组合常数在物理学中的运用

组合常数在物理学中的运用

摘要：量纲分析是物理学中普遍使用的方法，而组合常数的利用是建立在量纲分析基础上的一种新的方法。借助于组合常数，物理学中的很多分析和计算变得简单明了。组合常数在原子物理中的运用较多，其优势也较为明显，在电磁学等其它领域也有一些应用。本文对组合常数在原子物理以及其它领域中的运用进行了总结归纳，可以看到，利用组合常数分析问题是非常有效，值得推广的。

关键字：组合常数；量纲分析；物理常数；原子物理 物理量的量纲可以用来分析几个物理量之间的关系，这方法称为量纲分析

[1]。通常，一个物理量的量纲是由像长度、质量、时间一类的基础物理量纲结合而成。量纲分析所依据的重要原理是，物理规律一定要与其计量物理量的单位无关。任何有意义的方程式，其左手边与右手边的量纲一定要相同。检查有否符合这原则是做量纲分析最基本的步骤[2]。

2006年国际科技数据委员会推荐的基本物理常数有2O 个[3]，其中在最常用的包含18个常数和2个组合量。不过人们在谈到基本物理常数时，总会先想到下面的8个基本物理常数：光速常数，电子电荷，普朗克常数，万有引力常数，电子静止质量，质子静止质量，阿伏加德罗常数和玻尔兹曼常数。最主要是它们出现得较早，所起的作用较重要和人们经常使用的缘故。但是除这2O 个基本物理常数外，物理常数还有另外一种形式，就是由这些基本物理常数优化组合而成的组合常数，这些组合常数总是严格地以相同的形式出现在物理学的规律中，如精细结构常数c e πεα024=，玻尔半径22

004e

m a e πε= ，法拉第e N F A =等，都有简明的量纲和物理意义。

1 原子物理学中的组合常数的运用

1.1 原子物理学中的常见的组合常数

原子物理学中的基本物理常数有电子电量 ，电子静止质量 ，光速，普朗克常数 ，真空中的介电常数 ，里德伯常数，精细结构常数 ，约化普朗克常数，它们按某种固定的组合形成组合常数出现在原子物理学的规律中，具有简洁的数值和量纲，在原子物理学中常见的组合常数有： MeV fm e ?=44.140

2

πε （1） eV nm MeV fm c ?=?=197197 或keV nm MeV fm hc ?=?=24.11240 （2） keV MeV c m e 511511.02== （3）

eV hcR 6.13=∞ （4） 151241079.51027.92----??=??=T eV T J m e e

（5）

1144-=GHzT m e e

π （6） 11467.04--=T cm c m e e π （7） 1.2 组合常数在数值计算方面的运用

在原子物理学里，为了避免计算公式的太过于繁杂，常要用原子单位来表示有关数据和公式，这些单位中许多都是由一些基本的物理常数组合而成的，利用上面的组合常数，同时要考虑量纲，特殊情况做其它考虑，就能够得到一些常用的复杂的推导与计算所得到的结果[4,5,6]。

电子的经典半径0r 的计算：考虑长度量纲，用（1）式除以(2)得

0202

818.2511.044.14r fm MeV MeV fm c m e e ==?=πε 精细结构常数α的计算：用（1）式除以(2)式可以得到无量纲的常数α 137119744.1402=??=

MeV fm MeV fm c e πε=α 并扩展为 '02

19744.14ααπεn z n z cn ze ==

电子的康普顿波长ec 的计算：考虑长度量纲，用(2)式除以(3)得

ec e fm MeV

MeV fm c m c ==?=386511.01972 这是电子的约化康普顿波长。上式可扩展为，即(2)式除以(3) ec ec n ='

λ

又 ec e fm MeV MeV fm c m hc λ==?=2426511.012402 电子轨道运动的速度n v 的计算：从量纲分析知 ，速度只能由光速c 与无量纲的常数α(或'α)组合而成。

n v c n z c ze c ===απεα2

02'4 从而可知轨道速度的量级为α倍的光速。

原子的能量n E 的计算：要求原子的能量先要知道原子的能量经典表达式 20222

1421mv r Ze mv E -=-=πε 将n v 的表达式带入原子的能量经典表达式，得到原子能量的量子表达式 222024222)4(2)(2121

n z e m c n z m v m E e e n e n πεπα-=-== 玻尔原子的轨道半径n r 的计算：同样考虑长度量纲，用上面已经得到的长度与α组合，可得到新的长度量。

