(完整版)实变函数期末考试卷A及参考答卷
2011—2012学年第1学期
数计学院09级数学与应用数学专业(1、2班)
《实变函数》期末考试卷（A）
考生考试诚信承诺书
在我填写考生信息后，表示我已阅读和理解《龙岩学院考试纪律与违纪处分办法》的有关规定，承诺在考试中自觉遵规守纪，如有违反将接受处理；我保证在本科目考试中，本人所提供的个人信息是真实、准确的。
考生签名：
实变函数期末考试卷(A )
2009级本科1、2班用 考试时间2012年01月 04日
一 填空题（每小题3分，满分24分）
1 我们将定义在可测集q E ??上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .任取()f M E ∈，都可以确定两个非负可测函数：
()()()(),0,0,0.f x x E f f
x x E f +
∈>?=?∈≤?
当时当时 和()()()()0,
0,,0.x E f f
x f x x E f -
∈>?=?-∈≤?
当时当时
分别称为f 的正部和负部。请你写出()()(),,f x f
x f x +
-和()
f x 之间的关系：
()f x =
，
()f x =
。
2 上题()M E 中有些元素?被称为非负简单函数，指的是：
12k E E E E =U UL U 是有限个互不相交的可测集的并集，在i E 上()i x c ?≡
（非负常数）（1,2,,i k =L ）.?在E 上的L 积分定义为：
()E
x dx ?=
?，
这个积分值可能落在区间
中，但只有当
时才能说?是
L 可积的。
3 若()f M E ∈是非负函数，则它的L 积分定义为：
()E
f x dx =
?，
这个积分值可能落在区间
中，但只有当
时才能说f 是
L 可积的。
4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的，如果f +和f -
， 即()E
f
x dx +
?和()E f x dx -?的值
；但只有当
时
才能说f 是L 可积的，这时将它的积分定义为：
()E
f x dx =
?。
5 从()M E 中取出一个非负函数列(){}n f x ，则法图引理的结论是不等式：
；
如果再添上条件
和
就
试卷 共 8 页 第 2 页
得到列维定理的结论：
。
6 设f 和()1,2,n f n =L 都是()M E 中的可测函数，满足
()()lim n n f x f x a e →∞
=g g 于E 或n f f ?两个条件之一。
或 的结论： （1）；
（2）
。
7 富比尼定理的表述过程比较长，但它给出了定义在两个可测子集
,p q
A B ??
上的笛卡尔积P q
A B +???
上的可测函数()(),f P f x y =的积分可
化为累次积分 ()()(),,A B
A
B
B
A
f P dP dx f x y dy dy f x y dx ?==?
????
的条件却非常简单。只要下列两个简单条件之一成立就行了：
（1） ；
（2）
。
两个累次积分都存在且相等是()f P 在A B ?上可积的条件，但不是
条件。
8 斯蒂尔切斯积分的定义是：
。
二 多项选择题 下列各题中正确的结论有些可能不止一个，请把正确结论的编号填在左边的方括号内。（每小题3分，满分15分） [ ] 1定义在p
E ??上的实函数()f x 的正部()f x +和负部()f x -的取值情况
有：
（A ）x E ?∈，()f x +与()f x -不同时取正值，但可能同时为零；
（B ）x E ?∈，()f x +与()f x -可能同时取正值，也可能同时为零；
（C ）E 上任意两个非负实函数都构成E 上第三个实函数的正部与负部； （D ）E 上任意两个不同时取正值的非负函数都构成E 上第三个实函数
的正部与负部。
[ ] 2 设12k E E E E =U UL U 是q ?中有限个互不相交的可测集的并集，函数?在i E 上的值恒等于常数i c （1,2,,i k =L ）
，则?在E 上L 可积的充要条件有： （A ）mE <+∞； （B ）当i mE =+∞时0i c =； （C ）12,,,k E E E L 均为测度有限集； （D ）每个i i c mE 均为有限数。 [ ] 3 ()M E 中的非负函数f 都是积分确定的，这是因为：
（A ）()E
f x dx <+∞?
；
（B ）()E
f x dx +?和()E
f x dx -?都是有限数； （C ）()()00E f
x f x dx -
-≡?=<+∞?；（D ）()0.E
f x dx --∞≤
i i i f x f x -=-∑
()01n a x x x b =<<<=L
都不会超过全变差()b
a
V f ，而且当[][]12,,a x a x ?时有
()()12x x a
a
V f V f ≤.由这两条结论可以推知： （A ）()f x 在[],a b 上的振幅()()[]{
}
()sup
,,b
a
f x f y x y a b V f -∈≤；
（B ）[],x a b ?∈有()()()b a
f x f a V f ≤+；
（C ）有界变差函数一定可以表为两个增函数的差；
（D ）有界变差函数至多有可数个不连续点，不可导点构成零测度集。 [ ] 5 关于[],a b 上的绝对连续函数()F x 及其导数，下列结论正确的有：
（A ）用每个在[],a b 上L 可积的函数()f x 都可构造一个绝对连续函数 ()()x a
F x f t dt =?，满足()()F x f x a e '=g g 于[],a b ；
（B ）每个绝对连续函数()F x 都在[],a b 上几乎处处有可积的导函数
()F x '，而且满足牛氏公式
()()()b
a
F x dx F b F a '=-?
；
（C ）每个在[],a b 上几乎处处有导数的函数()F x 都是绝对连续函数，同
试卷 共 8 页 第 4 页
时满足牛氏公式
()()()b
a
F x dx F b F a '=-?
；
（D ）在[],a b 上几乎处处有导数的有界函数()F x 不一定连续，但()F x 本
身一定可积。而它的导函数()F x '就不一定可积了。即使可积也不一定满足牛氏公式。
三 设q E ??满足：0ε?>，?闭集F E ε?使()*m E F εε-<. 试证明E 是可测集。 （8分）
四 我们也可以这样来定义可测函数：定义在可测集q E ??上的实函数称为是可测的，如果它能表达成E 上一列简单函数的极限函数.
现在请你用这个定义证明：E 上两个可测函数()(),f x g x 的乘积()()f x g x 还是E 上可测函数。（7分）
试卷 共 8 页 第 5 页
五 设(){}n f x 是q E ??上的L 可积函数列，并且正项级数()1n n E
f x dx
∞
=∑?
收敛。试证明函数项级数()1n n f x ∞
=∑几乎处处收敛，它的和函数()()
1n n S x f x ∞
==∑在E 上L 可积，而且满足逐项积分公式：
()()1n n E
E
S x dx f x dx ∞
==∑?
?. （12分）
六 设f 是[],a b
上的连续函数g 使 （12分）
七 设(){}k f x 是p
E ??
上非负可测函数列, ()()lim k k f x f x →∞
=,并且
()()()12k f x f x f x ≥≥≥≥L L .
若有某个()0k f x 在E 上L 上可积。试证明()f x 也在E 上可积，并且
()()lim k E
E
k f x dx f x dx →∞=??. （10分）
八 设()f x 在1
E ??上L 可积,()0E
f x dx a =>?,试证明：()0,1μ?∈，存在E
的可测子集e 使
()e
f x dx μ=? （12分）
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实变函数期末考试卷(A )参考答卷
2009级本科1、2班用 考试时间2012年01月 04日
一 填空题（每小题3分，满分24分）
1 我们将定义在可测集q E ??上的所有L 可测函数所成的集合记为()M E .任取()f M E ∈，都可以确定两个非负可测函数：
()()()(),0,0,0.f x x E f f
x x E f +
∈>?=?∈≤?
