2016上海大同杯数学竞赛及答案

C

2015年上海初三数学竞赛（大同中学杯）

（2015年12月6日）

解答本题可以使用科学计算器

一填空题（每小题10分，共80分）

1、已知AB 为圆

O 的直径，AB=1，延长AB 到点C ，使得

BC=1，CD 是圆O 的切线，D 是切点，则ABD ?的面积为______________。

解答：依据切割线定理可以得到：2

CD CB CA =??因为可以得到BD CD

CD CBD A AD AC

??

=?∽

因此有

2BD AD ==

。 因为AB 为圆O 的直径，所以ABD ?时直角三角形。 依据勾股定理有2

2

2

2

2

1

133

AB BD AD BD BD =+?=?=

。 而212ABD S BD AD BD ?=

?==

2、有编号分别为去1,2,3,4,5,6,7的7个大小相同的小球，从中任取3个小球，则取出的3

个小球的编号和为奇数的概率为______________。

解答：从七个小球任意取出三个小球的取法为3

735C =种，因为没有小球的数字不同，这样

这三个球的数字和有35和结果。要使用和为奇数。应该包括两种下面情况

第一种三个数均为奇数，也就是从1,3,5,7

四个数中取三个，取法为344C =

第二种，一个奇数，两个偶数，也就是从1,3,5,7的四个数中取1个，从2,4,6三个数中取两

个，取法有224312C C ?=.

这样和为奇数一共有412

16+=种。从而取出的3

个小球的编号和为奇数的概率为16

35

3、实数,x y 满足24x =，24y =，x y

≠，则

x y

y x

+的值为____________。 解答：因为2

24

4x y ?+=---

--??+

=-----??①

②

上述①②两个相减，得到：()())0x y x y x y -+-=。因为x y ≠ 所以有x y +=

上述①②相加得到222)4()2)4x y x y x y xy x y ++=?+-+=

所以1xy =。因此2()21x y x y xy

y x xy +-+==

4. 若三个素数的乘积恰好等于它们和的23 倍，则这三个素数为________．

解答：设这三个素数为,,a b c 。则有23()abc a b c =++。因为23是素数，从

23()abc a b c =++，可以得到23能够整除三个素数,,a b c 的abc 积。从而可以得到其中

有一个素数必为23。假设23a =

这样就有23124(1)(1)2446212bc b c bc b c b c =++?--+=?--==?=? 因为,b c 为素数，所以得到5,7b c ==或3,13b c == 这样得到三个素数为5,7,23或3,13,23。

5. 如图，圆1O 与圆 2O 外切于点P ，从圆1O 上点A 作圆2O 的切线AB ， B 是切点，连接 AP 并延长，与圆2O 交于点C ．已知圆1O 、圆2O 的半径分别为2、1，则

AC

AB

=________． 解答：做如图所示的辅助线。可以得到

21211

//2

CO PC AO

CO PA AO ?==

为此设PC k =，则2.PA k = 应用切割线定理有：

22

3.AB AP

AC k k AB =?=??=

所以

AC AB ==

。 6、 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，∠MON 的两边分别是射线 y = x (x ≥ 0)与x 轴正 半轴．点A (6,5)，B (10,2)是∠MON 内的两个定点，点P 、Q 分别是∠MON 两边上的 动点，则四边形ABQP 周长的最小值是________． 解答：本题主要就是应用对称。应为四边形 ABQP ，其中一个边AB 为定值。要求四边形ABQP 从对称可以得到/(5,6)A ,/

(10,2)B -. 四边形另外三边的最小值为/

/

A B 依据两点间距离公式有

。//

A B ==

AB ==

。

7. 不定方程2222x y xy x y +=++的整数(,y)x 解共有________组。

解答：设x y k +=，所以从2222x y xy x y +=++，可以得到222k xy xy k -=+

所以22

2233

k k

k k xy xy --=?=。

这样,y x 是方程22

203

k k

t kt --+=的两个根，并且根为整数。 所以22

22()40803

k k

k k k -?=--?≥?-≤。因此有08k ≤≤。 同时要保证22(2)

33

k k k k xy --==为整数。这样就有0k =，3，5，6，8 当0k =时，(,y)(0,0)x =

当3k =时，方程为方程2

310t t -+=没有整数解。

当5k =时，方程为方程2

550t t -+=没有整数解。

当6k =时，方程为方程2

680t t -+=，有整数解为2,4。所以(,y)(2,4)x =或(4,2)

当8k =时，方程为方程2

8160t t -+=，有整数解为4,4。所以(,y)(4,4)x =

整数(,y)x 解共有4组

8. 设a 是给定的正实数，n 是给定的大于 1 的整数，实数123,,,,n x x x x ??? 满足

2222

123n

x x x x a +++???+=，则 2222212131232()()()()()n n x x x x x x x x x x -+-+???+-+-+???+-21()n n x x -+???+-的最

大值________________。

解答：

因为2

2

2

2

2

12131232()()()()()n n x x x x x x x x x x -+-+???+-+-+???+-21()n n x x -+???+-

22212123234211(1)()2()2()2()2n n n n x n n n

n x x x x x x x x x x x x x x x x ---=-++???+-++??+-++??+-???-+-

C

123234211(1)2()2()2()2n n n x n n n n a x x x x x x x x x x x x x ---=--++??+-++??+-???-+-

