基于矩阵分解的协同过滤算法
万方数据
万方数据
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基于矩阵分解的协同过滤算法
作者：李改， 李磊， LI Gai， LI Lei
作者单位：李改,LI Gai(顺德职业技术学院,广东顺德528333;中山大学信息科学与技术学院,广州510006;中山大学软件研究所,广州510275)， 李磊,LI Lei(中山大学信息科学与技术学院,广州510006;中山大学软件研究
所,广州510275)
刊名：
计算机工程与应用
英文刊名：Computer Engineering and Applications
年，卷(期)：2011,47(30)
被引用次数：1次
参考文献(18条)
1.Wu J L Collaborative filtering on the Nefifix prize dataset
2.Ricci F.Rokach L.Shapira B Recommender system handbook 2011
3.Adomavicius G.Tuzhilin A Toward the next generation of recommender systems:a survey of the state-of-the-art and possible extenstions 2005(06)
4.Bell R.Koren Y.Volinsky C The bellkor 2008 solution to the Netflix prize 2007
5.Paterek A Improving regularized singular value decomposition for collaborative filtering 2007
6.Lee D D.Seung H S Leaming the parts of objects by non-negative matrix factorization[外文期刊]
7.徐翔.王煦法基于SVD的协同过滤算法的欺诈攻击行为分析[期刊论文]-计算机工程与应用 2009(20)
8.Pan R.Zhou Y.Cao B One-class collaborative filtering 2008
9.Pan R.Martin S Mind the Gaps:weighting the unknown in largescale one-class collaborative filtering 2009
https://www.360docs.net/doc/6a1723081.html,flix Netflix prize
11.罗辛.欧阳元新.熊璋通过相似度支持度优化基于K近邻的协同过滤算法[期刊论文]-计算机学报 2010(08)
12.汪静.印鉴.郑利荣基于共同评分和相似性权重的协同过滤推荐算法[期刊论文]-计算机科学 2010(02)
13.Hadoop[E B/OL]
14.Apache MapReduce Architecture
15.Wbite T.周敏.曾大聃.周傲英Hadoop权威指南 2010
16.Herlocker J.Konstan J.Borchers A An algorithmic framework for performing collaborative filtering 1999
17.Linden G.Smith B.York J https://www.360docs.net/doc/6a1723081.html, recommendations:Itemto-item collaborative filtering[外文期刊] 2003
18.Sarwar B.Karypis G.Konstan J ltem-based collaborative filtering recommendation algorithms 2001
引证文献(1条)
1.沈韦华.陈洪涛.沈锦丰基于最佳匹配算法的精密零件检测研究[期刊论文]-科技通报 2013(5)
本文链接：https://www.360docs.net/doc/6a1723081.html,/Periodical_jsjgcyyy201130002.aspx
NMF综述报告
人脸识别的非负矩阵分解(NMF)方法文献综述 摘要：人类对整体的感知是基于对部分的感知，NMF（非负矩阵分解，Non-negative matrix factorization）的思想正是源于此。通过对矩阵分解因子加入了非负性约束，使得对高维非负原始数据矩阵的分解结果不存在负值，且具有一定的稀疏性，因而得到了相对低维、纯加性、拥有一定稀疏特性的分解结果。与PCA（主成分分析，principal components analysis）等传统人脸识别方法相比，NMF的基图像就是人脸的各个局部特征，并且通过对经典算法的一系列优化，改进的NMF算法的识别率和鲁棒性较传统方法有着显著优势。此外，NMF在机器学习、语义理解等领域也有着重要应用。 关键词：非负矩阵分解（NMF）稀疏性改进的NMF 语义理解 一、引言 在实际中的许多数据都具有非负性，而现实中对数据的处理又要求数据的低秩性经典的数据处理方法一般不能够确保非负性的要求，如何找到一个非负的低秩矩阵来近似原数据矩阵成为一个关键问题。在这样的背景下，NMF方法应运而生。 NMF方法思想最早可以追溯到由Paatero和Tapper在1994年提出的正矩阵分解（Positive Matrix Factorization,PMF）[1]；此后1999年，Lee和Seung提出了一个以广义KL散度为优化目标函数的基本NMF模型算法，并将其应用于人脸图像表示[2]；2001年，Lee和Seung通过对基本NMF算法进行深入研究，又提出了两个经典的NMF算法，即基于欧氏距离测度的乘性迭代算法和基于广义KL散度的乘性迭代算法，并给出了收敛性证明[3]，这两种算法称为NMF方法的基准算法，广泛应用于各个领域。 但是在实际应用中，由于经典的基准NMF算法存在收敛速度较慢，未利用统计特征，对光线、遮挡等敏感，以及无法进行增量学习等问题，各种改进的NMF算法被提出。其中包括Lin提出的基于投影梯度（Projected Gradient，PG）的NMF方法[3]，该方法有着很高的分解精度；Berry提出的基于投影非负最小二乘（Projected Non-negative Least Square，PNLS）的NMF方法[5]，通过这种方法得到的基矩阵的稀疏性、正交性叫基准NMF方法都更好；此外还有牛顿类方法[6]和基于有效集[7]的NMF方法等。 二、NMF的基准算法 1.NMF模型 给定一个非负矩阵(即)，和一个正整数，求未知非负矩阵和，使得 用表示逼近误差矩阵。可以用下图表示该过程：
