(完整word版)LATEX 数学公式总结
数学公式小结
请运行以下程序：
\documentclass[11pt]{article}
\usepackage{CJK}
\usepackage{indentfirst}
\usepackage{latexsym}
\usepackage{bm}
\usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts}
\usepackage{wasysym}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{cases}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 重定义字体、字号命令% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\newcommand{\song}{\CJKfamily{song}} % 宋体(Windows自带simsun.ttf)
\newcommand{\fs}{\CJKfamily{fs}} % 仿宋体(Windows自带simfs.ttf)
\newcommand{\kai}{\CJKfamily{kai}} % 楷体(Windows自带simkai.ttf)
\newcommand{\hei}{\CJKfamily{hei}} % 黑体(Windows自带simhei.ttf)
\newcommand{\li}{\CJKfamily{li}} % 隶书(Windows自带simli.ttf)
\newcommand{\you}{\CJKfamily{you}} % 幼圆(Windows自带simyou.ttf)
\newcommand{\chuhao}{\fontsize{42pt}{\baselineskip}\selectfont} % 字号设置
\newcommand{\xiaochuhao}{\fontsize{36pt}{\baselineskip}\selectfont} % 字号设置
\newcommand{\yichu}{\fontsize{32pt}{\baselineskip}\selectfont} % 字号设置
\newcommand{\yihao}{\fontsize{28pt}{\baselineskip}\selectfont} % 字号设置
\newcommand{\erhao}{\fontsize{21pt}{\baselineskip}\selectfont} % 字号设置
\newcommand{\xiaoerhao}{\fontsize{18pt}{\baselineskip}\selectfont} % 字号设置
\newcommand{\sanhao}{\fontsize{15.75pt}{\baselineskip}\selectfont} % 字号设置
\newcommand{\xiaosanhao}{\fontsize{15pt}{\baselineskip}\selectfont} % 字号设置
\newcommand{\sihao}{\fontsize{14pt}{\baselineskip}\selectfont} % 字号设置
\newcommand{\xiaosihao}{\fontsize{12pt}{\baselineskip}\selectfont} % 字号设置
\newcommand{\wuhao}{\fontsize{10.5pt}{\baselineskip}\selectfont} % 字号设置
\newcommand{\xiaowuhao}{\fontsize{9pt}{\baselineskip}\selectfont} % 字号设置
\newcommand{\liuhao}{\fontsize{7.875pt}{\baselineskip}\selectfont} % 字号设置
\newcommand{\qihao}{\fontsize{5.25pt}{\baselineskip}\selectfont} % 字号设置%%%%%%%%%
END %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\renewcommand{\baselinestretch}{1.3}
\begin{document}
\begin{CJK*}{GBK}{song}
\CJKtilde\CJKindent
{\hei\sanhao 数学公式举例:}
\bigskip
\section{概述}
数学模式中的普通文本必须放入一个~LR 盒子里. 如:
$ x^2+\sin(x)=0 is a nonlinear equation$.
$ x^2+\sin(x)=0 \mbox{ is a nonlinear equation} $.
$ x^2+\sin(x)=0 \mbox{ 是一个非线性方程}$.
\section{行内公式}
勾股定理~\begin{math}a^2+b^2=c^2\end{math}~也称商高定理. 勾股定理~\(a^2+b^2=c^2\)~也称商高定理.
勾股定理~$a^2+b^2=c^2$~也称商高定理.
\section{行间公式}
\subsection{单行公式}
\begin{displaymath}
a^2+b^2=c^2.
\end{displaymath}
\[
a^2+b^2 = c^2.
\]
\begin{equation}
a^2+b^2=c^2.
\end{equation}
$$
a^2+b^2=c^2. \eqno (*)
$$
$$
a^2+b^2=c^2. \eqno (4a)
$$
\begin{equation}\label{eq:square}
x^2+y^2=R^2.
\end{equation}
公式~\ref{eq:square}~表示的是一个圆的标准方程.
\setcounter{equation}{5}
\begin{equation}\label{lap}
-\triangle u(x,y) = f(x,y),\quad (x,y)\in\Omega .
\end{equation}
方程~\eqref{lap}~则是一个椭圆型的偏微分方程.
\subsection{多行公式}
\begin{eqnarray*}
x^2 + y^2 = R^2 \\
2x + 3y = b
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray}
x^2 + y^2 & = & R^2 \\
2x + 3y & = & b
\end{eqnarray}
\setlength{\arraycolsep}{2.5pt}
\setcounter{equation}{1}
\begin{eqnarray}
d(uv) & = & (uv)' dx \\
& = & (u'v+uv') dx\\
& = & v(u'dx)+u(v'dx) \nonumber\\
\setcounter{equation}{5}
& = & v du+u dv \label{leibniz}
\end{eqnarray}
这样就得到了公式~(\ref{leibniz}).