有这样的一个结论，因为

22

2222222222()2x y x y x y xy x y x y xy x y +=+≥?≤+?-+≤-≤+

而1232342112()2()2()2n n n x n n n x x x x x x x x x x x x x ----++??+-++??+-+-

22222222222212131232422222222222223435321212222221212[()()()][()()()][()()()][()()]()](1)(1)(1)(1)(n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x n x x x x x n x x x ----≤++++??+++++++??+++++++??++???++++++=-+-+??+-=-++??+)(1)n a

=-所以最大值为2(1)n a -

二、解答题（第9、10 题，每题15 分，第11、12 题，每题20 分，共70 分） 9. 如图，在△ABC 中，BC = a ，CA = b ，∠ACB = 60?，△ABD 是正三角形，P 是其中 心，求CP 的长度．

解答：分析作D 点关于AB 的对称点/

D 。

则/

AD B ?为等边三角形，这样就有/0

60AD B ∠=∠ACB = 60? 所以/

,,,A C D

B 四点共圆。这个圆过P

点。连接AP ，BP

。

因为P 是正三角形ABD 的中心，所以

02sin 603AP BP AB AB ==

= 因为A,C,B,P 四点共圆，也就是四边形ACBP 为

圆内接四边形，应用圆内接四边形托勒密定理 可以得到AB PC

BP AC AP BC ?=?+? 所以)PC a b =

+。 10. 在1，2，… ，2015 这2015 个正整数中选出k 个数，使得其中任意两个不同的数的和 都不是50 的倍数，求k 的最大值．

解答：因为所有的整数，被5除余数为0,1,2,3,4，… ,47,48,49。共50中情况。而2015504015÷=???。

C

A

C

A

第1行取1到25这25个数，取50这个个数，任意两个数的和都不能被50整除。

第2行取51到74这24个数，和第一组取得的数组成新的数集，则这新的数集任意两个数的和不能被50整除。

以后每行都取前24个数，取到第40行位置。最后一行取15个数。这样正整数集合最大数值个数为2624(4021)15977+?-++= 这样集合为这样式样

{1,2,,25,50,51,52,,74,101,102,,124,151,152,,174,,1951,1952,,1974,?????????????????? 2001,,2015}???

50这个数可以换成1到2015之间50的倍数任意一个数。 因此k 的最大值为977.

11. 已知△ABC 的三边长均为正整数，周长为 35，G 和I 分别为△ABC 的重心和内心， 且∠GIC = 90?，求边AB 的长度．

解答：本题有一定难度，但是抓住内心和重心的特征 还是能够找到解题的路径的。

由题意知道∠GIC = 90?，并且XI 平分ACB ∠,的特征。这样可以构造出三角形。为此延长GI 很容易得到CMN ?为等腰三角形，也就是CM 过垂心G 和内心I 分别做AC 和BC 边的垂线。设?的半径为r 。 由面积法得到：

CGM CGN CIM CIN S S S S ????+=+

也就是

111

2222CM GP CN GF rCN ?+?=? 所以2GP GF r +=

因为G 为三角形ABC 的重心，可以得到

11

233

B A

C A BC d d r --+= 用面积法有：

12122233S S S b a a b c

?+?=++ 化简为116b a a b c +=++

也就是6

35

a b ab += 635()ab a b =+，因为,a b 为正整数

所以得到35ab k =，则6a b k +=

为此,a b 为方程2

6350t kt k -+=的两个根。

235(6)43509

k k k ?=--?≥?≥

有35

6356

a b k k +=

。因此4,5k = 当4k =时，方程为2243540(14)(10)014,10t t t t t -+?=?--=?=所以此时

10,14a b ==。因此11AB =。

当5k =时，方程为2

303550t t -+?=没有整数解。

因此11AB =。

12. 设,a b 是正整数，2

2

a b - 不是 4的倍数，求证：(3)(57)a b a b ++不是完全平方数． 证明：22()()a b a b a b -=+-，当,a b 为同奇数，或者同偶数时，可以得到

22()()a b a b a b -=+-一定是4的倍数。已知22a b - 不是 4的倍数，所以,a b 中一个为奇

数，一个为偶数。

假设21,2a n b m =+=。因为

2222

22(3)(57)522215(21)22(21)221(2)20(1)588448420(1)8840804(1)5

a b a b a ab b n n m m n n mn m m n n mn m m m m ++=++=+++?+=+++++=+++++++因为2

20(1)8840804(1)n n mn m m m m ++++++能够被8整除。

所以此时(3)(57)a b a b ++被8除余5.因为要是完全平方数，奇数的时被8除余1.因此此种情况下不是完全平方数。 假如2,21a m b n ==+，因为

222222(3)(57)522215(2)222(21)21(21)208844214(1)21168840214(1)164(1)5

a b a b a ab b m m n n m mn m n n m mn m n n m m ++=++=+?+++=+++?++=+++?+++++ 从而2

168840214(1)164(1)m mn m n n m m +++?++++能够被8整除，所以此时

(3)(57)a b a b ++被8除余5.因为要是完全平方数，奇数的时被8除余1.因此此种情况下不是

完全平方数。

综合可以得到：(3)(57)a b a b ++不是完全平方数．