非负矩阵分解算法概述之Lee&Seung的世界
非负矩阵分解算法概述 （吴有光） NOTE：本文为科普文章，尽量做到通俗而不严格，比较适合理论小白补补NMF历史 第一部分Lee&Seung的世界 1 引言 现实生活中的数据，我们总是希望有个稀疏表达，这是从压缩或数据存储的角度希望达到的效果。从另一方面来讲，我们面对大量数据的时候，总是幻想能够发现其中的“规律”，那么在表示或处理的时候，直接操作这些提纲挈领的“规律”，会有效得多。这个事情，让很多的科学家都伤透脑筋，不过也因此有了饭碗。 1.1第一个例子 我们先来看一个简单的例子。在人文、管理或社会学里，实证研究方法是常用的方法。比如我们来考察大学生就业过程，对学生的选择工作类别的动机，我们常说“想吃劳保饭的同学铁了心要考公务员，喜欢轻松自由氛围的同学更趋向于外企，只想稳定的同学认为国企最好，富二代神马的最爱创业然后继承家产了”，这句话如果要严格来论证是不可能的，那么我们转而寻求“调查论证”，即通过设计问卷（问卷上设计了可能影响学生选择的因素，比如家庭情况、学业情况、性格取向、对大城市或家乡的热恋程度、以及人生观价值观等等各种我们可能会影响就业取向的因素）各种我们猜测会影响学生。 问卷上来后，我们通过统计得到如下的列表。 图1 第一个例子的统计表示例 表中的各个因素我们进行了量化，比如性格因素从完全内向到热情奔放分为5个等级（可以用一些问题来直接或间接获得这个等级）。那么剩下的问题就是回答开始的问题：
（1）是不是我们设计的每个因素都有效？（显然不是，之所以设计问卷就是要来解决这个问题的） （2）是什么因素影响了学生的最终选择？或者说，从统计上来看，每个因素占多大比重？ 这时，用矩阵来表示可写为，其中就表示那个因素矩阵，表示最终取向，代 表我们要求的系数。我们把要求的用代替，写成矩阵形式为： (1) 更进一步，如果我们不仅调查学生的去向，还想同时调查很多事情，那么就会有 ，这样上面的式子改写为： (2) 此时问题转化为： Q1：已知，如何求解，使之满足上面的等式，其中具有初始值（就是我们设计的 一堆东西）。 如果我们让固定，这就是一个方程求解的过程。然而，当我们认为也可以缩减，即认为很少样本就足够表示我们真实取得的样本，那么问题进一步转化为：Q2：如何同时求解和，使之满足。 或者我们也可以只对因素矩阵进行分解，即直接对其进行消减： (3) 其中，为消减后因素矩阵，为在基底下的表示系数，这里要求列数要大大低于的列数，否则就没有实际意义。 上面这个过程，就类似Paatero&T apper于1994年提出的实矩阵分解（Positive Matrix Factorization, PMF）模型，此模型后来被Lee&Seung提出的非负矩阵分解(Nonnegative Matrix Factorization, NMF/NNMF)模型所取代。 1.2 第二个例子 第一个例子为了给非数学、非信号处理的同学一个印象，写的罗里吧嗦，那第二个例子我们就简单写。 给定一组信号，如何找到对其进行稀疏表示？即如何找到满足的和，因为，这里要求且。 这个问题对信号处理的同学来说，太熟悉了。因为我们毕生的精力都在干这件事情。 如果去掉的非负限制，是有很多现成且高效的方法的，比如主成分分析（Principle Component Analysis，PCA）、独立成分分析（Independent Component Analysis，ICA）、因子分析（Factor Analysis，FA）等。然而，施加了非负限制后，这些方法就不适用了。而为什么要施加非负限制，回想第一个例子就明白了，我们最终找的是“影响因子”，因子会有负的么？ 于是，非负矩阵分解就出世了， 1.3 非负矩阵分解 非负矩阵分解（Non-negative Matrix Factorization，NMF）从1999年正式提出【1】至今，
基于约束非负矩阵分解的图像表示
对于图像的约束非负矩阵分解 摘要：非负矩阵分解(NMF)对于寻找非负数据的块基础和线性表示是一个常用的方法。它已经广泛的应用于各种应用，比如模式识别，信息检索，计算机视觉。但是，NMF本质上是一个非监督方法，不能利用标签信息。在本文中，我们提出一种新的半监督矩阵分解方法，叫约束非负矩阵分解(CNMF)，将标签作为附加约束合并进来。特别地，本文显示出结合标签信息能非常简洁地提高矩阵分解的识别能力。我们利用两个函数公式和提供的相应优化问题的更新解决方法来研究所提出的CNMF方法。通过实际数据的评估，我们所提出的方法和最先进的方法相比更有效。 索引词：非负矩阵分解，半监督学习，降维，聚类
1.简介 许多数据分析中一个基础的问题就是寻找一个合适的表示数据[1]，[2]，[3]，[4]，[5]，[6]，[7]，[8]。可以应用一个非常有效的方法表示数据之间的潜在结构。矩阵分解技术作为这类数据表示的基础工具已经得到越来越多的注意。运用不同的标准已经得到了大量不同的方法。最流行的技术包括主成分分析(PCA)[9]，奇异值分解(SVD)[10]，和向量量化[11]。矩阵分解的中心是找到两个或者更多的因子产生原始数据的一个好的逼近。在实际应用中，分解之后的矩阵维数通常远远小于原始数据的维数。这就引起了数据的压缩表示，促进了其他研究比如聚类和分类。 在矩阵分解方法中，非负矩阵分解(NMF)有一个限制即所有的矩阵因子都必须是非负的，即所有的因子必须大于等于零。这个非负性约束使NMF从感觉上只能对原始数据进行加操作不能减。因此，对于图像处理，人脸识别[2][12]，文件聚类[13][14]是一个理想的降维方法，它们就是由部分组成整体的。 NMF是一个非监督学习方法。NMF不能应用于许多实际的问题当专家认为是可行的有限知识中。但是许多机器语言的研究发现未标签的数据当与一些少量的标签数据相结合时在研究精确度上会产生相当大的提高[15][16][17]。全标签训练集的处理过程可能会很昂贵，然而少量的标签数据的获得相对便宜。