【附28套精选模拟试卷】西工大附中2020高考数学文模拟题含答案(四)
西工大附中2020高考数学文模拟题含答案(四)
第Ⅰ卷 选择题（共50分）
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．设全集{}1,2,3,4,5,6,U =集合{}1,2,3,4P =，集合{}3,45=Q ，，则()U P C I Q =( )
A.{}1,2,3,4,6
B.{}1,2,3,4,5
C.{}1,2,5
D.{}1,2
2．设复数2
1z i
=+
(其中i 为虚数单位)，则z 的共轭复数z 等于( ) A ．1+2i B ．12i - C ．2i - D ．2i
3．已知条件p ：1>x ，条件q ：
11
，则p 是q 的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分也非必要条件 4．如右图的程序框图所示，若输入3,2a b ==，则输出的值是( ) A.12 B.1 C.1 3 D. 2 5．若抛物线x y 42 =上一点P 到y 轴的距离为3，则点P 到抛物线的焦 点F 的距离为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．7 6．公差不为零的等差数列第2，3，6项构成等比数列，则这三项的公比为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 7．已知||2,a b =r r 是单位向量，且a b r r 与夹角为60°，则()a a b ?-r r r 等于（ ） A ．1 B ．23- C ．3 D ．43- 8．已知函数()f x 对任意x R ∈，有()()0f x f x +-=，且当0x >时，()()ln 1f x x =+，则函数()f x 的大致图象为（ ） 9．设函数 246,0()6,0 x x x f x x x ?-+≥=? + ()(1)f x f >的解集是（ ） A ．(3,1)(3,)-+∞U B ．(3,1)(2,)-+∞U C ．(1,1)(3,)-+∞U D ．(,3)(1,3)-∞-U 10．一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何 体的体积为( ) A ．13 B ． 3 C ．1 D ．3 3 第Ⅱ卷 非选择题（共100分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，满分25分，把答案填写在答题卡相应的位置） 11．若函数()y f x =的图象在4x =处的切线方程是29y x =-+，则(4)(4)f f '-= . 12．若椭圆的短轴为AB ，它的一个焦点为F ，则满足ABF ?为等边三角形的椭圆的离心率是 ． 13．已知变量,x y 满足约束条件211y x y x y ≤?? +≥??-≤? ，则3z x y =+的最大值为 ； 14．若tan 2,α=则sin cos αα= ； 15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题评阅记分） A （选修4—4坐标系与参数方程）已知点A 是曲线2sin ρθ=上任意一点，则点A 到直线3sin()4πρθ+=的距离的最小值是 ； B （选修4—5不等式选讲）已知2 2 ,,33,x y R x y ∈+≤则23x y +的最大值是 .； 直线MN 切C(选修4—1几何证明选讲）如图，ABC ?内接于O e ，AB AC =， O e 于点C ，//BE MN 交AC 于点E .若6,4,AB BC ==则AE 的 长 为 ． 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16．（本小题满分12分）某电视台在一次对收看文艺节目和新闻节目观众的抽样调查中，随机抽取了100名电视观众，相关的数据如下表所示：w_w*w.k_s_5 u.c*o*m . k#s5_u.c （Ⅰ）用分层抽样方法在收看新闻节目的观众中随机抽取5名，大于40岁的观众应该抽取几名？ （Ⅱ）在上述抽取的5名观众中任取2名，求恰有1名观众的年龄为20至40岁的概率.w_w*w 17．（本小题满分12分）在ABC ?中，角A,B,C 的对边分别为a ,b,c,且满足sin 3cos a C c A =， 2AB AC ?=u u u r u u u r ． （Ⅰ）求ABC ?的面积； （Ⅱ）若1b =，求边c 与a 的值． 18．（本小题满分12分）各项均为正数的等比数列{}n a 中，1231,6a a a =+=． （Ⅰ）求数列{}n a 通项公式； （Ⅱ）若等差数列{}n b 满足1244,b a b a ==，求数列{}n n a b 的前n 项和n S ． 19．（本小题满分12分）已知ABCD 是矩形，2AD AB =，,E F 分别是线段,AB BC 的中点，PA ⊥平面ABCD ． （Ⅰ）求证：DF ⊥平面PAF ； （Ⅱ）在棱PA 上找一点G ，使EG ∥平面PFD ，并说明 理由． 