基本不等式全题型
题型1 基本不等式正用a ＋b ≥2ab
例1：(1)函数f (x )＝x ＋1x (x >0)值域为________；函数f (x )＝x ＋1
x
(x ∈R )值域为________；
(2)函数f (x )＝x 2
＋
1
x 2
＋1
的值域为________． 解析：(1)∵x >0，x ＋1
x
≥2
x ·1
x
＝2，∴f (x )(x >0)值域为[2，＋∞)； 当x ∈R 时，f (x )值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞)； (2)x 2
＋
1x 2
＋1＝(x 2
＋1)＋1x 2＋1
－1≥2x 2＋
1
x 2
＋1
－1＝1，当且仅当 x ＝0 时等号成立． 答案：(1)[2，＋∞) (－∞，－2]∪[2，＋∞) (2)[1，＋∞)
4．(2013·镇江期中)若x >1，则x ＋4
x －1
的最小值为________．
解析：x ＋
4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5.当且仅当x －1＝4x －1
，即x ＝3时等号成立．答案：5 [例1] (1)已知x ＜0，则f (x )＝2＋4
x
＋x 的最大值为________．
(1)∵x ＜0，∴－x ＞0，∴f (x )＝2＋4x ＋x ＝2－????
??4
－x ＋
－x .∵－4x ＋(－x )≥24＝4，当且仅当－x ＝4
－x ，即x
＝－2时等号成立．∴f (x )＝2－????
?
?4－x ＋－x ≤2－4＝－2，∴f (x )的最大值为－2.
例：当x ＞0时，则f (x )＝
2x
x 2
＋1的最大值为________． 解析：(1)∵x ＞0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋
1x
≤22＝1，当且仅当x ＝1
x
，即x ＝1时取等号．
3．函数y ＝x 2＋2
x －1
(x >1)的最小值是________．
解析：∵x >1，∴x －1>0.∴y ＝x 2＋2x －1＝x 2－2x ＋2x ＋2x －1＝
x 2－2x ＋1＋x －
＋3x －1
＝
x －2
＋x －＋3
x －1
＝x －
1＋
3
x －1
＋2≥2 x －
3x －1＋2＝23＋2.当且仅当x －1＝3x －1
，即x ＝1＋3时，取等号．答案：23＋2 10．已知x ＞0，a 为大于2x 的常数，求y ＝1
a －2x
－x 的最小值． 解：y ＝
1a －2x ＋a －2x 2－a 2
≥2 12－a 2＝2－a 2.当且仅当x ＝a －22时取等号．故y ＝1a －2x －x 的最小值为2－a
2
. 题型2 基本不等式反用ab ≤
a ＋b
2
例：(1)函数f (x )＝x (1－x )(0 解析：(1)∵0 ????x ＋－x 22＝14，∴f (x ) 值域为? ?? ??0，14. (2)∵0 ??0，18. 答案：(1)? ????0，14 (2)? ?? ??0，18 3．(教材习题改编)已知0 解析：由x (3－3x )＝13×3x (3－3x )≤13×94＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时等号成立．答案：1 2 3．函数y ＝x 1－x 2 的最大值为________． 解析：x 1－x 2＝x 2－x 2 ≤x 2＋－x 22＝12 . 4．已知0 A.13 B.12 C.34 D.23 解析 ∵0 .当x ＝1－x ，即x ＝12时取等号．答案 B 10．已知x ＞0，a 为大于2x 的常数，求函数y ＝x (a －2x )的最大值； 解：∵x ＞0，a ＞2x ，∴y ＝x (a －2x )＝12×2x (a －2x )≤12×??????2x ＋a －2x 22＝a 2 8 ，当且仅当x ＝a 4时取等号，故函数的最大值为a 2 8 . 题型三：利用基本不等式求最值 2．已知t >0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 解析 ∵t >0，∴y ＝t 2－4t ＋1t ＝t ＋1t －4≥2－4＝－2，且在t ＝1时取等号．答案 －2 例：当x >0时，则f (x )＝2x x 2＋1的最大值为________． 解析：∵x >0，∴f (x )＝2x x 2＋1＝2x ＋1x ≤22＝1，当且仅当x ＝1 x ，即x ＝1时取等号． 例1：(1)求函数f (x )＝1x －3＋x (x ＞3)的最小值；(2)求函数f (x )＝x 2－3x ＋1 x －3 (x ＞3)的最小值； 思维突破：(1)“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值．(2)“拆项”，把函数式变为y ＝M ＋ a M 的形式． (1)∵x ＞3，∴x －3＞0.∴f (x )＝1 x －3 ＋(x －3)＋3≥21x －3 x －＋3＝5.当且仅当 1 x －3 ＝x －3，即x ＝4时取等号，∴f (x )的最小值是5. (2)令x －3＝t ，则x ＝t ＋3，且t ＞0.∴f (x )＝ t ＋ 2 －t ＋＋1t ＝t ＋1 t ＋3≥2 t ·1 t ＋3＝5. 当且仅当t ＝1 t ，即t ＝1时取等号，此时x ＝4，∴当x ＝4时，f (x )有最小值为5. 技巧总结：当式子不具备“定值”条件时，常通过“添项”达到目的；形如y ＝cx 2＋dx ＋f ax ＋b (a ≠0，c ≠0)的函数， 一般可通过配凑或变量替换等价变形化为y ＝t ＋p t (p 为常数)型函数，要注意t 的取值范围； 例：设x >－1，求函数y ＝x ＋ 4 x ＋1 ＋6的最小值； 解：∵x >－1，∴x ＋1>0.∴y ＝x ＋ 4x ＋1＋6＝x ＋1＋4x ＋1 ＋5≥2x ＋ 4x ＋1＋5＝9，当且仅当x ＋1＝4 x ＋1 ，即x ＝1时，取等号．∴当x ＝1时，函数y 的最小值是9. 1．若x >0，y >0，且x ＋y ＝18，则xy 的最大值是________． 解析 由于x >0，y >0，则x ＋y ≥2xy ，所以xy ≤? ?? ??x ＋y 22＝81，当且仅当x ＝y ＝9时，xy 取到最大值81. 答案 81 5．已知x ，y ∈R ＋ ，且满足x 3＋y 4 ＝1，则xy 的最大值为_______________． 解析 ∵x >0，y >0且1＝x 3＋y 4≥2xy 12，∴xy ≤3.当且仅当x 3＝y 4 时取等号．答案 3 6．(2013·大连期中)已知x ，y 为正实数，且满足4x ＋3y ＝12，则xy 的最大值为________． 解析：∵12＝4x ＋3y ≥24x ×3y ，∴xy ≤3.当且仅当? ?? ?? 4x ＝3y ， 4x ＋3y ＝12，即????? x ＝32， y ＝2 时xy 取得最大值3.答案：3 2．已知m >0，n >0，且mn ＝81，则m ＋n 的最小值为________． 解析：∵m >0，n >0，∴m ＋n ≥2mn ＝18.当且仅当m ＝n ＝9时，等号成立．答案：18 5．已知x ＞0，y ＞0，lg x ＋lg y ＝1，则z ＝2x ＋5 y 的最小值为________． 解析：由已知条件lg x ＋lg y ＝1，可得xy ＝10.则2x ＋5 y ≥2 10xy ＝2，故? ?? ??2x ＋5y min ＝2，当且仅当2y ＝5x 时取等号．又 xy ＝10，即x ＝2，y ＝5时等号成立．答案：2 (2012·天津高考)已知log 2a ＋log 2b ≥1，则3a ＋9b 的最小值为________． 解析：由log 2a ＋log 2b ≥1得log 2(ab )≥1，即ab ≥2，∴3a ＋9b ＝3a ＋32b ≥2×3 a ＋2 b 2 (当且仅当3a ＝32b ，即a ＝2b 时取 等号)．∵a ＋2b ≥22ab ≥4(当且仅当a ＝2b 时取等号)，∴3a ＋9b ≥2×32 ＝18.即当a ＝2b 时，3a ＋9b 有最小值18. 3．设x ，y ∈R ，a >1，b >1，若a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝23，则1x ＋1y 的最大值为 ( ) A ．2 B.32 C ．1 D.1 2 解析 由a x ＝b y ＝3，得：x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a >1，b >1知x >0，y >0，1x ＋1y ＝log 3a ＋log 3b ＝log 3ab ≤log 3? ?? ??a ＋b 22 ＝1，当且仅当a ＝b ＝3时“＝”成立，则1x ＋1y 的最大值 为1. 答案 C 6．(2011·湖南)设x ，y ∈R ，且xy ≠0，则? ????x 2＋1y 2·? ?? ??1 x 2＋4y 2的最小值为________． 解析 ? ????x 2＋1y 2? ?? ??1x 2＋4y 2＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2 ≥5＋2 1 x 2y 2 ·4x 2y 2＝9，当且仅当x 2y 2 ＝12时“＝”成立．答案 9 例：若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，求xy 的最小值． 解：∵x ＞0，y ＞0，则5xy ＝x ＋3y ≥2x ·3y ，∴xy ≥1225，当且仅当x ＝3y 时取等号．