衡水名师原创数学专题卷：专题十三《圆锥曲线与方程》(详解)

2021衡水名师原创数学专题卷 专题十三《圆锥曲线与方程》

考点40：椭圆及其性质(1-3题，9-11题，13,14题) 考点41：双曲线及其性质（4,5题，6-10题，15题） 考点42：抛物线及其性质（6,7题，16题） 考点43：直线与圆锥曲线的位置关系（17-22题） 考点44：圆锥曲线的综合问题（8题，16题，17-22题）

考试时间：120分钟 满分：150分

说明：请将选择题正确答案填写在答题卡上，主观题写在答题纸上

第I 卷（选择题）

一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1.已知直线210kx y -+=与椭圆22

19x y m

+=恒有公共点，则实数m 的取值范围( ) A. (]1,9

B. [)1,+∞

C. [)

()1,99,+∞ D.

()9,+∞

2.已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左顶点为A ，上顶点为B ，右焦点为F ，若

90ABF ∠=?，则椭圆C 的离心率为( )

A

B

C

D

3.已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的短袖长为2，上顶点为A ，左顶点为12,,B F F 分别是

椭圆的左、右焦点，且1F AB △

P 为椭圆上的任意一点，则12

11PF PF +的取值范围为（ ） A.

[]1,2

B.

C.

4?

?

D.

[]1,4

4.设点P 是双曲线22

221(0,0)x y a b a b

-=>>与圆2222x y a b +=+在第一象限的交点,12,F F 分

别是双曲线的左、右焦点,且123PF PF =,则双曲线的离心率为( )

5.若直线:1l y kx =+与双曲线22:21C x y -=的右支交于不同的两点,A B ,则实数k 的取值范围是( )

A.2k -<<

B.22k -<<

C.k <

D.20k -<<

6.已知F 是抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点，抛物线C 上动点,A B 满足4AF FB =，若

,A B 在准线上的射影分别为,M N ，且MFN △的面积为5，则||AB =( )

A.94

B.

134

C.

214

D.

254

7.已知抛物线25

2

y x =

与直线:12l y kx k =+-交于,A B 两点.若90AOB ∠=?(O 为坐标原点),则实数k =( ) A.4-

B.2-

C.1

D.2

8.已知点12,F F 是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线22

221(0,0)x y m n m n

-=>>的公共焦点,点

P 是它们在第一象限的公共点,满足2211()0F P F F PF +?=.若椭圆的离心率为1e ,双曲线的离

心率为2e ,则12

1

42e e e +的取值范围为( )

A.)+∞

B.)+∞

C.[3,)+∞

D.[6,)+∞

二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。）

9.已知F 是椭圆2212516

y x +=的右焦点，椭圆上至少有21个不同的点()1,2,3,i P i =???，

123,,FP FP FP ，…组成公差为()0d d >的等差数列，则（ ） A ．该椭圆的焦距为6 B ．1FP 的最小值为2 C ．d 的值可以为

3

10

D ．d 的值可以为

2

5

10.已知过双曲线22

:184

x y C -=的左焦点F 的直线l 与双曲线左支交于点,A B ,过原点与弦

AB 的中点D

的直线交直线x =E,若AEF △为等腰直角三角形,则直线l 的方程为( )

A.(30x y +-+

B.(30x y -++=

C.(30x y --+=

D.(30x y +++

11.已知椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左顶点和上顶点分别为点,A B ，若它的右焦点F 到直

线AB

，且椭圆上有一点31,2M ??

???

，则( ) A.椭圆方程为2

214

x y +=

B.离心率12

e =

C.

AMF ABF

S S

=

D.0BA BF ?<

12.抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,过点F 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点,交抛物线C 的准线于D ,若2,2BD BF FA ==,则 A.(3,0)F

B.

直线AB 的方程为3

)2

y x =-

C.点B 到准线的距离为6

D.AOB △(O

为坐标原点)的面积为第II 卷（非选择题）

三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。）

13.设12F F ,是椭圆2211612

x y +=的左、右焦点，椭圆上一点P 满足123PF PF -=，则点P 的

横坐标为 .

14.已知点()0,1P ，椭圆()2

214

x y m m +=>上两点,A B 满足2AP PB =，则当m =

____________________时，点B 横坐标的绝对值最大.

15.过点()6,1A )作直线与双曲线22416x y -=相交于两点,B C ,且A 为线段BC 的中点,则直线的方程（表示为一般式）为____________.

