概率论第二章测试

西南财经大学《 概率论与数理统计》第二章单元测试 满分100分 考试时间 120分钟 一、选择题（每题2分，共20分）

1．设F(x) 是随机变量X 的分布函数，则下列结论不正确的是 （A ）若F(a)=0，则对任意x ≤a 有F(x)=0 （B ）若F(a)=1，则对任意x ≥a 有F(x)=1 （C ）若F(a)=1/2，则 P(x ≤a)=1/2 （D ）若F(a)=1/2，则 P(x ≥a)=1/2

2．设随机变量X 的概率密度f(x) 是偶函数，分布函数为F(x)，则

（A ）F(x) 是偶函数 （B ）F(x)是奇函数 （C ）F(x)+F(-x)=1 （D ）2F(x)-F(-x)=1

4．设随机变量X 1, X 2是任意两个独立的连续型随机变量，它们的概率密度分别为f 1 (x)和f 2 (x)，分布函数分别为F 1 (x)和F 2 (x)，则 （A ）f 1 (x) +f 2 (x) 必为某一随机变量的概率密度 （B ）f 1 (x) f 2 (x) 必为某一随机变量的概率密度 （C ）F 1 (x)+F 2 (x) 必为某一随机变量的分布函数 （D ）F 1 (x)F 2 (x) 必为某一随机变量的分布函数

5．设随机变量X 服从正态分布),(211σμN ，Y 服从正态分布),(2

22σμN ，且

)1|(|)1|(|21<-><-μμY P X P ，则必有

（A ）21σσ< （B ）21σσ> （C ）21μμ< （D ）21μμ>

6．设随机变量X 服从正态分布),(2σμN ，则随σ的增大，概率)|(|σμ<-X P （A ）单调增大 （B ）单调减小 （C ）保持不变 （D ）增减不定

9．下列陈述正确的命题是

（A ）若),1()1(≥=≤X P X P 则2

1

)1(=

≤X P （B ）若X~b(n, p), 则P(X=k)=P(X=n-k), k=0,1,2,?,n

（C ）若X 服从正态分布,则F(x)=1-F(-x) （D ）1)]()([lim =-++∞

→x F x F x

二、填空题（每题2分，共20分）

11．一实习生用同一台机器连接独立的制造了3个同种零件，第i 个零件不合格的概率为1

1

i p i =

+()1,2,3i =，以X 表示3个零件中合格品的个数，则{}2P X ==

12．设随机变量X 的概率密度函数为()201

0x x f x ≤≤?=? ?其他

以Y 表示对X 的三次

重复观察中事件12X ?

?≤???

?出现的次数，则{}2P Y ==

13．设连续型随机变量X 的分布密度为()30

00

x axe x f x x -? ≥=?

X 的分布函数为

14．设随机变量的分布函数??

???≤>++=,

0,

,0,)1()(2

x c x x b

a x F 则 a = ，

b = ，

c = 。

15．设随机变量X 服从于参数为()2,p 的二项分布，随机变量Y 服从于参数为

()3,p 的二项分布，若{}5

19P X ≥=，则{}1P Y ≥=

16．设随机变量X 和Y 同分布，X 的概率密度为?????<<=,

,

0,20,8

3

)(2

其它x x x f 已知事件A={X>a}和B={Y>a}独立，且4

3

)(＝B A P ?，则a = 。

17.设随机变量X 的概率密度为

??

?

??≤≤<≤-=,,

21,10,0,2,)(其它x x x x x f 则

)2

3

X 21(<≤P = 。 20. 设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2},则λ= 。

三、解答题（每题10分，共60分）

21. 以X 表示某商店从早晨开始营业起直到第一顾客到达的等待时间（以分计），

X 的分布函数是

??

?<≥-=-000

,1)(4.0x x e x F x X

求下述概率：

（1）P{至多3分钟}；（2）P {至少4分钟}；（3）P{3分钟至4分钟之间}； （4）P{至多3分钟或至少4分钟}；（5）P{恰好2.5分钟}

23.某种型号的电子管的寿命X （以小时计）具有以下的概率密度：

?????>=其它010001000

)(2

x x x f

现有一大批此种电子管（设各电子管损坏与否相互独立）。任取5只，问其中至少有2只寿命大于1500小时的概率是多少？

24. 某地区18岁的女青年的血压（收缩区，以mm-Hg计）服从)

(2

N，在

110

,

12

该地区任选一18岁女青年，测量她的血压X。求

（1）P (X≤105)，P (100x) ≤ 0.05. 注：可能用到的数据6616

8333

.0(≈

.0

64

Φ、

.1(≈

)

Φ、9495

.0

)

4167

)

.0

.0(≈

Φ、7976

)

65

Φ

.0

.1(≈

645

9500

Φ、9505

.0

.1(≈

)

25.设随机变量X在（0，1）上服从均匀分布

（1）求Y=e X的概率密度

（2）求Y=－2lnX的概率密度。

参 考 答 案

一、选择题

1．D 2．C 3．D 4．D 5．A 6．C 7．A 8．A 9．D 10．D

二、填空题

11． 1124 12．964 13． 9，3313,0

0,0x x xe e x x --?-- ≥?