在这种情况下，半监督学习方法就有很大的实用价值。因此，用半监督学习方法研究NMF 很有意义。 最近，蔡登等人提出了一种图表正则化NMF(GNMF)方法来编码数据空间的几何信息。GNMF构建一个最近邻图表模拟多种结构。当标签信息可行时，它自然地应用到图表结构中。特别地，如果两个数据点使用同一个标签，大的权重会被分配到边缘连接它们。如果两个数据点使用不同的标签，相应的权重都是0。这就引起了半监督GNMF。这个方法的最大缺点是相同类别的数据点将会一起映射到一个新的表示空间，而且怎样有原则的选取权重并不清晰，这一观点没有理论保证。 本文中，我们提出一种新的矩阵分解方法，叫约束非负矩阵分解(CNMF)，将标签信息作为附加的约束。我们算法的中心是相同类别的数据可以在一个新的表示空间中合并。这样，已经获得的部分表示就有和原始数据一致的标签，因此就有多的识别能力。我们方法的另一个优点是参数自由，避免了参数调试来获得更好的结果。这就使我们的算法更容易方便的应用于真实世界应用中。我们还讨论了怎样高效的解决相应的最优化问题。给出最优化收敛性证明。本文贡献如下：1.标准NMF是一个非监督学习算法不需要结合标签信息。本文中，我们将它扩展为半监督学习算法。此外，我们将标签信息作为约束；这样一来，有相同标签
基于矩阵分解的卡尔曼滤波技术分析及应用
基于矩阵分解的卡尔曼滤波技术分析及应用 【摘要】本文简要介绍了卡尔曼滤波研究的发展历程,重点对卡尔曼滤波及其在改善数值稳定性，提高计算效率等数值方面的研究与发展进行了综述，对Q-R 分解，U-D 分解，奇异值分解（SVD ）等在卡尔曼滤波的应用进行了介绍。最后给出了一种基于Q-R 矩阵分解的自适应滤波方法，仿真验证了其有效性。 1 引言 1960年，美籍科学家卡尔曼(R. E. Kalman)在系统状态空间模型的基础上提出了著名的线性卡尔曼滤波器，它在线性的前提假设下是一个线性无偏、最小方差估计器，从而可以为线性滤波问题提供精确解析解。自该技术被提出以来，它已成为控制、信号处理与通信等领域最基本最重要的计算方法和工具之一,并已成功地应用到航空、航天、电力系统及社会经济等不同领域。随着微型计算机的普及应用,对卡尔曼滤波的数值稳定性、计算效率、实用性和有效性的要求越来越高.为此,人们在如何改善卡尔曼滤波的计算复杂性和数值稳定性方面作了大量的探索工作,各种基于平方根滤波与平滑,U-D 分解滤波与平滑,奇异值分解滤波与平滑,状态与偏差分离滤波以及并行与分散滤波等方法得到不断发展.本文给出了矩阵分解的一些基础知识，并着重从卡尔曼滤波数值计算方法入手,对现有的常规卡尔曼滤波、基于矩阵的因式分解滤波的数值计算方法进行了较系统的介绍和分析,并在第四章给出了一种基于Q-R 矩阵分解的自适应滤波算法。 2 常规卡尔曼滤波 2.1 协方差卡尔曼滤波 考虑如下线性离散系统 k k k k k w x A x Γ+=+1 (2.1.1) k k k k v x C z += (2.1.2) 式中n k R x ∈是状态向量,m k R z ∈是量测向量,p k R w ∈是系统噪声向量,m k R v ∈是量测噪声向量.假设系统噪声和量测噪声是互不相关的零均值高斯白噪声,方差阵分别为k Q ，k R ，则协方差卡尔曼滤波方程为： 111|??---=k k k k x A x (2.1.3) T k k k k T k k k k Q A P A P 1111111|-------ΓΓ+= (2.1.4)
矩阵分解在优化方法中的应用
矩阵分解以及矩阵范数在数值计算中的应用 张先垒 （自动化与电气工程学院 控制科学与工程 2012210186） 【摘要】矩阵的分解是将一个矩阵分解为较为简单的或具有某种特性的若干矩阵的和或 者乘积，这是矩阵理论及其应用中比较常见的方法。由于矩阵的这些特殊的分解形式，一方面反映了矩阵的某些数值特性，如矩阵的秩、特征值、奇异值等；另一方面矩阵的分解方法与过程往往为某些有效的数值计算方法和理论分析提供了重要的依据，它是应用于解最优化问题、特征值问题、最小二乘方问题的主要数学工具。 关键词 ： 矩阵分解 对角化 逆矩阵 范数 条件数 1. 引言 矩阵分解在工程中的应用主要是在解线性方程组中,而这主要就是关系到储存和计算时间的问题上面,如何实现最小的储存和最少的计算时间是在工程计算中的头等问题。在这方年就牵涉到很多对矩阵进行怎样的分解，这篇文章介绍了基本的关于三角分解相关的内容以及关于界的稳定性的考虑。 2. 矩阵的三角分解求解线性方程组 数值求解线性方程组的方法中有一个主要是直接法，假设计算中没有舍入误差，经过有限次算术运算能够给出问题的精确解的数值方法。其中高斯消去法就是利用矩阵的分解实现的。矩阵论一种有效而且应用广泛的分解法就是三角分解法，将一个矩阵分解为一个酉矩阵（或正交矩阵）与一个三角矩阵的乘积或者三角矩阵与三角矩阵的乘积。（见课本P93例4.3）考虑一般的线性方程组，设其中的系数矩阵A 是可逆的， 1111 n m mn a a A a a ?? ? = ? ??? （1-1） 设矩阵A 的第一列中至少有一个是非零元素（否则A 就是奇异矩阵）不妨设为1i a 若一 般的记初等矩阵 [1] 如1-2式及矩阵论课本上的Givens 矩阵。
非负矩阵分解算法概述之Lee
非负矩阵分解算法概述 (吴有光 NOTE :本文为科普文章,尽量做到通俗而不严格,比较适合理论小白补补 NMF 历史第一部分 Lee&Seung的世界 1 引言 现实生活中的数据,我们总是希望有个稀疏表达,这是从压缩或数据存储的角度希望达到的效果。从另一方面来讲, 我们面对大量数据的时候, 总是幻想能够发现其中的“规律” , 那么在表示或处理的时候,直接操作这些提纲挈领的“规律” ,会有效得多。这个事情,让很多的科学家都伤透脑筋,不过也因此有了饭碗。 1.1第一个例子 我们先来看一个简单的例子。在人文、管理或社会学里,实证研究方法是常用的方法。比如我们来考察大学生就业过程, 对学生的选择工作类别的动机, 我们常说“ 想吃劳保饭的同学铁了心要考公务员, 喜欢轻松自由氛围的同学更趋向于外企, 只想稳定的同学认为国企最好,富二代神马的最爱创业然后继承家产了” ,这句话如果要严格来论证是不可能的,那么我们转而寻求“调查论证” ,即通过设计问卷(问卷上设计了可能影响学生选择的因素, 比如家庭情况、学业情况、性格取向、对大城市或家乡的热恋程度、以及人生观价值观等等各种我们可能会影响就业取向的因素各种我们猜测会影响学生。 问卷上来后,我们通过统计得到如下的列表。 图 1 第一个例子的统计表示例 表中的各个因素我们进行了量化,比如性格因素从完全内向到热情奔放分为 5 个等级 (可以用一些问题来直接或间接获得这个等级。那么剩下的问题就是回答开始的问题:
