高三函数的基本性质知识整理

函数的基本性质

求函数定义域的常用方法（在研究函数问题时要树立定义域优先的原则）：

1根据解析式要求如偶次根式的被开方大于零，分母不能为零，对数log a x 中0,0x a >>且1a ≠，三角形中0A π<<, 最大角3π≥，最小角3π≤等。

如（1）函数lg 3y x -____(求交集答：(0,2)(2,3)(3,4)U U )； （2）若函数2743

kx y kx kx +=++的定义域为R ，则k ∈_______(判别式法答：30,4??????)； （3）函数()f x 的定义域是[,]a b ，0b a >->，则函数()()()F x f x f x =+-的定义域是__________(求交集构建不等式组答：[,]a a -)；

（4）设函数2()lg(21)f x ax x =++，①若()f x 的定义域是R ，求实数a 的取值范围；②若()f x 的值域是R ，求实数a 的取值范围（答：①分类研究，借助判别式1a >；② 认识复合函数定义域和值域的制约关系研究，内层函数遍取所有正实数，01a ≤≤）

2根据实际问题的要求确定自变量的范围。

3复合函数的定义域：

若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤解出即可；若已知[()]f g x 的定义域为[,]a b ,求()f x 的定义域，相当于当[,]x a b ∈时，求()g x 的值域（即()f x 的定义域）。 如（1）若函数)(x f y =的定义域为??

????2,21，则)(log 2x f 的定义域为__________（构建不等式答：{}42|≤≤x x ）；（2）若函数2(1)f x +的定义域为[2,1)-，则函数()f x 的定义域为________（求内层的值域答：

[1,5]）．

求函数值域（最值）的方法：

1 配方法――二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]m n 上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系）， 如（1）求函数225,[1,2]y x x x =-+∈-的值域（答：[4,8]）；（2）当]2,0(∈x 时，函数3)1(4)(2-++=x a ax x f 在2=x 时取得最大值，则a 的取值范围是___（答：21

-≥a ）；（3）已知()3(24)x b f x x -=≤≤的图象

过点（2,1），则1212()[()]()F x f x f x --=-的值域为______（答：[2, 5]） 2 换元法――通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，

如（1）22sin 3cos 1y x x =--的值域为_____（答：17[4,]8

-）；（2）

21y x =++的值域为_____（答：(3,)+∞t =，0t ≥。运用换元法时，要特别要注意新元t 的范围）；（3）sin cos sin cos y x x x x =++g

的值域为____（答：1[1,2-）；（4）4y x =+的值域为____

（答：4]）；

3函数有界性法――直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，来确定所求函数的值域，最常用的就是三角函数的有界

性，如求函数2sin 11sin y θθ-=+，313x x y =+，2sin 11cos y θθ-=+的值域（答： 1(,]2

-∞、（0,1）、3(,]2

-∞）；

4单调性法――利用一次函数，反比例函数，对号函数 ()为常数b a u b au ,+，指数函数，对数函数等函数的单调性求值域，

如求1(19)y x x x =-<<，229sin 1sin y x x =++，532log x y -=+的值域为______（答：80(0,)9、11[,9]2

、[2,10]）； 5 数形结合法――函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，

如（1）已知点(,)P x y 在圆221x y +=上，求

2y x +及2y x -的取值范围

（答：

[、[）；（2）求函数y （答：[10,)+∞）；

（3）求函数y =y 的值域（答：

)+∞、(）

注意：求两点距离之和时，要将函数式变形，使两定点在x 轴的两侧，而求两点距离之差时，则要使两定点在x 轴的同侧。

6 判别式法――对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式： ①2b

y k x =+型，可直接用不等式性质，如求232y x

=+的值域（答：3(0,]2

） ②2bx y x mx n =++型，先化简，再用均值不等式，

如（1）求21x y x =

+的值域（答：11,22??-????）；（2）

求函数y （答：1[0,]2） ③22x

m x n y x mx n ''++=++型，通常用判别式法；如已知函数2328log 1

mx x n y x ++=+的定义域为R ，值域为[0，2]，求常数,m n 的值（答：5m n ==）④2x m x n y mx n

''++=+型，可用判别式法或均值不等式法，如求211

x x y x ++=+的值域（答：(,3][1,)-∞-+∞U ）

7不等式法

――利用基本不等式,)a b a b R ++≥∈求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。如设12,,,x a a y 成