当时当时 和()()()()0,
0,,0.x E f f
x f x x E f -
∈>?=?-∈≤?
当时当时
分别称为f 的正部和负部。请你写出()()(),,f x f
x f x +
-和()
f x 之间的关系：
()()()f x f
x f x +
-=-，
()()()f x f x f x +-=+。
2 上题()M E 中有些元素?被称为非负简单函数，指的是：
12k E E E E =U UL U 是有限个互不相交的可测集的并集，在i E 上()i x c ?≡
（非负常数）（1,2,,i k =L ）.?在E 上的L 积分定义为：
()1
1
22k k E
x dx c mE
c mE c mE ?=+++?L ，
这个积分值可能落在区间[]0,+∞中，但只有当()E
x dx ?<+∞?时才能说?是L 可积
的。
3 若()f M E ∈是非负函数，则它的L 积分定义为：
()()()(){}sup 0E
E
f x dx x dx E x f x ???=?∈≤≤??是简单函数,且有，
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这个积分值可能落在区间[]0,+∞中，但只有当()E
x dx ?<+∞?时才能说f 是L 可积
的。
4 ()M E 中的一般元素f 称为是积分确定的，如果f +和f -至少有一个可积， 即()E
f
x dx +
?和()E f x dx -?的值+∞不全为；但只有当f f +-和都可积时才能说f
是L 可积的，这时将它的积分定义为：
()()()E
E
E f x dx f
x dx f x dx +
-=-?
??.
5 从()M E 中取出一个非负函数列(){}n f x ，则法图引理的结论是不等式：
()()lim lim n
n E E n n f
x dx f x dx →∞→∞
≤?
?；
如果再添上条件()()()12n f x f x f x ≤≤≤≤L L 和()()lim n n f x f x →∞
=就得到列维定理的结论： ()()lim n E
E
n f x dx f x dx →∞=??.
6 设f 和()1,2,n f n =L 都是()M E 中的可测函数，满足
()()lim n n f x f x a e →∞
=g g 于E 或n f f ?两个条件之一。
或 ()(),n mE M n f x F x a e E <+∞≤??而且存在正数使对任何自然数有于，就可得到勒贝格控制收敛的结论： （1）()()lim 0n E
n f x f x dx →∞-=?
；
（2）()()lim n E
E
n f x dx f x dx →∞=??.
7 富比尼定理的表述过程比较长，但它给出了定义在两个可测子集
,p q
A B ??
上的笛卡尔积P q
A B +???
上的可测函数()(),f P f x y =的积分可
化为累次积分
()()(),,A B
A
B
B
A
f P dP dx f x y dy dy f x y dx ?==?
????
的条件却非常简单。只要下列两个简单条件之一成立就行了： （1）f A B ?在上非负可测 ；
（2）f A B L ?在上可积。
两个累次积分都存在且相等是()f P 在A B ?上可积的必要条件，但不是充分 条件。
8 斯蒂尔切斯积分的定义是：
()()[][]01,,,:,n f x x a b a b T a x x x b α=<<<=L 设都是上的有限函数,对作分划[]1,i i i x x ξ-∈取介点作和数
()()()11
(Stieltjes n i i i i f x x ξαα-=-????
∑
称为和数)
(),,0T T δ→如果不管是如何分法也不管介点是如何取法当时此和数都趋于一个常
()[]()()[]()
,,,,f x a b x S f x a b x αα数就称在上关于是可积的并称此极限值为在关于()(),.b
a S f x d x α?的积分记作
二 多项选择题 下列各题中正确的结论有些可能不止一个，请把正确结论的编号填在左边的方括号内。（每小题3分，满分15分） [ AD ] 1定义在p
E ??上的实函数()f x 的正部()f x +和负部()f x -的取值情
况有：
（A ）x E ?∈，()f x +与()f x -不同时取正值，但可能同时为零；
（B ）x E ?∈，()f x +与()f x -可能同时取正值，也可能同时为零；
（C ）E 上任意两个非负实函数都构成E 上第三个实函数的正部与负部； （D ）E 上任意两个不同时取正值的非负函数都构成E 上第三个实函数
的正部与负部。
[ BD ] 2 设12k E E E E =U UL U 是
q ?中有限个互不相交的可测集的并集，函数?在i E 上的值恒等于常数i c （1,2,,i k =L ）
，则?在E 上L 可积的充要条件有： （A ）mE <+∞； （B ）当i mE =+∞时0i c =； （C ）12,,,k E E E L 均为测度有限集； （D ）每个i i c mE 均为有限数。 [ C ] 3 ()M E 中的非负函数f 都是积分确定的，这是因为： （A ）()E
f x dx <+∞?；（B ）()E
f
x dx +
?和()E f x dx -?都是有限数；
（C ）()()00E f
x f x dx -
-≡?=<+∞?；（D ）()0.E
f x dx --∞≤
i i i f x f x -=-∑
()01n a x x x b =<<<=L
都不会超过全变差()b
a
V f ，而且当[][]12,,a x a x ?时有
()()12x x a
a
V f V f ≤.由这两条结论可以推知：
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（A ）()f x 在[],a b 上的振幅()()[]{
}
()sup
,,b
a
f x f y x y a b V f -∈≤；
（B ）[],x a b ?∈有()()()b a
f x f a V f ≤+；
（C ）有界变差函数一定可以表为两个增函数的差；
（D ）有界变差函数至多有可数个不连续点，不可导点构成零测度集。 [ABCD ] 5 关于[],a b 上的绝对连续函数()F x 及其导数，下列结论正确的有：
（A ）用每个在[],a b 上L 可积的函数()f x 都可构造一个绝对连续函数 ()()x a
F x f t dt =?，满足()()F x f x a e '=g g 于[],a b ；
（B ）每个绝对连续函数()F x 都在[],a b 上几乎处处有可积的导函数
()F x '，而且满足牛氏公式
()()()b
a
F x dx F b F a '=-?
；
（C ）每个在[],a b 上几乎处处有导数的函数()F x 都是绝对连续函数，同
时满足牛氏公式
()()()b
a
F x dx F b F a '=-?
；
（D ）在[],a b 上几乎处处有导数的有界函数()F x 不一定连续，但()F x 本
身一定可积。而它的导函数()F x '就不一定可积了。即使可积也不一定满足牛氏公式。
三 设q E ??满足：0ε?>，?闭集F E ε?使()*m E F εε-<. 试证明E 是可测集。 （8分）
证明 依题意，对每个自然数n 都有闭集n F E ?使()*1n m E F n -<，取
1n n F F ∞
==U
令n →∞取极限得()*0m E F -=，所以E F -是可测集，于是 ()E E F F =-U 是可测集
四 我们也可以这样来定义可测函数：定义在可测集q E ??上的实函数称为是可测的，如果它能表达成E 上一列简单函数的极限函数.
现在请你用这个定义证明：E 上两个可测函数()(),f x g x 的乘积()()f x g x 还是E 上可测函数。（7分）
证明 因为()(),f x g x 均可测，所以存在E 上简单函数列(){}(){},n n x ?ψ使
()()()()lim ,
lim ,
n n n n f x x g x x x E ?ψ→∞
→∞
==?∈.
于是有 ()()()()lim n n n f x g x x x ?ψ→∞
=.
