动量和冲量、动量定理

第一讲、动量和冲量动量定理

【基础再现】

一、动量和冲量

1、动量

（1）定义：运动物体的叫动量，p= ，动量的单位：。（2）物体的动量表征物体的运动状态，所以它是量，其中的速度为速度，通常以地面为参考面。

（3）动量是量，其方向与的方向相同，两物体的动量相同是必须大小相等，方向相同。

（4）动量和动能的区别

动量动能

相同点和速度一样都是描述物体运动状态的物理量，都是状态量。

不同点V的大小或方向改变都可以

让P变。是矢量

动量p的改变是力在时间上

的积累V的大小变，动能变。是标量动能Ek是力在空间（位移）上的积累

联系P2=2mEk

2、动量的变化

(1)△p=P t-P0=mv2-mv1（矢量式，注意方向）

（2）是矢量，其方向和方向相同，与合外力方向，与动量的方向无关。由合外力方向决定。

（3）动量变化率

物体所受的合外力F等于物体动量变化率：。

3、冲量

（1）定义：，叫做该力的冲量，I= ，（适用恒力，变力用平均值，图像法）单位：。

（2）冲量是量，它表示力在一段时间上的积累。

（3）冲量是量，其方向由方向决定，如果在作用时间内力的方向不变，冲量的方向就与力的方向相同。求冲量时，一定要注意明确是哪个力在哪段时间内对哪个物体的冲量。

（4）冲量和功的区别

冲量是矢量，功是矢量。冲量是力在时间上的积累，功是力在空间上的积累。

二、动量定理

（1）物体所受的，等于这个物体运动的，这就是动量定理。

表达式：F合= 。

（2）动量定理的研究对象是物体，或是单个物体的系统，但是高中只要求用来研究单个物体的冲量或动量变化。

（3）动量定理中F是物体所受的合外力。可以是恒力，也可以是变力。当合外力是变力时，可以先求出合外力的平均值再求冲量。

（4）运用

A、定性分析有关现象

B、定量计算有关物理量

①两种类型

已知动量或是动量变化，求合外力的冲量。

已知合外力的冲量求动量或是动量的变化量。 ②运用动量定理的计算步骤 选定研究对象，明确运动过程

进行受力分析和运动的初、末状态分析 选定正方向，根据动量定理列方程

【典型例题】 一、动量 例1：质量为m=1kg 的小球，从高H=5cm 处，自由下落，小球落到泥沙并下陷h=1cm 静止，求

（1）小球从开始下落到与泥沙接触的前这段时间内动量变化； （2）小球与泥沙作用的这段时间内动量变化；

（3）小球从静止开始下落到静止在泥沙中的这段时间内动量变化。

变式1：质量为m=1kg 的小球，以V0=10m/s 的速度撞击一墙面，以3m/s 的速度大小方向弹回，求该过程中动量变化。 二、冲量

例2．如图所示，光滑水平面上有一质量为m 的物体，在一与水平方向成θ角的恒定拉力F 作用下运动，则在时间t 内( ) A ．重力的冲量为0 B ．拉力F 的冲量为Ft C ．拉力的冲量为Ft cos θ

D ．拉力F 的冲量等于物体动量的变化量

变式2．如图所示，在倾角为θ的斜面上，有一个质量是m 的小滑块沿斜面向上滑动，经过时间t 1速度为零后又下滑，经过时间t 2回到斜面底端，滑块在运动过程中，受到的摩擦力大小始终是F f ， 在整个运动过程中，重力对滑块的总冲量为( )

A ．mg sin θ·(t 1＋t 2)

B ．mg sin θ·(t 1－t 2)

C ．mg (t 1＋t 2)

D ．0

例3：如图13-3所示，两个质量相等的物体在同一高度沿倾角不同两个光滑斜面由静止自由滑下，在到达斜面底端的过程中，相同的物理量是 ( ) A ．重力的冲量

B ．重力做的功

C ．合力的冲量

D ．刚到达底端的动能

变式3：一粒钢珠从静止开始自由落下，然后陷入泥潭中，若把在空中下落的过程称为过程Ⅰ，进入泥潭直到停止的过程称为过程Ⅱ，不计空气阻力，则( ) A ．过程Ⅰ中钢珠的动量改变量小于重力的冲量

