青岛大学随机过程试卷三
最新随机过程考试试题及答案详解1
随机过程考试试题及答案详解 1、（15分）设随机过程C t R t X +?=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均 匀分布。 （1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 （1）? ∞ -= x dt t f x F )()(，则)(t f 为密度函数； （2）)(t X 为),(b a 上的均匀分布，概率密度函数?? ???<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f ，分布函数 ?? ??? >≤≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(，2)(b a x E += ，12)()(2a b x D -=； （3）参数为λ的指数分布，概率密度函数???<≥=-0,00 ,)(x x e x f x λλ，分布函数 ?? ?<≥-=-0 ,00,1)(x x e x F x λ，λ1)(=x E ，21 )(λ=x D ； （4）2 )(,)(σμ==x D x E 的正态分布，概率密度函数∞<<-∞= -- x e x f x ,21 )(2 22)(σμπ σ， 分布函数∞<<-∞= ? ∞ --- x dt e x F x t ,21)(2 22)(σμπ σ，若1,0==σμ时，其为标准正态分布。 【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。 （1）因R 为]1,0[上的均匀分布，C 为常数，故)(t X 亦为均匀分布。由R 的取值范围可知， )(t X 为],[t C C +上的均匀分布，因此其一维概率密度?? ???+≤≤=其他,0,1 )(t C x C t x f ，一维分布 函数?? ??? +>+≤≤-<=t C x t C X C t C x C x x F ,1,,0)(；
随机过程期末复习试题
期末复习试题 一、填空题 1. 假设()0.4,P A =()0.7P A B =， 若A 与B 互不相容，则()________P B =； 若A 与B 相互独立，则()________P B =. 2.设0
___________________.
最新随机过程考试真题
1、设随机过程C t R t X +?=)(，),0(∞∈t ，C 为常数，R 服从]1,0[区间上的均匀分布。 （1）求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数； （2）求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 2、设{ }∞<<∞-t t W ),(是参数为2 σ的维纳过程，)4,1(~N R 是正态分布随机变量； 且对任意的∞<<∞-t ，)(t W 与R 均独立。令R t W t X +=)()(，求随机过程 {}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数和协方差函数。 3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有180人，即180=λ；且每个 顾客的消费额是服从参数为s 的指数分布。求一天内（8个小时）商场营业额的数学期望与方差。 4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为： ??? ? ? ??=3.007.08.02.0007.03.0P （1）求两步转移概率矩阵) 2(P 及当初始分布为 0}3{}2{,1}1{000======X P X P X P 时，经两步转移后处于状态2的概率。 （2）求马尔可夫链的平稳分布。 5设马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{=I ，转移概率矩阵为： ??? ??? ? ? ? ?=010007.03.0000 0001 00004.06.0003.04 .03.0P
求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。 6、设{}(),0N t t ≥是参数为λ的泊松过程，计算[]()()E N t N t s +。 7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以i N 记在i 第层进入电梯的人数。假定i N 相互独立，且i N 是均值为i λ的泊松变量。在第i 层进入的各个人相互独立地以概率ij p 在第j 层离开电梯， 1ij j i p >=∑。令j O ＝在第j 层离开电梯的人数。 （1）计算()j E O （2）j O 的分布是什么 （3）j O 与k O 的联合分布是什么 8、一质点在1，2，3点上作随机游动。若在时刻t 质点位于这三个点之一，则在),[h t t +内， 它都以概率 )(h o h +分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程，转移概率)(t p j i 及平稳分布。 