因为()(){}n n x x ?ψ也是简单函数列，所以()()f x g x 仍是E 上的可测函数。
五 设(){}n f x 是q E ??上的L 可积函数列，并且正项级数()1n n E
f x dx
∞
=∑?
收敛。试证明函数项级数
()1
n n f x ∞=∑
几乎处处收敛，它的和函数
()()1n n S x f x ∞
==∑在E 上L 可积，而且满足逐项积分公式：
()()1n n E
E
S x dx f x dx ∞
==∑?
?. （12分）
证明 令()()1n n F x f x ∞
==∑，由逐项积分定理得
()()1n n E
E
F x dx f x dx ∞
==<+∞∑?
?
，即非负函数()F x 在E 上L 可积，
于是()0F x a e ≤<+∞??于E ，即()()1n n F x f x ∞
==∑几乎处处收敛，因此
()1
n n f x ∞=∑
也几乎处处收敛。
令()()1n
n k k S x f x ==∑，则(){}n S x 是E 上的可测函数列，且
()()lim n n S x S x a e →∞
=??于E ，
()()n S x F x a e ≤??于E . 由勒贝格控制收敛定理得
()()()()11lim lim n n k k k k E
E
E
E
n n S x dx S x dx f x dx f x dx ∞
==→∞→∞
===∑∑?
???.
六 设f 是[],a b 上的L 可积函数，证明0ε?>，存在[],a b 上的连续函数g 使
()()[
]
,a b f x g x dx ε-
证明 因为f 在[],a b 上L 可积，所以f +和f -都在[],a b 上L 可积，于是存在简
单函数11,??满足： ()()()()120,
0x f x x f x ??+-≤≤≤≤ ()[
]
()[]
()[]
1,,,4
a b a b a b f x dx x dx f x dx ε
?++-
<≤??
?
，
()[
]
()[]
()[]2,,,4a b a b a b f x dx x dx f x dx ε
?---
<≤??
?
.
令()()()12x x x ???=-，则()x ?仍是[],a b 上的简单函数，且
()()[
]
()()
[]
12,,a b a b f x x dx f f x dx ???+--=--+??
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()()
[]
()()
[]
12,,a b a b f
x x dx f
x x dx ??+
-
≤-+-?
?
()()()[]
()()()[]1
2
,,a b
a b
f x x dx f x x dx ??+
-
=-+-?
? 442εεε<+=.
令()[]()max
,M x x a b ?=∈，取14M
ε
δ=
+，由鲁津定理，存在闭集
[],F a b ?以及[],g C a b ∈，使得[](),\m a b F δ<，当x F ∈时()()g x x ?=，且在整
个[],a b 上()g x M ≤，于是
()()()()[
],\E a b F
x g x dx x g x dx ??-=-??
()[]()[]
,\,\a b F
a b F
x dx g x dx ?≤+??
442M M δδεεε≤+<+=. 故
()()[
]
()()[]
()()[]
,,,a b a b a b f x g x dx f x x dx x g x dx ??-≤-+-??
?
22εεε<+=. 七 设(){}k f x 是p
E ??
上非负可测函数列, ()()lim k k f x f x →∞
=,并且
()()()12k f x f x f x ≥≥≥≥L L .
若有某个()0k f x 在E 上L 上可积。试证明()f x 也在E 上可积，并且
()()lim k E
E
k f x dx f x dx →∞=??. （10分）
证明 令()()()0k k k g x f x f x =-，则(){}0
k k k g x ∞
=是单调递增的非负可测函数
列，()()()0lim k k k g x f x f x →∞
=-.因为当0k k ≥时有
()()00b
b
k k a
a
f x dx f x dx ≤≤≤+∞??，即()k f x 可积，所以由列维定理有：
()()()()0
lim b b
k k a
a
k g x dx f x f x dx →∞=-??
，即
()()()()00lim b
b
b
b
k k k a
a
a
a
k f x dx f x dx f x dx f x dx →∞-=-?
???.
由此即得
()()lim k E
E
k f x dx f x dx →∞=??.
八 设()f x 在1E ??上L 可积,()0E
f x dx a =>?,试证明：()0,1μ?∈，存在E
答卷 共 6 页 第 5 页
的可测子集e 使
()e
f x dx μ=? （12分）
证明 作[)0,+∞上的实函数 ()()()
[),,
0,E t t F t f x dx t -=∈+∞?
I .
则()()00,lim t F F t a μ→∞
==>，由极限的保号性，存在0T >使()F T μ>.下面证明
()F t 在[]0,T 上连续：
当[)00,,0t T t ∈?>时，()F t 的定义得 ()()()(][)000000,,E t t t t t t F t t F t f t dt ??--?-+??
?+?-=?I U ，
据此用积分的绝对连续性得
()()000
lim t F t t F t +?→+?=，所以()F t 在[)0,T 上右连续。
同理可证()F t 在(]0,T 上左连续。故()F t 在[]0,T 上连续。 因为()()0F F T μ<<，所以由连续函数的介值定理，存()10,t T ∈使 ()1F t μ=，取()()1,e E t t E =-?I 就有()e
f x dx μ=?.
答卷共6 页第6 页
实变与泛函期末试题答案
06－07第二学期《实变函数与泛函分析》期末考试参考答案 1. 设()f x 是),(+∞-∞上的实值连续函数, 则对于任意常数a , })(|{a x f x E >=是一开集, 而})(|{a x f x E ≥=总是一闭集. (15分) 证明 (1) 先证})(|{a x f x E >=为开集. (8分) 证明一 设E x ∈0,则a x f >)(0,由)(x f 在),(+∞-∞上连续,知0>?δ,使得 ),(00δδ+-∈x x x 时,a x f >)(, 即 E x U ?),(0δ, 故0x 为E 的内点. 由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E >=是一开集. 证明二 })(|{a x f x E >=可表为至多可数的开区间的并(由证明一前半部分), 由定理可知E 为开集. (2) 再证})(|{a x f x E ≥=是一闭集. (7分) 证明一 设0x E '∈, 则0x 是E 的一个聚点, 则E ?中互异点列},{n x 使得 )(0∞→→n x x n . ………………………..2分 由E x n ∈知a x f n ≥)(, 因为f 连续, 所以 a x f x f x f n n n n ≥==∞ →∞ →)(lim )lim ()(0, 即E x ∈0.……………………………………………………………………………………6分 由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E ≥=是一闭集. …………………………………7分 证明二 对})(|{a x f x E ≥=, {|()}E x f x a E ??=?,……………………… 5分 知E E E E =?=Y ,E 为闭集. …………………………………………………… 7分 证明三 由(1)知,})(|{a x f x E >=为开集, 同理})(|{a x f x E <=也为开集, 所以})(|{a x f x CE ≥=闭集, 得证. 2. 证明Egorov 定理：设,{()}n mE f x <∞是E 上一列..e a 收敛于一个..e a 有限的函数)(x f 的可测函数, 则对0>?δ, 存在子集E E ?δ, 使)}({x f n 在δE 上一致收敛, 且 .)\(δδ
实变函数论课后答案第三章1
实变函数论课后答案第三章1 第三章第一节习题 1.证明：若E 有界，则m E *<∞. 证明：若n E R ?有界，则存在一个开区间 (){}120,,;n M n E R I x x x M x M ?=-<< . （0M >充分大）使M E I ?. 故()()()111 inf ;2n n n n m n n i m E I E I I M M M ∞∞ * ===??=?≤=--=<+∞????∑∏ . 2.证明任何可数点集的外测度都是零. 证：设{}12,,,n E a a a = 是n R 中的任一可数集.由于单点集的外测度为零， 故{}{}{}()12111 ,,,00n i i i i i m E m a a a m a m a ∞ ∞ ∞ * * * *===??==≤== ???∑∑ . 3.证明对于一维空间1R 中任何外测度大于零的有界集合E 及任意常数μ，只要 0m E μ*≤≤，就有1E E ?，使1m E μ*=. 证明：因为E 有界，设[],E a b ?（,a b 有限）， 令()(),f x m E a x b *=?<< ， 则()()()()[]()()0,,f a m E m f b m a b E m E ****=?=?=== . 考虑x x x +?与，不妨设a x x x b ≤≤+?≤， 则由[])[]())()[](),,,,,a x x E a x x x x E a x E x x x E +?=+?=+????? . 可知())()[](),,f x x m a x E m x x x E ** +?≤++??? ()[]()(),f x m x x x f x x *≤++?=+?.