(1是不是我们设计的每个因素都有效?(显然不是,之所以设计问卷就是要来解决这个问题的 (2是什么因素影响了学生的最终选择?或者说,从统计上来看,每个因素占多大比重? 这时, 用矩阵来表示可写为 , 其中就表示那个因素矩阵, 表示最终取向, 代表我们要求的系数。我们把要求的用代替,写成矩阵形式为: (1 更进一步,如果我们不仅调查学生的去向,还想同时调查很多事情,那么就会有 ,这样上面的式子改写为: (2 此时问题转化为: Q1:已知 ,如何求解
基于矩阵分解的协同过滤算法
万方数据
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基于矩阵分解的协同过滤算法 作者：李改， 李磊， LI Gai， LI Lei 作者单位：李改,LI Gai(顺德职业技术学院,广东顺德528333;中山大学信息科学与技术学院,广州510006;中山大学软件研究所,广州510275)， 李磊,LI Lei(中山大学信息科学与技术学院,广州510006;中山大学软件研究 所,广州510275) 刊名： 计算机工程与应用 英文刊名：Computer Engineering and Applications 年，卷(期)：2011,47(30) 被引用次数：1次 参考文献(18条) 1.Wu J L Collaborative filtering on the Nefifix prize dataset 2.Ricci F.Rokach L.Shapira B Recommender system handbook 2011 3.Adomavicius G.Tuzhilin A Toward the next generation of recommender systems:a survey of the state-of-the-art and possible extenstions 2005(06) 4.Bell R.Koren Y.Volinsky C The bellkor 2008 solution to the Netflix prize 2007 5.Paterek A Improving regularized singular value decomposition for collaborative filtering 2007 6.Lee D D.Seung H S Leaming the parts of objects by non-negative matrix factorization[外文期刊] 7.徐翔.王煦法基于SVD的协同过滤算法的欺诈攻击行为分析[期刊论文]-计算机工程与应用 2009(20) 8.Pan R.Zhou Y.Cao B One-class collaborative filtering 2008 9.Pan R.Martin S Mind the Gaps:weighting the unknown in largescale one-class collaborative filtering 2009 https://www.360docs.net/doc/6a1723081.html,flix Netflix prize 11.罗辛.欧阳元新.熊璋通过相似度支持度优化基于K近邻的协同过滤算法[期刊论文]-计算机学报 2010(08) 12.汪静.印鉴.郑利荣基于共同评分和相似性权重的协同过滤推荐算法[期刊论文]-计算机科学 2010(02) 13.Hadoop[E B/OL] 14.Apache MapReduce Architecture 15.Wbite T.周敏.曾大聃.周傲英Hadoop权威指南 2010 16.Herlocker J.Konstan J.Borchers A An algorithmic framework for performing collaborative filtering 1999 17.Linden G.Smith B.York J https://www.360docs.net/doc/6a1723081.html, recommendations:Itemto-item collaborative filtering[外文期刊] 2003 18.Sarwar B.Karypis G.Konstan J ltem-based collaborative filtering recommendation algorithms 2001 引证文献(1条) 1.沈韦华.陈洪涛.沈锦丰基于最佳匹配算法的精密零件检测研究[期刊论文]-科技通报 2013(5) 本文链接：https://www.360docs.net/doc/6a1723081.html,/Periodical_jsjgcyyy201130002.aspx
超分辨率算法综述
图像超分辨率算法综述 摘要：介绍了图像超分辨率算法的概念和来源，通过回顾插值、重建和学习这3个层面的超分辨率算法，对图像超分辨率的方法进行了分类对比，着重讨论了各算法在还原质量、通用能力等方面所存在的问题，并对未来超分辨率技术的发展作了一些展望。 关键词：图像超分辨率；插值；重建；学习； Abstract:This paper introduced the conception and origin of image super resolu- tion technology. By reviewing these three kinds of methods(interpolation,reconstruct, study), it contrasted and classified the methods of image super-resolution,and at last, some perspectives of super-resolution are given. Key words: image super-resolution;interpolation;reconstruct;study;