等差数列，12,,,x b b y 成等比数列，则2

1221)(b b a a +的取值范围是____________.（答：(,0][4,)-∞+∞U ）。

提醒：（1）求函数的定义域、值域时，你按要求写成集合形式了吗？（2）函数的最值与值域之间有何关系？

求函数解析式的常用方法：

1待定系数法――已知所求函数的类型（二次函数的表达形式有三种：一般式：2()f x ax bx c =++；顶点式：2()()f x a x m n =-+；零点式：12()()()f x a x x x x =--，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式）。如已知()f x 为二次函数，且 )2()2(--=-x f x f ，且f(0)=1,图象在x 轴上截得的线段长为22,求()f x 的解析式 。（答：21()212

f x x x =++） 2代换（配凑）法 （换元法）――

已知形如(())f g x 的表达式，求()f x 的表达式。

如（1）已知,sin )cos 1(2x x f =-求()2

x f 的解析式（答

：242()2,[f x x x x =-+∈）； （2）若221)1(x

x x x f +=-，则函数)1(-x f =_____（答：223x x -+）； （3）若函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当),0(+∞∈x 时，)1()(3x x x f +=，那么当)0,(-∞∈x 时，)(x f =________

（答：(1x ）. 这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即()f x 的定义域应是()g x 的值域。

3方程的思想――已知条件是含有()f x 及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于()f x 及另外一个函

数的方程组。如（1）已知()2()32f x f x x +-=-，求()f x 的解析式（答：

2()33

f x x =--）；

（2）已知()f x 是奇函数，)(x g 是偶函数，且()f x +)(x g = 1

1-x ,则()f x = __（答：21x x -）。 函数的奇偶性。

1具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。如若函数)(x f 2sin(3)x θ=+，

[25,3]x απα∈-为奇函数，其中)2,0(πθ∈，则θα-的值是 （答：0）； 2确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：

①定义法：如判断函数

y ____（答：奇函数）。

②利用函数奇偶性定义的等价形式：()()0f x f x ±-=或

()1()f x f x -=±（()0f x ≠）。如判断11()()212

x f x x =+-的奇偶性___.（答：偶函数） ③ 图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称。

（3）函数奇偶性的性质：

①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.

② 如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数. ③ 若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==.如若定义在R 上的偶函数()f x 在(,0)-∞上是减函数，且)3

1(f =2，则不等式2)(log 81>x f 的解

集为______.（答：(0,0.5)(2,)+∞U ）

④若奇函数()f x 定义域中含有0，则必有(0)0f =.故(0)0f =是()

f x 为奇函数的既不充分也不必要条件。如若22()21

x

x a a f x +-=+·为奇函数，则实数a ＝____（答：1）.

⑤ 定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。如设)(x f 是定义域为R 的任一函数， ()()()2f x f x F x +-=，()()()2

f x f x G x --=。①判断)(x F 与)(x G 的奇偶性； ②若将函数)110lg()(+=x x f ，表示成一个奇函数)(x

g 和一个偶函数)(x

h 之和，则)(x g ＝____（答：①)(x F 为偶函数，)(x G 为奇函数；②)(x g ＝1

2

x ）

○

6 既奇又偶函数有无穷多个（()0f x =，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.

