基础代数1

基础代数

第零章集合与整数基础代数
Basic Algebra
主讲: 张小向集合, 基数, 序数 1874年, 康托尔在《克雷尔数学杂志》上发表了关于无穷集合论的第一篇革命性文章. 人们把康托尔于从1874年到1884年, 1873年12月7日康托尔的一系列关于给戴德金的信中最早提出集集合的文章, 奠定了合论思想的那一天定为集合论诞生日. 集合论的基础.
https://www.360docs.net/doc/6816787539.html, z990303@https://www.360docs.net/doc/6816787539.html,
Georg Cantor[德] 1845.3-1918.1
第零章集合与整数
1. 集合, 基数, 序数
第零章集合与整数
1. 集合, 基数, 序数
定义 [Cantor] A set S is any collection of definite, distinguishable objects of our intuition or of our intellect to be conceived as a whole. The objects are called the elements or members of S. 1902年, 英国哲学家罗素(Russell): 罗素悖论 S = {A | A ? A}, S ? S ? 1919年, 理发师悖论
基数的比较 |A| ≤ |B|: ?单射 f: A → B |A| = |B|: ?双射 f: A → B 定理 [Schr?der-Bernstein] |A| ≤ |B|, |A| ≤ |B| ? |A| = |B|. A f → B g → A
第零章集合与整数
1. 集合, 基数, 序数
第零章集合与整数
1. 集合, 基数, 序数
基数的比较 |A| ≤ |B|: ?单射 f: A → B |A| = |B|: ?双射 f: A → B 定理 [Schr?der-Bernstein] |A| ≤ |B|, |A| ≤ |B| ? |A| = |B|. Proof. A
A1
基数的比较 |A| ≤ |B|: ?单射 f: A → B |A| = |B|: ?双射 f: A → B |A| < |B|: ?单射 A → B, ?双射 A → B 2A = {S | S ? A}——A的幂集合定理 [Cantor] |A| < |2A|. 证明. 假设 f: A → 2A 为满射. A1 = {a ∈ A | a ? f(a)} ∈ 2A. ?a1 ∈ A s.t. f(a1) = A1. a1 ∈ A1 ? a ? f(a1) = A1. a1 ? A1 = f(a1) ? a ∈ A1.
g f
B
f(A1)
? = {A0 ? A | A ? gB ? A0, gfA0 ? A0} A1 = ∩?.
1

关系代数运算练习答案

关系代数表达式：由关系代数运算经有限次复合而成的式子称为关系代数表达式。这种表达式的运算结果仍然是一个关系。可以用关系代数表达式表示对数据库的查询和更新操作。关系代数(演算)要求掌握各种语句的应用 1：设教学数据库中有3个关系：学生关系S(SNO,SNAME,AGE,SEX) 学习关系SC(SNO,CNO,GRADE) 课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER) 下面用关系代数表达式表达每个查询语句。 (1) 检索学习课程号为C2的学生学号与成绩。 πSNO，GRADE(σCNO='C2'(SC)) (2) 检索学习课程号为C2的学生学号与姓名 πSNO，SNAME(σCNO='C2'(S SC)) 由于这个查询涉及到两个关系S和SC，因此先对这两个关系进行自然连接，同一位学生的有关的信息，然后再执行选择投影操作。

此查询亦可等价地写成： πSNO，SNAME（S）（πSNO(σCNO='C2'(SC))）这个表达式中自然连接的右分量为"学了C2课的学生学号的集合"。这个表达式比前一个表达式优化，执行起来要省时间，省空间。（3）检索选修课程名为MATHS的学生学号与姓名。 πSNO，SANME(σCNAME='MATHS'(S SC C)) （4）检索选修课程号为C2或C4的学生学号。 πSNO(σCNO='C2'∨CNO='C4'(SC)) （5）检索选修课程号为C2和C4的学生学号。 π1(σ1=4∧2='C2'∧5='C4'（SC×SC）) 这里（SC×SC）表示关系SC自身相乘的乘积操作，其中数字1，2，4，5都为它的结果关系中的属性序号。比较这一题与上一题的差别。（6）检索不学C2课的学生姓名与年龄。 πSNAME，AGE（S）－πSNAME，AGE(σCNO='C2'（S SC）)

现代代数基础复习资料

1 设a ，b 为群G 的元素，设a 为5阶元，且33 a b ba =，证明ab ba =。证明：因为33a b ba =，所以133b a b a -=，所以1326()b a b a -=，即166 b a b a -=。又a 为5阶元，所以5a e =，所以1 b ab a -=，即ab ba =。 2 证明对群G 的非空子集H ，若对所有,x y H ∈，1 xy -也属于H ，证明H 是一个子群。证明：因对,x y H ∈，1xy H -∈，所以11 ,,x H e xx H x xe H --?∈=∈=∈， 1 111 ,,()y H y e y H x y x y H ----?∈=∈=∈，所以H 是G 的子群。 3 证明在任意群G 中，对其任意两个元素a ，b ，ab 与ba 的阶相等。证明：因为()1 ab a ba a -=，故ab 与ba 共轭。设ab n =，若()m ba e =，则1[()]m a ba a e -=，即()|m ab e n m =? 所以||||ab ba n ==。 4 置换群4S 中有多少个2阶元？解：由置换群中每个元素都可表示为不相交的轮换之积，而k 轮换的阶为k 。两不相交轮换的阶为k 轮换的最小公倍数。故二阶元有9个，为：（1 2），（1 3），(1 4), (2 3), （2 4），（3 4），（1 2）（3 4），(1 3)(2 4),（1 4）（2 3）。 5证明群G 的自同构的集合以映射的合成为乘法构成一个群。证明：:AutG G =群的所有自同构的集合，恒等映射,id AutG AutG ∈≠?故由G 上的所有双射显然构成一个群，关于映射的乘法，下证AutG 为其子群（1）AutG 对于映射的合成封闭： ,(),()A u t G a b G a b G στττ?∈?∈?∈，，故()(())(()())(())(())()()ab ab a b a b a b στστσττστστστστ==== 故AutG στ∈。（2）下证1 AutG AutG σσ -?∈?∈ '''''1'1,,,,(),()(),()AutG a b G a b G a a b b a a b b σσσσσ--∈?∈?∈====使即则1 1 ' ' 1 '' 1 '' '' 1 1 ()(()())(())()()()ab a b a b a b a b a b σσσσσσσσσσ------===== 所以1AutG σ -∈。故AutG 关于映射合成的乘法构成一个群。 6 设G 是一个群。证明由()n x x φ=定义的映射:G G φ→是G 到自身的同态。

