初中常见分式方程应用题汇编

分式方程应用题

1?工程问题

1.工作量=工作效率X 工作时间，工作效率= 2 .完成某项任务的各工作量的和=总工作量=

2?营销问题

1 .商品利润=商品售价一商品成本价 商品利润

2 .商品利润率=商品成本价 X 100%

3 .商品销售额=商品销售价X 商品销售量

4 .商品的销售利润=(销售价一成本价)X 销售量 2 .在航行问题中，其中数量关系是(同样适用于航空) 顺水速度=静水速度+水流速度 逆水速度=静水速

度-水流速度

3.两车相遇问题，其中数量关系是:

【例】某校办工厂将总价值为 2000元的甲种原料与总价值为 4800元的乙种原料混合后，其平均价比原甲种原料每

少3元，比乙种原料每0.5kg 多1元，问混合后的单价每 0.5kg 是多少元？

解析：设混合后的单价为每 0.5kg x 元，则甲种原料的单价为每 0.5kg( x + 3)元,

乙种原料的单价为每 0.5kg( x - 1)元，混合后的总价值为(2000 + 4800)元，

混合后的重量为2000 4800

斤，甲种原料的重量为

x

依题意，得：

经检验，x = 17是原方程的根，所以x = 17. 即混合后的单价为每 0.5kg 17元.

总结升华:营销类应用性问题，涉及进货价、售货价、利润率、单价、混合价、赢利、亏损等概念，要结

工作量 十工作量

工作时间 ，工作时间= 工作效率

1

3?行程问题

1.路程=速度X 时间，速度=

路程 、 路程 时间，时间=速度；

两车相向：车头车尾相错时间= 甲车长+乙车长

速度和 两车同向：车头车尾相错时间=

甲车长+乙车长

速度差

(速度差=较大车速减较小车速)

0.5kg

2000

斤，乙种原料的重量为 倒0斤,

x 3 x 1

2000 + 4800

2000 4800

，解得x = 17

合实际问题对它们表述的意义有所了解?同时，要掌握好基本公式，巧妙建立关系式?随着市场经济体制的建立，这类问题 具有较强的时代气息，因而成为中考常考的热点问题.

举一反三：

【变式】A 、B 两位采购员同去一家饲料公司购买同一种饲料两次， 两次饲料的价格有变化，但两位采购员的购货方式不同. 其

中，采购员A 每次购买1000千克，采购员B 每次用去800元，而不管购买饲料多少，问选用谁的购货方式合算？

【答案】设两次购买的饲料单价分别为每

1千克 m 元和 n 元(m>0,n>0,m 工n)，依题意，得:

采购员 A 两次购买饲料的平均单价为

1000m 1000n

（元/ 千

克），

1000 1000 2

采购员 B 两次购买饲料的平均单价为

800 800 800 800

n 2mn

而

2 m n

也就是说，采购员 A 所购饲料的平均单价高于采购员

B 所购饲料的平均单价，所以选用采购员

B 的购买方式合算.

【例】 某工程由甲、乙两队合做 6天完成，厂家需付甲、乙两队工程费共

8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付

乙、丙两队工程费共 9500元，甲、丙两队合做 5天完成全部工程的2/3，厂家需付甲、丙两队工程费共

5500元.

⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？

⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由.

思路点拨:这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量?对于工期，一般情况下把整个工作量看成

1,设出甲、乙、丙各队单独完成这项工程所需时间分别为

x 天，y 天，z 天，可列出分式方程组.

解析 :⑴设甲队单独做需 x 天完成，乙队单独做需 y 天完成，丙队单独做需 z 天完成，依题意，得

6 - 1

1

x y

1 1

10 1

丄

1

2

y z

1 1 2

5 —

3

x z

3

①X 1 +②X

丄+③X 1，得1 + 1 + 1 = 1 ?④

6

10

5

x

y z 5

④—①X 1

得1 =

—，即z

30，

6

z

30

④—②X

1 得1 = 丄，即x

10，

10

x 10

④—③X 1 得1 =

1

—，即y

15 ?

5 y 15

经检验， x = 10，y = =15，z =

30是原方程组的解.

⑵设甲队做一天厂家需付 a 元，乙队做一天厂家需付 b 元

根据题意，得

，丙队做一天厂家需付 c 元,

由⑴可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队.

此工程由甲队单独完成需花钱10a 8000元；此工程由乙队单独完成需花钱15b 9750元? 所以，由甲队单独完成此工

程花钱最少.

总结升华：在求解时，把-,-,-分别看成一个整体，就可把分式方程组转化为整式方程组来解.

x y z

举一反三：

【变式1】某工程需在规定日期内完成，若由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去做，要超过规定日期三天完成?现由甲、乙两队合做两天，剩下的工程由乙独做，恰好在规定日期完成，问规定日期是多少天？

【答案】工程规定日期就是甲单独完成工程所需天数，设为x天，

那么乙单独完成工程所需的天数就是X 3天.