∴xy 的最小值为12 25. 4．若正实数x ，y 满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________． 答案 18 解析 由x >0，y >0,2x ＋y ＋6＝xy ，得 xy ≥22xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)， 即(xy )2 －22xy －6≥0， ∴(xy －32)·(xy ＋2)≥0. 又∵xy >0，∴xy ≥32，即xy ≥18. ∴xy 的最小值为18. 例：已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是 ( ) A ．3 B ．4 C.92 D.11 2 解析 依题意，得(x ＋1)(2y ＋1)＝9， ∴(x ＋1)＋(2y ＋1)≥2 x ＋y ＋ ＝6， 即x ＋2y ≥4. 当且仅当? ?? ?? x ＋1＝2y ＋1， x ＋2y ＋2xy ＝8，即? ?? ?? x ＝2， y ＝1时等号成立． ∴x ＋2y 的最小值是4. 3．若x ，y ∈(0，＋∞)，x ＋2y ＋xy ＝30. (1)求xy 的取值范围； (2)求x ＋y 的取值范围． 解：由x ＋2y ＋xy ＝30，(2＋x )y ＝30－x ， 则2＋x ≠0，y ＝30－x 2＋x ＞0,0＜x ＜30. (1)xy ＝－x 2 ＋30x x ＋2 ＝－x 2 －2x ＋32x ＋64－64x ＋2 ＝－x －64 x ＋2 ＋32 ＝－? ? ?? ?? x ＋ ＋ 64x ＋2＋34≤18，当且仅当x ＝6时取等号， 因此xy 的取值范围是(0,18]． (2)x ＋y ＝x ＋30－x 2＋x ＝x ＋32 x ＋2 －1 ＝x ＋2＋32 x ＋2－3≥82－3，当且仅当?? ? x ＝42－2，y ＝42－1 时，等号成立，又x ＋y ＝x ＋2＋ 32 x ＋2 －3＜30，因此x ＋y 的取值范围是[82－3,30)． 例：已知a >b >0，则a 2 ＋ 16 b a －b 的最小值是________． 解析：∵a >b >0，∴b (a －b )≤? ????b ＋a －b 22＝a 24， 当且仅当a ＝2b 时等号成立． ∴a 2＋16b a －b ≥a 2 ＋16a 24＝a 2＋64a 2 ≥2 a 2·64 a 2＝16，当且仅当a ＝22时等号成立． ∴当a ＝22，b ＝2时，a 2 ＋ 16 b a －b 取得最小值16. 8．设x ，y ，z 为正实数，满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2 xz 的最小值是________． 解析：由已知条件可得y ＝ x ＋3z 2 ， 所以y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz ＝14? ????x z ＋9z x ＋6 ≥14? ?? ?? 2 x z ×9z x ＋6＝3， 当且仅当x ＝y ＝3z 时，y 2 xz 取得最小值3. 答案：3 例：已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________． 解析：由x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ≥22xy ，得xy ≥8，于是由m －2≤xy 恒成立，得m －2≤8，即m ≤10.故m 的最大值为10. 1．已知正数x ，y 满足x ＋22xy ≤λ(x ＋y )恒成立，则实数λ的最小值为________． 解析：依题意得x ＋22xy ≤x ＋(x ＋2y )＝2(x ＋y )，即x ＋22xy x ＋y ≤2(当且仅当x ＝2y 时取等号)，即 x ＋22xy x ＋y 的最大值是2；又λ≥ x ＋22xy x ＋y ，因此有λ≥2，即λ的最小值是2. 答案：2 1．已知关于x 的不等式2x ＋2 x －a ≥7在x ∈(a ，＋∞)上恒成立，则实数a 的最小值为________． 解析：因为x >a ，所以2x ＋2x －a ＝2(x －a )＋2x －a ＋2a ≥2x －a 2 x －a ＋2a ＝2a ＋4，即2a ＋4≥7，所以a ≥32，即a 的最小值为32 . 答案：32 5．圆x 2 ＋y 2 ＋2x －4y ＋1＝0关于直线2ax －by ＋2＝0 (a ，b ∈R )对称，则ab 的取值范围是 ( ) A.? ????－∞，14 B.? ?? ??0，14 C.? ?? ??－14，0 D.? ????－∞，14 答案 A 解析 由题可知直线2ax －by ＋2＝0过圆心(－1,2)，故可得a ＋b ＝1，又因ab ≤? ??? ?a ＋b 22＝14 (a ＝b 时取等号)． 故ab 的取值范围是? ????－∞，14. 典例：(12分)已知a 、b 均为正实数，且a ＋b ＝1，求y ＝? ????a ＋1a ? ?? ??b ＋1b 的最小值． 易错分析 在求最值时两次使用基本不等式，其中的等号不能同时成立，导致最小值不能取到． 审题视角 (1)求函数最值问题，可以考虑利用基本不等式，但是利用基本不等式，必须保证“正、定、等”，而且还要符合已知条件．(2)可以考虑利用函数的单调性，但要注意变量的取值范围． 规范解答 解 方法一 y ＝? ????a ＋1a ? ?? ??b ＋1b ＝? ????ab ＋1ab ＋? ????b a ＋a b ≥? ????ab ＋1ab ＋2 ＝? ????ab ＋1ab 2＝? ?? ??4ab ＋1ab －3ab 2 ≥? ? ???24ab ·1ab －3×a ＋b 22＝? ????4－322＝254.[10分] 当且仅当a ＝b ＝12时，y ＝? ????a ＋1a ? ?? ??b ＋1b 取最小值，最小值为254.[12分] 方法二 y ＝? ????a ＋1a ? ????b ＋1b ＝ab ＋1ab ＋a b ＋b a ＝ab ＋1 ab ＋a 2＋b 2ab ＝ab ＋1ab ＋a ＋b 2－2ab ab ＝2 ab ＋ab －2.[8分] 令t ＝ab ≤? ????a ＋b 22＝14，即t ∈? ????0，14. 又f (t )＝2t ＋t 在? ?? ??0，14上是单调递减的，[10分] ∴当t ＝14时，f (t )min ＝334，此时，a ＝b ＝1 2. ∴当a ＝b ＝12时，y 有最小值25 4 .[12分] 温馨提醒 (1)这类题目考生总感到比较容易下手．但是解这类题目却又常常出错．(2)利用基本不等式求最值，一定要注意应用条件：即一正、二定、三相等．否则求解时会出现等号成立、条件不具备而出错．(3)本题出错的原因前面已分析，关键是忽略了等号成立的条件. 方法与技巧 1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常常用于比较数(式)的大小或证明不等式，解决问题的关键是分析不等式两边的结构特点，选择好利用基本不等式的切入点． 2．恒等变形：为了利用基本不等式，有时对给定的代数式要进行适当变形．比如： (1)当x >2时，x ＋1x －2＝(x －2)＋1 x －2 ＋2≥2＋2＝4. (2)0 3(3x )(8－3x ) ≤13? ????3x ＋8－3x 22＝163. 失误与防范 1．使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可． 2．在运用重要不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足重要不等式中“正”“定”“等”的条件． 3．连续使用公式时取等号的条件很严格，要求同时满足任何一次的字母取值存在且一致． 题型四：利用基本不等式整体换元 例2：若正数 a ，b 满足 ab ＝a ＋b ＋3，求 ab 及 a ＋b 的取值范围． 思维突破：本题主要考查均值不等式在求最值时的运用，并体现了换元法、构造法等重要思想． 自主解答：方法一：由ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3， 即ab －2ab －3≥0. 即(ab －3)(ab ＋1)≥0. ∵ab ≥0，∴ab ＋1≥1. 故ab －3≥0，∴ab ≥9. 当且仅当a ＝b ＝3时取等号． 又∵ab ≤ a ＋b 2 ，∴ab ＝a ＋b ＋3≤? ?? ??a ＋b 22. 当且仅当a ＝b ＝3时取等号． 即(a ＋b )2 －4()a ＋b －12≥0， (a ＋b －6)(a ＋b ＋2)≥0. ∵a ＋b ＋2＞0，有a ＋b －6≥0，即a ＋b ≥6. ∴a ＋b 的取值范围是[6，＋∞)． 方法二：由ab ＝a ＋b ＋3，则b ＝ a ＋3 a －1 . ab ＝a ＋4a a －1＝a ＋4＋4a －1＝a －1＋4 a －1＋5 ≥2 a － 4 a －1 ＋5＝9， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号． ∴ab 的取值范围是[9，＋∞)． 由ab ＝a ＋b ＋3，得b ＝ a ＋3 a －1 ， a ＋b ＝a ＋a ＋3a －1＝a ＋1＋4a －1＝(a －1)＋4 a －1 ＋2 ≥2 ()a －1· 4 a －1 ＋2＝6， 当且仅当a ＝b ＝3时取等号． ∴a ＋b 的取值范围是[6，＋∞)． 技巧总结：整体思想是分析这类题目的突破口，即a ＋b 与ab 分别是统一的整体，把a ＋b 转换成ab 或把ab 转换成a ＋b . 