的“最佳近似值”a 是这样一个量：与其他近似值比较，a 与各数据的差的平方和最小．依此规定，从a 1，a 2，…，a n 推出的a=__________．

三、解答题

18y cos x sinxcosx 1x R 2．已知函数＝＋＋，∈．123

2

(1)当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合；

(2)该函数的图象可由y ＝sinx(y ∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 19．根据函数单调性定义，证明函数f(x)=－x 3＋1在(－∞，＋∞)上是减函数．

20．某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴．设淡水鱼的市场价格为x 元/千克，政府补贴为；t 元/千克．根据市场调查，当8≤x ≤14时，淡水鱼的市场日供应量P 千克与市场日需求量Q 千克近似地满足关系：

P =1000(x t 8)(x 8t 0)Q 50040(8x 14)＋－≥，≥，＝≤≤．--()x 82

当P=Q 时的市场价格称为市场平衡价格．

(1)将市场价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域．

(2)为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？ 21．设二次函数f(x)=ax 2＋bx ＋c(a ＞0)，方程f(x)－x=0的两根x 1、x 2满足

0x x 12＜＜＜．1

a

(1)当x ∈(0，x 1)时，证明x ＜f(x)＜x 1；

(2)f(x)x x x 00设函数图象关于直线＝对称，证明：＜

．x 1

2

22．设f(x)是定义在R 上的偶函数，其图象关于直线x ＝1对称，

对任意，∈，，都有＋·，且＝＞．x x [0]f(x x )=f(x )f(x )f(1)a 01212121

2

(1)f(1)f(1

4

)(2)f(x)(3)a f(2n )lim (ln a )n n n 求及；

证明是周期函数；

记＝＋，求．

→∞21

2n

参考答案提示

一、选择题

1．C 2．C 3．D 4．C 5．A 6．B 7．D 8．A 9．C 10．C 11．A 12．A

提示：10．本小题考查集合的运算．阴影部分是M 与P 的公共部分，且在S 的外部，故选C

11．本小题考查映射的概念．对应法则是“取绝对值”，±3的像都是3；±1，±2的像分别是1，2；4的像是4．故集合B={1，2，3，4}，有4个元素

12．本小题考查函数与反函数的概念。依题意g(x)＝f -1(x)，g(b)=f -1(b)＝a ． 二、填空题

1314 1 15 2 16{3} 17．

．．．．

(15128)

12a a a n

n

+++

三、解答题

18(1)y cos x sinxcosx 1

=14(2cos x 1)(2sinxcosx)1=14cos2x sin2x 2

2．解＝＋＋－＋＋＋＋＋123214343454 =

12(cos2x sin 6sin2x cos 6)=12sin(2x 6)·π＋·π＋＋π＋，5

4

54

y 2x =2k k Z x k k Z 取得最大值必须且只需＋ππ＋π，∈，即＝

π

＋π，∈．62

6

所以当函数取得最大值时，自变量的集合为π＋π，∈．

y x {x|x =k k Z}6

(2)将函数y=sinx 依次进行如下变换：

()y sinx y sin(x )Ⅰ把函数＝的图象向左平移π

，得到函数

＝＋π

的图象；

6

6

()()y =sin(2x )Ⅱ把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的倍纵坐标

不变，得到函数

＋

π

的图象；1

2

6

()()y =1sin(2x )Ⅲ把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的倍横坐标

不变，得到函数

＋π

的图象；

1

2

26

()y =12sin(2x )y cos x sinxcosx 12

Ⅳ把得到的图象向上平移个单位长度，得到函数

＋π＋的图象；

综上得到函数＝＋＋的图象．

5

4

65

4

1232

19 20(1)x 8t t 0(2)t

1 21．略．＝－＋，∈〔，〕；≥．略

452

550102-t

22(1)x x [0]f(x x )=f(x )f

(x )121212．解：因为对，∈，，都有＋·，所以

1

2

f(x)f(x 2)f(x

2)0x [01]f(1)f(12)=f(12)f(12)[f(1

2)]2＝·≥，∈，．

＝＋·＝，·12121414141414

2

f f f f f ()()()()[()]=+==

f(1)=a ＞0，

∴＝，．f(12)a f(1

4

)=a 121

4

(2)证明：依题设y=f(x)关于直线x=1对称， 故 f(x)＝f(1＋1－x)， 即 f(x)=f(2－x)，x ∈R ．

又由f(x)是偶函数知f(－x)=f(x)，x ∈R ， ∴f(－x)＝f(2－x)，x ∈R ， 将上式中－x 以x 代换，得 f(x)=f(x ＋2)，x ∈R ．

这表明f(x)是R 上的周期函数，且2是它的一个周期． (3)解：由(1)知f(x)≥0，x ∈[0，1]．

∵··f f n n f n n n

()()(())121212112==+-

=-=f n f n n (

)())1211

2··…… ==f n f n f n f n

n (

)()()[()]1212121

2·……， f(1

2

)=a 1

2，∴，

f n

a n ()1

21

2= ∵f(x)的一个周期是2，

∴，因此，

∴．

→∞→∞f(2n +12n )=f(12n )a =a lim (ln an)=lim (ln a)=0n 1

2n

n n