1有随机过程{ξ(t )，-∞ 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 随机过程-期中考试试卷答案 一、填空题（每题4分，共20分） 1. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则特征函数?(t)=eλ(e it?1) 2. 设有随机过程{X(t),t∈T}，则称T为随机过程的参数集 3. 设随机过程{X(t),t∈T}为二阶矩过程，则自相关函数R X(s,t)=E(X(s)X(t)) 4. 设有泊松过程{N(t),t∈T}，则它的强度λ=E(N(t)) t 5. 记X n为抛掷一颗骰子出现的点数，于是{X n,n≥1}为随机序列。则{X n,n≥1}的状态空间E={1,2,3,4,5,6} 二、判断题（每题4分，共20分） 1. 设有随机过程{X(t),t∈T}，则C X(t1,t2)=R X(t1,t2). Ⅹ 2. 设二阶矩过程{X(t),t≥a}是独立增量过程，且X(a)=0，则对任意s,t≥a，有 C X(s,t)=σX2(min(s,t))√ 3. 设有非齐次泊松过程{N(t),t∈T}，则它的强度是参数t的函数，一般记为λ(t). √ 4. 设有维纳过程{W(t),t≥0}，则W(6)?W(3)与W(4)?W(2)独立. Ⅹ 5. 设有强度为λ的泊松过程{N(t),t≥0}，则N(5)?N(2)服从参数为3λ的泊松分布. √ 三、计算题（每题20分，共60分） 1. 设随机过程X(t)=tV,t≥0，其中V为离散型随机变量，其分布律为 （1）求X(t)的均值函数、方差函数； （2）求X(t)的一维分布函数F(x;2)、二维随机变量(X(1),X(2))的联合分布律。 解 (1) 根据概率论知识，E (V )=0.2,E (V 2)=1，由此可得 ……2分 均值函数 μX (t )=E (tV )=tE (V )=0.2t ……4分 方差函数 σX 2(t )=E(tV)2?(μX (t ))2 =t 2?(0.2t )2=0.96t 2 ……4分 (2) X (2)=2V 的分布律为 于是得一维分布函数F(x;2) F (x;2)={0, x 北京邮电大学2012——2013学年第1学期 《概率论与随机过程》期末考试试题答案 考试注意事项：学生必须将答题内容（包括填空题）做在试题答题纸上，做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号，班内序号! 一. 单项选择题和填空题：（每空3分，共30分） 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A （A ）若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; （B ）若A A B ∈?A,,则B ∈A ; （C ）若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; （D ）若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间，P 为定义在其上的有限可加测度，则下面正确的是 .c （A ）若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-； （B ）若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ，则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==； （C ）若A B C ∈∈∈F,F,F,，则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++； （D ）若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/，1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数，表达式为100 0()k A k f kI ω==∑，其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=，则fdP Ω=? ； 随机过程-期中考试试卷 一、填空题（20分） 1. 设随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则特征函数?(t)= 2. 设有随机过程{X(t),t∈T}，则称T为随机过程的 3. 设随机过程{X(t),t∈T}为二阶矩过程，则自相关函数R X(s,t)= 4. 设有泊松过程{N(t),t∈T}，则它的强度λ= 5. 记X n为抛掷一颗骰子出现的点数，于是{X n,n≥1}为随机序列。则{X n,n≥1}的状态空间E= 二、判断题（20分） 1. 设有随机过程{X(t),t∈T}，则C X(t1,t2)=R X(t1,t2). 2. 设二阶矩过程{X(t),t≥a}是独立增量过程，且X(a)=0，则对任意s,t≥a，有 C X(s,t)=σX2?min?(s,t) 3. 设有非齐次泊松过程{N(t),t∈T}，则它的强度是参数t的函数，一般记为λ(t). 