例3：已知正数a ，b 满足a ＋2b ＝1，则1a ＋1 b 的最小值是____． 试解：1a ＋1b ＝a ＋2b a ＋a ＋2b b ＝3＋2b a ＋a b ≥3＋2 2b a ·a b ＝3＋2 2. 易错点评：多次利用基本不等式解题，没有考虑等号能否同时成立。 在解题过程中先后两次用到了重要不等式，第一次等号成立的条件是“当且仅当 a ＝2b 时”；而第二次等号成立的条件是“当且仅当1a ＝1b 时”；这显然不可能同时成立，因此等号取不到． 3．已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋2 y 的最小值是_________． 答案 8 解析 因为1x ＋2y ＝(2x ＋y )? ?? ??1x ＋2y ＝4＋y x ＋4x y ≥4＋2 y x ·4x y ＝8，等号当且仅当y ＝12，x ＝1 4 时成立． 例：已知x >0，y >0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； 解析 ∵x >0，y >0，且2x ＋y ＝1， ∴1x ＋1y ＝2x ＋y x ＋2x ＋y y ＝3＋y x ＋2x y ≥3＋2 2. 当且仅当y x ＝2x y 时，取等号． 例：已知x ＞0，y ＞0，且9x ＋1 y ＝1，求x ＋y 的最小值． 思维突破：“整体代换”，将1用9x ＋1y 代替，则x ＋y ＝(x ＋y )? ?? ??9x ＋1y ，再化简，用基本不等式求解． 解析：∵9x ＋1 y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )? ?? ??9x ＋1y ＝10＋9y x ＋x y ≥10＋2 9y x ·x y ＝16. 当且仅当9y x ＝x y 且9x ＋1 y ＝1，即x ＝12，y ＝4时取等号． ∴当x ＝12，y ＝4时，x ＋y 有最小值为16. 总结：已知条件与“1”有关，常利用“1”进行整体代换，转化为能使积为定值的形式． 例：已知x ，y 为正实数，且1x ＋16 y ＝1，求x ＋y 的最小值． 解析：∵1x ＋16 y ＝1， ∴x ＋y ＝(x ＋y )·? ?? ??1x ＋16y ＝17＋16x y ＋y x ≥17＋2 16x y ·y x ＝25. 当且仅当16x y ＝y x 且1x ＋16 y ＝1时，等号成立． ∴x ＝5，y ＝20时，x ＋y 有最小值25. 4．(2012·浙江)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.28 5 C ．5 D ． 6 答案 C 解析 ∵x >0，y >0，由x ＋3y ＝5xy 得15? ?? ?? 1y ＋3x ＝1. ∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )? ?? ??1y ＋3x ＝15? ????3x y ＋4＋9＋12y x ＝135＋15? ????3x y ＋12y x ≥135＋15×2 3x y ·12y x ＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号)，∴3x ＋4y 的最小值为5. 11．(2013·泉州模拟)正数x ，y 满足1x ＋9 y ＝1. (1)求xy 的最小值； (2)求x ＋2y 的最小值． 解：(1)由1＝1x ＋9 y ≥2 1x ·9y 得xy ≥36，当且仅当1x ＝9 y ，即y ＝9x ＝18时取等号，故xy 的最小值为36. (2)由题意可得x ＋2y ＝(x ＋2y )? ?? ??1x ＋9y ＝19＋2y x ＋9x y ≥19＋2 2y x ·9x y ＝19＋62，当且仅当2y x ＝9x y ，即9x 2 ＝2y 2 时取等号，故x ＋2y 的最小值为19＋6 2. 3．函数y ＝log a (x ＋3)－1 (a >0，且a ≠1)的图像恒过定点A ，若点A 在直线mx ＋ny ＋1＝0上，其中m ，n 均大于 0，则1m ＋2 n 的最小值为 ( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 答案 C 解析 点A (－2，－1)，所以2m ＋n ＝1. 所以1m ＋2n ＝(2m ＋n )? ????1m ＋2n ＝4＋n m ＋4m n ≥8，当且仅当n ＝2m ，即m ＝14，n ＝12时等号 成立． [典例] (2011·重庆高考)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4 b 的最小值是________． [尝试解题] ∵a ＋b ＝2，∴a ＋b 2 ＝1. ∴1a ＋4b ＝? ????1a ＋4b ? ????a ＋b 2 ＝52＋? ????2a b ＋b 2a ≥52 ＋2 2a b ·b 2a ＝92? ????当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，等号成立. 故y ＝1a ＋4b 的最小值为9 2. [答案] 92 ——————[易错提醒]—————————————————————————— 解答本题易两次利用基本不等式，如： ∵a >0，b >0，a ＋b ＝2，∴ab ≤2 ()4 a b ＋＝1. 又y ＝\f(1,a )＋\f(4,b )≥2 4ab ＝41ab ， 又ab ≤1，∴y ≥4 1 1 ＝4. 但它们成立的条件不同，一个是a ＝b ，另一个是b ＝4a .这显然是不能同时成立的，故不正确. 使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视.要利用基本不 等式求最值，这三个条件缺一不可. 在运用基本不等式时，还要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中 “正”“定”“等”的条件. 题型五：利用基本不等式证明简单不等式 例3：已知正数a ，b 满足a ＋b ＝1，求证： (1)ab ≤14； (2)a 2＋b 2 ≥12； (3)1a ＋1b ≥4；(4)? ????1＋1a ? ?? ??1＋1b ≥9. (5)1a ＋1b ＋1 ab ≥8； 思维突破：本题在考查均值定理等号何时成立的同时，也考查到形如“f (x )＝x ＋1 x ”函数的单调性． 自主解答：(1)∵ab ≤a ＋b 2＝1 2，∴ab ≤1 4 . (2)∵ a 2＋ b 22 ≥ a ＋ b 2＝1 2，∴a 2＋b 2 ≥12 . (3)方法一：1a ＋1b ＝(a ＋b )? ?? ??1a ＋1b ≥2ab ·2 1 ab ＝4. 方法二：1a ＋1b ＝(a ＋b )? ?? ??1a ＋1b ＝1＋b a ＋a b ＋1≥2＋2 b a ·a b ＝4. 方法三：1a ＋1 b ≥2 1a ·1b ≥24＝4? ????∵ab ≤14. （4）? ????1＋1a ? ????1＋1b ＝1ab ＋1a ＋1 b ＋1≥9. 方法一 ∵a >0，b >0，a ＋b ＝1， ∴1＋1a ＝1＋a ＋b a ＝2＋b a ， 同理，1＋1b ＝2＋a b ， ∴? ????1＋1a ? ????1＋1b ＝? ????2＋b a ? ?? ??2＋a b ＝5＋2? ?? ??b a ＋a b ≥5＋4＝9. ∴? ????1＋1a ? ?? ??1＋1b ≥9(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立)． 方法二 ? ????1＋1a ? ?? ??1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab . 由(5)知，1a ＋1b ＋1 ab ≥8， 故? ????1＋1a ? ?? ??1＋1b ＝1＋1a ＋1b ＋1ab ≥9. (5)1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2? ?? ??1a ＋1b ， ∵a ＋b ＝1，a >0，b >0， ∴1a ＋1b ＝a ＋b a ＋a ＋b b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2＝4， ∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝1 2时等号成立)． 例1 已知x >0，y >0，z >0. 求证：? ????y x ＋z x ? ????x y ＋z y ? ?? ??x z ＋y z ≥8. 思维启迪：由题意，先局部运用基本不等式，再利用不等式的性质即可得证． 证明 ∵x >0，y >0，z >0，∴y x ＋z x ≥2yz x >0，x y ＋z y ≥2xz y >0， x z ＋y z ≥2xy z >0， ∴? ????y x ＋z x ? ????x y ＋z y ? ????x z ＋y z ≥8yz ·xz ·xy xyz ＝8. 当且仅当x ＝y ＝z 时等号成立． 探究提高 利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化为需证问题． 已知a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1. 求证：1a ＋1b ＋1 c ≥9. 