\section{角标: 上标与下标}
注意: 这里的角标命令必须在数学模式下使用!! $$
x_1, \quad
x_{11}, \quad
x_{11}^{22}, \quad
x_{m}^{(k)},\quad
{}^* x ^*, \quad
x^{m^n}, \quad
{x^x}^{x^x}
$$
中文角标:\qquad
$ x^{\mbox{\scriptsize 平方}},\quad x^{y^{\mbox{\tiny 平方}}} $
导数符号:\qquad
$ f^{\prime} \quad\mbox{或者}\quad f' $
\section{分式}
出现在行内的分式: $ (x+y)/2 $ 和~$ \frac{x+y}{2} $, 第二个分式用的是一级角标字体. 分式中的分式: $\frac{\frac{x}{x+y}}{x+y+z}$, 字体会更小, 但最小为二级角标字体. 行间公式
$$
\frac{x+y}{2},\qquad \frac{\frac{x}{x+y}}{x+y+z}
$$
\section{根式}
$ \sqrt{x},\quad \sqrt{1+\sqrt{2}} $
$ \surd{x},\quad \surd{1+\sqrt{2}} $
当被开方式字符高度不同时, 根号线会在不同水平线上, 如:
$\sqrt{a}, \sqrt{b}$.
解决办法: 加入{\hei数学支柱}~
\textbackslash{}mathstrut\footnote{宽度为~0,高度与圆括号相同}, 例:
$\sqrt{a}, \sqrt{b},\quad \sqrt{a\mathstrut}, \sqrt{b\mathstrut}$.
\section{求和与积分}
\newcommand{\dx}{\mathrm{d}\,x}
$$
\int_a^b f(x)\mathrm{d}x,\quad
\oint_a^b f(x)\mathrm{d}x,\quad
$$
$$
\int\limits_a^b f(x)\mathrm{d}x,\quad
\oint\limits_a^b f(x)\mathrm{d}x,\quad
$$
直立的积分号:
$$
\varint_a^b f(x)\dx, \quad
\iint_a^b f(x)\dx, \quad
\iiint_a^b f(x)\dx,\quad
\varoint_a^b f(x)\dx,\quad
\oiint_a^b f(x)\dx,\quad
$$
$$
\varint\nolimits_a^b f(x)\dx, \quad
\iint\nolimits_a^b f(x)\dx, \quad
\iiint\nolimits_a^b f(x)\dx,\quad
\varoint\nolimits_a^b f(x)\dx,\quad
\oiint\nolimits_a^b f(x)\dx,\quad
$$
\section{数学重音符号}
\newcommand{\ml}[1]{\texttt{\textcolor{blue}{\char`\\ #1}}}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\setlength{\tabcolsep}{6pt}
\begin{tabular}{|p{0.4\textwidth}|p{0.4\textwidth}|}\hline
\ml{hat}\{a\}~$\to \hat{a}$ & \ml{bar}\{a\}~$\to \bar{a}$\\
\ml{dot}\{a\}~$\to \dot{a}$ & \ml{ddot}\{a\}~$\to \ddot{a}$\\
\ml{tilde}\{a\}~$\to \tilde{a}$ & \ml{vec}\{a\}~$\to \vec{a}$\\
\ml{breve}\{a\}~$\to \breve{a}$ & \ml{check}\{a\}~$\to \check{a}$\\ \ml{acute}\{a\}~$\to \acute{a}$ & \ml{grave}\{a\}~$\to \grave{a}$\\ \ml{mathring}\{a\}~$\to \mathring{a}$ & \\
\hline
\end{tabular}
\bigskip
加宽的帽子和波浪号: $\widehat{hello},\quad \widetilde{good}$
\section{上划线、下划线及类似符号}
$$ \overline{\overline{a}^2 + \underline{ab} + \bar{b}^2} $$
\bigskip
$$ \underbrace{a+\overbrace{b+\dots+b}^{m\mbox{\scriptsize个}}+ c}_ {20\mbox{\scriptsize个}}
$$
\section{堆积符号}
$$
\vec{x} \stackrel{\mathrm{def}}{=} (x_1,\ldots,x_n)
$$
\section{可以变大的定界符}
略
\section{阵列}
一个简单的阵列(行内):
$
\begin{array}{ccc}
11 & 12 & 13 \\
21 & 22 & 23
\end{array}
$
阵列(行间)
$$
\left(
\begin{array}{ccc}
11 & 12 \\
21 & 22 & 23
\end{array}
\right)
$$
一个较复杂的例子
$$
\left\{
\begin{array}{ccccccccc}
a_{11}x_1 &+& a_{12}x_2 &+& \cdots &+& a_{1n}x_n &=& b_1\\ a_{21}x_1 &+& a_{22}x 2 &+& \cdots &+& a_{2n}x_n &=& b_2\\ \multicolumn{9}{c}{\dotfill} \\
a_{n1}x_1 &+& a_{n2}x_2 &+& \cdots &+& a_{nn}x_n &=& b_n \end{array}
\right.
$$
另一个较复杂的例子
\begin{equation}
f(x)=\left\{
\begin{array}{ll}
x & \mbox{当~$x\ge 0$~时;}\\
-x & \mbox{其它情形}
\end{array}
\right.