设工程总量为1,甲的工作效率就是1，乙的工作效率是—，依题意，得

x x 3

1 1

2

x x 3 x 3 即规定日

期是6天.

1，解得x 6

【变式2】今年某大学在招生录取时, 然后让计算机比较两人的输入是否一致每分钟各能输入多少名学生的成绩？为了防止数据输入出错，2640名学生的成绩数据分别由两位教师向计算机输入一遍, .已知教师甲的输入速度是教师乙的2倍，结果甲比乙少用2小时输完?问这两位教师

【答案】设教师乙每分钟能输入x名学生的成绩，则教师甲每分钟能输入依题意，2x名学生的成绩,

得:

2640 2x 经检验，2640 60 2，解得x 11

x

x 11是原方程的解，且当x 11时，2x 22，符合题意.

11名学生的成绩.

即教师甲每分钟能输入22名学生的成绩，教师乙每分钟能输入

【例】甲、乙两地相距828km, —列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速

度的1.5倍.直达快车比普通快车晚岀发2h，比普通快车早4h到达乙地，求两车的平均速度.

思路点拨：这是一道实际生活中的行程应用题，基本量是路程、速度和时间，基本关系是路程=速度x时间，应根据题意,

找出追击问题中的等量关系.

解析 :设普通快车的平均速度为x km/h,则直达快车的平均速度为 1.5 x km/h,依题意，得：

828 828

2 4 ，解得x 46

x 1.5x

经检验，x 46是方程的根，且符合题意.

二当x 46 时，1.5x 69

即普通快车的平均速度为46km/ h,直达快车的平均速度为69km/ h.

总结升华:列分式方程与列整式方程一样，注意找岀应用题中数量间的相等关系，设好未知数，列岀方程.不同之处是：

所列方程是分式方程，最后进行检验，既要检验其是否为所列方程的解，还要检验是否符合题意，即满足实际意义.

举一反三：

【变式1】一队学生去校外参观.他们岀发30分钟时，学校要把一个紧急通知传给带队老师，派一名学生骑车从学校岀

发，按原路追赶队伍?若骑车的速度是队伍行进速度的2倍，这名学生追上队伍时离学校的距离是15千米，问这名学生从学校岀发到追上队伍用了多少时间？

【答案】设步行速度为x千米/时，骑车速度为2x千米/时，依题意，得:

15 15 30

x 2x 60

方程两边都乘以2x，去分母，得

30 15 x, 所以x 15.

检验：当x 15时，2x 2 15 0

所以x 15是原分式方程的根，并且符合题意.

15 1

骑车追上队伍所用的时间为30分钟.

30 2

【变式2】农机厂职工到距工厂15千米的生产队检修农机，一部分人骑自行车先走，40分钟后，其余的人乘汽车出发, 结果他们同时到达，已知汽车的速度是自行车的3倍，求两车的速度.

【答案】设自行车的速度为x千米/小时，那么汽车的速度为

3x千米/小时，依题意，得:

151540

3x x60

解得x15

经检验x 15是这个方程的解.

当x 15时，3x45

即自行车的速度是15千米/小时，汽车的速度为45千米/小时

【变式3】轮船在顺水中航行30千米的时间与在逆水中航行在

20千米所用的时间相等，已知水流速度为2千米/时，求船静水中的速度.

【答案】设船在静水中速度为千米/时，

千米/时，则顺水航行速度为x 2逆水航行速度为x 2千米/时，依题意，得:

匹上0，解得x 10 .

x 2 x 2

经检验，x 10是原方程的根.

即船在静水中的速度是10千米/时.

实战练习

1、某校学生进行急行军训练，预计行60千米的路程在下午5时到达。后来由于把速度加快1/5，结果于下午4时到达。求原计划行军速度。

2、甲、乙两人分别从距目的地6千米和10千米的两地同时出发，甲乙两人的速度比是 3 : 4,结果甲比乙提前20分钟到达目的地。求甲、乙的速度。

3、某人骑自行车比步行每小时多走8 千米，如果他步行12 千米所用时间与骑自行车行36 千米所用的时间相等。求他步行40 千米用多少小时？

4、甲乙两辆汽车同时分别从A、B两城沿同一条高速公路驶向C城.已知A、C两城的距离为450千米，B、C两城的距离为400千米，甲车比乙车的速度快10千米/时，结果两辆车同时到达C城.求两车的速度.

5、某校招生时，2640 名学生的成绩数据分别由两位程序操作员各向计算机输入一遍，已知甲的输入速度是乙的 2 倍，结

果甲比乙少用2小时输完. 问这两个操作员每分钟各能输入多少名学生的成绩？

6、某校学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，走了20 分钟后，其余同学

乘汽车出发,结果他们同时到达.已知汽车的速度是汽车同学速度的2倍,求骑自行车同学的速度.