20.（本小题满分13分）已知函数x x g x m mx x f ln 2)(,)(=- =． （Ⅰ）当2=m 时，求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程； （Ⅱ）当1=m 时，判断方程)()(x g x f =在区间()1,+∞上有无实根. （Ⅲ）若(]e x ,1∈时，不等式2)()(<-x g x f 恒成立，求实数m 的取值范围. 21.(本题满分14分)已知椭圆C 的中心在坐标原点,焦点在x 轴上, 离心率2 e =，且点(2,0)P -在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）已知A 、B 为椭圆C 上的动点,当PA PB ⊥时,求证直线AB 恒过一个定点.并求出该定点的坐标. 数学（文科） 参考答案与评分标准 一、选择题： B 二、填空题 11．3 12． 2 13．11 14．25 15．A 52； B C ．10 3 三、解答题 16．（本小题满分12分） 【解】：在100名电视观众中，收看新闻的观众共有45人，其中20至40岁的观众有18人，大于40岁的观众共有27人。 故按分层抽样方法，在应在大于40岁的观众中中抽取 32745 5 =?人. ……4分 （2）抽取的5人中，年龄大于40岁的有3人，分别记作1，2，3；20岁至40岁的观众有2人，分别高为b a ,，若从5人中任取2名观众记作),(y x ，……6分 则包含的总的基本事件有：),(),,3(),,3(),,2(),,2(),3,2(),,1(),,1(),3,1(),2,1(b a b a b a b a 共10个。…8分 其中恰有1名观众的年龄为20岁至40岁包含的基本事件有：),3(),,3(),,2(),,2(),,1(),,1(b a b a b a 共6个. ……10分 故P (“恰有1名观众的年龄为20至40岁”)=5 3 106=； ……12分 17. （本小题满分12分） 【解】：（Ⅰ）由正弦定理得sin sin cos A C C A =，……2分 sin A A =，tan A =60A =o ，……6分 由2AB AC ?=u u u r u u u r 得4b c ?=，ABC ?……8分 （Ⅱ）因1b =，故4c =，……10分 由余弦定理得a =……12分 18．（本小题满分12分）由条件知2 0,62q q q q >+=∴=……………………2分 12n n a -∴= ………… 4分 （2）设数列{}n b 公差为d ，则112,38,2b b d d =+=∴=，2n b n ∴=…………6分 2n n n a b n =? 12312 3 4 1 122232(1)222122232(1)22 n n n n n n S n n S n n -+=?+?+?++-?+?= ?+?+?++-?+?L L 2341222222n n n S n +∴-=+++++-?L ……………………8分 12(21)2n n n +=--? ……………………10分 1(1)22n n S n +∴=-+ ……………………12分 19.（本小题满分12分） 【解】：证明：在矩形ABCD 中，因为AD=2AB,点F 是BC 的中点,所以∠AFB=∠DFC=45°． 所以∠AFD=90°,即AF ⊥FD ． ……………………4分 又PA ⊥平面ABCD,所以PA ⊥FD ．所以FD ⊥平面PAF ． ……………………6分 （Ⅱ）过E 作EH//FD 交AD 于H, 则EH//平面PFD,且 AH =1 4 AD ． 再过H 作HG//PD 交PA 于G , ……………………9分 所以GH//平面PFD,且 AG= 1 4 PA ． 所以平面EHG//平面PFD ． ……………………11分 所以EG//平面PFD ． 从而点G 满足AG=1 4 PA ． ……………………12分 20.（本小题满分13分） 【解】：（1）2=m 时，()x x x f 22- =，()()41',2 2'2=+=f x x f ，切点坐标为()0,1， ∴切线方程为44-=x y …………………… 3分 （2）1=m 时，令()()()x x x x g x f x h ln 21 -- =-=， ()01211)('2 2 2≥-=-+=x x x x x h ，()x h ∴在()+∞,0上为增函数…………………… 5分 又0)1(=h ，所以)()(x g x f =在()1,+∞内无实数根 ……………………7分 D （3）2ln 2<-- x x m mx 恒成立， 即()x x x x m ln 2212+<-恒成立， 又012>-x ，则当(]e x ,1∈时，1 ln 222 -+ x x m 恒成立，……………………9分 令()1 ln 222-+=x x x x x G ，只需m 小于()x G 的最小值， ()() 2 2 21) 2ln ln (2'-++-= x x x x x G ，…………………… 11分 e x ≤<1Θ，0ln >∴x ，∴ 当(]e x ,1∈时()0' 42-= e e e G ， 则m 的取值范围是?? ? ??