\end{equation}
\section{添加宏包\quad $\backslash \mbox{usepackage\{cases\}}$} \subsection{cases 环境}
\begin{numcases}{|x|=}
x, & for $x\geq0$\\
-x, & for $x<0$
\end{numcases}
\begin{subnumcases}{|x|=}
x, & for $x\geq0$\\
-x, & for $x<0$
\end{subnumcases}
\begin{subnumcases}{\ }
x, & for $x\geq0$\\
-x, & for $x<0$
\end{subnumcases}
\begin{equation}
f(x)=\begin{cases}
1 & -1 \end{cases} \end{equation} \subsection{subequations~环境} \begin{subequations} \begin{align} (a+b)^2 & =a^2+b^2 \\ a+b+c)^2 & =a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc \end{align} \begin{equation} (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \end{equation} \end{subequations} \begin{equation} (a+b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \end{equation} \end{CJK*} \end{document} 常用数学符号的 LaTeX 表示方法（以下内容主要摘自“一份不太简短的 LATEX2e 介绍”）１、指数和下标可以用^和_后加相应字符来实现。比如： 2、平方根（square root）的输入命令为：\sqrt，n 次方根相应地为: \sqrt[n]。方根符号的大小由LATEX自动加以调整。也可用\surd 仅给出 符号。比如： 3、命令\overline 和\underline 在表达式的上、下方画出水平线。比如： 4、命令\overbrace 和\underbrace 在表达式的上、下方给出一水平的大括号。 5、向量（Vectors）通常用上方有小箭头（arrow symbols）的变量表示。这可由\vec 得到。另两个命令\overrightarrow 和\overleftarrow在定义从A 到B 的向量时非常有用。 6、分数（fraction）使用\frac{...}{...} 排版。一般来说，1/2 这种形式更受欢迎，因为对于少量的分式，它看起来更好些。 7、积分运算符（integral operator）用\int 来生成。求和运算符（sum operator）由\sum 生成。乘积运算符（product operator）由\prod 生成。上限和下限用^ 和_来生成，类似于上标和下标。 以下提供一些常用符号的表示方法 肄薇芁芁薆膆膂|TeX各版本概述及基本约定，特殊字符| +---------------------------------+ tex提供300多条基本排版命令 由 plain tex：在tex基础上新定义600多条复合命令 AMS-TEX：美国数学会开发（amsmath宏包）排版的数学公式 LATEX：https://www.360docs.net/doc/6a4650109.html,mport（1985）编写，适合排版普通文章和书籍 LATEX2e：可加载amsmath宏包，目前最流行的TEX宏包 版本：LATEX2.09-->LATEX2e-->LATEX3（开发中） 中文排版： CCT：科学院张林波 TY（天元）：华师大肖刚、陈志杰教授开发 CJK：德国W.Lemberg开发，处理中日韩三国文字。 发行版CTEX：集成了CCT，TY，CJK的MikTEX系统。 ChinaTEX:内容涵盖MiKTeX系统及中文支持、常用外围软件、TeX\LaTeX文档和模板选萃等 TeX中的长度 mm毫米 cm厘米 in英寸＝2.54cm＝72.27pt pt点 em大写字母M的宽度 ex小写字母x的高度 弹性长度：根据需要自动伸缩 正常值plus伸展值minus收缩值 实际长度可超过正常值和伸展值之和，但不能小于正常值和收缩值之差 \documentclass[11pt]{article}%11pt字体，普通文章 %导言区，全局命令 \usepackage{CJK}%使用CJK宏包 \begin{document}%主环境 \begin{CJK}{GBK}{song}%汉字必须放入CJK环境 %其它字体:song,kai,fs,hei,li,you %CJK的两种环境CJK和CJK* %GBK是采用的字符集：GB，GBK，Bg5，Gbt Hi,This is my first \LaTeX file 祝贺你，MikTex和CJK安装成功了 \end{CJK} 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x += =+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 高等数学公式大全 微分方程的相关概念： 即得齐次方程通解。 ， 代替分离变量，积分后将，，，则设的函数，解法：，即写成程可以写成齐次方程：一阶微分方称为隐式通解。 得：的形式，解法： 为：一阶微分方程可以化可分离变量的微分方程 或 一阶微分方程：u x y u u du x dx u dx du u dx du x u dx dy x y u x y y x y x f dx dy C x F y G dx x f dy y g dx x f dy y g dy y x Q dx y x P y x f y -=∴=++====+====+='??)()(),(),()()()()()()(0 ),(),(),(???一阶线性微分方程： ) 1,0()()(2))((0)(,0)() ()(1)()()(≠=+? +?=≠? ===+?--n y x Q y x P dx dy e C dx e x Q y x Q Ce y x Q x Q y x P dx dy n dx x P dx x P dx x P ，、贝努力方程：时，为非齐次方程，当为齐次方程，时当、一阶线性微分方程： 全微分方程： 通解。 