证明 ∵a >0，b >0，c >0，且a ＋b ＋c ＝1， ∴1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c ＝3＋b a ＋c a ＋a b ＋c b ＋a c ＋b c ＝3＋? ????b a ＋a b ＋? ????c a ＋a c ＋? ?? ??c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2 ＝9，当且仅当a ＝b ＝c ＝1 3时，取等号． 题型六：基本不等式的实际应用 例3 某单位建造一间地面面积为12 m 2 的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房子侧面的长度x 不得超 过5 m ．房屋正面的造价为400元/m 2 ，房屋侧面的造价为 150元/m 2 ，屋顶和地面的造价费用合计为5 800元，如果墙高为3 m ，且不计房屋背面的费用．当侧面的长度为多少时，总造价最低？ 思维启迪：用长度x 表示出造价，利用基本不等式求最值即可．还应注意定义域0 解 由题意可得，造价y ＝3(2x ×150＋12 x ×400)＋5 800 ＝900? ?? ??x ＋16x ＋5 800 (0 则y ＝900? ?? ??x ＋16x ＋5 800 ≥900×2 x ×16 x ＋5 800＝ 13 000(元)， 当且仅当x ＝16 x ，即x ＝4时取等号． 故当侧面的长度为4米时，总造价最低． (2011·北京)某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x 件，则平均 仓储时间为x 8天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最 小，每批应生产产品 ( ) A ．60件 B ．80件 C ．100件 D ．120件 答案 B 解析 设每件产品的平均费用为y 元，由题意得 y ＝800x ＋x 8≥2800x ·x 8 ＝20. 当且仅当800x ＝x 8(x >0)，即x ＝80时“＝”成立，故选B. 9．(12分)为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2 m 的无 盖长方体沉淀箱(如图所示)，污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔 流出，设箱的底长为a m ，高度为b m ．已知流出的水中该杂质 的质量分别与a ，b 的乘积成反比，现有制箱材料60 m 2 .问：当a ， b 各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A ，B 孔的面积忽略不计)? 解 方法一 设y 为流出的水中该杂质的质量分数， 则y ＝k ab ，其中k >0为比例系数，依题意，求使y 值最小的a ，b 的值． 根据题设，有4b ＋2ab ＋2a ＝60 (a >0，b >0)， 解得b ＝30－a 2＋a (0 于是y ＝k ab ＝k 30a －a 22＋a ＝k －a ＋32－ 64 a ＋2 ＝ k 34－? ?? ??a ＋2＋ 64a ＋2 ≥k 34－2 a ＋ 64a ＋2 ＝k 18， 当且仅当a ＋2＝ 64 a ＋2 时等号成立，y 取得最小值． 这时a ＝6或a ＝－10(舍)，将其代入①式，得b ＝3. 故当a 为6 m ，b 为3 m 时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 方法二 依题意，求使ab 值最大的a ，b 的值． 由题设，知4b ＋2ab ＋2a ＝60 (a >0，b >0)， 即a ＋2b ＋ab ＝30 (a >0，b >0)． 因为a ＋2b ≥22ab ，所以22·ab ＋ ab ≤30， 当且仅当a ＝2b 时，上式取等号． 由a >0，b >0，解得0 即当a ＝2b 时，ab 取得最大值，其最大值为18. 所以2b 2 ＝18，解得b ＝3，进而求得a ＝6. 故当a 为6 m ，b 为3 m 时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 7．(13分)甲、乙两地相距s 千米，一船由甲地逆水匀速行驶至乙地，水速为常量p (单位：千米/小时)，船在静水中的最大速度为q 千米/小时(q >p )．已知船每小时的燃料费用(单位：元)与船在静水中的速度v (单位：千米/小时)的平方成正比，比例系数为k . (1)把全程燃料费用y (单位：元)表示为船在静水中的速度v 的函数，并求出这个函数的定义域； (2)为了使全程燃料费用最小，船的实际前进速度应为多少？ 解 (1)由题意，知船每小时的燃料费用是kv 2 ，全程航行时间为s v －p ， 于是全程燃料费用y ＝kv 2 · s v －p (p (2)由(1)，知y ＝kv 2 ·s v －p ＝ks ·v 2－p 2＋p 2v －p ＝ks [v ＋p ＋p 2v －p ]＝ks [v －p ＋p 2 v －p ＋2p ]≥ ks [2v －p p 2v －p ＋2p ]＝4ksp (当且仅当v －p ＝p 2 v －p ，即v ＝2p 时等号成立)． ①当2p ∈(p ，q ]，即2p ≤q 时，y min ＝4ksp ，此时船的前进速度为2p －p ＝p ； ②当2p ?(p ，q ]，即2p >q 时，函数y ＝kv 2 ·s v －p 在(p ，q ]内单调递减，所以y min ＝ks · q 2 q －p ，此时船的前进速 度为q －p . 故为了使全程燃料费用最小，当2p ≤q 时，船的实际前进速度应为p 千米/小时；当2p >q 时，船的实际前进速度应为(q －p )千米/小时． [例2] (2012·江苏高考)如图，建立平面直角坐标系xOy ，x 轴在地平面上，y 轴垂 直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y ＝kx －120(1＋k 2)x 2 (k ＞0)表示的曲线上，其中k 与发射方向有 关．炮的射程是指炮弹 落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a 不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由． [自主解答] (1)令y ＝0，得kx －120(1＋k 2)x 2 ＝0，由实际意义和题设条件知x ＞0，k ＞0， 故x ＝20k 1＋k 2＝ 20k ＋ 1k ≤20 2 ＝10，当且仅当k ＝1时取等号． 所以炮的最大射程为10千米． (2)因为a ＞0，所以炮弹可击中目标?存在k ＞0，使3.2＝ka －120 (1＋k 2)a 2成立?关于k 的方程a 2k 2 －20ak ＋ a 2＋64＝0有正根?判别式Δ＝(－20a )2－4a 2(a 2＋64)≥0?a ≤6.所以当a 不超过6千米时，可击中目标． 2．(2012·福州质检)某种商品原来每件售价为25元，年销售8万件． (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2 000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并 提高定价到x 元．公司拟投入16(x 2－600)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入1 5x 万元作为浮 动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a 至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时每件商品的定价． 解：(1)设每件定价为t 元，依题意，有? ? ? ??8－ t －25 1 ×0.2t ≥25×8， 整理得t 2 －65t ＋1 000≤0，解得25≤t ≤40. 因此要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元． (2)依题意，x ＞25时，不等式ax ≥25×8＋50＋16(x 2－600)＋15x 有解，等价于x ＞25时，a ≥150x ＋16x ＋1 5有解． ∵ 150x ＋1 6 x ≥2 150x ·1 6 x ＝10(当且仅当x ＝30时，等号成立)，∴a ≥10.2. 因此当该商品明年的销售量a 至少应达到10.2万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元． 新课标人教A 版高中数学必修五典题精讲（3.4基本不等式） 典题精讲 例1（1）已知0＜x ＜3 1，求函数y=x(1-3x)的最大值; （2）求函数y=x+ x 1的值域. 思路分析：（1）由极值定理,可知需构造某个和为定值，可考虑把括号内外x 的系数变成互为相反数；（2）中，未指出x ＞0，因而不能直接使用基本不等式，需分x ＞0与x ＜0讨论. （1）解法一：∵0＜x ＜3 1,∴1-3x ＞0. ∴y=x(1-3x)= 3 1·3x(1-3x)≤3 1［ 2) 31(3x x -+］2= 12 1，当且仅当3x=1-3x ，即x= 6 1时，等号成 立.∴x= 6 1时，函数取得最大值 12 1 . 解法二：∵0＜x ＜3 1,∴ 3 1-x ＞0. ∴y=x(1-3x)=3x(3 1-x)≤3［ 23 1x x -+ ］2= 12 1，当且仅当x= 3 1-x,即x= 6 1时，等号成立. ∴x= 6 1时，函数取得最大值12 1. （2）解：当x ＞0时，由基本不等式，得y=x+x 1≥2x x 1? =2，当且仅当x=1时，等号成立. 