(附加15套模拟试卷)西工大附中2020高考数学理模拟题含答案(四)

西工大附中2020高考数学理模拟题含答案(四)

第Ⅰ卷 选择题（共50分）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．设复数2

1z i

=+

(其中i 为虚数单位)，则z 等于( ) A ．1+2i B ．12i - C ．2i - D ．2i

2．下列有关命题的说法中错误的是．．．．（ ） A ．若“p q 或”为假命题，则p 、q 均为假命题 B ．“1x =”是“1x ≥”的充分不必要条件

C ．“12sin x =”的必要不充分条件是“6x π=”

D ．若命题p ：“?实数x 使20x ≥”，则命题p ?

为“对

于x R ?∈都有

20x <”

3．执行右图所给的程序框图，则运行后输出的结果是( )

A ．3

B ．3-

C ．2-

D ．2

4．已知{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项和，若公差0

d <且27S S =，则

下列结论中不正确的是．．．．．

（ ） A ．45S S = B ．90S =

C ．50a =

D ．2745S S S S +=+

5．如图是函数4sin()y x =ω+?(0,||)ω>?<π图像的一部分，则（ ） A ．135,56πω=?=

B ．11,56π

ω=?= C ．75,56πω=?= D ．23,56

π

ω=?=

6．将直线20x y λ-+=沿x 轴向左平移1个单位，所

得直线与圆

22240x y x y ++-=相切，则实数λ的值为( )

A ．－3或7

B ．-2或8

C ．0或10

D ．1或11

7．在平面直角坐标系中，若不等式组0(1)1y y x y k x ≥?

?

≤??≤--?

表示一个三角形区域，则实数k 的取值范围是(

)

A ．(),1-∞-

B ．()1,+∞

C ．()1,1-

D ．(,1)(1,)-∞-+∞

8．从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，设A 表示事件“取到的2个数之和为偶数”，B 表示事件“取到的2个数均为偶数”，则P （B|A ）=( )

A ．1

10 B ．14 C ．25 D ．1

2

9．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个

几何体的体积为( )

A ．13

B

C ．1

D ．3

10．在平面直角坐标系中，由x 轴的正半轴、y 轴的正半轴、曲线x

y e =以及该曲线在(1)x a a =≥处的切线．．

所围成图形的面积是( ) A ．a e B ．1a e - C ．12a e D ．121a

e -

第Ⅱ卷 非选择题（共100分）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分，把答案填写在答题卡相应的位置）

11．二项式8

31x x ?

?- ??

?的展开式中常数项为 ；

12．若tan 2,α=则sin cos αα= ；

13．PA ⊥平面ABC ，ABC=90?

∠，且PA=AB=BC ，则异面直线PB 与AC 所成角等于 ；

14．若函数()f x 对于x R ?∈都有(1)(1)f x f x -=+和(1)(3)0f x f x -++=成立，当[0,1]x ∈时，

()f x x =，则(2013)f = ；

15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分） A （选修4—4坐标系与参数方程）已知点A 是曲线2sin ρθ=上任意一点，则点A 到直线

3sin()4πρθ+=的距离的最小值是 ；

B （选修4—5不等式选讲）已知2

2

,,33,x y R x y ∈+≤则23x y +的

最大值是 .；

C(选修4—1几何证明选讲）如图，ABC ?内接于

O ，

AB AC =，直线MN 切O 于点C ，//BE MN 交AC 于点E .

若

6,4,AB BC ==则AE 的长为 ．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16．（本小题满分12分）已知等差数列{}n a ，满足37a =，5726a a =+．

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项n a ；

（Ⅱ）令2

1

1

n n b a =-（n N +∈），求数列{}

n b 的前n 项和n S ．

17．（本小题满分12分）在ABC ?中，角A,B,C 的对边分别为a ,b,c,且满足(2)cos cos a c B b C -=． （Ⅰ）求角B 的大小；

（Ⅱ）设向量(sin ,cos 2),(4,1)m A A n k ==，当k>1时，()f A m n =?的最大值是5，求k 的值．

18．（本小题满分12分）某企业规定，员工在一个月内有三项指标任务，若完成其中一项指标任务，可得奖金160元；若完成其中两项指标任务可得奖金400元；若完成三项指标任务可得奖金800元；若三项指标都没有完成，则不能得奖金且在基本工资中扣80元，假设员工甲完成每项指标的概率都是12

. （Ⅰ）求员工甲在一个月内所得奖金为400元的概率； （Ⅱ）求员工甲在一个月内所得奖金数的分布列和数学期望．

19．（本小题满分12分）直三棱柱111ABC-A B C 中，

1CC CA 2,AB BC ===，D 是1BC 上一点，且CD ⊥平面

1ABC ．

（Ⅰ）求证：AB ⊥平面11BCC B ；

（Ⅱ）求二面角1C AC B --的平面角的正弦值．

20.（本小题满分13分）已知函数2

()(2)x

f x x kx k e -=-+?. （Ⅰ）当k 为何值时，()f x 无极值；

（Ⅱ）试确定实数k 的值，使()f x 的极小值为0.