实变函数期末考试卷A卷完整版
实变函数期末考试卷A 卷 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
实变 函数 一、 判断题（每题2分，共20分） 1.若A 是B 的真子集，则必有B A <。 （×） 2.必有比a 小的基数。 （√） 3.一个点不是E 的聚点必不是E 的内点。 （√） 4.无限个开集的交必是开集。 （×） 5.若φ≠E ，则0*>E m 。 （×） 6.任何集n R E ?都有外测度。 （√） 7.两集合的基数相等，则它们的外测度相等。 （×） 8.可测集的所有子集都可测。 （×） 9.若)(x f 在可测集E 上可测，则)(x f 在E 的任意子集上也可测。（×） 10.)(x f 在E 上可积必积分存在。 （×） 1.设E 为点集，E P ?，则P 是E 的外点.（ × ） 2.不可数个闭集的交集仍是闭集. （ × ） 3.设{}n E 是一列可测集,且1,1,2,,n n E E n +?=则 1( )lim ().n n n n m E m E ∞ →∞ ==（× ） 4.单调集列一定收敛. （√ ） 5.若()f x 在E 上可测,则存在F σ型集,()0F E m E F ?-=,()f x 在F 上连续.（ × ） 二、填空题（每空2分，共20分） 1.设B 是1R 中无理数集，则=B c 。 2.设1,1,,3 1,21,1R n A ???????= ，则=0A φ ，='A }0{ 。 3.设 ,2,1,0),1 1,11(=++-=n n n A n ，则=?∞=n n A 0 )1,1(- ，=?∞=n n A 1 }0{ 。 4.有界变差函数的不连续点构成的点集是 至多可列 集。
秘书实务期末考试内容
秘书实务是指秘书人员所从事的业务活动。它包括秘书工作的实际内容与具体操作方法。秘书实务侧重于对秘书工作具体实施的操作方法的研究，强调它的实用性、可操作性。 P2秘书实务的具体内容：秘书实务的研究对象是秘书业务活动。所谓秘书业务活动，其实就是指秘书人员所从事的工作，或者简称为秘书工作。围绕领导活动所进行的各项辅助性、服务性工作叫秘书工作。如收集、整理信息，撰拟和处理公文；会务服务、联络接待；处理日常事务、完成交办事项；传代与贯彻领导的决策意图、综合协调等，这些都需要秘书人员的参与才能完成。 1.按宏观的角度分析，两大范畴：“参与政务”、“掌管事务” 政务工作是领导人的工作内容，领导是主角。因此，秘书人员参与政务的过程中切记越权。但也要积极参与。事务工作本来就是秘书工作的职责范围，因此要大胆负责，主动做好，为领导人创造一个良好的工作基础和工作环境。 2.按块归类：办文、办公、办事 办文：是最原始的秘书工作。秘书的“书”指的就是“文书”。因此，办理文书是秘书工作的主要内容之一。秘书的文书工作又可分为办发文、办收文、文件管理。 办会：会议是管理工作和领导活动的方式之一。办会是一项直接涉及领导机构决策、上级和本级领导机构决策的贯彻执行，以及其他重要事宜的秘书工作。如何组织好会议、如何做好会议中的会 务服务工作，如何提高开会的效率都是秘书工作需要考虑、研究的问题。 办事：秘书工作中经常涉及的事务性工作如下, 值班电话事务接待为领导安排日程调查研究信息服务查办工作信访工作保密工作等。 P4-6秘书实务的特点： 1.实用性、实践性 研究学习秘书实务的最终目的就是为了解决秘书工作中遇到的方方面面，因此具有实用性的特点。 秘书实务对秘书实践活动具有直接的指导作用，因此，秘书实务具有实践性强的特点。 2.规范性、程序性 秘书工作的历史悠久，有一个长期的发展、演变过程。党和政府对秘书工作的重视，加上秘书工作者及秘书理论研究者的不断探寻、不懈努力，目前，已经形成一套秘书工作的标准和制度。 秘书人员所从事的工作，其中有很大一部分属于日常程序性的工作。 3.现实性、可操作性 随着时代的发展，根据秘书工作的实际需要随时补充一些新的内容。 秘书实务目的是为秘书人员熟练地、规范地操作秘书实务提供技术指导。所以具有可操作性。 P8秘书人员的素质 1.思想素质 （1）政治素质：（在政治上要坚持正确的政治方向，具有较高的政策水平；有敏锐的触角，时时关注社会、经济的动态，及时领会中央的精神和领导者的意图，把握一个时期的中心， 明确当前提倡什么、反对什么，保证在思想上同中央保持一致。有强烈的事业心、 高度的工作责任感。） （2) 作风素质：（“作风”，是指一个人在工作生活学习等方面表现出来的一贯态度、行为。内容包括：敏捷、迅速、沉着、冷静；严谨、细致、勤快、主动。） (3) 职业道德素质：（秘书人员最基本的职业道德规范是忠诚可靠，甘居幕后、任劳任怨） 2.知识素质（由以下四个要素组成：基础知识、专业知识、行业知识、相关知识） 3.能力素质（秘书的能力素养有两种：基础能力、业务能力） P15值班工作的主要任务 1.处理来函、来电： （对于值班期间收到的来函、来电包括文件、电话、传真、电报等，秘书人员应该及时进行处理，尤其是对一些急件要及时拆阅，有重要的、紧急的要立即交到领导或当事人的手中，接听的电话
(0195)《实变函数论》网上作业题及答案
[0195]《实变函数论》 第一次作业 [单选题]1.开集减去闭集是（） A:A.开集 B:B.闭集 C:C.既不是开集也不是闭集 参考答案：A [单选题]2.闭集减去开集是（） A:开集 B:闭集 C:既不是开集也不是闭集 参考答案：B [单选题]3.可数多个开集的交是（） A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C [单选题]4.可数多个闭集的并是（） A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C [单选题]6.可数集与有限集的并是（） A:有界集 B:可数集 C:闭集 参考答案：B
[判断题]5.任意多个开集的并仍是开集。 参考答案：正确 [单选题]8.可数多个有限集的并一定是（） A:可数集 B:有限集 C:以上都不对 参考答案：C [单选题]7.设f(x)是定义在[a,b]上的单调函数，则f(x)的间断点集是（）A:开集 B:闭集 C:可数集 参考答案：C [单选题]9.设f(x)是定义在R上的连续函数，E=R(f>0),则E是 A:开集 B:闭集 C:有界集 参考答案：A [单选题]10.波雷尔集是（） A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C [判断题]7.可数多个零测集的并仍是零测集合。 参考答案：正确 [单选题]1.开集减去闭集是（）。 A:A.开集 B.闭集 C.既不是开集也不是闭集 参考答案：A [单选题]5.可数多个开集的并是（） A:开集 B:闭集
C:可数集 参考答案：A [判断题]8.不可数集合的测度一定大于零。 参考答案：错误 [判断题]6.闭集一定是可测集合。 参考答案：正确 [判断题]10.开集一定是可测集合。 参考答案：正确 [判断题]4.连续函数一定是可测函数。 参考答案：错误 [判断题]3.零测度集合或者是可数集合或者是有限集。 参考答案：正确 [判断题]2.有界集合的测度一定是实数。 参考答案：正确 [判断题]1.可数集合是零测集 参考答案：正确 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。 参考答案：错误 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。 参考答案：错误 第二次作业 [单选题]4.设E是平面上边长为2的正方形中所有无理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：C [单选题]3.设E是平面上边长为2的正方形中所有有理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：A [单选题].2.[0,1] 中的全体有理数构成的集合的测度是（） A:0 B:1