当x ＜0时，y=x+ x 1=-［(-x)+ ) (1x -］. ∵-x ＞0,∴(-x)+ ) (1x -≥2,当且仅当-x= x -1,即x=-1时，等号成立. ∴y=x+x 1≤-2. 综上,可知函数y=x+x 1的值域为(-∞,-2］∪［2,+∞). 绿色通道：利用基本不等式求积的最大值，关键是构造和为定值，为使基本不等式成立创造条件，同时要注意等号成立的条件是否具备. 变式训练1当x ＞-1时，求f(x)=x+ 1 1+x 的最小值. 思路分析：x ＞-1?x+1＞0,变x=x+1-1时x+1与1 1+x 的积为常数. 基本不等式 一. 基本不等式 ①公式：(0,0)2 a b a b +≥≥≥，常用a b +≥ ②升级版：22222a b a b ab ++??≥≥ ??? ,a b R ∈ 选择顺序：考试中，优先选择原公式，其次是升级版 二．考试题型 【题型1】 基本不等式求最值 求最值使用原则：一正 二定 三相等 一正： 指的是注意,a b 范围为正数。 二定： 指的是ab 是定值为常数 三相等：指的是取到最值时a b = 典型例题： 例1 .求1(0)2y x x x =+<的值域 分析：x 范围为负，提负号（或使用对钩函数图像处理） 解：1()2y x x =--+- 00x x <∴->Q 1 2x x ∴-+≥=-1 2x x ∴+≤ 得到(,y ∈-∞ 例2 .求12(3)3 y x x x =+>-的值域 解：123 y x x =+- （“添项”，可通过减3再加3，利用基本不等式后可出现定值） 12(3)63 x x =+-+- 330x x >∴->Q 12(3)3x x ∴ +-≥- 6y ∴≥， 即)6,y ?∈+∞? 例3.求2sin (0)sin y x x x π=+<<的值域 分析：sin x 的范围是(0,1)，不能用基本不等式，当y 取到最小值时，sin x 不在范围内 解：令sin (0,1)t x t =∈， 2y t t =+ 是对钩函数，利用图像可知： 在(0,1)上是单减函数，所以23t t + >，（注：3是将1t =代入得到） (3,)y ∴∈+∞ 注意：使用基本不等式时，注意y 取到最值，x 有没有在范围内， 如果不在，就不能用基本不等式，要借助对钩函数图像来求值域。 初一不等式难题,经典题训练（附答案） 1． 已知不等式3x-a ≤0的正整数解恰好是1，2，3，则a 的取值范围是_______ 2． 已知关于x 的不等式组0 521 x a x ->?? -≥-?无解，则a 的取值范围是_________ 3． 若关于x 的不等式(a-1)x-2 a +2>0的解集为x<2，则a 的值为（ ） A 0 B 2 C 0或2 D -1 4． 若不等式组2 20 x a b x ->?? ->?的解集为11x -<<，则2006()a b +=_________ 5． 已知关于x 的不等式组的解集41320 x x x a +?>+? ??+- 7． 不等式组951 1 x x x m +<+?? >+?的解集是2x >，则m 的取值范围是（ ） A. 2m ≤ B. 2m ≥ C. 1m ≤ D. 1m f 8.不等式()()20x x x +-<的解集是_________ 9.当a>3时，不等式ax+2<3x+b 的解集是，则b=______ 10.已知a,b 为常数，若ax+b>0的解集是1 3 x <,则的0bx a -<解集是（ ） A. 3x >- B 3x <- C. 3x > D. 3x < 11.如果关于x 的不等式组的整70 60x m x n -≥?? -? p 数解仅为1，2，3，那么适合不等式组的整数(m,n)对共 有（ ）对 A 49 B 42 C 36 D 13 12.已知非负数x,y,z 满足123 234 x y z ---==，设345x y z ω=++，求的ω最大值与最小值 必修5 基本不等式基本题型训练 一、选择题 1. [2013·常州质检]已知f (x )＝x ＋1x －2(x <0)，则f (x )有( ) A. 最大值为0 B. 最小值为0 C. 最大值为－4 D. 最小值为－4 答案：C 解析：∵x <0，∴－x >0， ∴x ＋1x －2＝－(－x ＋1－x )－2≤－2(－x )·1 －x －2＝－4， 当且仅当－x ＝1 －x ，即x ＝－1时，等号成立． 2. [2013·长沙质检]若0 4. 已知m ＝a ＋1a －2 (a >2)，n ＝(12)x 2－2(x <0)，则m ，n 之间的大小关系是( ) A. m >n B. m 基本不等式练习题及答案 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 双基自测 1．(人教A 版教材习题改编)函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2＋1 x 2＋1≥1，其中正确的个数是 ( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若a ＞0，b ＞0，且a ＋2b －2＝0，则ab 的最大值为( )． A.1 2 B ．1 C ．2 D ．4 4．(2011·重庆)若函数f (x )＝x ＋ 1 x －2 (x ＞2)在x ＝a 处取最小值，则a ＝( )． A ．1＋ 2 B ．1＋ 3 C ．3 D ．4 5．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 考向一 利用基本不等式求最值 【例1】?(1)已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋y ＝1，则1x ＋1 y 的最小值为________； (2)当x ＞0时，则f (x )＝ 2x x 2＋1 的最大值为________． 【训练1】 (1)已知x ＞1，则f (x )＝x ＋ 1 x －1 的最小值为________． (2)已知0＜x ＜2 5，则y ＝2x －5x 2的最大值为________． (3)若x ，y ∈(0，＋∞)且2x ＋8y －xy ＝0，则x ＋y 的最小值为________． 考向二 利用基本不等式证明不等式 【例2】?已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，求证：bc a ＋ca b ＋ab c ≥a ＋b ＋c . ． 基本公式 （1）R b a ab a a ∈≥+、,222（2）ab b a 2≥+，一定二正三相等（3 ）b a a b b a b a 1122222+≥≥+≥+，当b a =时，等号成立（4）33abc c b a ≥++推广： n n n x x x n x x x 2121≥+++，0>i x 题型 （1）对勾函数:x b ax y +=当x b ax =时，函数取得极值点 （2）1的代换 当题目中有b a b a 11、、、时。例1：正数n m 、满足12=+n m ，求m n 11+的最小值解：223212)21111+≥+++=+?+=+m n n m n m m n m n （）（ （3）xy y x 、、型 例2：已知2=++xy y x ，求y x +最小值①因式分解（提取公因式）2 3232113 )1)(1(2 -≥+∴≥+++=++∴=++y x y x y x xy y x 又②求谁留谁 22208)(4)())(2(4)())(2(44)(2222-≥+≥-+++∴+-≥+∴+-=≥+∴≥+y x y x y x y x y x y x xy y x xy y x 解得： ③?判别法：0 ≥?2 320 )2(40 22 )(,22-≥≥--=?=-+-∴=-+∴-=+=z z z z zy y z y y z z y x y x z 解得则令④技巧、完全对称为最值 解得：原式完全对称和式子中2322 22-==+=∴=∴x x x y x y x （4）xy y x 、、22型①完全对称 ②求谁留谁 ③?判别法：0≥?④配方，三角换元例3：已知1422=++xy y x 求y x +2的最大值配方： 1)2(41522=++x y x ；则：12(21522=++x y x ）（换元： ]2,0[cos 2;sin 215πθθθ∈=+=。x y x θθθsin 15 1cos ,sin 152-==∴y x )sin(58cos sin 15 32?θθθ+=+=+∴y x 510 22≤+∴y x 高考不等式经典例题 【例1】已知a ＞0，a ≠1，P ＝log a (a 3－a ＋1)，Q ＝log a (a 2－a ＋1)，试比较P 与Q 的大小. 【解析】因为a 3－a ＋1－(a 2－a ＋1)＝a 2(a －1)， 当a ＞1时，a 3－a ＋1＞a 2－a ＋1，P ＞Q ； 当0＜a ＜1时，a 3－a ＋1＜a 2－a ＋1，P ＞Q ； 综上所述，a ＞0，a ≠1时，P ＞Q . 【变式训练1】已知m ＝a ＋ 1a －2 (a ＞2)，n ＝x － 2(x ≥12)，则m ，n 之间的大小关系为( ) A.m ＜n B.m ＞n C.m ≥n D.m ≤n 【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递. m ＝a ＋ 1a －2＝a －2＋1a －2 ＋2≥2＋2＝4，而n ＝x － 2≤(12)－2＝4. 