矩形的性质(一)
佃.2.1 矩形（一）
新洲区张店中学：高剑锋
一、教学目标：
1 ?掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系.
2 ?会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题.
3 ?渗透运动联系、从量变到质变的观点.
二、重点、难点
1 ?重点：矩形的性质.
2 ?难点：矩形的性质的灵活应用.
三、例题的意图分析
例1是教材P104的例1,它是矩形性质的直接运用，它除了用以巩固所学的矩形性质外，对计算题的格式也起了一个示范作用?例2与例3都是补充的题目，其中通过例2的讲解是想让学生了解：（1 ）因
为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角三角形的性质，而利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何计算题中常用的方法；（2）直角三角形斜边上的高”是一个基本图形，利用面
积公式，可得到两直角边、斜边及斜边上的高的一个基本关系式?并能通过例2、例3的讲解使学生掌握
解决有关矩形方面的一些计算题目与证明题的方法.
四、课堂引入
1 ?展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井架等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？
2. 思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗?
为什么？（动画演示拉动过程如图）
3 ?再次演示平行四边形的移动过程，当移动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形？（小学学过的长方形）引出本课题及矩形定义.
矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫长方形）?
矩形是我们最常见的图形之一，例如书桌面、教科书的封面等都有矩形形象.
【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状.
①随着/ a的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？
②当/ a是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？
操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质. 矩形性质1 矩形的四个角都是直角.
矩形性质2 矩形的对角线相等.
D
C
如图，在矩形 ABCD 中，AC 、BD 相交于点 0,由性质2有A0=B0=C0=D0=
以得到直角三角形的一个性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 五、例习题分析
例1 (教材P104例1)已知：如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 0, / A0B=60 ,
AB=4cm ，求矩形对角线的长.
分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的 特殊性质，根据
矩形的这个特性和已知，可得△
0AB 是等边三角形，因此对角线 的长度可求.
解：??? 四边形ABCD 是矩形，??? AC 与BD 相等且互相平分.二 0A=0B .
又 / A0B=60 , ? △ 0AB 是等边三角形. 矩形的对角线长 AC=BD = 2OA=2 4=8 (cm )
例2 (补充)已知：如图 ，矩形 ABCD , AB 长8 cm ，对角线比 AD 边 长4 cm .求AD 的长及点A 到BD 的距离AE 的长. 分析：(1)因为矩形四个角都是直角，因此矩形中的计算经常要用到直角 三角形的性质，而此题利用方程的思想，解决直角三角形中的计算，这是几何 计算题中常用的方法. 略解：设 AD=xcm ，则对角线长(x+4) cm ,在Rt △ ABD 中，由勾股定理： 2 2 2
x 8 = (x 4),解得 x=6. 则 AD=6cm . (2)直角三角形斜边上的咼"是一个基本图形，利用面积公式，可得到两直角边、 个基本关系式： AEXDB = AC K AB ，解得 AE = 4.8cm . 例3 (补充) 已知：如图，矩形 ABCD 中，E 是BC 上一点，DF 丄AE 于F , 若 AE=BC . 求证：CE = EF . 分析：CE 、EF 分别是BC , AE 等线段上的一部分，若 AF = BE ,则问题解 决，而证明
AF = BE ，只要证明△ ABE ◎△ DFA 即可，在矩形中容易构造全等 的直角三角形. 证明：??? 四边形ABCD 是矩形，? / B=90 °且AD // BC . 仁/ 2. DF 丄 AE , ? / AFD=90 ° . ? / B= / AFD .又 AD=AE , △ ABE ◎△ DFA (AAS ).? AF=BE . ? EF=EC .
此题还可以连接 DE ，证明△ DEF ◎△ DEC ，得到EF = EC . 斜边及斜边上的高的一
六、随堂练习 1.(填空)
(1) ______________________________________________ 矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是 . (2)
已知矩形的一条对角线与一边的夹角为 30°,则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别 为 _________ 、 _________ 、 ________ 、 _________ . (3) 已知矩形的一条对角线长为
10cm ，两条对角线的一个交角为120°,则矩形的边长分别为 cm , cm, ________ cm, ________ c m . 2 .(选择) (1)下列说法错误的是(
). (A )矩形的对角线互相平分 (C )有一个角是直角的四边形是矩形 (B )矩形的对角线相等 (D )有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 (2)矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有( (A ) 2 对
(B ) 4 对 (C ) 6 对 (D ) 8 对 3.如图，0是矩形ABCD 对角线的交点，AE 平分/ BAD
B E C
-AC= - BD .因此可 2 2
/ AEO的度数.