实变函数 期末考试
黄冈师范学院 2015—2016学年度第学期一期末试卷 考试课程：实变函数 考核类型：考试A 卷 考试形式：闭卷 出卷教师：陈文略 考试专业：应数 考试班级：应数2013 一、填空题：(3分×5题=15分) 1、实数R 的基数为 。 2、设[)(]1,01,0:→f 为一一映射，则()=x f 。 3、非真正的实数是指： 。 4、在区间[]b a ,上的单调函数 连续。 5、若)(x f 在[a ，b]上严格单调，则()f V b a = 二、选择题：(3分×5题=15分) （1）与[)1,0间不存在一一对应的是（ ） A 、有理数Q B 、平面2R C 、实数R （2）对于连续基数c, 下列不成立的是（ ） A 、4c=c B 、c c a =+ C 、c aa = （3）f f n ?与f f n →的关系是（ ） A 、f f n ?则f f n → B 、f f n →则f f n ? C 、都不是 （4）下列正确的表述是（ ） A 、[][]a f E a f E B 、[][]a f E a f E =?> C 、[]??????+>=≥∞ =k a f E a f E k 11
（5）[](){}2221,,1,0R y x y x B R A ?≤+=?=，则B A ?为 A 、圆 B 、圆柱 C 、圆锥 三、计算与证明：(6分×7题=42分) （1）已知(){}2221,R y x y x E ?<+=，求'E （2）证明在区间[]1,01R ?中，不含数码7的点的全体所成之集为一零测度集． （3）证明：有理数集R Q ?为零测度集． （4）已知()()x g x f = a.e. 于E,()()x h x g = a.e. 于E . 证明：()()x h x f = a.e. 于E. （5）对于任何有限实数a ，若[]a f E ≥可测，证明[]a f E >可测. （6）()x f 为E=[0，1]上的狄利克雷函数，求()dx x f E ? （7）已知()x x f sin =，求：()f V π 20 . 四、证明：若()*0m E E φ=≠，E A ?, 则A 可测， 且 0=mA （9分） 五、已知函数()2x x f =，[]1,0∈x 求：()f E mG , (9分) 六、已知()x x f =，求当00=x 时的下列列导数 (1) {}n h 中n h n 1 = (2) {}n h 中n h n 1 -= (10分)
秘书实务期末考试试题
秘书实务期末考试试题 班级 学号 学生姓名 ____ 本试卷共4页，满分100 分；考试时间：90分钟；考核方式（考试）考试形式（闭卷） 题 号 一 二 三 四 五 总分 核分人 题满分 20分 20分 20分 40分 得 分 一、单项选择题(每题2分, 共20分) 1.秘书是上给的有力助手，发挥“助手“作用是指秘书要 （ ） A 、跟从上级，当好参谋 B 、鞍前马后，搞好服务 C 、调查研究，科学决策 D 、维护权威，树立形象 2.秘书人员要保持（ ）的美德 A 、谦虚谨慎 B 、惟命是从 C 、谨小慎微 D 、居安思危 3.秘书接待访客时，应该 （ ） A ．拒绝向来访者提供公司信息 B ．向来访者提供公司允许提供的信息 C ．向来访者提供自己知道的信息 D ．向来访者提供公司的所有信息 4.秘书在接听电话时，应选择（ ）的程序。 A ．问候→询问对方姓名→报出自己单位（部门）的名称 B ．报出自己单位（部门）名称→问候→询问有关事宜 C ．问候→报出自己单位（部门）的名称→询问对方姓名 D ．问候→报出自己单位（部门）的名称→询问有关事宜 5.对未预约的客人，秘书不正确的做法 （ ） A.询问他要访问的对象 B ．告诉他不接待未预约者 C ．尽可能为他早安排预约 D ．请他留言 6.当双排五座小轿车的驾驶是主人时，最上座应该是 （ ）。 A.后排右座 B.副驾驶座 C. 后排左座 D.后排中座 7.下列选项不属于秘书人员处理自己与上级之间关系的基本准则是 （ ） A 、服从上级，辅助上级 B 、服从上级，但不是惟命是从 ------------------- ------------------- ------------------- ------------------- ------------------- ------------------- 装 ------------------- 订 ------------------- 线 ------------------- 内 ------------------- 不 ------------------- 要 ------------------- 答 ------------------- 题 --------------- 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案
(20080619)实变函数期末复习指导(文本)
（2008.06.19）实变函数期末复习指导（文本） 中央电大教育学院陈卫宏2008年07月01日 陈卫宏：大家好！这里是“实变函数”教学活动。 考试时间 实变函数期末考试时间：7月12日,8：30~10：00. 期末考试题型比例 单选题5（20分） 填空题5（20分） 证明题4（60分） 第1章考核要求 ⑴了解集合的表示，子集，理解集合的并、交、差、补等概念，特别是一列集合的并与交的概念； ⑵掌握集合的运算律，会求一列简单集合的并、交以及上极限和下极限； ⑶熟练掌握证明两个集合相等的方法（互为子集）并会具体应用； ⑷了解单射、满射、双射及对等的概念，知道基数相等与大小的定义，会用伯恩斯坦定理； ⑸理解可列集的定义及等价条件（可排成无穷序列的形式），了解可列集的运算性质，理解有理点集是可列集； ⑹了解常见的连续集和连续集的运算，知道基数无最大者。 第2章考核要求 ⑴了解距离、收敛、邻域、孤立点、边界点、内核、导集、闭包等概念，会求简单集合的内核、导集和闭包，理解聚点的定义及其等价条件； ⑵掌握波尔查诺——维尔斯特拉斯定理的条件和结论； ⑶了解开集、闭集、完备集的定义以及开集、闭集在并、交运算之下的性质，开集与闭集互为补集，掌握直线上开集的构造；
⑷了解波雷尔有限覆盖定理、距离可达定理和隔离性定理的条件和结论； ⑸理解康托集的构造及其性质。 第3章考核要求 ⑴理解勒贝格外测度的定义及其性质，知道可列集的测度为零，区间的测度等于其体积； ⑵理解可测集的（卡拉皆屋铎利）定义，了解可测集的充分必要条件以及可测集的运算性质； ⑶熟练掌握单调可测集列极限的测度； ⑷知道Gδ型集、Fσ型集以及波雷尔集的定义，了解常见的勒贝格可测集，掌握可测集同开集、闭集和可测集同Gδ型集、Fσ型集之间的关系。 第4章考核要求 ⑴知道点集上连续函数的定义和点集上连续函数列一致收敛的极限函数的连续性，了解函数列上、下极限的概念，理解“几乎处处”的概念； ⑵熟练掌握可测函数的定义及其等价条件，掌握可测函数的判定方法，理解可测函数关于四则运算和极限运算的封闭性、连续函数和简单函数皆可测以及可测函数可表示为简单函数列的极限； ⑶了解叶果洛夫定理，理解依测度收敛的定义，知道依测度收敛与几乎处处收敛二者互不包含，理解刻划依测度收敛和几乎处处收敛之间关系的勒贝格定理和黎斯定理，知道依测度收敛的极限函数是惟一的（把几乎处处相等的函数视为同一函数）； ⑷理解刻划可测函数同连续函数之间关系的鲁金定理（两种形式）。 第5章考核要求 ⑴知道测度有限集合上有界函数勒贝格积分的定义，理解测度有限集合上有界函数勒贝格可积的充分必要条件是有界可测； ⑵了解测度有限集合上有界函数勒贝格积分的简单性质，理解闭区间上有界函数黎曼可积必勒贝格可积且二者积分相等； ⑶了解一般集合上非负函数勒贝格积分存在和勒贝格可积的定义，非负函数积分存在的充分必要条件是非负可测； ⑷理解一般集合上一般函数勒贝格积分存在和勒贝格可积的定义，熟练掌握一般可测集上一般函数勒贝格积分的性质； ⑸理解积分极限定理，特别是勒贝格控制收敛定理及其应用；