16.已知抛物线2:C y x =，过C 的焦点的直线与C 交于A ，B 两点。弦AB 长为2，则线段

AB 的中垂线与x 轴交点的横坐标为__________．

四、解答题（本题共6小题，共70分。）

17.（本题满分10分）如图，点T 为圆22:1O x y +=上一动点，过点T 分别作 x 轴， y 轴的垂线，垂足分别为A ，B ，连接BA 延长至点P ，使得BA AP =，点P 的轨迹记为曲线

C .

（1）求曲线C 的方程；

（2）若点A ，B 分别位于x 轴与y 轴的正半轴上，直线AB 与曲线C 相交于M ，N 两点，且1AB =，试问在曲线C 上是否存

在点Q ，使得四边形OMQN 为平行四边形，若存在，求出直线 l 方程；若不存在，说明理由.

18.（本题满分12分）已知点()0,2D -，过点D 作抛物线212(0)C x py p =>：的切线l ，切点A 在第二象限．

（1）求切点A 的纵坐标；

（2的椭圆22221(0)x y a b a b +=>>恰好经过切点A ，设切线l 与椭圆的另一交点为点B ，记切线,,l OA OB 的斜率分别为k ，1k ，2k ，若124k k k +=，求椭圆的方程．

19.（本题满分12分）已知抛物线()2

:20,C x py p F =>为抛物线C 的焦点．以F 为圆

心，P 为半径作圆，与抛物线C 在第一象限交点的横坐标为2． （1）求抛物线C 的方程；

（2）直线1y kx =+与抛物线C 交于,A B 两点，过,A B 分别作抛物线C 的切线12,l l ，设切线12,l l 的交点为P ，求证：PAB △为直角三角形.

20.（本题满分12分）已知抛物线2:2(0)E y px p =>的焦点为F ,直线:22l y x =-，直线

l 与C 的交点为,A B ，同时|8AF BF

+=∣直线//m l ，直线m 与C 的交点为C D 、,与

y 轴交于点P .

(1)求抛物线E 的方程； (2)若4CP DP =求CD 的长.

21.（本题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点()1,0Q ，直线:2l x =，若动点P 在直线l 上的射影为R ，且||2PR PQ =，设点P 的轨迹为C . （1）求C 的轨迹方程；

（2）设直线y x n =+与曲线C 相交与A B 、两点，试探究曲线C 上是否存在点M ，使得四边形MAOB 为平行四边形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由.

22.（本题满分12分）椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>将圆228

5

x y +=的圆周分为四等份,且椭

圆 C . ()I 求椭圆C 的方程；

()Ⅱ若直线

l 与椭圆C 交于不同的两点,M N ,且MN 的中点为01,4P x ??

???

,线段MN 的垂直

平分线为'l ,直线'l 与x 轴交于点(, 0)Q m ,求m 的取值范围.

参考答案及解析

1.答案：C

解析：直线210kx y -+=恒过定点()0,1P ，

直线210kx y -+=与椭圆22

19x y m

+

=恒有公共点,即点()0,1P 在椭圆内或椭圆上， ∴01

19m

+≤，即1m ≥，又9m ≠， ∴19m ≤<或9m >. 故选：C. 2.答案：A

解析：由22

2

2

1(0)b x a y a b +=>>,椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>，

作出椭圆图象如图：

则,AF a c AB BF a =+==. 由题意可得：222AF AB BF =+， ∴22222()a c a b b c +=+++， ∴222,e e 10a c ac -=?+-=.

∴e =

(负值舍去).

故选：A. 3.答案：D

解析：由已知的22b =，故1b =.∵

1

F AB △的面积为

22

-， ∴

12()22

a c

b -=，∴2a

c -=-. 又∵222()()1a c a c a c b -=-+==， ∴

2,a c ==

∴

12212121111

1124

(4)4PF PF a PF PF PF PF PF PF PF PF ++===--+.

又122PF ≤≤,∴

2

11144

PF PF ≤-+≤,

∴

12

1114

PF PF ≤+≤.

∴

12

11PF PF +的取值范围为[]1,4.

4.答案：B

解析：点P

到原点的距离为PO c .因为在12PF F 中,122F F c =,所以

122F F PO =,所以12PF F 是直角三角形,即1290F PF ∠=?.由双曲线的定义知

122PF PF a -=.又因为123PF PF =,所以123,PF a PF a ==.在12Rt PF F 中,由勾股定理,得222(3)(2)a a c +=,

解得c a .故选B. 5.答案：A

解析：将直线1y kx =+代入双曲线方程,并整理得22(2)220k x kx -++=. 以题意,直线l 与双曲线C 的右支交于不同两点,故()222

2220(2)82020

2202k k k k k k ?-≠??=-->???