七、课后练习
1.(选择)矩形的两条对角线的夹角为60 °,对角线长为15cm，较短边的长为( )
(A)12cm (B)10cm (C)7.5cm (D)5cm
2. 在直角三角形ABC中，/ C=90 °, AB=2AC，求/ A、/ B的度数.
3. 已知：矩形ABCD
中，BC=2AB , E是BC的中点，求证：EA丄ED .
4. 如图，矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=AE，求证：/ CBE的度数.
矩形的性质和判定
矩形教学设计 教学目标 知识与技能 1.能用综合法来证明矩形的性质定理和判定定理以及相关结论． 2.能运用矩形的性质进行简单的证明与计算 过程与方法 体会在证明过程中所运用的归纳、类比、转化等数学思想方法. 情感、态度与价值观 学生通过观察发现生活中的矩形，在探索和运用矩形的过程中感受到数学的乐趣 重点难点 重点：矩形的性质；矩形的判定。 难点：矩形的性质和判定的综合运用。 教学方法 观察、总结、讨论分析。 教学过程 一、回顾旧知，温故新知 1.平行四边形有哪些特征? 2.有几种方法可以判别四边形为平行四边形？ 3.四边形具有稳定性吗? 二、创设情境，导入新课 出示多媒体 1.引入 我们已经知道平行四边形是特殊的四边形，因此平行四边形除具有四边形的性质外，还有它的特殊性质，同样对于平行四边形来说有特殊情况即特殊的平行四边形，这堂课我们就来研究一种特殊的平行四边形——矩形 2.知识讲解 观察 A B C D A B C D 一个角变成直角
分析：（1）矩形的形成过程是平行四边形的一个角由量变到质变的变化过程. （2）矩形只比平行四边形多一个条件：“一个角是直角”，不能用“四个角都是直角的平行四边形是矩形”来定义矩形. 矩形与平形四边形之间的关系 （3）矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质（共性），还具有它自己特殊的性质（个性） （4）从边、角、对角线方面，观察或度量猜想矩形的特殊性质. ①边：对边分别平行且相等（与平行四边形相同），邻边互相垂直 ②角：四个角都是直角（性质1） ③对角线：相等且互相平分 三、例题讲解 已知:如图,四边形ABCD 是矩形. 求证:∠A=∠B=∠C=∠D=90°. 分析:由矩形的定义,利用对角相等,邻角互补可使问题得证. 证明: ∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴∠A=90°,四边形ABCD 是平行四边形. ∴∠C=∠A=90°, ∠B=180°-∠A=90°, ∠D=180°-∠A=90°. ∴四边形ABCD 是矩形. 【定理】矩形的四个角都是直角. 跟踪练习 已知:如图,AC,BD 是矩形ABCD 的两条对角线. 求证: AC=BD. 分析:根据矩形的性质,可转化为 全等三角形(SAS)来证明. 证明:∵ 四边形ABCD 是矩形, ∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°. ∵BC=CB, ∴△ABC ≌△DCB(SAS). ∴AC=DB. 【定理】矩形的两条对角线相等. 练一练： A B C D O B A
矩形定义及性质(教案)
矩形定义及性质 剑川县沙溪中学王仲磊 2号 课型：新授课课时：1节 教学目标 1、知道矩形的定义、矩形与平行四边形的联系； 2、能说出矩形的四个角都是直角及矩形的对角线相等的性质； 3、能推出直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质； 4、能运用以上性质进行简单的证明和计算。 5、应用计算机辅助教学，充分展示数学问题的发生、发展及变化过程，培养学生的创新意识和创造能力。 教学重点和难点 重点：矩形的定义、性质及推论。 难点：能用矩形的性质进行简单的证明和计算。 教法：多媒体辅助教学法、启发引导法 教学过程 一、复习提问 1、平行四边形性质定理： （1）平行四边形的对角相等。（2）平行四边形的对边相等。 （3）平行四边形的对角线互相平分。推论：夹在两条平行间的平行线段相等。 2、平行四边形判定定理 （1）两组对角分别相等的四边形是平行四边形。 （2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 （3）对角线互相平分的四边形是平行四边形。 （4）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 二、引入新课 请同学们观看一幅动画。（屏显） 一个角是直角 （1）（2）当平行四边形变化到位置（2 ）时得到什么图形？ （生回答，教师作点拨。） 三、讲解新课 1、请举几个生活中关于矩形的例子。（对学生的回答作灵活处理）