4. 设有维纳过程{W(t),t≥0}，则W(6)?W(3)与W(4)?W(2)独立. 5. 设有强度为λ的泊松过程{N(t),t≥0}，则N(5)?N(2)服从参数为3λ的泊松分布. 三、计算题（60分） 1. 设随机过程X(t)=tV,t≥0，其中V为离散型随机变量，其分布律为 （1）求X(t)的均值函数、方差函数； （2）求X(t)的一维分布函数F(x;2)、二维随机变量(X(1),X(2))的联合分布律。 2. 设某设备的使用期限是10年，已知在前4年每年平均维修次数为0.2，后6年每年平均维修次数为0. 3. 记N(t)表示在时段(0,t]的维修次数。试求 （1）前6年平均维修次数； （2）前6年维修次数超过1次的概率。 3. 设{W(t),t≥0}是参数为σ2的布朗运动，记随机过程X(t)=W(t+2)?W(t),t≥0，试求随机过程X(t)的相关函数R X(1,4)和R X(1,2). 《随机过程期末考试卷》 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 一．填空题（每空2分，共20分） 1．设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),- 《随机过程期末考试卷》 1 ?设随机变量X服从参数为■的泊松分布，则X的特征函数为 ___________ 。 2?设随机过程X(t)二Acos(「t+「),-：：vt<：：其中「为正常数，A和门是相互独立的随机变量，且A和“服从在区间10,1 1上的均匀分布，则X(t)的数学期望为。 3?强度为入的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为_ 的同一指数分布。 4?设「W n ,n 一1是与泊松过程：X(t),t - 0?对应的一个等待时间序列，则W n服从分布。5?袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回， r 对每一个确定的t对应随机变量x(t)=」3’如果t时取得红球，则这个随机过 e t, 如果t时取得白球 程的状态空间__________ 。 6 ?设马氏链的一步转移概率矩阵P=(p j)，n步转移矩阵P(n)=8(；))，二者之间的关系为。 7?设汉.，n -0?为马氏链，状态空间I，初始概率P i二P(X。二i)，绝对概率 P j(n)二P^X n二j?，n步转移概率p j n)，三者之间的关系为_____________ 。 8 .设｛X(t),t 一0｝是泊松过程，且对于任意t2t^ 0则 P{X ⑸= 6|X (3) = 4} = _______ t 9?更新方程K t二H t ? .°K t-s dF s解的一般形式为__________________ 。10?记二-EX n,对一切a 一0,当t—一：时，M t+a -M t > ____________ 3.设］X n,n — 0?为马尔科夫链，状态空间为I，则对任意整数n—0,仁I 2014-2015随机过程参考题 一.判断题 1．若随机变量的特征函数存在，则可以用它来刻画随机变量的概率分布． （ ） 2．对于独立的随机变量1,,n X X ，都有[]11 n n k k k k E X E X ==??=????∏∏． （ ） 3．若12(,, )n F x x x 是随机向量1=, ,)n X X X （的联合分布函数，则它对每个变量都是 单调不减的． （ ） 4.一个随机过程的有限维分布具有对称性和相容性． （ ） 5．非齐次泊松过程一定具有独立增量性和平稳增量性． （ ） 6．参数为λ的泊松过程第n 次与第1n -次事件发生的时间间隔n X 服从参数为n 和n λ的Γ分布． （ ） 7．复合P o i s s o n 过 程一定是计数过程． （ ） 8．若随机变量X 服从周期为d 的格点分布，则对自然数n 总有{}0P X nd =>．（ ） 9．设,i j 是离散时间马氏链的两个互通的状态，则它们的周期相等． （ ） 10．离散时间马尔科夫链的转移矩阵的行和列的和均为1 . （ ） 11．一个随机变量的分布函数和特征函数相互唯一确定． （ ） 12．对独立的随机变量1, ,n X X ，都有[]1 1n n k k k k Var X Var X ==??=????∑∏． （ ） 13．一个随机过程的有限维分布族一定是具有对称性和相容性的分布族。 （ ） 14．若一个随机过程的协方差函数,s t γ（）只与时间差t s -有关，则它一定是宽平稳过 程． （ ） 15．参数为λ的泊松过程中，第n 次事件发生的时刻n T 服从参数为λ的指数分布．（ ） 16．非齐次泊松过程不具有独立增量性，但具有平稳增量性． （ ） 17．更新过程在有限时间内最多只能发生有限次更新． （ ） 18．更新过程的更新函数()M t 是t 的单调不增函数． （ ） 19．马尔科夫链具有无后效性． （ ） 20．Poisson 过程是更新过程． （ ） 具有对称性和相容性的分布族一定是某个随机过程的有限维分布族。 （ ） 21．若一个随机过程是宽平稳的，则它一定是严平稳的。 （ ） 通信原理期末考试试题及答案 一、填空题（总分24，共12小题，每空1分） 1、数字通信系统的有效性用 传输频带利用率 衡量，可靠性用 差错率 衡量。 