1 引言 1.1 超分辨率的概念 图像超分辨率率(super resolution,SR)是指由一幅低分辨率图像(low resolution,LR)或图像序列恢复出高分辨率图像(high resolution， HR)。HR意味着图像具有高像素密度，可以提供更多的细节，这些细节往往在应用中起到关键作用。要获得高分辨率图像，最直接的办法是采用高分辨率图像传感器，但由于传感器和光学器件制造工艺和成本的限制[1]，在很多场合和大规模部署中很难实现。因此，利用现有的设备，通过超分辨率技术获取HR图像(参见图1)具有重要的现实意义。 图1 图像超分辨率示意图 图像超分辨率技术分为超分辨率复原和超分辨率重建，许多文献中没有严格地区分这两个概念，甚至有许多文献中把超分辨率图像重建和超分辨率图像复原的概念等同起来，严格意义上讲二者是有本质区别的，超分辨率图像重建和超分辨率图像复原有一个共同点，就是把在获取图像时丢失或降低的高频信息恢复出来。然而它们丢失高频信息的原因不同，超分辨率复原在光学中是恢复出超过衍射级截止频率以外的信息，而超分辨率重建方法是在工程应用中试图恢复由混叠产生的高频成分。几何处理、图像增强、图像复原都是从图像到图像的处理，即输入的原始数据是图像，处理后输出的也是图像，而重建处理则是从数据到图像的处理。也就是说输入的是某种数据，而处理结果得到的是图像。但两者的目的是一致的，都是由低分辨率图像经过处理得到高分辨率图像。另外有些文献中对超分辨率的概念下定义的范围比较窄，只是指基于同一场景的图像序列和视频序列的超分辨处理，实际上，多幅图像的超分辨率大多数都是以单幅图像的超分辨率为基础的。在图像获取过程中有很多因素会导致图像质量下降，如传感器的形
(完整word版)矩阵分解及其简单应用
对矩阵分解及其应用 矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质若干矩阵之积或之和，大体分为三角分解、QR 分解、满秩分解和奇异值分解。矩阵的分解是很重要的一部分内容，在线性代数中时常用来解决各种复杂的问题，在各个不同的专业领域也有重要的作用。秩亏网平差是测量数据处理中的一个难点，不仅表现在原理方面，更表现在计算方面，而应用矩阵分解来得到未知数的估计数大大简化了求解过程和难度。 1. 矩阵的三角分解 如果方阵A可表示为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U之积，即A=LU 则称A可作三角分解。矩阵三角分解是以Gauss消去法为根据导出的，因此矩阵可以进行三角分解的条件也与之相同，即矩阵A的前n-1个顺序主子式都不为0, 即?k工0.所以在对矩阵A进行三角分解的着手的第一步应该是判断是否满足这个前提条件，否则怎么分解都没有意义。矩阵的三角分解不是唯一的，但是在一定的前提下， A=LDU勺分解可以是唯一的，其中D是对角矩阵。矩阵还有其他不同的三角分解，比如Doolittle 分解和Crout 分解，它们用待定系数法来解求 A 的三角分解，当矩阵阶数较大的时候有其各自的优点，使算法更加简单方便。 矩阵的三角分解可以用来解线性方程组Ax=b。由于A=LU，所以Ax=b可以变换成LU x=b，即有如下方程组： Ly = b { {Ux = y 先由Ly = b依次递推求得y i, y2, ........ ，y n，再由方程Ux = y依次递推求得X n， x n-1 ， ... ，X1 . 必须指出的是，当可逆矩阵A不满足?k工0时，应该用置换矩阵P左乘A以便使PA 的n个顺序主子式全不为零，此时有： Ly = pb { { Ux = y 这样，应用矩阵的三角分解，线性方程组的解求就可以简单很多了。 2. 矩阵的QF分解 矩阵的QR分解是指，如果实非奇异矩阵A可以表示为A=QR其中Q为正交矩阵，R为实非奇异上三角矩阵。QR分解的实际算法各种各样，有Schmidt正交方
线性规划问题的算法综述
线性规划问题的算法综述 本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！ 线性规划概念是在1947年的军事行动计划有关实践中产生的，而相关问题1823年Forier和口1911年PQusi就已经提出过，发展至今已有将近100年的历史了。现在已成为生产制造、市场营销、银行贷款、股票行情、出租车费、统筹运输、电话资费、电脑上网等等热点现实问题决策的依据。线性规划就是在满足线性约束下，求线性函数的极值。 毋庸置疑，数学规划领域的重大突破总是始于线形规划。提到线性规划算法，人们最先想到的是单纯形法和内点法。单纯形法是实际应用中使用最普遍的一种线性规划算法，而研究者们已证明在最坏的情况下单纯形法的计算复杂度是指数级的，内点算法的计算复杂度是多项式时间的。把两种算法相提并论，要么是这两种算法都已经非常完备，要么都有需改进之处。显然不属于前者，即两者都有需要改进之处。几十年来，研究者通过不断努力，在两种算法的计算上都取得相当的进展。 1数学模型
线性规划问题通常表示成如下两种形式:标准型、规范型。 设jj(2…，n)是待确定的非负的决策变量；认2…，n)是与决策变量相对应的价格系数；K2…mj=l2…n)是技术系数；b(i12…，m)是右端项系数； 线性规划是运筹学最基本、运用最广泛的分支，是其他运筹学问题研究的基础。在20世纪50年代到60年代期间，运筹学领域出现许多新的分支：非线性规划（nonlinearprogranming、商业应用（crnxmereialpplieation、大尺度方法(laresealemeh-Qd)随机规划（stochasticPKgiamniig)、整数规划(ntegerprogramming)、互补转轴理论（amplmentaiyPivotheor)多项式时间算法（polynomialtjneagatm)等。20世纪70年代末，上述分支领域都得到了极大发展，但是却都不完善。而且数学规划领域中存在许多Nfkhard问题，如TP问题，整数规划问题等。这些问题的基本模型都可以写成线性规划形式，因此通过对线性规划算法的进一步研究，可以进一步启发及推动数学规划领域内其他分支的发展。 2边界点算法 由于单纯形法与基线算法都是在可行集的边界上
MATLAB 矩阵分解算法大全