2、观察动画中平行四边形是如何演变成矩形的，也就是说当平行四边形满足什么条件的时候便成了矩形？ 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形。 3、矩形是特殊的平行四边形，它除了“有一个角是直角”外，还可能具有哪些平行四边形所没有的特殊性质呢？ （引导学生根据研究平行四边形性质的经验，分别从边、角、对角线三个方面探索矩形的特性，这种探索的基础是矩形“有一个角是直角”。） 根据学生的回答：矩形的四个角都是直角。 4、如何说明“矩形的四个角都是直角”呢？ 已知：如图四边形ABCD 是矩形，∠B=90o 。求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90o 证明：∵四边形ABCD 是矩形 ∴AB ∥DC （平行四边形对边平行） ∴∠C=∠B=90o （两直线平行，同旁内角 互补） 同理：∠D=90o 、∠A=90o 性质1：矩形的四个角都是直角。 知识拓展：让学生说出不同于老师的证法。（分组讨论） 5、下面我们来做一个游戏，请同学们关上你们的教材，观察教材的封面，用刻度尺测量书本的对角线。并回答屏幕上的问题。 教材的封面是什么图形？ 派一名代表说出你们测量的数据？你能发现两条对角线间有什么特殊关系吗？ 学生容易回答“矩形的对角线相等”。 如何证明“矩形的对角线相等”这一命题呢？请同学们根据屏幕上给出的图形、写出已知、求证，并证明这个命题。 已知：如图，ABCD 是矩形，对角线AC 、BD 交于点O 。求证：AC=BD 证明：在矩形ABCD 中 ∠ABC=∠DCB=90o ，AB=DC ，BC=CB ∴?ABC ≌?DCB ∴AC=DB 性质2：矩形的对角线相等。 6、矩形的一条对角线把矩形分成两个直角三 角形，矩形的对角线互相平分又相等，由此，我们可以得到直角三角形的什么重要性质。请同学们讨论，并大胆的猜想。（对学生的回答稍作点拨） 如图，已知ABCD 是矩形，对角线AC 、BD 相交 于点O 。求证：OB=21 AC 证明：在矩形ABCD 中， AC=BD （矩形对角线相等） 又∵OA=OC=21 AC
矩形的性质和判定(人教版)(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：矩形的定义是什么？ 问题2：矩形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？ 问题3：矩形有哪些性质？ 问题4：矩形的判定有哪些？ 以下是问题及答案，请对比参考: 问题1：矩形的定义是什么？ 答：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 问题2：矩形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？ 答：矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形． 问题3：矩形有哪些性质？ 答：矩形的对边相等且互相平行；矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等且互相平分． 问题4：矩形的判定有哪些？ 答：有三个角是直角的四边形是矩形； 对角线相等且互相平分的四边形是矩形； 有一个角是直角的平行四边形是矩形； 对角线相等的平行四边形是矩形． 矩形的性质和判定（人教版） 一、单选题(共8道，每道12分) 1.下列说法，错误的是( ) A.矩形的对边互相平行 B.矩形的对角相等
C.矩形的对角线相等 D.矩形的对角线平分一组对角 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：矩形的性质 2.矩形具有而平行四边形不具有的性质是( ) A.对角线互相平分 B.邻角互补 C.对角线相等 D.对角相等 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：矩形的性质 3.已知，在等腰三角形ABC中，AB=AC，分别延长BA，CA到D，E点，使DA=AB，EA=CA，则四边形BCDE是( ) A.任意四边形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 答案：B 解题思路：
试题难度：三颗星知识点：矩形的判定 4.如图，矩形ABCD的对角线AC=8，∠COD=60°，则AB的长为( ) A. B.2 C. D.4 答案：D 解题思路：
1.1《矩形的性质与判定》