2、模拟信号是指信号的参量可 连续 取值的信号，数字信号是指信号的参量可 离散 取值的信号。 3、广义平均随机过程的数学期望、方差与 时间 无关，自相关函数只与时间间隔有关。 4、一个均值为零方差为2n σ的窄带平稳高斯过程，其包络的一维分布服从瑞利分布，相位的一维分布服从均匀分布。 5、当无信号时，加性噪声是否存在？ 是 乘性噪声是否存在？ 否 。 6、信道容量是指： 信道传输信息的速率的最大值 ，香农公式可表示为：)1(log 2N S B C +=。 7、设调制信号为f （t ）载波为t c ωcos ，则抑制载波双边带调幅信号的时域表达式为 t t f c ωcos )(，频域表达式为)]()([2 1c c F F ωωωω-++。 8、对最高频率为f H 的调制信号m （t ）分别进行AM 、DSB 、SSB 调制，相应已调信号的带宽分别为 2f H 、 2f H 、 f H 。 9、设系统带宽为W ，则该系统无码间干扰时最高传码率为 2W 波特。 10、PSK 是用码元载波的相位来传输信息，DSP 是用前后码元载波的 相位差 来传输信息，它可克服PSK 的相位模糊缺点。 11、在数字通信中，产生误码的因素有两个：一是由传输特性不良引起的 码间串扰，二是传输中叠加的 加性噪声 。 12、非均匀量化的对数压缩特性采用折线近似时，A 律对数压缩特性采用 13 折线近似，μ 律对数压缩特性采用15 折线近似。 二、填空题 1、模拟通信系统中，可靠性最好的是（FM），有效性最好的是（SSB）。 2、在FM通信系统中，采用预加重和去加重技术的目的是（提高解调器输出信噪比）。 3、时分复用的话路数越多，信息速率（越大）。 4、在2ASK、2FSK、2PSK、2DPSK通信系统中，可靠性最好的是（2PSK），有效性最好的是（2ASK、2PSK） 5、均匀量化器的量化信噪比与编码位数的关系是（编码位数增加1位，量化信噪比增大6dB），非均匀量化器可以提高（小）信号的量化信噪比。 (式9.4.10) 信号量噪比：（S/N）dB=20lgM=20lg2N (N为编码位数) 编码位数增加一位，（S/N）dB=20lgM=20lg2（N+1）-20lg2N=20lg2=6dB 6、改善FM系统抗噪声性能的有效措施是（采用预加重技术和去加重技术） 7、若信息速率为Wbit/s,则2PSK、4PSK信号的谱零点带宽分别为（）和（）Hz PSK信号为双极性不归零码，对基带信号RB=1/Ts=fs=Rb/log2M, B=fs= Rb/log2M 对调制信号：带宽为B调=2B=2 Rb/log2M=2W/ log2M 随机过程例题 例1 求正态随机变量),0(~2σN X 的特征函数和各阶矩。 解：),0(~2σN X 的概率密度函数为 +∞ <<∞-= - x x f x ,e 21 )(2 22σσ π 2 j 2j 222 2e d e e 21 d e )()(ωσωσωσ πω- ∞ ∞ -- ∞ ∞ -===Φ? ? x x x f x x x ?? ?-????=Φ-==为偶数（为奇数n n n X E n n X n n n ,)1531 ,0d ) (d )j ()(0σωωω 例2 设随机变量X 服从标准正态分布N(0, 1)，定义随机变量Y = X2，求Y 的概率密度函数和 数学期望。 解：X 的概率密度为： y -x y x h(y) = x ， x = g(x) =y 112==，， Y 的概率密度函数为： 0 ,e 21 2)(2)(d d )()(2≥= -+==-y y y y f y y f y x x f y y πψ Y 的数学期望为： 1 d e 2d )()(0 2 ===? ?∞ - ∞+∞ -y y y y y Y E y π ψ 1d e 2d )()()]([)(2 22 ====? ?∞ +∞ --∞+∞ -x x x x f x g X g E Y E x π 例3 已知随机相位正弦波 ）Θ +t cos( a = (t) X ω)，其中 a >0，ω为常数，Θ 为在 ），（π20内均匀分布的随机变量。求随机过程} ) (0, t (t), X {∞∈的均值函数)t (m X 和相关函数 t)(s,R X 解： f ( 1、设随机过程C t R t X +?=)(,),0(∞∈t ,C 为常数,R 服从]1,0[区间上的均匀分布。 (1)求)(t X 的一维概率密度与一维分布函数; (2)求)(t X 的均值函数、相关函数与协方差函数。 2、设{ }∞<<∞-t t W ),(就是参数为2 σ的维纳过程,)4,1(~N R 就是正态分布随机变量; 且对任意的∞<<∞-t ,)(t W 与R 均独立。令R t W t X +=)()(,求随机过程 {}∞<<∞-t t X ),(的均值函数、相关函数与协方差函数。 3、设到达某商场的顾客人数就是一个泊松过程,平均每小时有180人,即180=λ;且每个 顾客的消费额就是服从参数为s 的指数分布。求一天内(8个小时)商场营业额的数学期望与方差。 4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为: ??? ? ? ??=3.007.08.02.0007.03.0P (1)求两步转移概率矩阵) 2(P 及当初始分布为 0}3{}2{, 1}1{000======X P X P X P 时,经两步转移后处于状态2的概率。 (2)求马尔可夫链的平稳分布。 5设马尔可夫链的状态空间}5,4,3,2,1{=I ,转移概率矩阵为: ??? ??? ? ? ??=010007.03.0000 0001 00004.06.0003.04 .03.0P 求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。 6、设{}(),0N t t ≥就是参数为λ的泊松过程,计算[]()()E N t N t s +。 7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以i N 记在i 第层进入电梯的人数。假定i N 相互独立,且i N 就是均值为i λ的泊松变量。在第i 层进入的各个人相互独立地以概率ij p 在第j 层离开电梯, 1ij j i p >=∑。令j O ＝在第j 层离开电梯的人数。 (1)计算()j E O (2)j O 的分布就是什么 (3)j O 与k O 的联合分布就是什么 8、一质点在1,2,3点上作随机游动。若在时刻t 质点位于这三个点之一,则在),[h t t +内,它都 以概率 )(h o h +分别转移到其它两点之一。试求质点随机游动的柯尔莫哥洛夫微分方程,转移概率)(t p j i 及平稳分布。 1有随机过程{ξ(t ),-∞ 电子科技大学20 -20 学年第 学期期 考试 卷 课程名称：_________ 考试形式： 考试日期： 20 年 月 日 考试时长：____分钟 课程成绩构成：平时 10 %， 期中 10 %， 实验 %， 期末 80 % 本试卷试题由___2__部分构成，共_____页。 一、填空题（共20分，共 10题，每题2 分） 1. 设随机过程0()cos(),X t A t t ω=+Φ-∞<<∞，其中0ω为常数，A Φ和是相互独立的随机 变量，[]01A ∈， 且均匀分布，Φ在[]02π，上均匀分布，则()X t 的数学期望为： 0 2. 已知平稳随机信号()X t 的自相关函数为2()2X R e ττ-=，请写出()X t 和(2)X t +的协方 差12-e 3. 若随机过程()X t 的相关时间为1τ，()Y t 的相关时间为2τ，12ττ>，则()X t 比() Y t 的相关性要__大___,()X t 的起伏特性比()Y t 的要__小___。 4. 高斯随机过程的严平稳与___宽平稳_____等价。 5. 窄带高斯过程的包络服从___瑞利___分布，相位服从___均匀___分布，且在同一 时刻其包络和相位是___互相独立___的随机变量。 6. 实平稳随机过程的自相关函数是___偶____（奇、偶、非奇非偶）函数。 7. 设)(t Y 是一均值为零的窄带平稳随机过程，其单边功率谱密度为)(ωY F ，且 0()Y F ωω-为一偶函数，则低频过程)()(t A t A s c 和是___正交___。 二、计算题（共80分） 1. (16分)两随机变量X 和Y 的联合概率密度函数为(,)=XY f x y axy ，a 是常数，其中0,1x y ≤≤。 求： 1) a ; 2) X 特征函数； 3) 试讨论随机变量X 和Y 是否统计独立。 解：因为联合概率密度函数需要满足归一性，即 （2分） 所以4A = （1分） X 的边缘概率密度函数： 1 ()4201X f x xydy x x ==≤≤? （2分） 所以特征函数 2016随机过程（A ）解答 1、（15分）设随机过程V t U t X +?=)(，),0(∞∈t ， U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量。 1) 求)(t X 的一维概率密度函数； 2) 求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 3) 求)(t X 的二维概率密度函数； 解： 由于U ，V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量，所以V t U t X +?=)(也服从正态分布， 且： {}{}{}{}()()22m t E X t E U t V t E U E V t ==?+=?+=+ {}{}{}{}22()()99D t D X t D U t V t D U D V t ==?+=+=+ 故： (1) )(t X 的一维概率密度函数为：()2 22218(1) 2 1(),321 x t t t f x e x t π--- += ?-∞≤≤∞?+ (2) )(t X 的均值函数为：()22m t t =+；相关函数为： {}{} (,)()()()()R s t E X s X t E U s V U t V =?=?+??+ {}{}{} 22()13()413 st E U s t E U V E V st s t =?++??+=?++?+ 协方差函数为：(,)(,)()()99B s t R s t m s m t st =-?=+ （3）相关系数： 2222 (,)991 (,)()()999911 B s t st st s t D s D t s t s t ρρ++== == ?+?++?