(1)LU 分解法程序：function x=solvebyLU(A,b) % 该函数利用LU分解法求线性方程组Ax=b的解 flag=isexist(A,b); %调用第一小节中的isexist函数判断方程组解的情况if flag==0 disp('该方程组无解！'); x=[]; return; else r=rank(A); [m,n]=size(A); [L,U,P]=lu(A); y(1)=b(1); if m>1 for i=2:m y(i)=b(i)-L(i,1:i-1)*y(1:i-1)'; end end y=y'; % 解Ux=y得原方程组的一个特解 x0(r)=y(r)/U(r,r); if r>1 for i=r-1:-1:1 x0(i)=(y(i)-U(i,i+1:r)*x0(i+1:r)')/U(i,i); end end x0=x0'; if flag==1 %若方程组有唯一解 x=x0; return; else %若方程组有无穷多解 format rat; Z=null(A,'r'); %求出对应齐次方程组的基础解系 [mZ,nZ]=size(Z); x0(r+1:n)=0; for i=1:nZ t=sym(char([107 48+i])); k(i)=t; %取k=[k1,k2...,]; end x=x0; for i=1:nZ x=x+k(i)*Z(:,i); %将方程组的通解表示为特解加对应齐次通解形式 end end end (2)矩阵的QR分解法（c语言）：
void QR(double a[N][N],double q[N][N],double r1[N][N],int n) /*QR分解*/ { int i,j,k,r,m; double temp,sum,dr,cr,hr; double ur[N],pr[N],wr[N]; double q1[N][N],emp[N][N]; for(i=1;i 线性系统的求解是数值分析中的一个基本问题。线性系统的求解在电路分析中典型的应用就是用基尔霍夫电压定律和基尔霍夫电流定律求解电路。下面的五个方程组是对一个典型的电路系统的描述：5I1+5I2=V;I3-I4-I5=0;2I4-3I5=0;I1-I2-I3=0;5I2-7I3-2I4=0;当系统确定以后I1, I2，I3，I4，I5前面的系数就确定了。I1，I2，I3，I4，I5的具体数值将随输入电压值V5的变化而改变。求解线性系统解（也就是求解矩阵的解）常用的方法有Gaussian Elimination with Backward Substitution 法，LU Factorization法，LDL T Factorization 法和Choleski 法。其中Gaussian Elimination with Backward Substitution 法最为简单直接，它的思路就是将系数矩阵化简为一个上三角矩阵或者化简为一个下三角矩阵。但是它消耗的资源最多，以一个可描述为5*5矩阵的系统而言它需要5*5*5/3次乘法运算，即大约42次乘法运算。但系统大到100*100时这种方法的计算量非常可观。这种方法不适合处理很大的矩阵。作为Gaussian Elimination with Backward Substitution 法的改进LU Factorization（也叫LU分解法）法的思路是将系统矩阵分解成为一个上三角矩阵和一个下三角矩阵进行运算。这样的话极为方便求解迭代。假设系统为n*n的系统，那么LU分解的方法将计算量由n*n*n/3降低到2*n*n。对于一个100*100的系统LU分解法的计算量仅仅是Elimination with Backward Substitution 法的3%。尽管在决定L矩阵和U矩阵时依然需要n*n*n/3次运算但是系统一旦定下来后是不会有大的改动的，往往是外部条件改变也就是说5I1+5I2=V;I3-I4-I5=0;2I4-3I5=0;I1-I2-I3=0;5I2-7I3-2I4=0;这个系统的系数是不会经常变的，常变的只是外部条件V。LU分解法适应的范围极宽，他对系统没有特殊的要求。当描述系统的矩阵大于6*6时选用LU分解法会更为节省资源，当系统小于6*6时Elimination with Backward Substitution法效率会更高些。LDL T Factorization 法和Choleski 法和LU分解法很像似，基本思路也是将系统矩阵分解成上三角矩阵和下三角矩阵。但是这两种方法要求系统的矩阵必须是正定的，也就是说系统的任意阶行列式必需为正。这样对系统的要求就严格一些。LDL T Factorization 法需要n*n*n/6+n*n-7*n/6次乘法和n*n*n/6-n/6次加减法。Choleski 法则仅仅需要n*n*n/6+n*n/2-2*n/3次乘法和n*n*n/6-n/6次加减法。当系统较大时不失为两种很好的选择。 矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具有特殊性质若干矩阵之积或之和，大体分为三角分解、分解、满秩分解和奇异值分解.矩阵地分解是很重要地一部分内容，在线性代数中时常用来解决各种复杂地问题，在各个不同地专业领域也有重要地作用.秩亏网平差是测量数据处理中地一个难点，不仅表现在原理方面，更表现在计算方面，而应用矩阵分解来得到未知数地估计数大大简化了求解过程和难度. 矩阵地三角分解 如果方阵可表示为一个下三角矩阵和一个上三角矩阵之积，即，则称可作三角分解.矩阵三角分解是以消去法为根据导出地，因此矩阵可以进行三角分解地条件也与之相同，即矩阵地前个顺序主子式都不为，即.所以在对矩阵进行三角分解地着手地第一步应该是判断是否满足这个前提条件，否则怎么分解都没有意义.矩阵地三角分解不是唯一地，但是在一定地前提下，地分解可以是唯一地，其中是对角矩阵.矩阵还有其他不同地三角分解，比如分解和分解，它们用待定系数法来解求地三角分解，当矩阵阶数较大地时候有其各自地优点，使算法更加简单方便.资料个人收集整理，勿做商业用途 矩阵地三角分解可以用来解线性方程组.由于，所以可以变换成，即有如下方程组：资料个人收集整理，勿做商业用途 先由依次递推求得,,……，，再由方程依次递推求得，，……，. 资料个人收集整理，勿做商业用途 必须指出地是，当可逆矩阵不满足时，应该用置换矩阵左乘以便使地个顺序主子式全不为零，此时有：资料个人收集整理，勿做商业用途 这样，应用矩阵地三角分解，线性方程组地解求就可以简单很多了. 