【变式训练2】已知函数f (x )＝ax 2－c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围. 【解析】由已知－4≤f (1)＝a －c ≤－1，－1≤f (2)＝4a －c ≤5. 令f (3)＝9a －c ＝γ(a －c )＋μ(4a －c )， 所以???-=--=+1,94μγμγ???? ??? ? =-=38 ,35μγ 故f (3)＝－53(a －c )＋8 3(4a －c )∈[－1,20]. 题型三 开放性问题 【例3】已知三个不等式：①ab ＞0；② c a ＞d b ；③b c ＞a d .以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组 成多少个正确命题？ 【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:c a ＞d b ?bc －ad ab ＞0. (1)由ab ＞0，bc ＞ad ?bc －ad ab ＞0，即①③?②； (2)由ab ＞0， bc －ad ab ＞0?bc －ad ＞0?bc ＞ad ，即①②?③； (3)由bc －ad ＞0， bc －ad ab ＞0?ab ＞0，即②③?①. 故可组成3个正确命题. 【例2】解关于x 的不等式mx 2＋(m －2)x －2＞0 (m ∈R ). 【解析】当m ＝0时，原不等式可化为－2x －2＞0，即x ＜－1； 当m ≠0时，可分为两种情况： (1)m ＞0 时，方程mx 2＋(m －2)x －2＝0有两个根，x 1＝－1，x 2＝2 m . 所以不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞2 m }； (2)m ＜0时，原不等式可化为－mx 2＋(2－m )x ＋2＜0， 专题：基本不等式 基本不等式求最值 利用基本不等式求最值：一正、二定、三等号． 三个不等式关系： （1）a ，b ∈R ，a 2＋b 2≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （2）a ，b ∈R ＋ ，a ＋b ≥2ab ，当且仅当a ＝b 时取等号． （3）a ，b ∈R ，a 2＋b 22≤(a ＋b 2)2 ，当且仅当a ＝b 时取等号． 上述三个不等关系揭示了a 2＋b 2 ，ab ，a ＋b 三者间的不等关系． 其中，基本不等式及其变形：a ，b ∈R ＋ ，a ＋b ≥2ab (或ab ≤(a ＋b 2)2)，当且仅当a ＝b 时取等号，所以当和为定值时，可求积的最值；当积为定值是，可求和的最值． 【题型一】利用拼凑法构造不等关系 【典例1】已知1＞＞b a 且7log 3log 2=+a b b a ，则 1 12 -+b a 的最小值为 . 练习：1．若实数满足，且，则的最小值为 ． 2.若实数,x y 满足1 33(0)2xy x x +=<< ，则313 x y +-的最小值为 ． 3.已知0,0,2a b c >>>，且2a b += ，则 2ac c c b ab +-+ 的最小值为 . 【典例2】已知x ，y 为正实数，则4x 4x ＋y ＋y x ＋y 的最大值为 ． 【典例3】若正数a 、b 满足3ab a b =++,则a b +的最小值为__________. 变式：1.若,a b R +∈,且满足22 a b a b +=+,则a b +的最大值为_________. 2.设0,0>>y x ，822=++xy y x ，则y x 2+的最小值为_______ 3.设R y x ∈,，142 2 =++xy y x ，则y x +2的最大值为_________ 4.已知正数a ，b 满足 19 5a b +=，则ab 的最小值为 ,x y 0x y >>22log log 1x y +=22 x y x y +- 一．不等式的性质： 二．不等式大小比较的常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）；3．分析法；4．平方法；5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性；7．寻找中间量或放缩法 ；8．图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 三．重要不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2≥+ (2)若R b a ∈,，则2 22b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）; 若0x <，则1 2x x + ≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2 (2 22b a b a +≤+（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求 它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 5.a 3+b 3+c 3≥3abc （a,b,c ∈ R +）, a +b +c 3 ≥3abc （当且仅当a =b =c 时取等号）； 6. 1 n (a 1+a 2+……+a n )≥12n n a a a (a i ∈ R +,i=1,2,…，n)，当且仅当a 1=a 2=…=a n 取等号； 变式：a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ca; ab ≤( a +b 2 )2 (a,b ∈ R +) ; abc ≤( a +b +c 3 )3(a,b,c ∈ R +) a ≤ 2a b a +b ≤ab ≤ a +b 2 ≤ a 2+b 2 2 ≤b.(0b>n>0,m>0; 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域（1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 5.3、不等式典型例题之基本不等式的证明——（6例题） 雪慕冰 一、知识导学 1.比较法：比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用，比较法可分为差值比较法(简称为求差法)和商值比较法(简称为求商法). (1)差值比较法的理论依据是不等式的基本性质：“ａ-ｂ≥0ａ≥ｂ；ａ-ｂ≤0ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作差：考察不等式左右两边构成的差式，将其看作一个整体；②变形：把不等式两边的差进行变形，或变形为一个常数，或变形为若干个因式的积，或变形为一个或几个平方的和等等，其中变形是求差法的关键，配方和因式分解是经常使用的变形手段；③判断：根据已知条件与上述变形结果，判断不等式两边差的正负号，最后肯定所求证不等式成立的结论.应用范围：当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时一般使用差值比较法. (2)商值比较法的理论依据是：“若ａ，ｂ∈R + ，ａ/ｂ≥1ａ≥ｂ；ａ/ｂ≤1ａ≤ｂ”.其一般步骤为：①作商：将左右两端作商；②变形：化简商式到最简形式；③判断商与1的大小关系，就是判定商大于1或小于1.应用范围：当被证的不等式两端含有幂、指数式时，一般使用商值比较法. 2.综合法：利用已知事实(已知条件、重要不等式或已证明的不等式)作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式，其特点和思路是“由因导果”，从“已知”看“需知”，逐步推出“结论”.即从已知Ａ逐步推演不等式成立的必要条件从而得出结论Ｂ. 3.分析法：是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定那个条件是否具备，其特点和思路是“执果索因”，即从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”.用分析法证明书写的模式是：为了证明命题Ｂ成立，只需证明命题Ｂ1为真，从而有…，这只需证明Ｂ2为真，从而又有…，……这只需证明Ａ为真，而已知Ａ为真，故Ｂ必为真.这种证题模式告诉我们，分析法证题是步步寻求上一步成立的充分条件. 4.反证法：有些不等式的证明，从正面证不好说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式Ａ>Ｂ，先假设Ａ≤Ｂ，由题设及其它性质，推出矛盾，从而肯定Ａ>Ｂ.凡涉及到的证明不等式为否定命题、惟一性命题或含有“至多”、“至少”、“不存在”、“不可能”等词语时，可以考虑用反证法. 5.换元法：换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新???? 不等式常见考试题型总结 Prepared on 22 November 2020 《不等式》常见考试题型总结一、高考与不等式 高考试题，有关不等式的试题约占总分的12% 左右，主要考查不等式的基本知识，基本技能，以及学生的运算能力，逻辑思维能力，分析问题和解决问题的能力．选择题和填空题主要考查不等式的性质、比较大小和解简单不等式，还可能与函数、方程等内容相结合的小综合．解答题主要是解不等式或证明不等式或以其他知识为载体的综合题。