首先是得到第一玻尔轨道半径 nm a e m c c e c m c e e ec 0529.044122002

2==== πεπεα 其次还可得到玻尔轨道半径 n

e ec r a z n z m n ===12

2220'4 πεα 由上可以看出，电子经典半径、电子的康普顿波长、电子的轨道半径之间依次差α倍。

里德伯常量R 的计算：将上述所得的原子的能量表达式写成与光谱规律相一致的形式时，有 Rhc n

z E n 22

-= 并由上式得到： 13204

210973731)4(2-==m c e m R e πεπo

原子的角动量n L 的计算：将n v 和n r 的表达式代人角动量的经典表达式

mvr L =中，这样就可以得到角动量的量子表达式： n z

e m e c n z m r v m L e e n n e n ===)4)((2420πεα

原子的磁矩μ的计算：将原子的角动量n L 的量子表达式带入用电子轨道磁矩与电子轨道角动量间的经典表达式 L m e e

2=μ就可以得到 B e

e n m eh n ea c n m e μπαμ====4)2(21 其中μB 是玻尔磁子，15110788.542--??===T eV m eh na c

e

B παμ 由此又可以看出磁矩与电矩(1ea )量级相差c α倍．

在α粒子散射理论中，瞄准距离b 、卢瑟福α散射公式

瞄准距离b ： fm MeV E z MeV E z e Mv z e b 2cot )(44.12cot )(422cot 402202θθπεθ

πεαα?=?=?= 卢瑟福α散射公式: MeV fm MeV E Z ntN d dN ??=Ω44.1))

(2(2sin 24αθ 氢原子、类氢离子及碱金属原子的能级、基态电离能、线系公式

能级可直接用eV hcR 6.13=∞表示成： eV n Z hcR n Z hcR n Z 6,13E 222n 2

22?-=-≈-=*

∞** 基态电离能:eV Z W 6.132?=* 线系公式：eV n m Z hv )11(6.132

22

-?=* ......2,1++=m m n )11(1024.16.131~2232n

m nm eV eV Z -???==*λν cm n m Z )11(10096.12242-??=*- ......2,1++=m m n 对于氢原子和类氢离子Z Z =*

发生塞曼分裂的光谱线同原谱线之间的频率、能量、波数之差：

频率之差：

GHz T B g M g M T B m e g M g M e )(14][)(4][11221122'?-=-=-=?π

ννν 能量之差：

eV T B T B m e g M g M T B m e g M g M E E E e

e )(1079.5)(4][)(4][511221122'-??-=-=-=?ππ 波数之差:

111221122)(467.0][)(4][1'1~-?-=-=-=?cm T B g M g M T B c

m e g M g M e πλλν

自旋和轨道相互作用产生的能级分裂值： eV l l n Z E 431025.7)

1(4-*

??+=?或1384.5)1(~4

-*?+=?cm l l n Z ν 1.2 组合常数在定量估算方面的运用

1.2.1对葡萄干模型产生大角散射可能性的估算[4]

汤姆逊葡萄干模型，对入射粒子的最大作用力F 发生于掠射，这时原子的Ze 对入射的正电荷202

42R

Ze F πε=, 其中0ε为真空介电常数,R 为原子半径。

'p p ?

θ

p

图1 散射引起的动量变化

Fig1 The change of momentum from the scattering

如图1,为了估计α粒子由散射而引起的动量变化 ， 因而由动量定理可以推出α粒子的最大散射角θ：

20220221422

1)4(22v m Z R e v m R Ze v m v FR p p αααπεπεθ???===?= 其中P 是入射口粒子的动量，'P 是粒子与原子核发生相互作用被散射后的动量。代入组合常数数值就可得：

)(103)(1.044.125rad E Z MeV E nm MeV fm Z α

αθ-?≈???≈ 其中αE 为α粒子的动能，nm R 1.0≈，把与电子的碰撞考虑在内，则产生的最大散射角为)(104rad E Z α

θ-<, 这样如果以入射粒子动能为1OMeV ，靶核为金，Z=79来估算，每次碰撞粒子的最大散射角将小于rad 310-，而要引起?1的偏转必须经过多次碰撞，但是每次的碰撞都是无规则对的，所以汤姆逊模型产生大角散射根本不可能。

1.2.2不确定关系式在宏观和微观的效果估算[6]

假定电子可以在第一玻尔半径nm r 053.01=范围内运动，即nm x 053.0=?，那么由不确定关系h x p x >??可得: 3.6053.0)137(51124.112=?=?=?=?-nm

keV kev nm x mc hc p x h p p α 由此可看出动量的不确定度非常大，而对宏观一个1Og 小球以s cm 10速度运动，如果cm x 510-=?，则由不确定关系式得： 2425227106.6101010106.6---?=???=?=?s

gcm s gcm p x h p p 因而由宏观物体引起的不确定度小得完全可以忽略。

1.2.3原子内部磁场的估算[6,7]

