经典不等式(讲义)

经典不等式（讲义）

知识点睛

一、 绝对值三角不等式

定理1：若a ，b 为实数，则|a +b |≤|a |+|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 几何背景：用向量a ，b 分别替换a ，b 时，可得|a +b |≤

|a |+|b |，

当且仅当a ，b 同向时，等号成立．

几何意义：三角形两边之和大于第三边．

定理推广：

若a ，b 为实数，则||||||||||||a b a b a b a b ----+≤≤≤．

定理2：若a ，b ，c 为实数，则|a -c |≤|a -b |+|b -c |，当且仅当

(a -b )(b -c )≥0时，等号成立．

应用要领：

“一变”：对所求式子进行变形（拆项、重组、改变符号等），在形式上确定a ，b ；

“二定”：应用绝对值三角不等式，使其出现定值；

“三相等”：务必验证等号能否取到．

二、 基本不等式

定理1：若a ，b ∈R ，则222a b ab +≥，当且仅当a =b 时，等号成立．

常见变形：若a ，b ∈R ，则222()22a b a b ab ++≥≥，当且仅当 a =b 时，等号成立．

定理2（基本不等式）：若a ，b >0

，则

2

a b +，当且仅当 a =b 时，等号成立． （1）常见变形：若a >0，b >0

，则2

a b + 当且仅当a =b 时，等号成立．

（2）若a ，b >0，则2

a b +为a ，b

a ，

b 的几何平均数．

定理表述：两个正数的算术平均不小于它们的几何平均．

（3）应用要领：

“一正”：各项均是正数；

“二定”：和或者积是定值；

“三相等”：务必验证等号能否取到．

定理3：若a ，b ，c >0

，则3

a b c ++，当且仅当a =b =c 时，等号成立．

（1）定理表述：三个正数的算术平均不小于它们的几何平均．

（2）推广：对于n 个正数a 1，a 2，a 3，…，a n ，它们的算术平均不小于它们

的几何平均，即12n a a a n

+++…123n a a a a ====…时，等号成立．

三、 柯西不等式

定理1：(二维形式的柯西不等式)

若a ，b ，c ，d 都是实数，则22222()()()a b c d ac bd +++≥，当且仅当ad =bc 时，等号成立．

应用要领：

“一变”：对所求式子进行变形（拆项、重组等），使之形式上符合左边或右边；

“二定”：应用柯西不等式，使其出现定值；

“三相等”：务必验证等号能否取到．

定理2：(柯西不等式的向量形式)

若α，β是两个向量，则||||||αβαβ?≤，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α=k β时，等号成立．

定理3：(二维形式的三角不等式)若x 1，x 2，y 1，y 2∈R ，则

．

定理4：(一般形式的柯西不等式)

设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则

222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++++++≥………，

当且仅当b i =0（i =1，2，…，n ）或存在实数k ，使得a i =kb i （i =1，2，…，n ）时，等号成立．

柯西不等式的常用结构：

①22222221212()(111)()n n a a a a a a +++++++++≥……… ②222221222212111()()(111)n n

a a a n a a a +++++++++=≥………

精讲精练

1. 对?x ，y ∈R ，|1||||1||1|x x y y -++-++的最小值为_______．

2. 以下三个命题：

①若||1a b -<，则||||1a b <+；

②若 R a b ∈，，则||2||||a b a a b +--≤； ③|||22|x y x y +-++≤．

其中，正确命题的序号是____________．

3. 已知关于x 的不等式|1||2|x x a +--<．

（1）若该不等式有实数解，则实数a 的取值范围为

_______

_______________________．

（2）若该不等式对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范

围为_____________________________．

4. 已知||2m

A a -<，||2m

B b -<，求证：

（1）|()()|A B a b m +-+<；

（2）3|(2)(2)|2m

A B a b ---<．

5. 若a >0，b >0，且a +b =2，则下列不等式对一切满足条件的 a b ，恒成立的是

___________（写出所有正确命题的编号）．

①ab ≤1222a b +≥；④333a b +≥； ⑤

112a b

+≥．

6. 已知x y +∈，R ，18

xy =． （1）2x y +的最小值为_______．

（2）2x y --的最大值为___________．

（3）若 0m n >，，则mx ny +的最小值为________．

7. 已知x y +∈，R ，41x y +=．

（1）xy 的最大值为__________，此时x =______，y =_______．

（2）2xy -的最小值为__________．

（3）若0m >，则mxy 的最大值为________．

8. 已知x >0，y >0，231x y

+=． （1）x y +的最小值为_______，此时x =______，y =_______．

（2）2x y --的最大值为____________．

（3）若 0m n >，，则mx ny +的最小值为___________．

，，是不全相等的正数，求证：

9.设a b c

++>

（1）a b c

（2）222

++++>．

a b c a b c abc

()()9

10.已知342

+=．

x y

（1）22

+的最小值是______，此时x=______，y=_____．x y

（2）22

+的最小值是________．

x y

916

（3）若0

mn≠，则2222

+的最小值是_________．

m x n y

11. 已知224936x y +=．

（1）2x y +的最大值是_______．

（2）34x y -的最大值是_______．

（3）若0mn ≠，则mx ny +的最大值是________．

12. 函数y =______，此时x =_____．

13. 设 a b +∈，R ，1a b +=，求证：411a b

+≥．

14. 若 a b c +∈，，R ，且111123a b c

++=，求证：923a b c ++≥．

15. 已知222222121211 n n a a a x x x +++=+++=…，…，

求证：11221n n a x a x a x +++≤…．

回顾与思考

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【参考答案】

1. 3

2. ①②③

3. （1）( 3 )-+∞，；（2）(3 )+∞，

4. 略

5. ①③⑤

6. （1）1；（2）-1；（3

7. （1）116 12 18；（2）18-；（3）16

m

8. （1）5+ 2 3+；（2）8--

（3）23m n ++ 9. 略

10. （1）425

625 825；（2）2；（3）22224169m n m n +

11. （1）5；（23

12.，127 27

13.略

14.略

15.略