不等式常与下列知识相结合考查： ①不等式的性质的考查常与指数函数、对数函数、三角函数的性质的考查相结合，一般多以选择题的形式出现，有时也与充要条件、函数单调性等知识结合，且试题难度不大； ②解不等式的试题主要在解答中出现，常常是解含参不等式较多，且多与二次函数、指数、对数、可能还会出现导数相结合命题； ③证明不等式是理科考查的重点，经常同一次函数、二次函数、数列、解析几何，甚至还可能与平面向量等结合起来考查． 二、常见考试题型 （1）求解不等式解集的题型 （分式不等式的解法，根式不等式的解法，绝对值不等式的解法，含参不等式的解法，简单的一元高次不等式的解法） （2）不等式的恒成立问题 （不等式恒成立问题的常规处理方式常应用函数方程思想，分离变量法，数形结合 法） （3）不等式大小比较 常用方法： 1．作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果； 2．作商（常用于分数指数幂的代数式）； 3．分析法； 4．平方法； 5．分子（或分母）有理化； 6．利用函数的单调性； 7．寻找中间量或放缩法 ； 8．图象法。 （4）不等式求函数最值 技巧一：凑项 例：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 技巧二：凑系数 例. 当 时，求(82)y x x =-的最大值。 技巧三： 分离 例. 求2710 (1)1 x x y x x ++= >-+的值域。 技巧四：换元 例. 求2710 (1)1x x y x x ++= >-+的值域。 技巧五：函数的单调性 （注意：在应用最值定理求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数()a f x x x =+的单调性。） 例：求函数22 4 y x = +的值域。 技巧六：整体代换 （多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错。） 例：（1）已知0,0x y >>，且19 1x y +=，求x y +的最小值。 （2）若+ ∈R y x ,且12=+y x ，求y x 11+的最小值 (3)已知+ ∈R y x b a ,,,且1=+y b x a ，求y x +的最小值 祖π数学新人教七年级下册之高分速成 1 【题型1】列不等式用不等式表示: (1)x的2 3 与5的差小于1: ;(2)y的9倍与b的 1 3 的和是负数: . (3)x的1 7 与9的倒数的和大于y的15%:____________________________. (4)a的30%与a的和大于a的2倍与10的差:_____________________________. 【变式训练】 1.数学表达式：①-5<7；②3y-6>0；③a=6；④x-2x；⑤a≠2；⑥7y-6>5y+2中，是不等式的有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.下面给出5个式子：①3x＞5；②x+1；③1-2y≤0；④x-2≠0；⑤3x-2＝0.其中是不等式的个数有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.“数x不小于2”是指( ) A.x≤2 B.x≥2 C.x＜2 D.x＞2 4.用不等式表示 (1)x的2倍与5的差不大于1 ； (2)x的1 3 与x的 1 2 的和是非负数； (3)a与3的和不小于5 ； (4)a的20%与a的和大于a的3倍 . 5.用不等式表示 (1)a比6小__________; (2)x与1的和大于2___________; (3)a的2倍小于b__________; (4)m的相反数是正数___________; (5)x的4倍与7的差大于3___________; (6)a、b两数的平方和大于4__________; （7） m不大于－5 ; （8） x的4倍大于3 . 6.设“●”、“▲”表示两种不同的物体，现用天平称(如图),若用x、?y分别表示“●”、“▲”的重量,写出符合题意的不等式是_________. 基本不等式求最值的类型与方法-经典大全 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 5 6 专题：基本不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的基本不等式： ①，、)(2 22 22 2 R b a b a a b ab b a ∈+≤ ?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：b a 112 +2a b ab +≤≤≤ 2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab Y ； ②单调递增区间：(,]b a -∞-，[,)b a +∞；单调递减区间：(0, ]b a ，[,0)b a -. 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。 解析：21(1)2(1)y x x x =+ >-21(1)1(1)2(1)x x x =-++>-2 111 1(1)222(1) x x x x --=+++>- 3 2 111 31222(1) x x x --≥??+-312≥+52=， 当且仅当 211(1)22(1)x x x -=>-即2x =时，“=”号成立，故此函数最小值是5 2 。 评析：利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值： ①23 (32)(0)2 y x x x =-<< ②2sin cos (0)2y x x x π=<< 解析：①30,3202 x x << ->Q ∴， ∴23(32)(0)(32)2y x x x x x x =-<<=??-3 (32)[]13 x x x ++-≤=， 当且仅当32x x =-即1x =时，“=”号成立，故此函数最大值是1。 ②0,sin 0,cos 02 x x x π << >>Q ∴，则0y >，欲求y 的最大值，可先求2y 的最 大值。 2 4 2 sin cos y x x =?2 2 2 sin sin cos x x x =??222 1(sin sin 2cos )2 x x x =??22231sin sin 2cos 4()2327x x x ++≤?=, 当且仅当22 sin 2cos x x =(0)2 x π << tan 2x ?=，即tan 2x arc =时 “=”号成立，故 此函数最大值是 23 9 。 评析：利用均值不等式求几个正数积的最大值，关键在于构造条件，使其和为常数。通常要 通过乘以或除以常数、拆因式（常常是拆高次的式子）、平方等方式进行构造。 类型Ⅲ：用均值不等式求最值等号不成立。 例3、若x 、y + ∈R ，求4 ()f x x x =+ )10(≤ 均值不等式应用（技巧）技巧一：凑项 1、求y = 2x+ 1 x - 3 （x > 3）的最小值 2、已知x > 3 2 ，求y = 2 2x - 3 的最小值 3、已知x < 5 4 ，求函数y = 4x – 2 + 1 4x - 5 的最大值。 技巧二：凑系数 4、当0 < x < 4时，求y = x(8 - 2x)的最大值。 5、设0 < x < 3 2 时，求y = 4x(3 - 2x)的最大值，并求此时x的值。 6、已知0 < x < 1时，求y = 2x(1 - x) 的最大值。 7、设0 < x < 2 3 时，求y = x(2 - 3x) 的最大值 技巧三：分离 8、求y = x2 + 7x + 10 x + 1 （x > -1）的值域； 9、求y = x2 + 3x + 1 x （x > 0） 的值域 10、已知x > 2，求y = x2 - 3x + 6 x - 2 的最小值 11、已知a > b > c，求y = a - c a - b + a - c b - c 的最小值 12、已知x > -1，求y = x + 1 x2 + 5x + 8 的最大值 技巧四：应用最值定理取不到等号时利用函数单调性 13、求函数y = x2 + 5 x2 + 4 的值域。 14、若实数满足a + b = 2，则3a + 3b的最小值是。 15、若 + = 2，求1 x + 1 y 的最小值，并求x、y的值。 技巧六：整体代换 16、已知x > 0，y > 0，且1 x + 9 y = 1，求x + y的最小值。 17、若x、y∈R+且2x + y = 1，求1 x + 1 y 的最小值 18、已知a，b，x，y∈R+ 且a x + b y = 1，求x + y的最小值。 19、已知正实数x，y满足2x + y = 1，求1 x + 2 y 的最小值 20、已知正实数x，y，z满足x + y + z = 1，求1 x + 4 y + 9 z 的最小值 技巧七：取平方 21、已知x，y为正实数，且x2 + y2 2 = 1，求x 1 + y2的最大值。 22、已知x，y为正实数，3x + 2y = 10，求函数y = 3x + 2y的最值。 23、求函数y = 2x - 1 + 5 - 2x（1 2 < x < 5 2 ）的最大值。 技巧八：已知条件既有和又有积，放缩后解不等式 24、已知a，b为正实数，2b + ab + a = 30，求函数y = 1 ab 的最小值。 