关系代数习题3.26

1. 下面的选项不是关系数据库基本特征的是（）。 A.不同的列应有不同的数据类型 B.不同的列应有不同的列名 C.与行的次序无关 D.与列的次序无关 2. 一个关系只有一个（）。 A.候选码 B. 外码 C. 超码 D. 主码 3. 关系模型中，一个码是（）。 A.可以由多个任意属性组成 B.至多由一个属性组成 C.可有多个或者一个其值能够唯一表示该关系模式中任何元组的属性组成 D.以上都不是 4. 现有如下关系：患者（患者编号，患者姓名，性别，出生日起，所在单位）医疗（患者编号，患者姓名，医生编号，医生姓名，诊断日期，诊断结果）其中，医疗关系中的外码是（）。 A. 患者编号 B. 患者姓名 C. 患者编号和患者姓名 D. 医生编号和患者编号 5. 现有一个关系：借阅（书号，书名，库存数，读者号，借期，还期），假如同一本书允许一个读者多次借阅，但不能同时对一种书借多本，则该关系模式的外码是（）。 A. 书号 B. 读者号 C. 书号+读者号 D. 书号+读者号+借期 6. 关系模型中实现实体间N：M 联系是通过增加一个（）。

A.关系实现 B. 属性实现 C. 关系或一个属性实现 D. 关系和一个属性实现 7. 关系代数运算是以（）为基础的运算。 A. 关系运算 B. 谓词演算 C. 集合运算 D. 代数运算 8. 关系数据库管理系统应能实现的专门关系运算包括（）。 A. 排序、索引、统计 B. 选择、投影、连接 C. 关联、更新、排序 D. 显示、打印、制表 9. 五种基本关系代数运算是（）。 A.∪－× σ π B.∪－σ π C.∪∩× σ π D.∪∩σ π 11. 关系数据库中的投影操作是指从关系中（）。 A.抽出特定记录 B. 抽出特定字段 C.建立相应的影像 D. 建立相应的图形 12. 从一个数据库文件中取出满足某个条件的所有记录形成一个新的数据库文件的操作是（）操作。 A.投影 B. 联接 C. 选择 D. 复制 13. 关系代数中的联接操作是由（）操作组合而成。 A.选择和投影 B. 选择和笛卡尔积 C.投影、选择、笛卡尔积 D. 投影和笛卡尔积 14. 自然联接是构成新关系的有效方法。一般情况下，当对关系R和S是用自然联接时，要求R和S含有一个或者多个共有的（）。 A.记录 B. 行 C. 属性 D. 元组 15. 假设有关系R和S，在下列的关系运算中，（）运算不要求：“R 和S具有相同的元数，且它们的对应属性的数据类型也相同” 。

近世代数的基础知识

近世代数的基础知识初等代数、高等代数与线性代数都称为经典代数(Classical algebra),它的研究对象主要就是代数方程与线性方程组)。近世代数(modern algebra)又称为抽象代数(abstract algebra),它的研究对象就是代数系,所谓代数系,就是由一个集合与定义在这个集合中的一种或若干种运算所构成的一个系统。近世代数主要包括:群论、环论与域论等几个方面的理论,其中群论就是基础。下面,我们首先简要回顾一下集合、映射与整数等方面的基础知识,然后介绍本文需要用到的近世代数的相关知识。 3.1 集合、映射、二元运算与整数 3.1.1 集合集合就是指一些对象的总体,这些对象称为集合的元或元素。“元素a 就是集合A 的元”记作“A x ∈”,反之,“A a ?”表示“x 不就是集合A 的元”。设有两个集合A 与B,若对A 中的任意一个元素a (记作A a ∈?)均有B a ∈,则称A 就是B 的子集,记作B A ?。若B A ?且A B ?,即A 与B 有完全相同的元素,则称它们相等,记作B A =。若B A ?,但B A ≠,则称A 就是B 的真子集,或称B 真包含A,记作B A ?。不含任何元素的集合叫空集,空集就是任何一个集合的子集。集合的表示方法通常有两种:一种就是直接列出所有的元素,另一种就是规定元素所具有的性质。例如: {}c b a A ,,=; {})(x p x S =,其中)(x p 表示元素x 具有的性质。本文中常用的集合及记号有: 整数集合{}Λ,3,2,1,0±±±=Z ; 非零整数集合{}{}Λ,3,2,10\±±±==* Z Z ; 正整数(自然数)集合{}Λ,3,2,1=+Z ; 有理数集合Q,实数集合R,复数集合C 等。一个集合A 的元素个数用A 表示。当A 中有有限个元素时,称为有限集,否则称为无限集。用∞=A 表示A 就是无限集,∞