矩阵地分解 矩阵地分解是指，如果实非奇异矩阵可以表示为，其中为正交矩阵，为实非奇异上三角矩阵.分解地实际算法各种各样，有正交方法、方法和方法，而且各有优点和不足.资料个人收集整理，勿做商业用途 ．正交方法地分解 正交方法解求分解原理很简单，容易理解.步骤主要有：）把写成个列向量（，，……，），并进行正交化得（，，……，）；) 单位化，并令（，，……，），（，，……，），其中；）. 这种方法来进行分解，过程相对较为复杂，尤其是计算量大，尤其是阶数逐渐变大时，就显得更加不方便.资料个人收集整理，勿做商业用途 ．方法地分解 方法求分解是利用旋转初等矩阵，即矩阵()来得到地，()是正交矩阵，并且(()).()地第行第列 和第行第列为，第行第列和第行第列分别为和，其他地都为.任何阶实非奇异矩阵可通过左连乘()矩阵（乘积为）化为上三角矩阵，另，就有.该方法最主要地是在把矩阵化为列向量地基础上找出和，然后由此把矩阵地一步步向上三角矩阵靠近.方法相对正交方法明显地原理要复杂得多，但是却计算量小得多，矩阵()固有地性质很特别可以使其在很多方面地应用更加灵活.资料个人收集整理，勿做商业用途 ．方法地分解 方法分解矩阵是利用反射矩阵，即矩阵，其中是单位列向量，是正交矩阵，.可以证明，两个矩阵地乘积就是矩阵，并且任何实非奇异矩阵可通过连乘矩阵（乘积为）化为上三角矩阵，则.这种方法首要地就是寻找合适地单位列向量去构成矩阵， 非负矩阵分解文献综述 一、国内外研究现状 近年来,技术传感器技术和计算机硬件的发展导致数据量的增加,许多经典数据分析工具被迅速压倒.因为信息采集设备只有有限的带宽,收集到的数据并不经常准确.其次,在很多情况下,从复杂现象观察到的数据,其往往代表几个相互关联的变量共同作用的综合结果.当这些变量更少的精确定义时,在原始数据中包含的实际信息往往是重叠的、模糊的.为了处理这些海量数据,科学家产生了新的关注. 1999年,在刊物Nature上,Daniel Lee 和Sebastian Seung开始的一系列新的NMF的研究,数以百计的论文引用Lee 和Seung的论文,但一些较不为人知的事实是,在Lee 和Seung 的论文发表之前,Pentti Paatero开始了相关的工作. 虽然Lee和Seung引用Paatero的论文,Lee和Seung将Paatero的工作称为正矩阵分解，然而，Paatero的工作很少被后来的作者所引用.这是因为Paatero 将其工作称为正矩阵分解,这是误导Paatero创建NMF算法。实际上Paatero年前发表了他最初的分解算法[1]. 2005年,Lin为了加速Lee和Seung的NMF迭代算法的收敛速度，最近提出使用投影梯度有约束的优化方法[2]，该方法与标准的(乘法更新规则)的方法相比，计算似乎有更好的收敛性.使用某些辅助约束,可以降低分解有约束的优化假设,降低投影梯度方法的局限性. 2007年,V.Blondel等对标准NMF算法进行了加权改进，提出了加权NMF方法[3]。通过加权,更好的表述了数据中的重要区域.其加权方法是：首先,定义数据中的重要区域,然后，在优化过程中，如果在该重要区域中重建错误,就给他分配更多的权重. 国内对NMF的研究相对开始的较晚.2001 年,原微软中国研究院的李子青博士、张宏江博士等人发现Lee和Seung提出的经典NMF算法在人脸图像未得到配准的情况下,不能学习得到人脸的部件.并提出了局部非负矩阵分解来解决这个问题[4].Chen 等人将LNMF算法应用于人脸检测并取得了较好的效果.现为中科院自动化所生物识别与安全技术研究中心主任的李子青带领他的团队,于2009 年,提出了基于吉布斯随机场的 NMF 算法[4],该算法的收敛速度较快，并且得到的分解结果具有较好的稀疏性和可解释性.清华大学信息科学与技术国家实验室的章毓晋教授、李乐博士对非负矩阵分解的研究做了大量的工作,对 NMF 算法的研究现状进行了综述，对已有的NMF算法进行了很好的分类,指出各个NMF算法的缺点,并提出了改进的算.针对NMF的先天缺陷,即数据描述能不强、推广性差,提出了非负矩阵集分解的概念和相应的算法[4]. 浙江大学计算机学院的蔡登教授等人针对流形数据提出了图正则非负矩阵分 《线性代数与矩阵分析》课程小论文 矩阵分解及其应用 学生姓名：****** 专业：******* 学号：******* 指导教师：******** 2015年12月 Little Paper about the Course of "Linear Algebra and Matrix Analysis" Matrix Decomposition and its Application Candidate:****** Major:********* StudentID:****** Supervisor:****** 12,2015 中文摘要 将特定类型的矩阵拆解为几个矩阵的乘机称为矩阵的分解。本文主要介绍几种矩阵的分解方法，它们分别是矩阵的等价分解、三角分解、谱分解、奇异值分解和 Fitting 分解等。矩阵的分解理论和方法是矩阵分析中重要的部分，在求解矩阵的特征值、解线性方程组以及实际工程中有着广泛的运用。因此，本文将介绍矩阵等价分解、三角分解、奇异值分解的理论运用以及三角分解的工程运用。 关键词：等价分解,三角分解,奇异值分解,运用 Abstract Many particular types of matrix are split into the product of a matrix of several matrices, which is called decomposition of matrix. In this paper, we introduce some methods of matrix decomposition, which are equivalent decomposition, triangular decomposition, spectral decomposition, singular value decomposition, Fitting decomposition and so on. The decomposition theory and method of matrix is an important part of matrix analysis, which is widely used in solving the characteristic value, solving linear equations and the practical engineering. In this paper, we will introduce the theory of matrix equivalence decomposition, triangular decomposition, singular value decomposition and the engineering application of triangular decomposition. Key words：Equivalent Decomposition, Triangular Decomposition, Singular Value Decomposition, Application 矩阵分析几种矩阵分解方法的对比