?->?-??>?-

?2k ?-<<,故选A.

6.答案：D

解析：过点A 作x 轴的垂线，垂足是C ，交NB 的延长线于点D .

设22

1212,,,22y y A y B y p p ????

? ?????

，则12||,5MFN MN y y S =-=△，()1210,y y p AFC ABD ∴-?=①△△， ||||||||AF AC AB AD ∴

=

，即112

4

5y y y =-，124y y ∴=-②，

22

12||||,||||2222

y y p p

AF AM FB BN p p ==+==+，

221242222y y p p p p ??

∴+=+ ???

③， 联立①②③解得12412y y p ==-=，，，

22

1225

||224

y y AB p p p ∴=++=.

7.答案：B

解析：设()()1122,,,A x y B x y ,联立25

,

2

12,y x y kx k ?=???=+-?消去x 得2255(21)0ky y k ---=,故125(21)2k y y k -=-

.易知221212425x x y y =.因为90AOB ∠=?,故0OA OB ?=,故22

12124025

y y y y +=.因为120y y ≠,故124

1025y y +=,即45(21)10252k k -???-+=????,解得2k =-. 8.答案：D

解析：因为2211()0F P F F PF +?=,所以点2F 在1PF 的垂直平分线上.由题意知椭圆的长半轴长为a ,双曲线的实半轴长为m .设半焦距为c ,则12122

122,

2,2,

PF PF a PF PF m PF F F c ?+=?

-=??==?所以224a m c =+,

所以

122114222424424622222e e e a c m c c m c e e c m c m c m ++=+=+=+=++≥=+=,当且仅当2c m =时取“=”.故12

1

42e e e +的取值范围为[)6,+∞.故选D. 9.答案：ABC

解析：由椭圆2212516

y x +=， 得 5,4,3a b c ===， 故 A

正确；

1

min

532FP a c =-=-=，故 B 正确； 设123,,,FP FP FP 组成的等差数列为{}n a ，

由已知可得该数列是单调递增数列， 则 11

max min

2,||538n a FP a FP ≥=≤=+=，又11n a a d n -=

-， 所以663

121110

d n ≤≤=--， 所以3010d <≤

，所 以d 的最大值是 3

10

， 故 C 正确， D 错误.故选 ABC. 10.答案：AC

解析：易知(F -,

则由题意可设直线:l x my m =-≠,代入双曲线C 的方程,消去x,

整理得22(2)40m y --+=,设1122(,),(,)A x y B x y ,由根与系数的关系,

得12y y +=

,121212()222y y x x m y y +++∴==-

即D 所以直线OD 的方程为2

m

y x =

,

令x =

得y =,

即()E 所以直线EF

0m -=-,EF l ∴⊥,则必有EF AF =,

即

解得1y =,又2211184x y -=

,1x ∴=

(3m ∴=±-,从而直线l

的方程为(30x y --+=

或(30x y +-+=

11.答案：BC 解析：

(,0),(0,)A a B b -，

∴直线AB 的表达式为

1x y

a b

+=-，即0bx ay ab -+=. 又(,0)F c ，

∴点(,0)F c 到直线0bx ay ab -+=

=

,

=

又222b a c =-，

221114160a ac c ∴--=，

即(118)(2)0a c a c +?-=, 2a c ∴=，

故离心率1

2

e =

，故选项B 正确; 设椭圆方程为2222143x y c c +=，代人点31,2M ??

???

得1c =，

2,a b ∴==，故选项A 错误；

又31,2B M ??

???

，可得

AMF ABF

S S =

，故选项C

正确；

(2,(1,10BA BF ?=-?=>，故选项D 错误，故选BC.

12.答案：BCD

解析：如图,不妨令点B 在第一象限,设点K 为准线于x 轴的交点,分别过点,A B 作抛物线

2:2(0)C y px p =>的准线的垂线,垂足分别为,G E ,2BD BF =,所以点F 为BD 的中点,又

1

,2

BE FB BE BD =∴=

,所以R t EBD △中,30,22224BDE AD AG AF ∠=∴===?=, 6DF AD FA ∴=+=,6BF ∴=则点B 到准线的距离为6,故C 正确;

6,3,3DF KF p =∴=∴=,则3

(,0)2F ,故A 错误;由30BDE ∠=,易得60BFx ∠

=,所以直线

AB 的方程为33

tan 60())22y x x =?-=-,故B 正确;连接

1313

,,6sin1202sin 60332222

AOB AOF OA OB S S +=???+???=△,故D 正确,故选BCD.