-∞-14,2 e e ……………………13分 21．（本小题满分14分） 【解】：(1)椭圆C 的方程是2 214 x y +=…………………………4分 (2) 当直线l 不垂直于x 轴时,设AB ：y kx m =+ 11(,)A x y 22(,)B x y 2244x y y kx m ?+=?=+?得222(14)84(1)0k x kmx m +++-= ………………………6分 1222121212(2)(2)(1)(2)()4PA PB x x y y k x x km x x m =+++=++++++u u u r u u u r g =22 2 22 4(1)8(1)(2)401414m km k km m k k --+++++=++ …………………… 8分 22125160k m km ∴+-= 即 (65)(2)0k m k m --=6 25 m k m k ∴= =或……………10分 当65m k = 时，6 :5 AB y kx k =+恒过定点6(,0)5- 当2m k =时，:2AB y kx k =+恒过定点(2,0)-，不符合题意舍去… 12分 当直线l 垂直于x 轴时，若直线AB ：65x =- 则AB 与椭圆Ｃ相交于64(,)55 A --，64(,)55 B -24444444 (,)(,)()()()05555555 PA PB ∴=-=+-=u u u r u u u r g g ，PA PB ⊥Q ，满足题意 综上可知，直线AB 恒过定点，且定点坐标为6 (,0)5 -……………… 14分 高考模拟数学试卷 本试题卷分选择题和非选择题两部分．全卷共4页，选择题部分1至2页，非选择题部分2至4页．满分150分，考试时间120分钟． 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上． （命题老师：周浙柳 审题老师：徐芳芳 命题时间：） 选择题部分（共50分） 参考公式： 柱体的体积公式：V Sh = 其中S 表示柱体的底面积，h 表示柱体的高 锥体的体积公式：1 3 V Sh = 其中S 表示锥体的底面积，h 表示锥体的高 台体的体积公式：)(312211S S S S h V ++= 其中S 1、S 2分别表示台体的上、下底面积，h 表示台体的高 球的表面积公式：24S R π= 球的体积公式：33 4R V π= 其中R 表示球的半径 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. 1．若“01x <<”是“()[(2)]0x a x a --+≤”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(,0][1,)-∞+∞U B ．(1,0)- C ．[1,0]- D ．(,1)(0,)-∞-+∞U 2．若整数x ，y 满足不等式组 0,2100,0, x y x y y ?->? -- A ．11 B ．23 C ．26 D ．30 3．下列命题中错误．． 的是（ ） A. 如果平面⊥α平面γ，平面⊥β平面γ，l =βαI ，那么γ⊥l B. 如果平面⊥α平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β C. 如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β D. 如果平面⊥α平面β，过α内任意一点作交线的垂线，那么此垂线必垂直于β 4 ．已知函数()sin (0)f x x x ωωω=>的图象与x 轴的两个相邻交点的距离等于 2 π ，若将函数()y f x =的图象向左平移 6 π 个单位得到函数()y g x =的图象，则()y g x =是减函数的区间为（ ） A ．(,)43ππ B ． (,)44ππ- C ． (0,)3π D ．(,0)3π - 5．在平面斜坐标系xoy 中0 45=∠xoy ，点P 的斜坐标定义为：“若2010e y e x +=（其中21,e e 分别 为与斜坐标系的x 轴，y 轴同方向的单位向量），则点P 的坐标为),(00y x ”．若),0,1(),0,1(21F F -且 俯视图 侧（左）视图 正（主）视图动点),(y x M 满足12MF MF =u u u r u u u r ，则点M 在斜坐标系中的轨迹方程为（ ） A ．0x = B ．0x += C 0y -= D 0y += 6．身高从矮到高的甲、乙、丙、丁、戊5人排成高矮相间的一个队形，则甲丁不相邻的不同的排法共有 （ ） A ．12 B ．14 C ．16 D ．18 7．数列{}n a 满足143 a =，2* 11(N )n n n a a a n +=-+∈，则122013111m a a a =+++L 的整数部分是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．在△ABC 中，已知9,sin cos sin ,6ABC AB AC B A C S ??==?