< ? 14． 1，-1，0 15．19/27 16． 34 17． 3/4 18． [1,3] 19．4 20．2

三、解答题

21.解：（1）P{至多3分钟}= P {X ≤3} =2

.11)3(--=e

F X

（2）P {至少4分钟} P (X ≥4) =6

.1)4(1-=-e F X

（3）P{3分钟至4分钟之间}= P {3

.12.1)3()4(---=-e e F F X X

（4）P{至多3分钟或至少4分钟}= P{至多3分钟}+P{至少4分钟} =6.12

.11--+-e e

（5）P{恰好2.5分钟}= P (X=2.5)=0

22.解：（1）P (X ≤2)=F X (2)= ln2， P (0

4

5

ln 2ln 25ln )2()25(252(=-=-=<

,0,

1,1)(')(e x x x F x f

23.解：一个电子管寿命大于1500小时的概率为

3

2)321(1)1(1000110001)1500(1)1500(15001000

150010002

=-

-=??

????--=-

=≤-=>?

x dx x X P X P

令Y 表示“任取5只此种电子管中寿命大于1500小时的个数”。则

)32

,

5(~B Y ，

{}24323224311132511)31()32()3

1(1)1()0(1)2(1)2(5

4155=-=?+-=??

??????+-==+=-=<-=≥C Y P Y P Y P Y P

24.解

:

3384.06616.01)4167.0(1)4167.0()12

110

105()105()1(=-=Φ-=-Φ=-Φ=≤X P

5952

.017976.021)8333.0(21)6

5

(2)6

5

()65()12110100()12110120(

)120100(=-?=-Φ=-Φ=-Φ-Φ=-Φ--Φ=≤

.74.129.74.12974.19110.645.112110

.95.0)12

110

(05.0)12110(1)(1)()2(==+≥?≥-≥-Φ?≤-Φ-=≤-=>X x x x x x X P x X P 故最小的查表得

25（1）∵ X 的分布密度为：

??

?<<=为其他

x x x f 01

01

)(

Y=g (X) =eX 是单调增函数 又 X=h (Y)=lnY ，反函数存在

且

α = min[g (0), g (1)]=min(1, e)=1

=βmax[g (0), g (1)]=max(1, e)= e

∴ Y 的分布密度为：

?????<

y h y h f y ψ0111|)('|)]([)(

（2）∵ Y= g (X)=－2lnX 是单调减函数 又

2

)(Y

e

Y h X -== 反函数存在。

且 α = min[g (0), g (1)]=min(+∞, 0 )=0

β=max[g (0), g (1)]=max(+∞, 0 )= +∞

∴ Y 的分布密度为：??

???+∞<<=-?=?=--为其他

y y e e

y h y h f y ψy y 002

1211|)('|)]([)(22

26.（1）∵ X 的概率密度是+∞

<<∞-=

-

x e π

x f x ,21

)(2

2

Y= g (X)=eX 是单调增函数

又 X= h (Y ) = lnY 反函数存在

且

α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=0

β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞ ∴ Y 的分布密度为：

??

???+∞<

为其他

y y y e π

y h y h f y ψy 00121|)('|)]([)(2)(ln 2

（2）在这里，Y=2X2+1在(+∞，－∞)不是单调函数，没有一般的结论可用。 设Y 的分布函数是FY （y ）， 则

FY ( y)=P (Y ≤y)=P (2X2+1≤y)

=????

?

?-≤≤--2

12

1

y X y P

当y<1时：FY ( y)=0

当y ≥1时：

?

---

-=???

? ?

?

-≤≤--

=21

2

12

221212

1

)(y y x y dx

e π

y X y P y F

故Y 的分布密度ψ( y)是：

当y ≤1时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0

当y>1时，ψ( y)= [FY ( y)]' =

'???

? ???---

-21

2

12

221y y x dx e

π

=

4

1

)1

(

2

1-

-

-

y

e

y

π

（3）∵Y的分布函数为 FY ( y)=P (Y≤y )=P ( | X |≤y) 当y<0时，FY ( y)=0

当y≥0时，FY ( y)=P (| X |≤y )=P (－y≤X≤y)=?--

y

y

x

dx

e

π

2

2

2

1

∴ Y的概率密度为：

当y≤0时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0

当y>0时：ψ( y)= [FY ( y)]' =

2

2

2

2

2

2

1y y

y

x

e

π

dx

e

π

--

-

=

'

?

?

?

?

?

?

?