应该是该全微分方程的，，其中：分方程，即：中左端是某函数的全微如果C y x u y x Q y u y x P x u dy y x Q dx y x P y x du dy y x Q dx y x P =∴=??=??=+==+),(),(),(0),(),(),(0),(),( 二阶微分方程： 时为非齐次 时为齐次，0)(0)()()()(2 2≠≡=++x f x f x f y x Q dx dy x P dx y d 学姐偷懒直接从网上下了一份公式总结，然后按照咱们的考试要求改了一下，特别诡异的那些公式我都删掉了，剩下的都是可能会出现的，哪些必须记哪些可以记也都写在后面了，有的出题形式我也加在知识点后面了，可以做个参考。这上面的知识点不很全，但应付考试差不多了，上面没有的学霸们可以自己再看看书哈。重点关注黑体字！！！电子版已发各部长，可以找部长要。祝大家都能考个好成绩~ ——魏亚杰 高等数学（一）上 公式总结 第一章 一元函数的极限与连续 1、一些初等函数公式：（孩子们。没办法，背吧） sin()sin cos cos sin cos()cos cos sin sin tan tan tan()1tan tan cot cot 1cot()cot cot αβαβαβ αβαβαβαβ αβαβ αβαββα±=±±=±±= ??±=±和差角公式： sin sin 2sin cos 22 sin sin 2cos sin 22 cos cos 2cos cos 22 cos cos 2sin sin 22 αβ αβ αβαβαβ αβαβαβαβαβαβαβ+-+=+--=+-+=+--=和差化积公式： 1 sin cos [sin()sin()] 21 cos sin [sin()sin()] 21 cos cos [cos()cos()] 21 sin sin [cos()cos()] 2 αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ=++-=+--=++-=+--积化和差公式： 222222sin 22sin cos cos 22cos 1 12sin cos sin 2tan tan 21tan cot 1 cot 22cot αααααααα α ααααα ==-=-=-= --= 倍角公式： 数学论文的LaTeX排版与全文上网 LaTeX是一种格式化的排版系统，它是在PlainTEX 的基础上，由美国计算机学家莱斯利.兰波特（LeslieLamport)开发的。该系统提供了一组生成复杂文档所需要的高级命令，在排版含有大量数学公式的科技论文方面，显示出了独特的优越性^aTeX遵循传统的排版规则，以排版质量为最重要的目标，以其超常的稳定性、高度的灵活性、强大的可移植性而闻名于世。随着传播和展示手段的不断更新，LaTeX的输出方式也趋向于多样化，除了传统的纸质媒体输出外，也可以通过电脑屏幕，以PDF电子文档的格式输出到投影仪上，还可以把LaTeX的源文件直接输成HTML格式，以便在网上公布。LaTeX 历经时间的考验，并且还在发展更新，它已成为信息时代发布和交流数学思想的重要工具。 https://www.360docs.net/doc/6a4650109.html,TeX的排版过程 在LATEX环境中，LATEX根据作者提供的附加信息，用于描述文档的逻辑结构和表现方法。这些信息是以LATEX命令的形式写入文章中的1ATEX要求作者明确说明其文档的逻辑结构，然后再根据文档结构选择最适当的版面格式。很多现代排版处理程序都采用“所见即所得”的方式，例如大家所熟悉的Word，作者可以利用这些应用程序，在输入内容的同时，通过与计算机互动的方式决定整个文档的排版形式。在整个过程中，作者随时可以在屏幕上看到文章最终显示出来的 效果。而在使用LATEX的时候，是不能在输入内容的同时看到最终的输出效果的。作者通过输入LATEX命令完成对文章格式的排版，并随时通过编译命令在屏幕上预览当前的输出效果，这显然与所见即所得的方式是不同的。 LaTeX包含多达300多条基本命令和600多条扩展命令，显然令普通用户无法记忆。因此把这些命令代码封装在一个模版，利用预先设置好的页面格式和排版设置以方便用户使用，就显得非常必要。应用LaTeX系统从输入文本到在打印机上得到排版结果，其主要步骤为：①利用计算机的编辑器创建或修改文本文件。这个文本文件由实际的文本混杂LaTeX命令组成。文本文件的全名由基本名加上扩展名.tex 组成。如果用CCT中文LaTeX，文件名后缀就为.ctx，但要用另外的程序把它翻译成.tex文件，②用LaTeX处理文本文件，当LaTeX结束了这一过程后，它会生成一个新的文件，其基本名不变，后缀为.dvi;③在.dvi文件中的信息要被转化成可以在指定打印机上输出的形式，这一过程是由打印机驱动程序完成的。 https://www.360docs.net/doc/6a4650109.html,TeX强大的数学排版功能 数学论文同一些文字性的文章相比，具有符号繁多、公式复杂的特点，传统上，很多作者还是用Word软件结合Mathtype数学公式编辑器来排版数学论文。但是，Mathtype数学公式编辑器进行的数 第一章函数与极限 教学目的： 1、理解函数的概念，掌握函数的表示方法，并会建立简单应用问题中的函数关系式。 2、了解函数的奇偶性、单调性、周期性和有界性。 3、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。 4、掌握基本初等函数的性质及其图形。 5、理解极限的概念，理解函数左极限与右极限的概念，以及极限存在与左、右极限 之间的关系。 6、掌握极限的性质及四则运算法则。 7、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限 的方法。 8、理解无穷小、无穷大的概念，掌握无穷小的比较方法，会用等价无穷小求极限。 9、理解函数连续性的概念（含左连续与右连续），会判别函数间断点的类型。 10、了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质（有 界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质。 教学重点： 1、复合函数及分段函数的概念； 2、基本初等函数的性质及其图形； 3、极限的概念极限的性质及四则运算法则； 4、两个重要极限； 5、无穷小及无穷小的比较； 6、函数连续性及初等函数的连续性； 7、区间上连续函数的性质。 教学难点： 1、分段函数的建立与性质； 2、左极限与右极限概念及应用； 3、极限存在的两个准则的应用； 4、间断点及其分类； 5、闭区间上连续函数性质的应用。 §1. 1 映射与函数 一、集合 1. 集合概念 集合(简称集): 集合是指具有某种特定性质的事物的总体. 用A, B, C….等表示. 元素: 组成集合的事物称为集合的元素. a是集合M的元素表示为a?M. 集合的表示: 列举法: 把集合的全体元素一一列举出来. 例如A?{a, b, c, d, e, f, g}. 描述法: 若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成, 则M可表示为 在很多工程问题中，通过对数据进行对数转换可以更清晰地看出数据的某些特征，在对数坐标系中描绘数据点的曲线，可以直接地表现对数转换。 对数转换有双对数坐标转换和单轴对数坐标转换两种。用loglog函数可以实现双对数坐标转换，用semilogx和semilogy函数可以实现单轴对数坐标转换。 loglog(Y) 表示 x、y坐标都是对数坐标系 semilogx(Y) 表示 x坐标轴是对数坐标系 semilogy(…) 表示y坐标轴是对数坐标系 plotyy 有两个y坐标轴，一个在左边，一个在右边 例1:用方形标记创建一个简单的loglog. 解: 输入命令 x=logspace(-1,2); loglog(x,exp(x),'-s') grid on %标注格栅 所制图形为: 例2：创建一个简单的半对数坐标图.解输入命令: x=0:.1:10; semilogy(x,10.^x) 所制图形为： 例3:绘制y=x^3的函数图、对数坐标图、半对数坐标图.解:在窗口中输入： x=[1:1:100]; subplot(2,3,1); plot(x,x.^3); grid on; title 'plot-y=x^3'; subplot(2,3,2); loglog(x,x.^3); grid on; title 'loglog-logy=3logx'; subplot(2,3,3); plotyy(x,x.^3,x,x); grid on; title 'plotyy-y=x^3,logy=3logx'; subplot(2,3,4); semilogx(x,x.^3); grid on; title 'semilogx-y=3logx'; subplot(2,3,5); semilogy(x,x.^3); grid on; title 'semilogy-logy=x^3'; 所制图形为： 目录 一、函数与极限 (2) 1、集合的概念 (2) 2、常量与变量 (3) 2、函数 (4) 3、函数的简单性态 (4) 4、反函数 (5) 5、复合函数 (6) 6、初等函数 (6) 7、双曲函数及反双曲函数 (7) 8、数列的极限 (8) 9、函数的极限 (10) 10、函数极限的运算规则 (11) 一、函数与极限 1、集合的概念 一般地我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合（简称集）。集合具有确定性（给定集合的元素必须是确定的）和互异性（给定集合中的元素是互不相同的）。比如“身材较高的人”不能构成集合，因为它的元素不是确定的。 我们通常用大字拉丁字母A、B、C、……表示集合，用小写拉丁字母a、b、c……表示集合中的元素。如果a是集合A中的元素，就说a属于A，记作：a∈A，否则就说a不属于A，记作：a A。 ⑴、全体非负整数组成的集合叫做非负整数集（或自然数集）。记作N ⑵、所有正整数组成的集合叫做正整数集。记作N+或N+。 ⑶、全体整数组成的集合叫做整数集。记作Z。 ⑷、全体有理数组成的集合叫做有理数集。记作Q。 ⑸、全体实数组成的集合叫做实数集。记作R。 集合的表示方法 ⑵、列举法：把集合的元素一一列举出来，并用“｛｝”括起来表示集合 ⑵、描述法：用集合所有元素的共同特征来表示集合。 集合间的基本关系 ⑴、子集：一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中的任意一个元素都是集合B的元素，我们就说A、B有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B（或B A）。。 ⑵相等：如何集合A是集合B的子集，且集合B是集合A的子集，此时集合A中的元素与集合B中的元素完全一样，因此集合A与集合B相等，记作A＝B。 ⑶、真子集：如何集合A是集合B的子集，但存在一个元素属于B但不属于A，我们称集合A是集合B的真子集。 ⑷、空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集。记作，并规定，空集是任何集合的子集。 ⑸、由上述集合之间的基本关系，可以得到下面的结论： ①、任何一个集合是它本身的子集。即A A ②、对于集合A、B、C，如果A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集。 ③、我们可以把相等的集合叫做“等集”，这样的话子集包括“真子集”和“等集”。 集合的基本运算 ⑴、并集：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合称为A与B的并集。记作A ∪B。（在求并集时，它们的公共元素在并集中只能出现一次。） 即A∪B＝｛x|x∈A，或x∈B｝。 ⑵、交集：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合称为A与B的交集。记作A ∩B。 即A∩B＝｛x|x∈A，且x∈B｝。 ⑶、补集： 此文档分为两部分：高等数学公式（13页）和补充的三角函数公式（7页）。 声明：源材料来自网络，自己稍加整理。 第一部分：高等数学公式 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 高等数学公式定理整理 1.01版 本定理，公式整理仅用于参考，具体学习请多做题目以增进对知识的掌握。 蓝色为定理 红色为公式 三角函数恒等公式： 两角和差 tan αanα·ta +tan βanβ)-(tan α=β)-tan(αtan αanα·ta -(1tan βa +(tan α= β)+tan(αcos αosα·s ±sin αinα·c =β)±sin(αsin αinα·s +cos αosα·c =β)-cos(αβsin αsin βcos αcos )βαcos(?-?