矩阵分解及其简单应用
文献综述部分参考写法
矩阵分解及其应用
第四章 矩阵分解
第四章 矩阵分解
§4.1: 矩阵的满秩分解 §4.2: 矩阵的正交三角分解 §4.3: 矩阵的奇异值分解 §4.4: 矩阵的极分解 §4.5: 矩阵的谱分解
矩阵分解前言
矩阵分解定义: 将一个已知矩阵表示为另一些较为简单或 较为熟悉的矩阵的积(或和)的过程称为矩阵分解. 例:(1)对任意n阶正规矩阵A,存在酉阵U∈Un×n使 A=Udiag(λ1,…,λn)U*, 其中λ1,…,λn为A的所有特征值的任一排列. (2)对任意n阶正定矩阵A,存在可逆阵Q∈Cnn×n使A=Q*Q,或存 在唯一正定阵B使A=BB. 矩阵分解意义:有利于研究已知的矩阵. 例如,利用正定阵A的平方根B为正定阵可证: 对任意Hermite阵H,AH或HA都有实特征值.
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( AH～(A1/2)-1AHA1/2=A1/2HA1/2∈Hn×n )
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初等变换与初等矩阵(p73)
三类初等变换: (行(列)变换←→左(右)乘) (1)将矩阵A的两行互换等价于用第一类初等矩阵P(i,j)左 乘A; (2)将矩阵A的第i行乘以k≠0等价于用第二类初等矩阵 P(i(k))=diag(1,…,1,k,1,…,1)左乘A. (3)将矩阵A的第j行乘以k≠0后再加到第i行等价于左乘第 三类初等矩阵P(i,j(k)).
P (i , j ) =
?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 0 1 1 1 0 1 1
初等变换与初等矩阵举例
?1 ?? 1 4 7 ? ? 1 4 7 ? ? 0 1 ?? 2 5 8 ? = ? 3 6 9 ? ; ? ?? ? ? ? ? 1 0 ?? 3 6 9 ? ? 2 5 8 ? ? ?? ? ? ? ?1 4 7??1 ? ? 1 7 4? ? 2 5 8?? 0 1? = ? 2 8 5? ? ?? ? ? ? ? 3 6 9?? 1 0? ? 3 9 6? ? ?? ? ? ?
?1 ??1 4 7? ? 1 4 7 ? ? ?? ? ? ? 0.2 ? ? 2 5 8 ? = ? 0.4 1 1.6 ? ; ? ? 1?? 3 6 9 ? ? 3 6 9 ? ? ?? ? ? ?
?1 4 7??1 ? ? 1 4 7 / 9? ? ?? ? ? ? ? 2 5 8?? 1 ? = ? 2 5 8/9? ? 3 6 9?? 1/ 9 ? ? 3 6 1 ? ? ?? ? ? ?
---- i ---- j
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1?
P (i , j ( k )) =
?1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?
1
k 1
? ? ? ? ---? ? ? ---? ? ? 1?
i j
3
?1 ?? 1 2 3? ? 1 2 3 ? ? ?? ? ? ? ? ?4 1 ? ? 4 5 6 ? = ? 0 ?3 ?6 ? ; ? 1?? 7 8 9? ? 7 8 9 ? ? ?? ? ? ?
?3 ? ? 1 2 0 ? ? 1 2 3??1 ? ?? ? ? ? ? 4 5 6?? 1 ? = ? 4 5 ?6 ? ?7 8 9?? 1 ? ? 7 8 ?12 ? ? ?? ? ? ?
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初等变换与初等矩阵的性质
3类初等矩阵都是可逆的(行列式不为0). 将A依次作初等矩阵P1,…,Pr对应的行(列)初等变换等价 于左(右)乘A以可逆矩阵Pr…P1(P1…Pr). 可适当选第一类初等矩阵的乘积P使PA(AP)的行(列)是A 的行(列)的任意排列; 可适当选第三类初等矩阵 P(i,j(k))中的k使P(i,j(k))A的(i,j)元变为0; 可适当选第二类初等矩阵P(i(k))中的k使P(i(k))A的非 零(i,i)元变为1. 存在初等矩阵的乘积P和Q,使PAQ= ,其中r=rankA.
初等变换与初等矩阵的性质续
命题:设A∈Crm×n前r列线性无关,则用初等行变换可把A变为
? Er ? ? 0 ?1 ? ? D? ? = ? ? 0 ? ? ? ? ? ? 1 1 * * * * *? ? *? *? ? *? ? ? ? ?
一般地,?A∈Crm×n都存在m,n阶可逆阵P和Q使PAQ=
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证:因前r列线性无关,故用第一类初等矩阵左乘可使A的 (1,1)元≠0. 再用第二类初等矩阵左乘可使a11=1; 最后用若干第三类初等矩阵左乘可使A的第一列=e1. 因前2列线性无关,故新的第2列与e1线性无关且≠0, 故用第一类行变换可使(2,2)元≠0,…可使A的第2列=e2. ….可使A的第r列=er.此时空白处必为0元.
安徽大学 章权兵
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