我们都知道原子处于弱磁场中时会发生塞曼效应，在强磁场中时会发生帕邢一巴克效应，那么原子内部磁场有多大，与外场相比怎样才算弱场或强场呢?用组合常数对锂原子和钠原子的内部磁场进行定量估算就可以对原子内部磁场有一个认识，从而更深刻理解塞曼效应和帕邢一巴克效应。

对碱金属原子：

B B E B s ls μμ±=?-=

B E B ls μ2=? 对碱金属的主线系有：22λλ

μ?=hc B B 推出B hc B μλλ22?=

用钠双线nm 589和nm 6.589，可估算出钠原子内部磁场为：B=20T

用锂双线nm 785.670和nm 800.670估算锂原子内部磁场为：B=0.357T

1.3 组合常数在检验公式方面的运用

在原子物理学里，公式的过于繁杂，常使用原子单位(atomic unit 简写为a.u ．)来检验有关数据和公式的正确性。下面举一些简单的例子进行运用

（1）电子的玻尔第一速度的计算公式c v α=1的正确性：c 的单位是s m ，α是无量纲常数，因而c α的单位是s m ，从而证明这个公式是正确的。

（2）电子的康普顿波长的计算公式2c m c e ec =的正确性：c 的单位是

MeV fm ?，2c m e 的单位是MeV ，因而2c m c e 的单位是fm ，从而证明这个公式的正确性。

2 组合常数在电磁学中的运用

2.1在电场中的运用[8]

相对于惯性系静止的两个点电荷间的静电力服从库仑定律，即 221

r

q q k F = (8) 其中k 是比例常量，依赖于各量单位的选取。

国际单位制是目前国际上流行的一种单位制（简记作SI)，其力学及电磁学部分叫做MKSA 制。该制以长度、质量、时间及电流为基本量。以米、千克、秒、及安培为基本单位。电荷在MKSA 制中单位为库仑(记作C )，它与安培和秒的关系为s A C ?=11。必须指出，采用MKSA 制时，上式中各量的单位已分别指定为N (牛顿)、C 和m ，故k 只能由实验测出，实验测得229109C m N k ??≈。为方便起见，在MKSA 制中常将k 写成041

πε=k 的形式，相应的常量0ε为

)(109.822120m N C ??=-ε。引入0ε后，式⑧就改写成

221041

r q q F πε= (9) 式⑨虽比式⑧复杂，但由它推出的许多关系式却比较简单。

2.2在磁场中的运用[8]

点电荷的场强公式对讨论静电场的重要性是人所共知的。从这一公式出发，通过求和或积分就可求得形形色色的电荷分布所激发的静电场E 。静电场中与点电荷所对应的是载有电流的元段，简称电流元。为了得到形形色色的载流导线所

激发的静电场B ，需要知道电流元所激发的元磁场B d 的公式。设导线的电流为

I ，以矢量l d 代表导线上任意有向元段（l d 的方向与电流相同），则该载流元段

（电流元）可用矢量l d I 做定量描述（l d I 对应于点电荷的q ）。与点电荷不同，

由于恒定电流的闭合性，恒定电流元不会单独存在，因此不可能通过实验直接测出恒定电流元的磁场。但是，只要默认磁场与电场一样服从叠加原理，则任何形状的载有恒定电流的导线的磁场都是它的所有元段的磁场的矢量和。通过对不同的形状的载流导线的实验研究（包括安培的平行直长节流导线的实验），人们相

信电流元l d I 激发的元磁场B d 由下式表示（国际单位制）：

204r

e l d I B d r ?=πμ 其中r 是电流元l d I （看作位于一点）与场点P 的距离，r e 是从l d I 指向P 的单位矢量，πμ40是与库仑定律的国际制表达式中041πε=k 的对应的常量，其中270104A N -?=πμ(N 和A 分别代表牛顿和安培)，式⑩通常称为毕奥萨伐尔定律。任意形状的、载有恒定电流的导线的磁场多可以从式⑩出发借助积分求得。

2.3电和磁关系的运用

在众多的基本物理常数中，光速c 可以说是第一个最重要的组合常数。光速c 首先是通过测量得到的，而现在它是一个不带误差的规定值。但是在麦克斯韦(J ．C ．Maxwell ，1831—1879)时代，光速c 是作为电磁波的辐射参数出现的。1855—1862年，麦克斯韦在安培和法拉第等人研究的基础上做了大量的工作，提出了电动力学理论，创立了麦克斯韦方程组，把电和磁统一起来了[9]。根据这一理论得出了一个联系于0ε、0μ的新常数001