=+ 和差化积 ] 2 β) -(α]sin[2β)+(α-2sin[=cos β-cos α]2β) -(α]cos[2β)+(α2cos[=cos β+cos α] 2β) -(α]sin[2β)+(α2cos[=sin β-sin α] 2β)-(α]cos[2β)+(α2sin[=sin β+sin α 积化和差 β)] -cos(α-β)+[cos(α2 1 -=sin αinα·s β)]-cos(α+β)+[cos(α21 =cos αosα·c β)] -sin(α-β)+[sin(α21 =cos αosα·s β)] -sin(α+β)+[sin(α21 =sin αinα·c 倍角公式（部分）：很重要！ α tan -1α tan 2= tan2αα2sin -1=1-α2cos =αsin -αcos =α2cos cot αo +(tan α2 = 2sin αsinα·=sin2α22222 一、函数 函数的特性： 1.有界性： 假设函数在D 上有定义，如果存在正数M ，使得对于任何的x ∈D 都满足|f(x)|≤M 。则称f （x ）是D 的有界函数。 如果正数M 不存在，则称这个函数是D 上的无界函数。 2.单调性 设f （x ）的定义域为D ，区间I D 。X1，x2∈I ，那么，如果x1 Office 中像LaTex那样快速打数学公式 记得很久以前在word里打数学公式很痛苦，要用鼠标点啊点，效率奇低，包括像MathType那些工具。后来到了office 2007公式情况就不一样了，编辑器有了巨大的改进，适合我们喜欢用键盘的同学了。几乎所有的数学符号都对应一条命令，而且跟LaTex的命令很像，打起公式来一样。其实最开始我是乱按键盘发现公式编辑器这些功能的，然后凭感觉和经验发现了各种符号的输入方法。相比LaTex，word 里打公式的一大优势是你能立即看到你打的符号，而不像LaTex那样你看到的是一堆代码，要看公式必须编译一下，有什么语法错误还编译不过。微软这点做得相当好。于是自从我发现了word这个功能之后果断抛弃了LaTex，每次看到同学为打公式苦恼的时候都想过去帮一把。 下面介绍下我所知道的公式编辑器的用法。 0.开始输入公式 同时按住"Alt"和"="。这是你会发现出现了一个公式输入框，上方的工具栏也编程了公式编辑器栏。 0.字体准备 office 2007中输入公式默认是正常的字体，很难看，而我们需要斜体，按住"Ctrl"和"I"。2010之后默认斜体了貌似，至少2013在英文输入法下是的。 1.命令结构 命令是由反斜杠"\"开始的，紧跟着一串字符（一般都很形象的），以空格结束。比如打希第一个腊字母alpha，那么就是先输"\"，接着输"alpha"，最后按下空格键刚才输入的内容就变成希腊字母了。 3. 希腊字母 希腊字母最简单，一般情况下字母的国际音标就是其命令，只要你会念，你就会打。好在我初中时候就会背希腊字母表了，打起来毫无压力。 希腊字母有大小写之分，公式编辑器里你只要把命令的首字母大写显示的希腊字母就是大写了。 值得注意的是某些字母有多种形式，比如\epsilon 和\varepsilon 就有点小区别。这方面没研究过。 4. 常见运算符 偏微分算子："\partial " 极限："\limit "（按空格后会显示一个串很长的默认式子，再空格就变成数学公式了） 积分∫："\int " 求和Σ：”\Sigma “ 大写的sigma 梯度算子（也就是倒三角）?："\nabla " （我记得只有一个老师教过我们怎么读这个符号，就是nabla，可以查查这个单词） Contents ?TEX/L A TEX是什么？ ?为什么要用TEX/L A TEX？ ?安装 ?开始使用 ?数学符号 o行内公式与行间公式 o上标与下标 o常见的数学公式 o行列式与矩阵 o方程组与分段函数 ?使用中文 ?文章的各个部分 ?表格 ?插图 ?罗列 ?分割长文档 ?学习资料 ?幻灯片制作简介 ?重要建议 ?Bibliography T E X/L A T E X是什么？ T E X 是一个非常优秀的排版软件， L A T E X 是基于 T E X 之上的一个宏包集。因为 L A T E X 的出现，使得人们使用 T E X 更加容易，目前大部分人们使用的 T E X 系统都是 L A T E X 这个宏集。 为什么要用T E X/L A T E X？ 我们为什么要用 T E X/L A T E X 来排版我们的论文、书籍呢？因为它 ?排版的效果非常整齐漂亮； ?排版的效率高 ； ?非常稳定，从95年到现在， T E X 系统只发现了一个 bug。由此可见它的稳定性； ?排版科技文献，尤其是含有很多数学公式的文献特别方便、高效。现今没有一个排版软件在排版数学公式上面能和 T E X/L A T E X 相媲美； 安装 我们可以从https://www.360docs.net/doc/6a4650109.html, 上下载最新的中文 T E X 套装，Windows 用户请下载 CT E X 套装，Linux 用户可以下载TeXlive 来安装。安装过程就不用我多说了吧！ 开始使用 好了，安装了，是不是很想试试身手了？那么准备好： ?打开一个编辑器。哦，你用的是 CT E X 套装吗？那就是那个 WinEdt ，在桌面上画了一支钢笔的那个东东。如果没有这个，也无所谓，你就打开一个记事本也行。 ?输入以下的代码： \documentclass{article} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage{latexsym} \usepackage{CJK} \begin{document} \begin{CJK*}{GBK}{song} 测试一下我的数学公式\[\int_a^b f(x)dx\] \end{CJK*} \end{document} 上面的代码需要说明一下，我们将 \begin{document} 这个命令以前的部分叫做导言区，这部分主要用来声明使用什么宏包，重新定义命令，规划文章的总体布局等。所以，如果你的两篇文章大体上是一样的格式，你就可以把一篇文章的导言区拿到后面的文章里面去用，这样的话，用起来就方便得多。 ?保存该文件。将这个保存为 test.tex，文件名你可以另外取了，但是要记住，它的后缀必须是 .tex，这样系统才认得它。 ?编译。用的是 WinEdt 吗？那么就很简单了。你到它的工具条上找到L A T E X 这个按纽（工具条上,挨着狮子头的那个按纽），按下它就行了。在 Linux 下用 Kile？一样的了，只是那个按纽改成了一个齿轮而已了。 刚才不是说用记事本也行的嘛？那该怎么办呢？