专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式：)0,0a b a b +≥>> （1）基本不等式成立的条件： ； （2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 （1）()24a b ab +≤(),a b R ∈；（2）)+0,0a b a b ≥>>； 【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4x x y +的最小值为 . 【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>， 则 1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】（2012河西）已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b ab ++的最小值为 . 【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 . 【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则 8x y xy +的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>，若不等式 212m a b a b +≥+总能成立，则实数m 的最大值为 . 【例6】（2013年天津市第二次六校联考）()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则 2212a b +的最小值为 . 【例7】（2012年南开二模）若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则 11a b +的最小值为 . 【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足 120PF PF ?=，则2 2214e e +的最小值为 【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y +的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．3+ D ． 【例10】已知函数()4141 x x f x -=+，若120,0x x >>，且()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为 . 《不等式》常见题型归纳和经典例题讲解 1.常见题型分类(加粗体例题需要作答) 1.下列不等式中，是一元一次不等式的是（ ） A.x 1 +1>2 B.x 2>9 C.2x +y ≤5 D.21 (x －3)<0 2.若51)2(12>--+m x m 是关于x 的一元一次不等式，则该不等式的解集为 . a 与6的和小于5； x 与2的差小于－1； 1.a ,b 两个实数在数轴上的对应点如图所示：用“＜”或“＞”号填空： a __________ b ; |a |__________|b |; a +b __________0 a － b __________0; a +b __________a －b ; ab __________a . 2.已知实数a 、b 在数轴上对应的点如图所示，则下列式子正确的是（ ） A 、ab ＞0 B 、a b > C 、a －b ＞0 D 、a ＋b ＞ 0 1.与2x <6不同解的不等式是（ ） A.2x +1<7 B.4x <12 C.－4x >－12 D.－2x <－6 ): (这类试题在中考中很多见) 1.（2010湖北随州）解不等式组110334(1)1 x x +?-???--???-≥?? : 此类试题易错知识辨析 （1）解字母系数的不等式时要讨论字母系数的正、负情况. 如不等式ax b >（或ax b <）（0a ≠）的形式的解集： 当0a >时，b x a >（或b x a <） 当0a <时，b x a <（或b x a >） 当0a <时，b x a <（或b x a >） 4 若不等式(a ＋1)x ＞a ＋1的解集是x ＜1，则a 必满足( )． (A)a ＜0 (B)a ＞－1 (C)a ＜－1 (D)a ＜1 5 若m ＞5，试用m 表示出不等式(5－m )x ＞1－m 的解集______． 6.如果不等式(m －2)x >2－m 的解集是x <－1,则有（ ） A.m >2 B.m <2 C.m =2 D.m ≠2 7.如果不等式(a －3)x ＜b 的解集是x ＜ 3-a b ，那么a 的取值范围是________. 1.不等式3(x －2)≤x +4的非负整数解有几个.（ ） A.4 B.5 C.6 D.无数个 2.不等式4x － 41141+ 基本不等式专题 知识点： 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当 b a =时取“=”） 2. (1)若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 5.若R b a ∈,，则2 )2(222b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注意： (1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值， 当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋ 1 2x 2 ≥23x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 基本不等式专题辅导 一、知识点总结 1、基本不等式原始形式 （1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ （2）若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ 2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ 3、基本不等式的两个重要变形 （1）若* ,R b a ∈，则ab b a ≥+2 （2）若*,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab 总结：当两个正数的积为定植时，它们的和有最小值； 当两个正数的和为定植时，它们的积有最小值； 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 4、求最值的条件：“一正，二定，三相等” 5、常用结论 （1）若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”） （2）若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） （3）若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） （4）若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a ab +≤ +≤ （5）若* ,R b a ∈，则22111 2 2b a b a ab b a +≤ +≤≤+ 特别说明：以上不等式中，当且仅当b a =时取“=” 6、柯西不等式 （1）若,,,a b c d R ∈，则22222 ()()()a b c d ac bd ++≥+ （2）若123123,,,,,a a a b b b R ∈，则有：2222222 1231123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++ （3）设1212,,,,,,n n a a a b b ??????与b 是两组实数，则有22212(n a a a ++???+)22212)n b b b ++???+(21122()n n a b a b a b ≥++???+ 二、题型分析 题型一：利用基本不等式证明不等式 1、设b a ,均为正数，证明不等式:ab ≥ b a 112+ 2、已知c b a ,,为两两不相等的实数，求证：ca bc ab c b a ++>++222 3、已知1a b c ++=，求证：2 2 2 13 a b c ++≥ 4、已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证：abc c b a 8)1)(1)(1(≥--- 已知,,a b c R + ∈，且1a b c ++=，求证：1111118a b c ??????---≥ ??????????? 6、选修4—5：不等式选讲 设,,a b c 均为正数,且1a b c ++=,证明:(Ⅰ)13ab bc ca ++≤; (Ⅱ)222 1a b c b c a ++≥. 7、选修4—5：不等式选讲： 已知0>≥b a ，求证:b a ab b a 2 23322-≥- 题型二：利用不等式求函数值域基本不等式经典例题精讲
(完整版)基本不等式题型总结(经典,非常好,学生评价高)
(完整版)初一不等式难题-经典题训练(附答案)
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列不等式经典练习题
基本不等式求值的类型与方法-经典大全
必修5--基本不等式几种解题技巧及典型例题
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最新基本不等式经典例题(含知识点和例题详细解析)-(1)
基本不等式知识点和基本题型