实变函数测试题与答案

实变函数测试题

一，填空题

1. 设1,2n A n ??=????

, 1,2n = ,

则lim n n A →∞

= . 2. ()(),,a b -∞+∞ ,因为存在两个集合之间的一一映射为

.

3. 设E 是2R 中函数1c o s ,00,0x y x x ?

≠?=?? =?

的图形上的点所组成的

集合，则E '= ，E ?

= .

4. 若集合n

E R ?满足E E '?, 则E 为 集.

5. 若(),αβ是直线上开集G 的一个构成区间, 则(),αβ满足:

, .

6. 设E 使闭区间[],a b 中的全体无理数集, 则mE = .

7. 若()n m E f x →()0f x ??=??

, 则说{}()n f x 在E 上 .

8. 设n

E R ?, 0n

x R ∈,若 ,则称0x 是

E 的聚点.

9. 设{}()n f x 是E 上几乎处处有限的可测函数列, ()f x 是E 上 几乎处处有限的可测函数, 若0σ?>, 有

, 则称{}()n f x 在E 上依测度收敛于

()f x .

10. 设()()n f x f x ?,x E ∈, 则?{}()n f x 的子列{}

()j

n

f x , 使

得 .

二, 判断题. 正确的证明, 错误的举反例. 1. 若,A B 可测, A B ?且A B ≠,则m A m B <. 2. 设E 为点集, P E ?, 则P 是E 的外点.

3. 点集11,2,,E n ??

=????

的闭集.

4. 任意多个闭集的并集是闭集.

5. 若n

E R ?,满足*m E =+∞, 则E 为无限集合. 三, 计算证明题

1. 证明:()()()A B C A B A C --=-

2. 设M 是3R 空间中以有理点(即坐标都是有理数)为中心, 有理数为半径的球的全体, 证明M 为可数集.

3. 设n

E R ?,i E B ?且i B 为可测集, 1,2i = .根据题意, 若有

()()*0,i m B E i -→ →∞, 证明E 是可测集.

4. 设P 是C antor 集, ()[]3

2

ln 1,(),0,1x x P f x x x P ?+ ∈?=?

∈-??

. 求1

0(L)()f x dx ?.

5. 设函数()f x 在C antor 集0P 中点x 上取值为3

x , 而在0P 的余

集中长为1

3n

的构成区间上取值为

1

6n

, ()

1,2

n= , 求

1 0

() f x dx

?.

6.求极限:

1

3

23

lim(R)sin

1

n

nx

nxdx

n x

→∞+

?.

实变函数试题解答

一 填空题 1. []0,2.

2. ()()()tan ,,.2x x a x a b b a

π

π???=--∈?

?-??

3. {}

1(,)cos ,0(0,)1x y y x y y x ??

=≠≤????

; ?. 4. 闭集.

5. (),.,.G G G αβαβ? ? ?

6. b a -.

7. 几乎处处收敛于()f x 或 a.e.收敛于()f x . 8. 对0

00,(,)U x δδ?> 有{}()0E x -=?.

9. lim ()()0n n m E f x f x σ→∞

?-≥?=?? 10. ()()n f x f x → a.e.于E .

二 判断题

1. F . 例如, (0,1)A =, []0,1B =, 则A B ?且A B ≠,但

1m A m B ==.

2. F . 例如, 0(0,1)?, 但0不是(0,1)的外点.

3. F . 由于{}0E E '=?.

4. F . 例如, 在1

R 中, 1

1,1n F n

n ??=-????, 3,4n = 是一系列的

闭集, 但是3

(0,1)n n F ∞

== 不是闭集.

5. T . 因为若E 为有界集合, 则存在有限区间I , I <+∞, 使

得E I ?, 则**

,m E m I I ≤=<+∞ 于*

m E =+∞ .

三, 计算证明题. 1. 证明如下:

()()()

()

()()()()

S

S S

S

S A B C A B C

A B C A B C A B A C A B A C --=- = = = =-

2. M 中任何一个元素可以由球心(,,)x y z , 半径为r 唯一确定,

x ,y , z 跑遍所有的正有理数, r 跑遍所有的有理数. 因为有理

数集于正有理数集为可数集都是可数集, 故M 为可数集.

3. 令1

i i B B ∞

== , 则i E B B ??且B 为可测集, 于是对于i ?, 都有i B E B E -?-, 故

()()*

*

0i m

B E m

B E ≤-≤-,

令i →∞, 得到()*

0m

B E -=, 故B E -可测. 从而

()E B B E =--可测.

4. 已知0m P =, 令[]0,1G P =-, 则

()1

3

2

22

1

1

3

(L )()(L )ln 1(L )(L )()(L )(L )(R )()13

3

P

G

G

P

G

f x dx x dx x dx

f x dx

x dx x dx

f x dx

x

=++ =0+ =+ = =

=

???????.

5. 将积分区间[]0,1分为两两不相交的集合: 0P , 1G , 2G , 其中0P 为C antor 集, n G 是0P 的余集中一切长为13

n

的构成区间

(共有1

2

n -个)之并. 由L 积分的可数可加性, 并且注意到题中的

00mP =, 可得

1

10

11

11

1

1

()()()()()1

()6

112

66

3

1112

9

16

n

n P G P G n n

P G n n n n

n

n

n n n n f x d x f x d x f x d x

f x d x f x d x f x d x d x m G ∞=∞

=∞

=-∞

∞

==∞

==

+

=+ =

+

=0+

=? =

?

=

?

?

?

∑??

∑?

?

∑

∑

∑

6. 因为

3

2

3

sin 1nx nx n x

+在[]0,1上连续, 1

3

2

3

(R )sin 1nx nxdx

n x

+?存在且与13

2

3

(L )sin 1nx nxdx n x

+?

的值相等. 易知

3

23

2

3

2

3

2

3

211sin .11122nx nx nx nx n x

n x

n x

x

x

≤

≤

?

≤

+++

由于

12x

在()0,1上非负可测， 且广义积分1

12dx x

?收敛，则

12x

在()0,1上(L )可积， 由于3

2

3

lim

sin 01n nx nx n x

→∞

=+，

()0,1x ∈，于是根据勒贝格控制收敛定理，得到

113

3

2

3

2

3

1

3

23010

lim (R )sin lim (L )sin 11lim sin 100

n n n nx nx nxdx nxdx

n x

n x

nx nx dx n x dx →∞

→∞→∞=++?? = ?+?? =

=?

?

??

.