那，我先假设你把你的文件保存在了D盘的tex目录下面，这样做： o打开一个Dos窗口，点击“开始 附件 命令行”； 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π 函数、符号及特殊字符 声调 语法 效果 语法 效果 语法 效果 \bar{x} \acute{\eta} \check{\alpha} \grave{\eta} \breve{a} \ddot{y} \dot{x} \hat{\alpha} \tilde{\iota} 函数 语法效果 语 法 效果 语 法 效果 \sin\th eta \cos \thet a \tan\ thet a \arcsin \frac {L}{r} \arc cos\ frac {T} {r} \arct an\f rac {L} {T} \sinh g \cos h h \tan h i \opera torna me{s h}j \ope rato rna me {arg sh}k \ope rato rna me {ch} h \opera torna me{ar gch}l \ope rato rna me {th}i \ope rato rna me {arg th} m k'(x)=\l im_{\D elta x\ to 0}\f rac{k (x)-k(x -\Delta x)}{\D eltax} \lim sup S \limi nf I \max H \min L \inf s \sup t \exp \!t \ln X \lg X \log X \log _\al pha X \ker x \deg x \gcd (T,U,V, W,X) \Pr x \det x \ho m x \arg x \dim x \lim _{t\t o n}T 同余 语法 效果 语法 效果 \pmod{m} a \bmod b 微分 语法 效果 语法 效果 语法 效果 \nabla \partial x \mathrm{d}x 巧用LaTeX编辑数学公式 命令各项的含义如下： ◆ a4paper 表明文档将在A4纸上打印； ◆ 10pt 表明文档默认字体的大小是“10point”； ◆ article 表明文档的风格是“article”。 用户可以使用\pagestyle命令设置文档页码，它应该位于\documentclass命令之后、\begin{document}命令之前。在默认状态下LaT eX会在文档每页的底部插入页码。 位于\documentclass和\begin{document}命令之间的这一部分被形象地叫做输入文件的“前言(Preamable)”，前言中的这些命令叫做“前置指令”。在\documentclass命令和其它格式命令之后是 \begin{document}命令，它标志着文档主体部分的开始。当文档的主体部分结束后，需要键入\end{document}命令，标志着全文结束。 数学模式 要在LaTeX中编辑公式必须在开始编辑之前先进入数学模式，编辑完之后再从中退出。 在数学模式里，公式可以和文本混排在一段中，也可以自成一段。LaTeX把自成一段的公式叫作“显示(Display)”。 要将公式和文本混排，应该在公式前后各加上一个“$"，符号，以进入和退出数学模式。 键入如下文档： \documentclass[a4paper，12pt]{article} \begin{document} when $A＝5$ and $B＝10$ we can say $A+B＝15$ and $A-B＝-5$ \end{document} 这时，系统将显示出如下内容： when A=5 and B＝10 we can say A十B＝15 and A-B=-5 要将一个公式单段输出，只需在其首尾分别加上“\[”和“\]”即可。此外，LaTex还可以自动为公式编号。此时要用\begin{equation}和\end{equation}代替“\[”和“\]”。 数学模式中的特殊字符 全部高等数学计算公 式 高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 22212211cos 12sin u du dx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(2 2= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 2 2 22 2 C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 2222 2222222 2222 222 2 22 2 ππ Latex数学公式 1、数学公式的前后要加上$或\(和\)，比如：$f(x) = 3x + 7$和\(f(x) = 3x + 7\)效果是一样的； 如果用\[和\]，或者使用$$和$$，则改公式独占一行； 如果用\begin{equation}和\end{equation}，则公式除了独占一行还会自动被添加序号，如何公式不想编号则使用\begin{equation*}和\end{equation*}. 2、字符 普通字符在数学公式中含义一样，除了 # $ % & ~ _ ^ \ { } 若要在数学环境中表示这些符号# $ % & _ { }，需要分别表示为\# \$ \% \& \_ \{ \}，即在个字符前加上\。 3、上标和下标 用^来表示上标，用_来表示下标，看一简单例子： $$\sum_{i=1}^n a_i=0$$ $$f(x)=x^{x^x}$$ 效果: 这里有更多的LaT eX上标下标的设置 4、希腊字母 更多请参见这里 5、数学函数 6、在公式中插入文本可以通过\mbox{text}在公式中添加text，比如： \documentclass{article} \usepackage{CJK} \begin{CJK*}{GBK}{song} \begin{document} $$\mbox{对任意的$x>0$}, \mbox{有 }f(x)>0. $$ \end{CJK*} \end{document} 效果: 7、分数及开方 \frac{numerator}{denominator} \sqrt{expression_r_r_r}表示开平方， \sqrt[n]{expression_r_r_r}表示开n次方. 8、省略号（3个点） \ldots表示跟文本底线对齐的省略号；\cdots表示跟文本中线对齐的省略号， 比如： 表示为$$f(x_1,x_x,\ldots,x_n) = x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2 $$ 9、括号和分隔符 ()和[ ]和｜对应于自己； {}对应于\{ \}； ||对应于\|。 