13.答案：3

解析：由椭圆的定义，得128PF PF +=.

而123

PF PF -=，所以252

PF =

. 设点P 的坐标为()x y ,4

4(x y -≤≤-≤,，则()2

2

2524

x y -+=

.

联立得方程组()22

2211612

2524x y x y ?+=????-+=??消去y 并整理，得216390x x -+=，

解得3x =或13x =(舍去).所以点P 的横坐标为3. 14.答案：5

解析：

设11(,)A x y ，22(,)B x y ，

当直线斜率不存在时，9m =，20x =.

当直线斜率存在时，设AB 为1y kx =+.联立22

41x y m

y kx ?+=???=+?得22(41)8440k x kx m +++-=，

20410mk m ?>?+->，122841

k

x x k +=-+，

1224441

m

x x k -=

+.

∵2AP PB =，∴122x x =-，解得121641k x k -=

+，2

2841

k

x k =+. ∴

22

882

141

4k x k k k

=

=

≤++

（当且仅当1

2

k =

时取“=”）. 122216884141k k x x k k -=

?=-++，12

2442241

m

x x m k -==-+，得5m =， ∴当5m =时，点B 横坐标最大. 15.答案：32160x y --=

解析：由双曲线的标准方程：22

1164

x y -

=，设()11,B x y ，()22,C x y ， 可设直线l 的方程为(6)1y k x =-+，

代入221164

x y -

=，整理得()

222

148(16)48144200k x k k x k k ---+--= ①， 12,x x 则是方程①的两个不同的根，

所以2140k -≠，且122

8(16)

14k k x x k -+=-，

由()6,1A 是BC 的中点得

()

1262

x x +=，

()24(16)614k k k ∴-=-，

解得32

k =

， 直线AB 的方程为32160x y --=. 故答案为：32160x y --=. 16.答案：

54

解析：由题意得，抛物线2:C y x =，则其焦点为1

(,0)4

，

又过C 的焦点的直线与C 交于,A B 两点，2AB =， 当AB 斜率不存在时，直线14x =，代入C 得214

y =， 解得1

2

y =±

，则1AB =，与题干相矛盾。 故AB 斜率存在，设斜率为k,则直线AB 的方程为1

(),04

y k x k =-≠，

联立直线AB 与抛物线C 的方程，得21()4y x y k x ?=?

?=-?

?，

整理得222211

(1)0216

k x k x k -++=，

设1122(,),(,)A x y B x y ，则2122

22k x x k

++=，121

16x x =，

则12AB x

-=

221

(1)k k =+，

即

221

(1)2k k

+=，解得21k =， 设,A B 中点(,)M M M x y ，则1231,()2442

M M M x x k

x y k k +===-=， 故点M 的坐标为3(,)42

k

，

设线段AB 的中垂线与x 轴交点的横坐标为0(,0)N x ，

故直线MN 的斜率为

02

34

k x -，

且AB MN ⊥，

则

02

134

k k x ?=--，化简得2

03142

x k =

+， 因为21k =，故054

x =

. 17.答案：（1）设(),P x y ，()00,T x y ，则()0,0A x ，()00,B y ， 由题意知BA AP =，所以A 为PB 中点，

由中点坐标公式得00202x x y y ?=???+?=??

，即002x x y y

?=

???=-?，

又点T 在圆O ：221x y +=上，故满足22001x y +=，

得2

214

x y +=.

（2）由题意知直线l 的斜率存在且不为零，设直线l 的方程为y kx t =+， 因为1AB OT ==，故2

2

1t t k ??-+= ???

，即2221t t k += ①，

联立22

14

y kx t

x y =+???+=??，消去 y 得：()()

222418410k x ktx t +++-=， 设()11,M x y ，()22,N x y ，

122841kt x x k +=-+，()

212241

41

t x x k -=+，

()1212282241kt y y k x x t k t k ?

?+=++=-+ ?

+??2241t k =+， 因为OMQN 为平行四边形，故2282,4141kt t Q k k ?

?- ?++??

，

点Q 在椭圆上，故2

22282411441kt t k k ??- ???+??+= ?+??