实变函数期末复习指导
实变函数期末复习指导（文本） 实变函数题型比例 单选题：5题，每题4分，共20分。 填空题：5题，每题4分，共20分。 计算与证明题：4题，每题15分，共60分。 第1章主要内容 本章所讨论的集合的基本知识是集合论的基础，包括集合的运算和集合的基数两部分. 主要内容有： 一、集合的包含关系和并、交、差、补等概念，以及集合的运算律． 关于概念的学习，应该注意概念中的条件是充分必要的，比如，B A ?当且仅当A x ∈时必有B x ∈．有时也利用它的等价形式：B A ?当且仅当B x ∈时必有A x ∈．在证明两个集合包含关系时，这两种证明方式可视具体问题而选择其一． 还要注意对一列集合并与交的概念的理解和掌握．n n A x ∞ =∈1 当且仅当x 属于这一列集 合中的“某一个”（即存在某个n A ，使n A x ∈），而n n A x ∞ =∈1 当且仅当x 属于这一列集合中 的“每一个”（即对每个n A ，都有n A x ∈）．要熟练地进行集合间的各种运算，这是学习本章必备的基本技能. 读者要多做些这方面的练习． 二、映射是数学中一个基本概念，要弄清单射、满射和双射之间的区别与联系． 对集合基数部分的学习，应注意论证两个集合对等技能的训练，其方法主要有下面三种：一是依对等的定义直接构造两集间的双射；二是利用对等的传递性，如欲证C A ~，已知B A ~，此时只须证C B ~；三是应用有关定理，特别是伯恩斯坦定理，它是判断两个集合对等的常用的有效方法． 三、可列集是无限集中最重要的一类集合，它是无限集中基数最小者. 要掌握可列集的定义和运算性质，有理数集是可列的并且在直线上处处稠密，这是有理数集在应用中的两条重要性质. 四、连续集及其运算性质.要掌握长见的连续集的例子，知道基数无最大者. 第2章主要内容 本章讨论的点集理论，不仅是以后学习测度理论和新积分理论的基础，也为一般的抽象空间的研究提供了具体的模型.
(完整版)实变函数证明题大全(期末复习)
1、设',()..E R f x E a e ?是上有限的可测函数，证明：存在定义在'R 上的一列连续函数 {}n g ，使得lim ()()..n n g x f x a e →∞ =于E 。 证明：因为()f x 在E 上可测，由鲁津定理是，对任何正整数n ，存在E 的可测子集n E ， 使得1 ()n m E E n -< ， 同时存在定义在1R 上的连续函数()n g x ，使得当n x E ∈时，有()()n g x f x =所以对任意的0η>，成立[||]n n E f g E E η-≥?-由此可得 1[||]()n n mE f g n m E E n -≥≤-< ，因此lim [||]0n n mE f g n →∞-≥=即()()n g x f x ?， 由黎斯定理存在{}n g 的子列{}k n g ，使得lim ()()k n k g x f x →∞ =，..a e 于E 2、设()(,)f x -∞∞是上的连续函数，()g x 为[,]a b 上的可测函数，则(())f g x 是可测函数。 证明：记12(,),[,]E E a b =-∞+∞=，由于()f x 在1E 上连续，故对任意实数1,[]c E f c >是 直线上的开集，设11 [](,)n n n E f c α β∞ =>=U ，其中(,)n n αβ是其构成区间（可能是有限 个 ， n α可 能为 -∞ n β可有为 +∞ ）因此 22221 1 [()][]([][])n n n n n n E f g c E g E g E g αβαβ∞ ∞ ==>=<<=><都可测。故[()]E f g c >可测。 3、设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数a ，{|()}E x f x a =>是一开集，而{|()}E x f x a =≥总是一闭集。 证明：若00,()x E f x a ∈>则，因为()f x 是连续的，所以存在0δ>，使任意(,)x ∈-∞∞， 0||()x x f x a δ-<>就有， 即任意00U(,),,U(,),x x x E x E E δδ∈∈?就有所以是 开集若,n x E ∈且0(),()n n x x n f x a →→∞≥则，由于()f x 连续，0()lim ()n n f x f x a →∞ =≥， 即0x E ∈，因此E 是闭集。 4、（1）设2121 (0,),(0,),1,2,,n n A A n n n -==L 求出集列{}n A 的上限集和下限集 证明：lim (0,)n n A →∞ =∞设(0,)x ∈∞，则存在N ，使x N <，因此n N >时，0x n <<，即
实变函数论考试试题及答案
实变函数论考试试题及答案 证明题：60分 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ ==UI 。 证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以I ∞ +=∈ 1 n m m A x Y I ∞=∞ =?1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim YI ∞ =∞ =?1n n m m A 。设YI ∞ =∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使I ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此，n n A lim ∞ →=YI ∞=∞ =1n n m m A 。 2、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。 证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。 令I ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 3、设在E 上()()n f x f x ?，且1()()n n f x f x +≤几乎处处成立，Λ,3,2,1=n , 则有{()}n f x .收敛于)(x f 。 证明 因为()()n f x f x ?，则存在{}{}i n n f f ?，使()i n f x 在E 上.收敛到()f x 。设 0E 是()i n f x 不收敛到()f x 的点集。1[]n n n E E f f +=>，则00,0n mE mE ==。因此 ()0n n n n m E mE ∞∞==≤=∑U 。在1 n n E E ∞ =-U 上，()i n f x 收敛到()f x ， 且()n f x 是单调的。 因此()n f x 收敛到()f x （单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。 即除去一个零集1n n E ∞ =U 外，()n f x 收敛于()f x ，就是()n f x . 收敛到()f x 。
实变函数论与泛函分析曹广福1到5章课后答案