θ

α 图13-3

B ．过程Ⅱ中阻力的冲量的大小等于过程Ⅰ中重力冲量的大小

C ．过程Ⅱ中钢珠克服阻力所做的功，等于过程Ⅰ与过程Ⅱ中钢珠所减少的重力势能

D ．过程Ⅱ中损失的机械能等于过程Ⅰ中钢珠所增加的动能

三、动量定理

例4、质量为的篮球自高处自由落下，以大小为1的速度碰地，竖直向上弹回，碰撞时间极短，离地速度大小为2。在碰撞过程中，地面对篮球的冲量的方向和大小为（ ） A ．向上，()12m

v v - B ．向上，()1

2m v

v +

C ．向下，()12m v v -

D ．向下，()12m v v +

变式4：:质量为2kg 的物体，速度由4m/s 变成-6m/s ，则在此过程中，它所受到的合外力冲量是（ ）

A ．-20N ·s

B ．20N ·s

C ．-4N ·s

D ．-12N ·s

例5、如图所示，质量为m=2kg 的物体，在水平力F=16N 的作用下，由静止开始沿水平面向右运动．已知物体与水平面间的动摩擦因数μ=0.2．若F 作用t 1=2s 后撤去，撤去F 后又经t 2=2s 物体与竖直墙壁相碰，若物体与墙壁作用时间t 3=0.1s ，碰撞后反向弹回的速度v ′=6m/s ，求墙壁对物体的平均作用力．（g 取10m/s 2）

【思维拓展】

A 、基础务实

1．如图所示，运动员挥拍将质量为m 的网球击出．如果网球被拍子击打前、后瞬间速度的大小分别为v 1、v 2，v 1与v 2方向相反，且v 2＞v 1.重力影响可忽略，则此过程中拍子对

网球作用力的冲量( )

A ．大小为m (v 2＋v 1)，方向与v 1方向相同

B．大小为m(v2－v1)，方向与v1方向相同

C．大小为m(v2＋v1)，方向与v2方向相同

D．大小为m(v2－v1)，方向与v2方向相同

2．从同一高度以相同的速度抛出质量相同的三个小球，a球竖直上抛，b球竖直下抛，c球水平抛出，不计空气阻力，则( )

A．三球落地时的动量相同

B．三球落地时的动量大小相同

C．从抛出到落地过程中，三球受到的冲量相同

D．从抛出到落地过程中，三球受到的冲量大小相同

3．如图所示，固定的光滑斜面倾角为θ，质量为m的物体由静止开始，从斜面顶端滑到底端，所用时间为t.在这一过程中，下列说法错误的是( )

A．物体所受支持力的冲量为0

B．物体所受支持力的冲量大小为mg cos θ·t

C．物体所受重力的冲量大小为mg·t

D．物体动量的变化量大小为mg sin θ·t

B、能力拓展

1．如图5-2所示，A和B两物体叠放在水平面上，水平拉力F作用在B上，A和B一起沿力的方向做匀加速直线运动。则在任一段时间内（）

A．A和B各自受到的冲量都为零

B．B受到的冲量为零，A受到的冲量不为零

C．A受到的冲量为零，B受到的冲量不为零

D．A和B各自受到的冲量都不为零

2、一位质量为m的运动员从下蹲状态向上起跳，经t时间，身体伸直并刚好离开地面，速度为v.在此过程中（）

A.地面对他的冲量为mv+mg t,地面对他做的功为mv2

B. 地面对他的冲量为mv+mg t,地面对他做的功为零

C. 地面对他的冲量为mv，地面对他做的功为mv2

D. 地面对他的冲量为mv-mg t,地面对他做的功为零

3、如图所示，质量为m的小球，从离地面H高处从静止开始释放，落到地面后继续陷入泥中h深度而停止，设小球受到空气阻力为f，则下列说法正确的是

A．小球落地时动能等于mgH

B．小球陷入泥中的过程中克服泥土阻力所做的功小于刚落到地面时的动能

C．整个过程中小球克服阻力做的功等于mg（H+h）

D．小球在泥土中受到的平均阻力为mg（1+H/h）

4．起跳摸高是学生常进行的一项活动．某中学生身高1.80 m，质量80 kg.他站立举臂，手指摸到的高度为 2.10 m．在一次摸高测试中，如果他先下蹲，再用力蹬地向上跳起，