1.2矩形的判定和性质（一） 学习目标: 1、掌握矩形的定义和性质; 2、学会判定矩形; 3、平行四边形和矩形的区别和联系; 新知学习 复习；菱形的性质和判定 性质: 判定: 、矩形的定义 如图，如果一个平行四边形有一个角是直角， 那么这个平行四边形会有怎样的变 化？ 定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形（矩形是特殊的平行四边形）。 二、矩形的性质。矩形具有平行四边形的所有性质。 请结合着平行四边形的性质请你探索矩形的性质， 你可以写出几条，会证明吗? 边的性质：对边平行且相等. 角的性质：四个角都是直角. 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形. 组对边 分另U 平 矩形的性质： 对角线性质：对角线互相平分且相等. 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 直角三角形中，30 °角所对的边等于斜边的一半 D C
矩形的对称性：矩形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心； 矩形是轴对称图形，对称轴有2条，是经过对角线的交点且垂直于矩形一边的直 线。 练习: (1)下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是( 例题精讲 【例1】、1如图，矩形 ABCD 中，AC 与BD 交于点0, BE 丄AC 于 丄BD 于F . (1) 线段BE 与CF 相等吗？请说明理由； (2) 当 AB=2, / AOB=6° 时，求 BE 的值. A 、对边相等 B 、对角相等 C 、对角线相等 D 、对边平行 ⑵矩形ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交于0,/A0B = 60° AC = 10cm ，贝U AB cm BC = cm. (3) 在△ABC 中，/ C = 90° AC = 5, BC = 3,则 AB 边上的中线 CD = (4) 2 2 3(5)如图，E 为矩形纸片ABCD 的BC 边上一点，将纸片沿 AE 向上折叠，使 点B 落在DC 边上的F 点处.若△AFD 的周长为9, AECF 的周长为3,则矩 形ABCD 的周长为 ⑹矩形ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和 是86cm ,对角线是13cm ,那么矩形的周长是 (7)如图，矩形 ABCD 中，E 是BC 的中点，且/ AED=90 .当AD=10cm 时, AB 等于( ) B. 5 匚572 (8)如图，过矩形ABCD 的对角线BD 上一点R 分别作矩形两边的平行线 MN 与 PQ ,那么图中矩形 AMRP 的面积S 1,与矩形QCNR 的面积S 2的大小关系是 ( ) A. S 1> B. S i = S 2 C. S i < S 2 D.不能确定 E ，CF
矩形的性质(1)
燕子砭镇初级中学八年级数学教（学）案 序号：38 授课时间：审核人签名: （2）总结：矩形的定义：有一个角是__________ 的平行四边形，叫做矩形 （3）、练习：四边形、平行四边形、矩形有什么关系？ 2）由于矩形是特殊的平行四边形，因此它具有平行四边形的所有性质，还具有平行四边形不具有的特殊性质。填写下表：
课堂检测： 1 .填空 (1) 矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是 (2) 已知矩形的一条对角线与一边的夹角为 30。，则矩形两条对角线相交所 得的四个角的度数分别为 _________ 、 _______ 、 ________ 、 _______ . (3) 已知矩形的一条对角线长为 10cm,两条对角线的一个交角为 120°,则 矩形的边长分别为 cm , cm 2、 选择 (1) 下列说法错误的是( ). (A )矩形的对角线互相平分 (C )有一个角是直角的四边形是矩形 叫做矩形 (2) 矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有( (A ) 2 对 (B ) 4 对(C ) 6 对(D ) 8 对 (3) 矩形的两条对角线的夹角为60°,对角线长为15cm,较短边的长为(). (A)12cm (B)10cm (C)7.5cm (D)5cm 3、 已知：如图，矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 0,/ AOB=0°, AB=4cm 求矩形对角线的长. 4、 已知：如图，矩形ABCD , AB 长8 cm 归纳：“直角三角形斜边上的中线等于 (B )矩形的对角线相等 (D )有一个角是直角的平行四边形 ， cm ， cm 边长4 cm .求AD 的长及点A 到BD 的距离 ) . D
(完整版)18.2.1矩形的性质(第一课时)
无为三中城南校区 教 学 设 计 姓名：王燕 课题：18.2.1 矩形（第一课时）