函数的单调性。

1确定函数的单调性或单调区间的常用方法：

在解答题中常用：定义法（取值――作差――变形――定号） 2在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等，特别要注意

(0b y ax a x

=+> 0)b >型函数的图象和单调性在解题中的运用：增区间为

(,)-∞+∞，减区间为[.如（1）若函数2)1(2)(2+-+=x a x x f 在区间（－∞，4] 上是减函数，那么实数a 的

取值范围是______(答：3-≤a ）)；（2）已知函数1()2

ax f x x +=+在区间()2,-+∞上为增函数，则实数a 的取值范围_____（答：1(,)2

+∞）；（3）若函数()()log 40,1a a f x x a a x ??=+->≠ ???

且的值域为R ，

则实数a 的取值范围是______(答：04a <≤且1a ≠))；

3复合函数法：（1）复合函数单调性的特点是同增异减，如函数()212

log 2y x x =-+的单调递增区间是________(答：（1,2）)。

（2）特别提醒：求单调区间时，一是勿忘定义域，如若函数

2()log (3)a f x x ax =-+在区间(,]2

a -∞上为减函数，求a 的取值范围（答：

(1,）；二是在多个单调区间之间不一定能添加符号“U ”和“或”；三是单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示．

（3）你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?（①比较大小；②解不等式；③求参数范围）.如已知奇函数)(x f 是定义在)2,2(-上的减函数,若0)12()1(>-+-m f m f ，求实数m 的取值范围。（答：1223

m -<<） 抽象函数：

抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式，只给出了其它一些条件（如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等）的函数问题。求解抽象函数问题的常用方法是：

1借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 ：

①正比例函数型：

()(0)f x kx k =≠ ---------------()()()f x y f x f y ±=±；

②幂函数型：2()f x x = --------------()()()f xy f x f y =，

()()()

x f x f y f y =； ③指数函数型：()x f x a = ------------()()()f x y f x f y +=，()()()

f x f x y f y -=； ④对数函数型：()lo

g a f x x = -----()()()f xy f x f y =+，

()()()x f f x f y y

=-； ⑤三角函数型：()tan f x x = ----- ()()()1()()

f x f y f x y f x f y ++=-。如已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，

且为周期函数，若它的最小正周期为T ，则=-)2

(T f ____（答：0） 2 利用函数的性质（如奇偶性、单调性、周期性、对称性等）进行演绎探究：

如（1）设函数()()f x x N ∈表示x 除以3的余数，则对任意的,x y N ∈，都有 A 、(3)()f x f x += B 、()()()f x y f x f y +=+ C 、(3)3()f x f x = D 、()()()f xy f x f y =（答：A ）；

（2）设)(x f 是定义在实数集R 上的函数，且满足)()1()2(x f x f x f -+=+，如果2

3lg )1(=f ，15lg )2(=f ，求)2001(f （答：1）；

（3）如设)(x f 是定义在R 上的奇函数，且)()2(x f x f -=+，证明：直线1=x 是函数)(x f 图象的一条对称轴；

（4）已知定义域为R 的函数)(x f 满足)4()(+-=-x f x f ，且当2>x 时，)(x f 单调递增。如果421<+x x ，且0)2)(2(21<--x x ，则)()(21x f x f +的值的符号是____（答：负数）

3 利用一些方法（如赋值法（令x ＝0或1，求出(0)f 或(1)f 、令y x =或y x =-等）、递推法、反证法等）进行逻辑探究。

如（1）若x R ∈，()f x 满足()()f x y f x +=

()f y +，则()f x 的奇偶性是______（答：奇函数）；

（2）若x R ∈，()f x 满足()()f xy f x =

()f y +，则()f x 的奇偶性是______（答：偶函数）； （3）已知()f x 是定义在(3,3)-上的奇函数，当

03x <<时，()f x 的图像如右图所示，那么不等

式()cos 0f x x

--U U ）；

（4）设()f x 的定义域为R +，对任意,x y R +∈，都有()()()x f f x f y y =-，且1x >时，()0f x <，又1

()12

f =，①求证()f x 为减函数；②解不等式2()(5)f x f x ≥-+-.（答：(][)0,14,5U ）．