同时举臂，离地后手指摸到的高度为2.55 m．设他从蹬地到离开地面所用的时间为0.2

s．不计空气阻力(g取10 m/s2)．求：

(1)他跳起刚离地时的速度大小；

(2)上跳过程中他对地面平均压力的大小．

5如下图甲所示，用水平向右的力F拉放在光滑水平地面上、质量为500 kg的物体，作用时间为20 s，使物体获得0.5 m/s的速度．若力F大小的变化为：前15 s从零开始随时间均匀增大，后5 s均匀减小为零，如下图乙所示，求：

(1)力F对物体的冲量；

(2)力F的最大值．

第二讲、动量守恒定律

一、动量守恒定律

1、系统、内力、外力

（1）系统：

（2）内力：

（3）外力：

2、动量守恒定律

（1）内容：相互作用的物体，如果，它们的总动量保持不变，这个结论叫做动量守恒定律。

（2）表达式：

（3）动量守恒定律成立的条件：

①系统不受力，或是系统所受的合外力为。

②系统所受合外力不为零，但系统内力远大于外力，如碰撞、爆炸等

③系统所受合外力不为零，但是某方向上合力为零。该方向可以用动量守恒

【典型例题】

一、动量守恒定律

例1、如图所示，A、B两物体质量之比m A:m B＝3:2，原来静止在平板小车C上，A、B间有一根被压缩的弹簧，地面光滑，当弹簧突然释放后，则

A．若A、B与平板车表面间的动摩擦因数相同，A、B组成的系统动量守恒

B．若A、B与平板车表面间的动摩擦因数相同，A、B、C组成的系统动量守恒

C．若A、B受到的摩擦力大小相等，A、B组成的系统动量守恒

D．若A、B受到的摩擦力大小相等，A、B、C组成的系统动量守恒

变式1：木块a和b用一根轻弹簧连接起来，放在光滑水平面上，a紧靠在墙壁上，在b上施加向左的水平力使弹簧压缩，如图所示，当撤去外力后，下列说法中正确的是（）

A．a尚未离开墙壁前，a和b系统的动量守恒

B．a尚未离开墙壁前，a与b系统的动量不守恒

C．a离开墙后，a、b系统动量守恒

D．a离开墙后，a、b系统动量不守恒

例2、如图8-3-2所示，质量为M的小车静止在光滑的水平面上,小车的最右端站着质量为m的人.若人水平向右以相对车的速度u跳离小车，则人脱离小车后小车的速度多大?方向如何?

变式2、质量为2kg的小车以2m／s的速度沿光滑的水平面向右运动，若将质量为2 kg的沙袋以3 m／s的速度迎面扔上小车，则沙袋与小车一起运动的速度大小和方向是( )

A.2.6 m／s，向右

B.2.6 m／s，向左

C.0.5 m／s，向左

D.0.8 m／s，向右

二、多个物体组成的系统动量守恒问题

例3、质量为M=2kg的小平板车C静止在光滑水平面上，车的一端静止着质量为mA=2kg的物体A（可视为质点），如图所示，一颗质量为mB=20g的子弹以600m/s的水平速度射穿A后，速度变为100m/s，最后物体A静止在车上，求：（1）平板车最后的速度是多少？（2）整个系统损失的机械能是多少？

变式3、如图所示，物体A、B并列紧靠在光滑水平面上，m A=500g，

m B=400g，另有一个质量为100g的物体C以10m/s的水平速度摩擦着A、B表面经过，在摩擦力的作用下A、B物体也运动，最后C物体在B物体上一起以1.5m/s的速度运动，求C物体离开A物体时，A、C两物体的速度

．

三、碰撞、爆炸问题的处理方法

例3、沿水平方向飞行的手榴弹，它的速度是20m/s，此时在空中爆炸，分裂成1kg和0.5kg的两块，其中0.5kg的那块以40m/s的速率沿原来速度相反的方向运动，此时另一块的速率为（）

A．10 m/s B．30 m/s C．50 m/s D．70 m/s

四、动量守恒和机械能守恒相结合

例4、一质量为m的木块，从半径为R、质量为M的四分之一光滑的圆槽顶端由静止开始滑下，在槽被固定和可滑动的两种情况下，木块从槽口滑出时的速度大小之比为多少？

变式4、光滑水平面上放着质量为M的槽，槽与水平面相切且光滑，如图所示，一质量为m的小球以v0向槽运动；

（1）若槽固定不动，求小球上升的高度

（2）若槽不固定，则小球上升多高？

例5：如图甲所示，在光滑水平面上的两小球发生正碰．小球的质量分别为m

和m2．图乙为它们碰撞前

1

后的s—t（位移时间）图象．已知m1=0．1㎏．由此可以判断 :