=u u u r u u u r ，P 为线段AB 上的点，且 ,|||| CA CB CP x y xy CA CB =?+?u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 则的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 非选择题部分（共100分） 二、填空题：本大题共7小题，9-12每小题6分，13-15每小题4分，共36分． 9．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥体积是 ▲ ，四个面的面积中最大的是 ▲ ． 10．已知实数a b c ，，满足2a b c +=，则直线 : 0l ax by c +=－恒过定点 ▲ ，该直线被圆 229x y +=所截得弦长的取值范围为 ▲ 11．已知向量1(sin cos 1),(1,2cos ),,(0,).52 a b a b π αααα=+=-?=∈r r r r ，，sin α= ▲ 、αcos = ▲ ，设函数∈+-=x x x x f (2cos )2cos(5)(αR ），)(x f 取得最大值时的x 的值是 ▲ . 12．复数1i 2i a +-（,i a R ∈为虚数单位）为纯虚数,则复数i z a =+的模为 ▲ ．已知 231 (1)()()n x x x n N x *+++∈的展开式中没有常数项,且28n ≤≤，则n = ▲ . 13．将函数1112122y x x = -+-+的图像绕原点顺时针方向旋转角02 πθθ≤≤（）得到曲线C .若对于每一个旋转角θ，曲线C 都是一个函数的图像，则θ的取值范围是 ▲ ． 14．已知数列{}n a 满足：n n n a a a a +== +2 11,2 1，用[x]表示不超过x 的最大整数，则 12201211111 1a a a ?? +++??+++??L 的值等于 ▲ ． 15．三棱锥O ABC -中，,OA OB OC ,两两垂直且相等，点P ，Q 分别是BC 和OA 上的动点，且满足 1233BC BP BC ≤≤，12 33 OA OQ OA ≤≤，则PQ 和OB 所成角余弦值的取值范围是 ▲ ． 三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本题满分14分）已知函数.3 cos 33cos 3sin )(2x x x x f += (Ⅰ)求函数)(x f 图象对称中心的坐标； (Ⅱ)如果ABC Δ的三边c b a ,,满足ac b =2，且边b 所对的角为B ，求)(B f 的取值范围。 17．（本题满分15分）如图，已知平面ABC ⊥平面BCDE ， DEF ?与ABC ?分别是棱长为1与2的正三角形， AC //DF ，四边形BCDE 为直角梯形，DE //BC ， ,1BC CD CD ⊥=， 点G 为ABC ?的重心，N 为AB 中点， (,0)AM AF R λλλ=∈>u u u u r u u u r ， （Ⅰ）当2 3 λ= 时，求证：GM //平面DFN （Ⅱ）若直线MN 与CD 所成角为3 π ，试求二面角M BC D --的余弦值。 18．（本题满分15分）设直线l 与抛物线2 2x y =交于,A B 两点，与椭圆22 143 x y +=交于C ，D 两点，直线,,,OA OB OC OD （O 为坐标原点）的斜率分别为1234,,,k k k k ，若OA OB ⊥. （1）是否存在实数t ，满足1234()k k t k k +=+，并说明理由； （2）求OCD ?面积的最大值. 19．（本题满分15分）已知函数()()()R a ax x x ax x f ∈--++=23 12ln 23 （Ⅰ）若2=x 为()x f 的极值点，求实数a 的值； （Ⅱ）若()x f y =在[)+∞,3上为增函数，求实数a 的取值范围； （III ）当2 1 -=a 时，方程()()x b x x f +-= -3113 有实根，求实数b 的最大值. 20．（本题满分15分）已知数列{}n a ，0≥n a ，01=a ，)(12121? ++∈=-+N n a a a n n n ．记 n n a a a S +++=Λ21．11212111 1(1)(1)(1)(1)(1) n n T a a a a a a = +++++++++L L 求证：当*∈N n 时 （Ⅰ）101<<≤+n n a a ； （Ⅱ）2->n S n ； （Ⅲ）3n T < 数学试卷 参考答案 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 二、填空题（本大题共7小题，9-12每小题 6分，13-15每小题4分，共36分） 9．1 10．11,22??- ??? ；?? 11． 43,55 ,8 k k π π+∈. 1213．[0， ）4 π 14．1 15．1[3 三、解答题（本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16．