第一章习题参考解答 3．等式)()(C B A C B A --=?-成立的的充要条件是什么？ 解： 若)()(C B A C B A --=?-，则 A C B A C B A C ?--=?-?)()(. 即，A C ?. 反过来, 假设A C ?, 因为B C B ?-. 所以, )(C B A B A --?-. 故, C B A ?-)(?)(C B A --. 最后证，C B A C B A ?-?--)()( 事实上，)(C B A x --∈?, 则A x ∈且C B x -?。若C x ∈，则C B A x ?-∈)(；若C x ?，则B x ?，故C B A B A x ?-?-∈)(. 从而,C B A C B A ?-?--)()(. A A C B A C B A C =?-?--=?-?)()(. 即 A C ?. 反过来，若A C ?，则 因为B C B ?-所以)(C B A B A --?- 又因为A C ?，所以)(C B A C --?故 )()(C B A C B A --??- 另一方面，A x C B A x ∈?--∈?)(且C B x -?，如果C x ∈则 C B A x )(-∈；如果,C x ?因为C B x -?，所以B x ?故B A x -∈. 则 C B A x ?-∈)(. 从而 C B A C B A ?-?--)()( 于是，)()(C B A C B A --=?- 4．对于集合A ，定义A 的特征函数为????∈=A x A x x A ,0,1)(χ， 假设 n A A A ,,,21是 一集列 ，证明： （i ）)(inf lim )(inf lim x x n n A n n A χχ= （ii ）)(sup lim )(sup lim x x n n A n n A χχ= 证明：（i ）)(inf lim n n m N n n n A A x ≥∈??=∈?，N ∈?0n ，0n m ≥?时，m A x ∈. 所以1)(=x m A χ，所以1)(inf =≥x m A n m χ故1)(inf sup )(inf lim ==≥∈x x m n A n m N b A n χχ
(完整版)《实变函数与泛函分析基础》试卷及答案要点
试卷一： 一、单项选择题（3分×5=15分） 1、1、下列各式正确的是（ ） （A ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （B ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; （C ）1lim n k n n k n A A ∞ ∞ →∞ ===??; （D ）1lim n k n k n n A A ∞ ∞ ==→∞ =??; 2、设P 为Cantor 集，则下列各式不成立的是（ ） （A ）=P c (B) 0mP = (C) P P =' (D) P P =ο 3、下列说法不正确的是（ ） (A) 凡外侧度为零的集合都可测（B ）可测集的任何子集都可测 (C) 开集和闭集都是波雷耳集 （D ）波雷耳集都可测 4、设{}()n f x 是E 上的..a e 有限的可测函数列,则下面不成立的是( ) （A ）若()()n f x f x ?, 则()()n f x f x → (B) {}sup ()n n f x 是可测函数 （C ）{}inf ()n n f x 是可测函数;（D ）若()()n f x f x ?,则()f x 可测 5、设f(x)是],[b a 上有界变差函数，则下面不成立的是（ ） (A) )(x f 在],[b a 上有界 (B) )(x f 在],[b a 上几乎处处存在导数 （C ）)(' x f 在],[b a 上L 可积 (D) ? -=b a a f b f dx x f )()()(' 二. 填空题(3分×5=15分) 1、()(())s s C A C B A A B ??--=_________ 2、设E 是[]0,1上有理点全体，则' E =______,o E =______,E =______. 3、设E 是n R 中点集，如果对任一点集T 都有
《现代秘书学与秘书实务》期末考试大纲09-10
（一）单项选择题 1、在中国，秘书作为一种官职名称最早出现于（ B ）B、东汉后期 2、秘书学和下面的那个学科是交叉关系（ C ）C、社会学 3、秘书活动的成果是（ B ）B、隐匿性的秘书在其职能活动中所扮演的基本角色是（ D ）D、助手角色5、下面哪项工作属于中国秘书活动中临时交办的工作（ C ）C、代表领导参加会议下面哪项工作属于日本秘书活动中的非固定业务（ B ）B、上司得急病时送他去医院会议最基本的驱动力是（ A ）A、会议的目标无正式资格、无表决权也无发言权的是会议的（ B ）B、旁听成员会议的参加者最少不能少于（ B ）B、3人10、在会见中，身份低者会见身份高者称为（ C ）C、晋见11、下面哪种人一般不拟定会议议程（ D ）D、外单位上司12、下面那个不属于上司在会议期间需用的资料（ C ）C、工作计划13、一份会议简报最适宜的字数是（ B ） B、1000字14、正在通话时，如电话突然中断（ B ）B、打入一方应再次打入 15、结束通话的国际惯例是（ A ）A、打入方先挂断16、秘书对接到邮件进行初步分 类，最常见的方法是（ D ）D、按邮件的重要程度分17、秘书呈送信件之前，应先阅读并标注重点部分，标注用的笔颜色为（ C ）C、黄色 18、关于安排约见，下面的哪种做法是错的（ C ）C、与本单位人员的约见应安排在上午早些时 候19、秘书不宜为上司安排约见的时间有（ B ）B、上司出差返回单位的第一天 20、信件装封时不规范的做法有（ A ）A、信纸上打印有文字的一面向外折叠 21、秘书犯错误被上司批评后不恰当的做法是（ B ）B、第二天找借口请假不上班 22、秘书处理领导者之间矛盾时，常使用回避法，下面哪条不属于回避法中的具体方法（ D ） D、保持中立在港台地区，用于商务交往、业务联系的名片是（ B ）B、有衔名片 23、收到别人名片后的正确做法是（ D ）D、将名片放在桌边眼睛可以看到的地方 24、握手时的正确做法是（ C ）C、男士要等女士先伸出手时再去握 25、引导客人前往会客室的途中，秘书（ A ）A、应走在距离客人右侧约1米处 26、商务交往的赠礼活动中，下面哪种做法是错误的（ A ）A、对美国人不知送什么时，可送鲜 花下面哪个不属于涉外秘书克服紧张心理的方法（ C ）C、合理安排时间 27、秘书正接待客人时，如有新的客人来到，正确的做法是（ C ）C、对原来的客人表示 歉意，请他稍等，然后礼貌地招呼新来的客人在全世界都以英文为考试语言的秘书证书考试是（ D ）D、LCCIEB秘书证书下列秘书中属于私人秘书的是（ B ）B、美国大学教授的秘书秘书容易发生角色位移、角色冲突的主要原因是（ D ）D、秘书活动主体角色的多重性下面关于美国法律秘书的描述哪个是错误的（ D ）D、法律秘书协会会员必须有五年法律秘书工作经验下面关于日本企业秘书的描述哪个是错误的（ D ）D、必须懂日本的茶道、花道及其他文化历史不涉及秘密事项、也不需要公开的会议属于（ A ）A、内部会议下面哪个不属于传统会议的弊端（ C ）C、无法目睹别人的反应、表情 28、发送会议通知时，不正确的做法是（ B ）B、会议通知一般提前一星期发出 29、下面哪种会场布置不适宜小型会议（ C ） C、礼堂形39、将一个或几个与会者，小 组的发言编成一期，这样的简报属于（ B ） B、重点式简报 40 、电子会议的不足之处是（ A ） A、无法目睹别人的反映、 41、秘书节最早起源于（A）A美国 42、下面那种说法是错误的（D）D 秘书活动与领导 活动不一定同步。 43、关于美国的秘书，下面哪种说法是错误的（C）C美国的行政秘书只是指执行高级宫员秘书职务的甲类秘书。44、关于日本企业里的高级秘书，下面哪种说法是正确的（A）A一般指秘书课长、主任秘书，公司的高级干部，董事长的正式辅佐人。45、下面哪个不属于香港秘书在二十一世纪的发展趋势（D）D 知识化 46、具有礼节性和象征性意义的是会议的（C C 特邀成员 47、下面哪条不是电子会议的不足（B） B 一旦主要发言者缺席，不得不改变议题和议程。