A．碰前m2静止，m1向左运动

B．碰后m2和m1都向右运动

C．m2=0．3kg

D．碰撞过程中系统损失了0．4 J的机械能

变式5、下图中的线段a、b、c分别表示沿光滑水平面上同一条直线运动的滑块Ⅰ、Ⅱ和它们发生正碰后结合体的位移图线。由图象给出的信息可以判定：①碰前滑块Ⅰ的动量比滑块Ⅱ的动量大；②碰前滑块Ⅰ的动能比滑块Ⅱ的动能大；③碰前滑块Ⅰ比滑块Ⅱ速度大；

④碰前滑块Ⅰ的质量是滑块Ⅱ的质量的6倍。以上判定正确的有

A ．①④

B ．①②

C ．②③

D ．③④

五、碰撞问题的三个解题依据 1、动量守恒 2、动能不增加 3、速度要符合情景

例6、在光滑水平面上，一质量为m 、速度大小为v 的A 球与质量为2m 静止的B 球碰撞后，A 球的速度方向与碰撞前相反．则碰撞后B 球的速度大小可能是( )

A ．0.6v

B ．0.4v

C ．0.3v

D ．0.2v

六、碰撞的常见模型

1、弹性碰撞：动量守恒，机械能守恒

2、非弹性碰撞：动量守恒，能量守恒

3、完全非弹性碰撞：动量守恒，能量守恒 （求解的秘诀：碰后速度相等）

例7、如图13-7，一轻质弹簧两端连着物体

A 和

B ，放在光滑的水平面上，物体A 被水平速度为v 0的子弹射中并嵌在其中。已知物体A 的质量是物体B 的质量的43，子弹的质量是物体B 的质量的41，求弹簧压缩到最短时B 的速度。

变式7、如图13-4所示，位于光滑水平桌面上的小滑块P 和Q 都可视作质点，质量相等。Q 与轻质弹簧相连。设Q 静止，P 以某一初速度向Q 运动并与弹簧发生碰撞。在整个碰撞过程中，弹簧具有的最大弹性势能等于 ( ) A ．P 的初动能 B ．P 的初动能的1/2 C ．P 的初动能的1/3 D ．P 的初动能的1/4

例8、 、如右图所示，A 为有光滑曲面的固定轨道，轨道底端的切线方向是水平的．质

量M ＝40 kg 的小车B 静止于轨道右侧，其上表面与轨道底端在同一水平面上．一个质量m ＝20 kg 的物体C 以2.0

m/s 的初速度从轨道顶端滑下，冲上小车B 后经一段时间与小车相对静止并一起运动．若轨道顶端与底端的高度差h ＝1.6 m ．物体与小车板面间的动摩擦因数μ＝0.40，小车与水平面间的摩擦忽略不计．(取g ＝10 m/s 2

)，求：

(1)物体与小车保持相对静止时的速度v ；

图13-4

(2)物体在小车上相对滑动的距离L .

变式8★★★★、质量为M 、内壁间距为L 的箱子静止于光滑的水平面上，箱子中间有一质量为m 的小物块，小物块与箱子底板间的动摩擦因数为μ。初始时小物块停在箱子正中间，如图所示。现给小物块一水平向右的初速度v ，小物块与箱壁碰撞N 次后恰又回到箱子正中间，井与箱子保持相对静止。设碰撞都是弹性的，则整个过程中，系统损失的动能为 A ．

21

2mv B ． 212mM v m M + C ．12

N mgL μ D ．N mgL μ

【思维拓展】

1★★．一质量为3 kg 的木板置于光滑水平面上，另一质量为1 kg 的物块放在木板上．已知物块和木板间有摩擦，而木板足够长，若两者都以大小为4 m/s 的初速度向相反方向运动(如图所示)，则当木板的速度为2.4 m/s 时，物块正在( )