21．（本小题满分14分）已知椭圆E ：22221x y a b

+=(,0)a b >与双曲线G ：22

4x y -=，若椭圆E 的

顶点恰为双曲线G 的焦点，椭圆E 的焦点恰为双曲线G 的顶点.

（Ⅰ）求椭圆E 的方程；

（Ⅱ）是否存在一个以原点为圆心的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A 、B ，且OA OB ⊥？若存在请求出该圆的方程，若不存在请说明理由．

数学（理科） 参考答案与评分标准

一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案

A

C

C

D

C

A

A

B

D

D

二、填空题 （一）必做题

11．28； 12．2

5； 13．

3

π

； 14．1 （二）选做题

15．(1)52；；(3)103

． 三、解答题

16. （本小题满分12分）

（1）21n a n =+

（2）4(1)

n n

S n =

+

17. （本小题满分12分）

解：(1)

(2)cos cos ,a c B b C -=(2sin sin )cos sin cos ,A C B B C ∴-=

2sin cos sin cos cos sin ,A B B C B C ∴=+ 2sin cos sin .A B A ∴=

又在ABC ?中，,(0,)A B π∈，所以12sin 0,cos A B >=，则3

B π=

(2)

24sin cos 22sin 4sin 1m n k A A A k A =+=-++,

22

2(sin )21m n A k k ∴=--++.

又3B π=

，所以23

(0,)A π

∈，所以sin (0,1]A ∈. 所以当2sin 1()A A π==时，m n 的最大值为41k -. 32415,k k ∴-==

18. （本小题满分12分）

解：设员工甲在一个月内所得奖金为ξ元，

则由题意可知ξ的可能取值为80,160,400,800-

∵()213

113160228P C ξ????=== ??????? ()2

23113400228

P C ξ????=== ? ?

???? ()3331180028P C ξ??=== ??? ()3

03118028P C ξ??=-== ???

∴ξ的分布列为：

80

-

160

4

00

8

00

P

18

38

38

18

数学期望为1

331

801604008003008888

E ξ=-?+?+?+?=元 19．（本小题满分12分）

解：（1）1CC ⊥平面ABC ，AB ?平面ABC ，∵1CC ⊥AB ．

又

CD ⊥平面1ABC ，且AB ?平面1ABC ，∴CD AB,⊥又1

CC CD=C,

∴AB ⊥平面11BCC B ． （２）

BC ∥11B C ，∴11B C A ∠或其补角就是异面直线1AC 与BC 所成的角．

由（１）知AB BC,⊥又ＡＣ＝２，∴

，∴222

1111AB AA A B =+.

在11AB C ?中，由余弦定理知

cos 2222111111111B C AC AB 1

B C A=2B C AC 2

+-∠==?

∴11B C A ∠=3π,即异面直线1AC 与BC 所成的角的大小为3

π

（3）过点D 作1DE AC ⊥于E ，连接CE ，由三垂线定理知

1CE AC ⊥，

故∠DEC 是二面角1C-AC B -的平面角，又1AC=CC ，∴E 为1AC 的中

点，∴

112CE=AC =

1BC ===，由1

1112

2CC CB=BC CD,??

得11CC CB CD BC ?==

Rt ?CDE 中，

sin CD DEC CE ∠===

20. （本小题满分13分）

（1）4k = （2）0;8k k ==

21．（本小题满分14分）

22

(1)184

x y +=

(2)22

83x y +=

高考模拟数学试卷

第Ⅰ卷（共60分）

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合{}2|log (2)A x y x ==-，{}|33,B x x x R =-<<∈，则A B =（ ）

A ．(2,3)

B ．[2,3)

C ．(3,)+∞

D ．(2,)+∞

2.若复数满足(1)2z i i -=，其中i 为虚数单位，则共轭复数z =（ ） A ．1i +

B ．1i -

C ．1i --

D ．1i -+

3.已知命题p ：13x <<，q ：31x >，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要

条件 4.函数2

sin ()1

x

f x x =

+的部分图像可能是（ ）

5.已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）与椭圆

22

1124

x y +=有共同焦点，且双曲线的一条渐近线方程

为y =，则该双曲线的方程为（ ）

A ．

22

1412x y -= B ．

221124x y -= C ．22

162x y -= D ．

22

126

x y -= 6.三国时期吴国的数学家创造了一副“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出

了勾股定理的详细证明，如图所示“勾股圆方图”中由四个全等的正三角形（直

角边长之比为1:在大正方形内随机取一点，则此点取自中间的小正方形部分的概率是（ ）

A ．

2 B ．4

C ．12

-

D ．14

-

7.执行如图所示的程序框图，则输出的S 值为（ ）

A ．

4849

B ．

5051

C ．

4951

D ．

4950

8.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某四面体的三视图，则该四面体的体积为（ ）

A ．

83

B ．

23

C ．

43

D ．2

9.将函数()2sin f x x =图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，然后向左平移6

π个单位长度，得到()y g x =图象，若关于x 的方程()g x a =在,44ππ??