+ )(t X 的二维概率密度函数为： 22112222222(22)(22)(22)(22)1292(1)9(1)4(1)11,122 2 2 1 (,)18111x s x s x t x t s t s t s t f x x e s t ρρπρ ????---------?? -+????-++????+?+???? = ??+?+?- 2、（12分）某商店8时开始营业，在8时顾客平均到达率为每小时4人，在12时顾客的 平均到达率线性增长到最高峰每小时80人，从12时到15时顾客平均到达率维持不变为每小时80人。问在10:00—14:00之间无顾客到达商店的概率是多少？在10:00—14:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多少？ 解： 到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。 将8时至15时平移到0—7时，则顾客的到达速率函数为： 419,04 ()80,47t t t t λ+≤≤?=? <≤? 在10:00—14:00之间到达商店顾客数(6)(2)X X -服从泊松分布，其均值： 6 4 6 2 2 4 (6)(2)()(419)80282m m t dt t dt dt λ-==++=??? 1、设随机过程 X (t) R t C ， t (0, ) ， C 为常数， R 服从 [0, 1] 区间上的均匀分布。 （1）求 X (t) （2）求 X (t) 的一维概率密度和一维分布函数； 的均值函数、相关函数和协方差函数。 2、设 W(t ), t 是参数为 2 的维纳过程， R ~ N (1,4) 是正态分布随机变量； 且对任意的 t ， W (t ) 与 R 均独立。令 X (t ) W (t ) R ，求随机过程 X (t ), t 的均值函数、相关函数和协方差函 数。 3、设到达某商场的顾客人数是一个泊松过程，平均每小时有 180 人，即 180 ；且每 个 顾客的消费额是服从参数为 s 的指数分布。 求一天内（8 个小时）商场营业额的数学期望与方差。 4、设马尔可夫链的转移概率矩阵为： 0.3 0.7 0 P 0 0.2 0.8 0.7 0.3 （1）求两步转移概率矩阵 P (2) 及当初始分布为 P{ X 0 1} 1, P{X 0 2} P{X 0 3} 0 时，经两步转移后处于状态 2 的概 率。 （ 2）求马尔可夫链的平稳分布。 5 设马尔可夫链的状态空 间 I {1,2,3,4,5} ，转移概率矩阵为： 0.3 0.4 0.3 0 0 0.6 0.4 0 0 0 P0 1 0 0 0 0 0 0.3 0.7 0 0 1 求状态的分类、各常返闭集的平稳分布及各状态的平均返回时间。 6、设 N (t ), t 0 是参数为 的泊松过程，计算 E N (t) N (t s) 。 7、考虑一个从底层启动上升的电梯。以 N i 记在 i 第层进入电梯的人数。假定 N i 相互独立， 且 N i 是均值为 i 的泊松变量。在第 i 层进入的各个人相互独立地以概率 p ij 在第 j 层离开电 梯， p ij 1 。令 O j ＝在第 j 层离开电梯的人数。 j i 中国科学技术大学期末考试题 考试科目：随机过程（B ） 得分： 学生所在系： 姓名： 学号： （2018年1月9日，半开卷） 一、( 20分) 判断是非与填空： （1）（每空2分）设{,0}n X X =≥为一不可约、有限（N 个）状态的马氏链，且其转移概率矩阵P 为双随机的（行和与列和均为1），则： .a X 的平稳分布不一定存在 ( ) ； .b X 的平稳分布存在但不必唯一( ) ； X c .的平稳分布为)...111N N N ，，，（（ ）； .d X 的极限分布为：)...111N N N ，，，（（ ） 。 （2）（每空3分）设公路上某观察站红、黄、蓝三种颜色的汽车到达数分别是强度为2、3和5（辆/分钟）的泊松过程。则： .a 第一辆车到达的平均时间为( ) ； .b 红车首先到达的概率为 ( ) ； .c 在第一辆红车到达之前恰好到达k 辆非红车的概率为（ ） 。 （3）（3分）有关某种商品的销售状况共有24个季度的连续数据 ( 1—畅销，0—滞销 )： ，，1,1,1,0,1,0,1,1,0,0,1,10,1,0,1,1,1,0,0,1,0,1,1 若该商品销售状况满足齐次马氏链，则据以上数据可估计出该马氏链的转移概率矩阵P 为（ ）。 二、（15分）设到达某计数器的脉冲数}0),({≥t t N 是一速率为λ的泊松过程，每个脉冲被记录的概率均为 p ，且各脉冲是否被记录是相互独立的。现以)(1t N 表示被记录的脉冲数，试求)(1t N 的矩母函数)()(1v g t N 以及)(1t EN ,)]([1t N Var 和))(),((11t N s N Cov 。 三、（20分）设马氏链}0,{≥n X n 的转移概率矩阵为： ????? ??=323132313231000321P （1）设30=X ，试求：)3,2,1(},{)2(},{1 21=====i i X P i X P i i ππ）（，并求： )(1X E 和)(2X E ；随机过程试题带答案
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