με=C ，C 即为电磁波在真空中传

播的速度。这个速度是一个常数，此常数使得电常数0ε，磁常数0μ之间建立起了亲密的联系，电和磁之间就建立了联系，因而C 成了电磁统一理中的重要常数。

把0ε、0μ的值代入可得C 就等于光速。这是一个惊人的巧合，它说明了电磁现象与现象之间有着统一的联系。当时据此结论，麦克斯韦提出了著名的光的电磁波理论，第一次从理论上揭示了光与电磁波的内在本质 。0ε是与电相互作用有关的常数，0μ 是与磁相互作用有关的常数，它们的组合正体现了电、磁作用的统一，也正是这两个常数的组合预言了电磁波的存在，而光速C 的正确测定又验证了电磁波的存在。这是自牛顿的大运动定律统一物理现象之后的又一次物理世界的大统一[10]。

3 组合常数在宇宙学中的运用

黑洞是宇宙中一个事件的集合或者空间- 时间区域,光或任何物质都不可能从该区域逃逸而到达远处的观察者。 研究黑洞的熵S 和温度T 涉及热力学理论、引力理论、相对论和量子理论等,在这些理论中,选kT 、2GM 、2Mc 、c η为所需的组合常数。 其中,k 为玻尔兹曼常数；G 为万有引力常数； M 为黑洞的量；T 为热力学温度。

利用观测结果, 黑洞的熵与它的视界面积A 的41成正比,ST 的量纲是能量,所以它也必然与4A 成正比,于是有[11] 24

24cGM

c AkTM ST η= 这是唯一的组合,将上式两端消去T ,就得到黑洞熵的表达式 η

G Akc S 43

= 同理, kT 的量纲是能量,所以有 GM c GM cMc kT 322

ηαηα==

式中α为比例因数,由史瓦西黑洞理论的相关结果知π

α81=

,由此可得黑洞温度T 的表达式为 kGM

c T πη83

= 以上结果与文献[12,13]中推导和论述的结果完全一致.

4 组合常数在近代物理学中的运用

在近代物理学中，能量的单位常用“eV ”，波长的单位用“nm ”[14]。光子

的能量νh E =，由频率ν、波长λ、光速c 的关系λνc =得λ

hc E =，h 和C 都是常数，所以hc 是组合常数，代入已知数值得

nm eV A eV hc ??=??=33104.12104.12

由此的光子的能量为 λ

λλνnm eV nm eV hc

h E ??=??===33104.12104.12 利用这一结果，可以避免能量单位“J ”与“ev ”之间的换算，，可以使近代物

理学例题及以后的相关习题计算工作量大大减小。就像在电子设备中用集成电路来代替分离元件，是电子技术的一次重要革命，那么在这里又为什么不可以用组合常数替代分离常数呢?

通过以上种种方法的列举，基本物理常数及其组合在物理学中发挥着重要作用。一些组合常数具有其明确的物理意义，一些却没有明确的物理意义或者是人们暂时还还不知道其物理意义。有的组合常数是在计算中发挥了作用，有的是在公式中发挥了作用，同样也有的却是在探索新的理论和规律中发挥了作用，基本物理常数的探究一直都是物理学者们关注的一大热点，物质世界受到物理常数的限制，人们在提出创造性规律的同时,往往提出了对应的物理常数,如万有引力常数、玻耳兹曼常数、光速、普朗克常数等,这种类型的常数开创了它们各自的领域，具有其广泛性。物理学中不同领域的客体,也有其自己特殊的物理常数。分析各种物理问题数量结果的结构发现,它们都是由相关的物理常数和初始条件决定的。由此，人们在精密的理论方法之外，寻求以物理常数为基础的较为简捷地获得数量结果的方法,包括量纲分析法、数量级的估算、对称性的考虑、守恒量的利用、极限情形和特例的讨论、简化模型的选取、概念方法,以及相似和类比等。使用这些定性、半定量方法时,如果选取恰当的组合常数并正确地使用它们,不仅能使问题的分析简便、快捷,而且各个物理量间的关系也非常清楚。人们期盼着从基本物理常数的研究着手去揭开物理学世界的更多更新的神密面纱。但是物理量之间关系的确定与量纲分析的使用并不一定总是很容易的，这是要求运用者有相当的经验和对现象本质透彻的了解，但最主要的是，组合常数方法所得出的结果一定不会超出理论给出的范围。它只是一种计量方法，虽然它是一种比较简便的方法，但是千万不要幻想它会给你带来超出目前的理论之外的发现。

参考文献

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[14]王志军,许弟余.对高中物理教材中“近代物理初步’的几点修改建议[J].物理教学探讨,2005,(03):56—58

The Application of Combined Constants in Physics

Abstract: Dimensional analysis is a widely used method. The application of combined constants is a new way which based on the dimensional analysis. By the aid of combined constants, many physics problem become simple and clear. The combined constants have been widely used in atom physics and its advantage is obviously. In other fields, the combined constants can be used as well. In this paper, the application of combined constants has been summarized. The results show that the method of combined constant is effective and can be widely used.

Key words: Combined constant；Dimensional analysis；constant of physics; Atomic physics