-????

上有两个不相等的实根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[]2,2-

B ．[2,2)-

C ．[1,2)

D ．[1,2)-

10.若函数()f x ，()g x 分别是定义在R 上的偶函数，奇函数，且满足()2()x

f x

g x e +=，则（ ） A ．(2)(3)(1)f f g -<-<- B ．(1)(3)(2)g f f -<-<- C ．(2)(1)(3)f g f -<-<-

D ．(1)(2)(3)g f f -<-<-

11.已知1F ，2F 分别为椭圆22

221(0)x y a b a b

+=>>的左、右焦点，点P 是椭圆上位于第一象限内的点，

延长2PF 交椭圆于点Q ，若1PF PQ ⊥，且1||||PF PQ =，则椭圆的离心率为（ ） A

．2B

C

1

D

12.定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足'()ln ()0xf x x f x +>（其中'()f x 为()f x 的导函数），若

10a b >>>，则下列各式成立的是（ ）

A ．()()1f a f b a b >>

B ．()()1f a f b a b <<

C ．()()1f a f b a b <<

D ．()()1f a f b a b >>

第Ⅱ卷（共90分）

二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知向量a 与b 的夹角是

3

π

，||1a =，1||2b =，则向量2a b -与a 的夹角为 ．

14.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若66a =，1515S =，则公差d = ．

15.设变量x ，y 满足约束条件4,

326,1,x y x y y +≤??-≥??≥-?

则22

(1)x y -+的取值范围是 ．

16.三棱锥P ABC -中，PA ，PB ，PC 两两成60?，且1PA =，2PB PC ==，则该三棱锥外接球的表面积为 ．

三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17.在ABC ?中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且cos sin a B b A c +=． （1）求角A 的大小；

（2）若a =

ABC ?的面积为

1

2

，求b c +的值． 18.2022年北京冬奥会的申办成功与“3亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”．北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了100人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占

2

3

，而男生有10人表示对冰球运动没有兴趣额． （1）完成22?列联表，并回答能否有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？

（25名学生中随机抽取3人，求至少有2人对冰球有兴趣的概率． 附表：

20()P K k ≥

0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0k

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

2

2

()()()()()

n ad bc K a b c d a c b d -=++++

19.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，平面PBC ⊥平面ABCD ，PB PD ⊥．

（1）证明：平面PAB ⊥平面PCD ；

（2）若PB PC =， E 为棱CD 的中点，90PEA ∠=?，

2BC =，求四面体A PED -的体积．

20.已知点1(0,)2F ，直线l ：1

2

y =-

，P 为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为H ，且满足()0HF PH PF ?+=． （1）求动点P 的轨迹C 的方程；

（2）过点F 作直线'l 与轨迹C 交于A ，B 两点，M 为直线l 上一点，且满足MA MB ⊥，若MAB ?的

面积为'l 的方程．

21.已知函数()x x f x e

=

. （1）求函数()f x 的单调区间；

（2）记函数()y f x =的极值点为0x x =，若12()()f x f x =，且12x x <，求证：0122x

x x e +> 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.

22.选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的方程为2

2

4x y +=，直线l

的参数方程2,

x t y =--???

=??（t 为参数），

若将曲线1C 上的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的3

2

倍，得曲线2C ． （1）写出曲线2C 的参数方程；

（2

）设点(P -，直线l 与曲线2C 的两个交点分别为A ，B ，求11||||

PA PB +的值. 23.选修4-5：不等式选讲

已知函数()|31||31|f x x x =++-，M 为不等式()6f x <的解集. （1）求集合M ；

（2）若a ，b M ∈，求证：|1|||ab a b +>+.

一、选择题

1-5ACAAD 6-10CBBCD 11、12：DD 二、填空题 13.

3π 14.52- 15.9,1713??

????

16.112π

三、解答题

17.解：(1)由已知及正弦定理得：sin cos sin sin sin A B B A C +=，

sin sin()sin cos cos sin C A B A B A B =+=+sin in cos sin Bs A A B ∴=， sin 0sin cos B A A

≠∴=(0,)4

A A π

π∈∴=

(2) 11

sin 2242

ABC

S

bc A bc -===∴=-

又

22222cos 2()(2a b c bc A b c bc

=+-∴=+-+

所以，2

()4, 2.b c b c +=+=．

18.解：（1）根据已知数据得到如下列联表