A ．水平向左做匀减速运动

B ．水平向右做匀加速运动

C ．水平方向做匀速运动

D ．处于静止状态

2．如图所示，光滑的水平地面上放着一个光滑的凹槽，槽两端固定有两轻质弹簧，一弹性小球在两弹簧间往复运动，把槽、小球和弹簧视为一个系统，则在运动过程中( )

A ．系统的动量守恒，机械能不守恒

B ．系统的动量守恒，机械能守恒

C ．系统的动量不守恒，机械能守恒

D ．系统的动量不守恒，机械能不守恒

3、如图甲所示，光滑水平面上有A 、B 两物块，巳知A 物块的质量 m A =1kg ．初始时刻B 静止，A 以一定的初速度向右运动，之后与B 发生碰撞 并一起运动，它们的位移一时间图象如图乙所示

（规定向右为位移的正方向），则物体B 的质量为多少？

4★★★、如图1－1－8所示，光滑水平面上有质量均为m 的物块A 和B ，B 上固定一轻弹簧．B 静止，A 以速度v 0水平向右运动，通过弹簧与B 发生作用．作用过程中，弹簧获得的最大弹性势能E p 为( )

A.116mv 20

B.18mv 20

C.14mv 20

D.12

mv 20 5★★★★．甲、乙两球在光滑水平面上同一直线同一方向上运动，它们动量

s m kg p /5?=甲，s m kg p /7?=乙，已知甲球速度大于乙球速度，当甲球与乙球碰后，乙

球动量变为10kg ·m/s ，则

甲m ，乙m 关系可能是（ ）

A ．乙甲m m =

B ．乙甲m m 21=

C ．乙甲m m 51=

D ．乙甲m m 101

=

6★★★、如图，小球a 、b 用等长细线悬挂于同一固定点O 。让球a 静止下垂，将球b

向右拉起，使细线水平。从静止释放球b ，两球碰后粘在一起向左摆动，此后细线与竖直方向之间的最大偏角为60°。忽略空气阻力，求 （i ）两球a 、b 的质量之比；

（ii ）两球在碰撞过程中损失的机械能与球b 在碰前的最大动能之比。

7★★★★、如图15所示，一条轨道固定在竖直平面内，粗糙的ab 段水平，bcde 段光

滑，cde 段是以O 为圆心、R 为半径的一小段圆弧。可视为质点的物块A 和B 紧靠在

一起，静止于b 处，A 的质量是B 的3倍。两物块在足够大的内力作用下突然分离，

分别向左、右始终沿轨道运动。B 到b 点时速度沿水平方向，此时轨道对B 的支持力大小等于B 所受重力的3/4，A 与ab 段的动摩擦因数为μ，重力加速度g ，求：

（1） 物块B 在d 点的速度大小; （2） 物块A 滑行的距离s

a b

O

8★★★、如图所示，水平地面上固定有高为h的平台，台面上固定有光滑坡道，坡道顶端局台面高也为h，坡道底端与台面相切。小球A从坡道顶端由静止开始滑下，到达水平光滑的台面后与静止在台面上的小球B发生碰撞，并粘连在一起，共同沿台面滑行并从台面边缘飞出，落地点与飞出点的水平距离恰好为台高的一半。两球均可视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g。求

（1）小球A刚滑至水平台面的速度VA

（2）A、B两球的质量之比ma:mb

9★★★★．小球A和B的质量分别为mA 和 mB 且mA＞＞mB 在某高度处将A和B先后从静止释放。小球A与水平地面碰撞后向上弹回，在释放处的下方与释放初距离为H的地方恰好与正在下落的小球B发生正幢，设所有碰撞都是弹性的，碰撞事件极短。求小球A、B碰撞后B上升的最大高度

10★★★★.装甲车和战舰采用多层钢板比采用同样质量的单层钢板更能抵御穿甲弹的射击。

通过对一下简化模型的计算可以粗略说明其原因。

质量为2m、厚度为2d的钢板静止在水平光滑桌面上。质量为m的子弹以某一速度垂直射向该钢板，刚好能将钢板射穿。现把钢板分成厚度均为d、质量均为m的相同两块，间隔一段距离水平放置，如图所示。若子弹以相同的速度垂直射向第一块钢板，穿出后再射向第二块钢板，求子弹射入第二块钢板的深度。设子弹在钢板中受到的阻力为恒力，且两块钢板不会发生碰撞不计重力影响。