第三版实变函数论课后答案
1. 证明:()B A A B -=U 的充要条件就是A B ?、 证明:若()B A A B -=U ,则()A B A A B ?-?U ,故A B ?成立、 反之,若A B ?,则()()B A A B A B B -?-?U U ,又x B ?∈,若x A ∈,则 ()x B A A ∈-U ,若x A ?,则()x B A B A A ∈-?-U 、总有()x B A A ∈-U 、故 ()B B A A ?-U ,从而有()B A A B -=U 。 证毕 2. 证明c A B A B -=I 、 证明:x A B ?∈-,从而,x A x B ∈?,故,c x A x B ∈∈,从而x A B ?∈-, 所以c A B A B -?I 、 另一方面,c x A B ?∈I ,必有,c x A x B ∈∈,故,x A x B ∈?,从而x A B ∈-, 所以 c A B A B ?-I 、 综合上两个包含式得c A B A B -=I 、 证毕 3. 证明定理4中的(3)(4),定理6(De Morgan 公式)中的第二式与定理9、 证明:定理4中的(3):若A B λλ?(λ∈∧),则A B λλλλ∈∧ ∈∧ ?I I 、 证:若x A λλ∈∧ ∈I ,则对任意的λ∈∧,有x A λ∈,所以A B λλ?(? λ∈∧)成立 知x A B λλ∈?,故x B λλ∈∧ ∈I ,这说明A B λλλλ∈∧∈∧ ?I I 、 定理4中的(4):()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =U U U U U 、 证:若()x A B λλλ∈∧ ∈U U ,则有' λ∈∧,使 ''()()()x A B A B λλλλλλ∈∧∈∧ ∈?U U U U 、 反过来,若()()x A B λλλλ∈∧ ∈∧ ∈U U U 则x A λλ∈∧ ∈U 或者x B λλ∈∧ ∈U 、 不妨设x A λλ∈∧ ∈U ,则有' λ∈∧使'''()x A A B A B λλλλλλ∈∧ ∈??U U U 、 故()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ ?U U U U U 、 综上所述有()()()A B A B λλλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =U U U U U 、 定理6中第二式()c c A A λλλλ∈∧∈∧ =I U 、 证:() c x A λλ∈∧ ?∈I ,则x A λλ∈∧ ?I ,故存在' λ∈∧ ,'x A λ?所以 'c c x A A λλλ∈∧ ??U 从而有()c c A A λλλλ∈∧∈∧ ?I U 、 反过来,若c x A λλ∈∧ ∈U ,则' λ?∈∧使'c x A λ?,故'x A λ?, x A λλ∈∧ ∴?I ,从而()c x A λλ∈∧ ∈I ()c c A A λλλλ∈∧ ∈∧ ∴?I U 、 证毕 定理9:若集合序列12,,,,n A A A K K 单调上升,即1n n A A +?(相应地1n n A A +?)对一切n 都成立,则 1 lim n n n A ∞ →∞ ==U (相应地)1 lim n n n A ∞ →∞ ==I 、 证明:若1n n A A +?对n N ?∈成立,则i m i m A A ∞ ==I 、故从定理8知
实变函数期末考试题库
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《实变函数》期末考试模拟试题（一） （含解答） 一、选择题（单选题） 1、下列集合关系成立的是（ A ） （A ）(\)A B B A B ?=? （B ）(\)A B B A ?= （C ）(\)B A A A ?? （D ）(\)B A A ? 2、若n E R ?是开集，则（ B ） （A ）E E '? （B ）E 的内部E = （C ）E E = （D ）E E '= 3、设P 是康托集，则（ C ） （A ）P 是可数集 （B ）P 是开集 （C ）0mP = （D ）1mP = 4、设E 是1R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则（ D ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 5、设E 是n R 中的可测集，()f x 为E 上的可测函数，若()d 0E f x x =?，则（ A ） （A ）在E 上，()f z 不一定恒为零 （B ）在E 上，()0f z ≥ （C ）在E 上，()0f z ≡ （D ）在E 上，()0f z ≠ 二、多项选择题（每题至少有两个或两个以上的正确答案） 1、设E 是[0,1]中的无理点全体，则（C 、D ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）E 中的每一点都是聚点 （D ）0mE > 2、若1E R ?至少有一个内点，则（ B 、D ） （A ）* m E 可以等于零 （B ）*0m E > （C ）E 可能是可数集 （D ）E 是不可数集 3、设[,]E a b ?是可测集，则E 的特征函数()E X x 是 （A 、B 、C ） （A ）[,]a b 上的简单函数 （B ）[,]a b 上的可测函数 （C ）E 上的连续函数 （D ）[,]a b 上的连续函数 4、设()f x 在可测集E 上L 可积，则（ B 、D ）
实变函数论课后答案第四章
实变函数论课后答案第四章4第四章第四节习题 1．设于，于，证明：于 证明：， （否则，若，而， 矛盾），则 （） 从而 2．设于，，且于，证明于 证明：由本节定理2（定理）从知的子列使 于 设，，于，从条件于，设 ，,于上 令，则，且 故 ，则 令， 故有，从而命题得证
3．举例说明时定理不成立 解：取，作函数列 显然于上，但当时 ，不 故时定理不成立，即于不能推出于 周民强《实变函数》P108 若是非奇异线性变换，，则 （） 表示矩阵的行列式的绝对值. 证明：记 显然是个的平移集（）的并集，是个（）的并集，且有， 现在假定（）式对于成立（） 则 因为，所以得到 这说明（）式对于以及的平移集成立，从而可知（）式对可数个互不相交的二进方体的并集是成立的（对任意方体， ） 对一般开集，，为二进方体，互补相交 则
1-1 ，连续，连续开，则开，从而可测 于是应用等测包的推理方法立即可知，对一般点集（）式成立 设为有界集，开，，则开，且不妨设有界，否则令有界，令即可. 连续，则开，开，可测（），， 故 （开） 若为无界集，令，则，为有界集 ，线性，则若，则（后面证） ，则由注释书P69定理3，存在集，，若有界， 则，故（1-1） 则，故 若无界，则， 线性，若，则 证明：为的基，， ，,,令，则 则（即是连续的） 一边平行于坐标平面的开超矩体 于
，开，连续，则是中开集从而可测，从而是中可测集，由归纳法知是可测集 若（）式成立，则矩体， ，为正方体，则对开集也有，特别对开区间 这一开集有 则可知，若，则 事实上，，开区间，， 令知 若（）成立，则将可测集映为可测集，还要看（）证明过程是否用到将可测集映为可测集或推出这一性质！ 下面证（）成立.任一线性变换至多可分解为有限个初等变换的乘积 （i）坐标之间的交换 （ii） (iii) 在（i）的情形显然（）成立 在（ii）的情形下，矩阵可由恒等矩阵在第一行乘以而得到从而可知（）式成立 在（iii）的情形，此时（）