，整理得22441t k =+，②，

将①代入②，得42410k k ++=，该方程无解，故这样的直线不存在. 解析：

18.答案：（1）设切点()00,A x y 则有2

02x y p

=，

由切线l 的斜率为0

x k p

=

， 得l 的方程为2

00

2x x y x p p

=-，

又点()0,2D -在l 上所以2

22x p

=，即02y =，

所以点A 的纵坐标02y =．

（2）由（1

）得()

2A -

，切线斜率k =

设()11,B x y ，切线方程为2y kx =-，

由e =得2

234c a =又222c a b =-，

所以224a b =．

所以椭圆方程为22

2214x y b b

+=

且过()

2A -， 所以24b p =+．

由222

2

44y kx x y b

=-??+=?得()

22214161640k x kx b +-+-=， 所以0122012161416414k x x k b x x k ?

+=??+?-?=?+?， 又因为124k k k +=，

即()()()210011001220101012

322223214222416416414k

x x x kx x x y y k

k k k k k b x x x x x x b k -+-+++==-=-=-=--+

解得28b =，所以22432a b == ,

所以椭圆方程为22

1328

x y += .

解析：

19.答案：（1）记抛物线C 与圆F 在第一象限的交点为M .由题意可得：圆F 与抛物线C

的准线相切，且M 到抛物线C 准线的距离等于圆F 的半径p .所以M 点的坐标为2,2p ??

???

，

代入抛物线方程得：()2

40p p =>，所以2p =.

（2）设22

1212,,44x x A x B x ???? ? ??

???由24x y =得214y x =，求导得1

2y x '=，所以,A B 两点处切线斜

率分别为112211,22

k x k x =

= 由21

4y kx x y

=+??=?得2440x kx --= 所以12124,4x x k x x +==-，所以12121

14

k k x x ==-，所以PA PB ⊥,即PAB △为直角三角形. 解析：

20.答案：解：(1)2222

y px

y x ?=?=-?得：22(4)40x p x -++=.

设()()1122,,,A x y B x y ， 由求根公式得:1142p x y ++=，124||||82

p BF AF x x p p ++=++=+=，4p =. 则2:8C y x =.

⑵设直线:2m y x t =+，228y x t

y x =+??=?

得：224(48)0x t x t +-+=.

22(48)1601t t t ?=--><， 设()()3344,,,C x y D x y ，

4CP DP =可知344x x =，344x x =，342x x t +=-， 2

344

t x x =，

()2

22

2234334422

433434(2)4(2)1

222444

x x x x x x t t t x x x x x x t ++--+==-=-=-=+. 解之得：8

9

t =或8-.

||CD =

当89t =时，||CD

；当8t =-时，||CD =

解析：

21.答案：解：（1）设(),P x y ，由||2||PR PQ

=得|2|x -=，平方化简得

2

212

x y +=. （2）设()()()112233,,,,,A x y B x y M x y ，联立22

12y x m x y =+??

?+=??，得222()20x x n ++-=，即2234220x nx n ++-=，所以12121242,233

n n

x x y y x x n +=-

+=++=

. 假设存在点M 使得四边形MAOB 为平行四边形，则OM OA OB =+，所以

()()()331122,,,x y x y x y =+，所以31231242,3

3

n n x x x y y y =+=-=+=.

由点M 在曲线C 上得2

2

3312x y +=，代入得228419

9

n n +=，解得23,4

n n ==. 所以当n =时，曲线C 上存在点

M 使得四边形MAOB 为平行四边形，此时点M 的

坐标为?

??

或者M

??

.当n ≠，曲线C 上不存在点M 使得四边形MAOB 为平行四边形.

解析：

22.答案：(1)不妨取第一象限的交点为A ,由椭圆C 将圆O 的圆周分为四等份,知45

xOA ∠=?.

所以A ??

.

因为点A 在椭圆C 上,所以2244155a b

+=.①

因为e =

,所以224a b =.② ①②联立,解得224,1a b ==.

所以椭圆C 的方程为2

214

x y +=.

(2)设()()1122,,,M x y N x y ,则221122

2244,

44,x y x y ?+=??+=??两式相减,得121

21212

14y y x x x x y y -+=-?-+. 又因MN 的中点为01,4P x ??

???

,所以1201212,2x x x y y +=+=.

所以直线l 的斜率121201212

14l y y x x

k x x x y y -+==-?=--+.

当00x =时,直线l 的方程为1

4y =

,直线'l 即y 轴,此时0m =. 当00x ≠时,直线 'l 的斜率'0

1

l k x =.

所以直线 'l 的方程为()00114y x x x -=-,即0134

y x x =-. 令0y =,则034

x x =

. 因为点01,4P x ??

???

在椭圆内部,所以2

2

01144x ??+< ???.

所以0x ???∈? ? ? ????,

所以03

4x ???∈? ? ? ????. 综上所述,m

的取值范围为? ??

.

解析：