解：（Ⅰ）2 3)332sin(2332cos 2332sin 21)32cos 1(2332sin 21)(++=++=++=πx x x x x x f 由)3 32sin( π +x =0即Z k π,213)∈(π3π32∈= =+k x z k k x 得 即对称中心为Z k π,0),2 1 -3( ∈k （Ⅱ）由已知b 2 =ac ，2 1 2-2≥2-2-cos 22222=+=+= ac ac ac ac ac c a ac b c a B 2 31≤)3π32sin(3∴1≤)3π32sin(3πsin ∴|2π-9π5||2π-3π|9 π 5≤3π323π3π≤01cos ≤21∴++<+<>+<< 即)(B f 的范围是]23 1,3(+。 17.（本题满分15分） 解：（Ⅰ）连AG 延长交BC 于P ， 因为点G 为ABC ?的重心，所以 2 3 AG AP = 又23AM AF =u u u u r u u u r ，所以 2 3 AG AM AP AF ==，所以GM //PF ； 因为AC //DF ，DE //BC ，所以平面ABC //平面DEF ， 又DEF ?与ABC ?分别是棱长为1与2的正三角形， N为AB中点，P为BC中点, NP//AC,又AC//DF， 所以NP//DF，得,,, P D F N四点共面 GM ∴//平面DFN （Ⅱ）平面ABC⊥平面BCDE，易得平面DEF⊥平面BCDE， 以P为原点，PC为x轴，PE为y轴，PA为z轴建立空间直角坐标系， 则 11 (1,0,0),(1,1,0),((1,0,0),(, 22 C D A F B N --，设(,,) M x y z，, AM AF λ = u u u u r u u u r Q(,) 2 M λ λ ∴， 1 (,)) 2 NM λ λλ + =- u u u u r ，(0,1,0) CD= u u u r 因为MN与CD所成角为 3 π ，所以 1 cos60 2 NM CD NM CD ? === ? o u u u u r u u u r u u u u r u u u r，得2 210 λλ +-=， 1 2 λ ∴= ， 11 (, 42 M ∴， 设平面MBC的法向量(,,) n a b c = r ，则 n BC n BM ??= ? ? ?= ?? r u u u r r u u u u r ，取2) n=- r ， 面BCD的法向量(0,0,1) v= r ，所以二面角M BC D -- 的余弦值cos 31 n v n v θ ? == ? r r r r。18．（本小题满分15分） 解：设直线l方程为y kx b =+， 11 (,) A x y， 22 (,) B x y， 33 (,) C x y， 44 (,) D x y. 联立y kx b =+和22 x y =， 得2220 x kx b --=， 则 12 2 x x k +=， 12 2 x x b =，2 480 k b ?=+>. 由OA OB ⊥，所以 1212 x x y y +=，得2 b=. 联立2 y kx =+和22 3412 x y +=，得 22 (34)1640 k x kx +++=， 所以 342 16 34 k x x k +=- + ， 342 4 34 x x k =- + . 由2 2 192480 k ?=->，得2 1 4 k>. （1）因为12 12 12 y y k k k x x +=+=，34 34 34 6 y y k k k x x +=+=- 所以 12341 6 k k k k +=-+. （2 ）根据弦长公式34CD x =-，得： CD = 根据点O 到直线CD 的距离公式，得d = ， 所以2 1234OCD S CD d k ?=?=+， 0t => ，则24 OCD S t ?= ≤+ 所以当2t = ，即5 k =± 时，OCD S ? 19．解：（I ）()()()[] 1 22441222122222 ++--+=--++='ax a x a ax x a x x ax a x f 因为2=x 为()x f 的极值点，所以()02='f ，即 021 42=-+a a a ，解得0=a 。……4分 （II ）因为函数()x f 在[)+∞,3上为增函数，所以 ()()()[] 01 22441222≥++--+='ax a x a ax x x f 在[)+∞,3上恒成立。………6 分 ①当0=a 时，()()02≥-='x x x f 在[)+∞,3上恒成立，所以()x f 在[)+∞,3上为增函数，故0=a 符合题意。 … ……7分 ②当0≠a 时，由函数()x f 的定义域可知，必须有012>+ax 对3≥x 恒成立，故只能0>a ，所以 ()() 02441222≥+--+a x a ax 在[)+∞,3上恒成立。 ………8分 令函数()()() 244122 2 +--+=a x a ax x g ，其对称轴为a x 411- =，因为0>a ，所以1411<-a ，要使()0≥x g 在[)+∞,3上恒成立，只要()03≥g 即可，即()016432 ≥++-=a a g ，所以 41334133+≤≤-a 。因为0>a ，所以4 13