当要显示大号的括号或分隔符时，要对应用\left和\right，如： \[f(x,y,z) = 3y^2 z \left( 3 + \frac{7x+5}{1 + y^2} \right).\]对应于 大学高等数学定理公 式 第一章函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有f(x)≥K1则函数f(x)在定义域上有下界， K1为下界；如果有f(x)≤K2，则有上界，K2称为上界。函数f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一性)数列{xn}不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛，那么数列{xn}一定有界。 如果数列{xn}无界，那么数列{xn}一定发散；但如果数列{xn}有界，却不能断定数列{xn}一定收敛，例如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列{xn}收敛于a，那么它的任一子数列也收敛于a.如果数列{xn}有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列{xn}是发散的，如数列1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子数列{x2k-1}收敛于1，{xnk}收敛于-1，{xn}却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0时f(x)有没有极限与f(x)在点x0有没有定义无关。 定理(极限的局部保号性)如果lim(x→x0)时f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在着点那么x0的某一去心邻域，当x在该邻域内时就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 函数f(x)当x→x0时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则limf(x)不存在。 数学公式小结 请运行以下程序： \documentclass[11pt]{article} \usepackage{CJK} \usepackage{indentfirst} \usepackage{latexsym} \usepackage{bm} \usepackage{amsmath,amssymb,amsfonts} \usepackage{wasysym} \usepackage{xcolor} \usepackage{cases} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % 重定义字体、字号命令% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \newcommand{\song}{\CJKfamily{song}} % 宋体(Windows自带simsun.ttf) \newcommand{\fs}{\CJKfamily{fs}} % 仿宋体(Windows自带simfs.ttf) \newcommand{\kai}{\CJKfamily{kai}} % 楷体(Windows自带simkai.ttf) \newcommand{\hei}{\CJKfamily{hei}} % 黑体(Windows自带simhei.ttf) \newcommand{\li}{\CJKfamily{li}} % 隶书(Windows自带simli.ttf) \newcommand{\you}{\CJKfamily{you}} % 幼圆(Windows自带simyou.ttf) \newcommand{\chuhao}{\fontsize{42pt}{\baselineskip}\selectfont} % 字号设置 \newcommand{\xiaochuhao}{\fontsize{36pt}{\baselineskip}\selectfont} % 字号设置 \newcommand{\yichu}{\fontsize{32pt}{\baselineskip}\selectfont} % 字号设置 \newcommand{\yihao}{\fontsize{28pt}{\baselineskip}\selectfont} % 字号设置 \newcommand{\erhao}{\fontsize{21pt}{\baselineskip}\selectfont} % 字号设置 \newcommand{\xiaoerhao}{\fontsize{18pt}{\baselineskip}\selectfont} % 字号设置 \newcommand{\sanhao}{\fontsize{15.75pt}{\baselineskip}\selectfont} % 字号设置 \newcommand{\xiaosanhao}{\fontsize{15pt}{\baselineskip}\selectfont} % 字号设置 \newcommand{\sihao}{\fontsize{14pt}{\baselineskip}\selectfont} % 字号设置 \newcommand{\xiaosihao}{\fontsize{12pt}{\baselineskip}\selectfont} % 字号设置 \newcommand{\wuhao}{\fontsize{10.5pt}{\baselineskip}\selectfont} % 字号设置 \newcommand{\xiaowuhao}{\fontsize{9pt}{\baselineskip}\selectfont} % 字号设置 \newcommand{\liuhao}{\fontsize{7.875pt}{\baselineskip}\selectfont} % 字号设置 \newcommand{\qihao}{\fontsize{5.25pt}{\baselineskip}\selectfont} % 字号设置%%%%%%%%% END %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%LATEX数学符号的输入
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