7、两个工程队共同参与一项筑路工程，甲队单独施工1 个月完成工程的三分之一这时增加乙队，两队又共同工作了半个月，总工程可以全部完成，哪个队的施工速度快?

8、某班学生到距学校12千米的烈士陵园扫墓，一部分人骑自行车先行，经0.5 时后，其余的人乘汽车出发，结果他们同时

到达。已知汽车的速度是自行车的 3 倍，求自行车和汽车的速度.

9、甲、乙二人同时从张庄出发，步行15千米到李庄。甲比乙每小时多走1 千米，结果比乙早到半小时。二人每小时各走多少千米？

1 0 、甲、乙二人做某种机器零件，已知甲每小时比乙多做6个，甲做90个所用的时间与乙做60 个所用的时间相等，求甲乙每小时各做多少个

11、行程问题：甲、乙二人乘不同的交通工具行进，甲每小行比乙每小时多行6千米，且甲走90千米的时间与乙走60千米所用的时间的相同，求甲乙二人的速度

12、一般问题：商店里有甲、乙两中笔，甲笔的单价比乙贵6元，90元买甲种笔与60 元买乙种笔的支数相等，求两种笔的单价。

13、面积问题：甲乙两个矩形的面积分别是90cm2和60cm2它们的宽相等，甲的长比乙的长6cm,分别求两个矩形的长和宽

14、浓度问题：甲乙两种溶液，甲的浓度比乙的浓度高6%，若90 克甲种溶液与60 克乙种溶液所含溶液相同。求甲乙两种溶液的浓度。

15、某超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000 元资金购进该品种苹果，但

这次的进货价比试销时每千克多了0.5 元，购进苹果数量是试销时的2倍．

（1）试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元?

（2）如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的400 千克按定价的七折（“七折”即

定价的70 % ）售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少兀？

16、某工程队承接了3000米的修路任务，在修好600 米后，引进了新设备，工作效率是原来的2 倍，一共用30天完成了任务，求引进新设备前平均每天修路多少米？

17、在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标．经测算：甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20 天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成．

（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？

(2)甲队施工一天，需付工程款 3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元?若该工程计划在

70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？

18、跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售?若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同.

(1 )求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？

(2)若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部

售岀后，可使销售两种零件的总利润(利润=售价-进价)超过371元，通过计算求岀跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计岀来.

19、面对全球金融危机的挑战，我国政府毅然启动内需，改善民生。国务院决定从2009年2月1日起，“家电下乡”在全国

范围内实施，农民购买人选产品，政府按原价购买总额的13%合予补贴返还。某村委会组织部分农民到商场购买人选的同一

型号的冰箱、电视机两种家电，已知购买冰箱的数量是电视机的2倍，且按原价购买冰箱总额为40000元、电视机总额为15000元。根据“家电下乡”优惠政策，每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多65元，求冰箱、电视机

各购买多少台？

20、由甲、乙两个工程队承包某校校园绿化工程，甲、乙两队单独完成这项工程所需时间比是 3 : 2，两队合做6天可以完

成.

(1)求两队单独完成此项工程各需多少天？

(2)此项工程由甲、乙两队合做6天完成任务后，学校付给他们

20000元报酬，若按各自完成的工程量分配这笔钱，问甲、乙两队各得到多少元？

21、一个工厂接了一个订单，加工生产720t产品，预计每天生产48t，就能按期交货，后来，由于市场行情变化，订货方

要求提前5天完成，问：工厂应每天生产多少吨？

22、用价值100元的甲种涂料与价值240元的乙种涂料配制成一种新涂料. 其每千克售价比甲种涂料每千克售价少3元，比

乙种涂料每千克的售价多1元，求这种新涂料每千克的售价是多少元？

23、近几年高速公路建设有较大的发展，有力地促进了经济建设?欲修建的某高速公路要招标?现有甲、乙两个工程队，若

甲、乙两队合作，24天可以完成，费用为120万元；若甲单独做20天后剩下的工程由乙做，还需40天才能完成，这样所

需费用110万元，问：

(1)甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少天？( 2)甲、乙两队单独完成此项工程，各需多少万元？

24、周末某班组织登山活动，同学们分甲、乙两组从山脚下沿着一条道路同时向山顶进发.设甲、乙两组行进同一路程所用时间之比为

2 : 3.

(1)直接写岀甲、乙两组行进速度之比.

(2)当甲组到达山顶时，乙组行进到山腰A处，且A处离山顶的路程尚有 1.2km，试求山脚到山顶的路程.

(3)在第(2)题所述内容(除最后的问句外)的基础上，设乙组从A