18.2.1 矩形（第一课时） 一、教材分析 本节课是选自人教版《数学》八年级下册第十八章第2节（第一课时），本节课的内容在学生学习了平行四边形的性质与判定以及小学学过的长方形的基础上来学习的，它是平行四边形的延伸，不仅为矩形判定的学习做铺垫，也为菱形、正方形的学习打下基础。学生通过对生活中的长方形的观察、思考、归纳、抽象得出矩形的定义和性质，这样的安排使学生易于接受抽象的定理，并能在整个的教学过程中真正享受到探索的乐趣。 二、学情分析 学生在小学阶段对长方形的学习与了解、从七年级开始数学说理的学习、以及前一节平行四边形内容的学习，都为本节课的学习打下了很好的学习基础与方法。但我所面对的是农村中学的学生，差生面比较广，动手能力和应用能力不强，说理过程的书写格式也有待于进一步规范。在小学阶段，学生对矩形虽有一定的学习与了解，但更多的是停留在表面的记忆和理解，不系统、不全面，应用也少。 三、教学目标： (一)知识与技能目标： 1、掌握矩形的概念和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系，会进行简单的推论 2、会初步运用矩形的概念和性质来解决有关问题; 3、能推出直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质 (二) 过程与方法目标： 1、探索平行四边形演变为矩形的过程，体验由一般到特殊的演绎，领会它们的蕴涵关系； 2、通过交流与合作培养学生的探究式学习的方法. (三)情感态度与价值观目标： 1、渗透运动联系、从量变到质变的观点;
2、在观察，操作，推理，归纳等探索过程中，发现学生的合情推理能力，进一步培养学生数学说理的习惯与能力，并要求学生能熟练书写规范的推理格式. 四、教学重点、难点 1、重点：矩形的性质。 2、难点：矩形的性质的灵活应用。 五、教学方法： 分析启发法 六、教学过程 ㈠课堂引入 复习平行四边形的概念及边、角、对角线方面的性质与判定。 ㈡矩形的定义 思考：由PPT演示平行四边形变化的过程，学生观察思考。 问题1：在这个变化过程中什么不变、什么变？ 问题2：在这个变化过程中的所有四边形，还是不是平行四边形？ 问题3：在这个变化过程中使其一个内角恰好为直角时得到一种特殊的图形是什么图形？ 矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
矩形的性质练习题
矩形的性质练习题 一．选择题 1．矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是 ( ) A. 对角相等 B. 对边相等 C. 对角线相等 D. 对角线互相平分 2．如图，矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边上的F点处，如果∠BAF=60°，那么∠DAE等于（）． A．15° B.30° C.45° D.60° 3．若矩形的一条角平分线分一边为3cm和5cm两部分，则矩形的周长 为（） A．22 B．26 C．22或26 D．28 4．由矩形的一个顶点向其所对的对角线引垂线，该垂线分直角为1：3两部分，则该垂线与另一条对角线的夹角为（） A、22.5° B、45° C、30° D、60°5．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC,∠ADE=∠CDE,那么∠BDC等于（） A．60° B．45° C．30° D．22.5°6．如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，且∠AED=90°．当AD=10cm时，AB等于（） A. 10 B. 5 C. D. 7．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE＝30°，AB＝，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处．则BC 的长为（） 第(4)题第(7)题第(8)题第(10)题 A． B．2 C．3 D．二．填空题 1、在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若对角线AC=10cm，?边 BC=?8cm，?则△ABO的周长为________．
2、矩形ABCD的两条对角线相交于O,∠AOB＝60o,AB＝8,则矩形对角线的长＿＿＿ 3、矩形的两条对角线的夹角为60°，一条对角线与短边的和为15，则短边的长是，对角线的长是 . 4、矩形ABCD的对角线相交于O，AC=2AB，则△COD为________三角形。 5、如果一个矩形较短的边长为5cm．两条对角线所夹的角为60°，则这个矩形的面积是_____cm2. 三．解答题 1、已知，如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OB的中点． （1）求证：△ADE≌△BCF；（2）若AD=4cm，AB=8cm，求OF的长． 2、如图，在矩形ABCD中，已知AB=8cm，BC=10cm，折叠矩形的一边AD，使点D 落在BC边的中点F处，折痕为AE，求CE的长． 3、如图，在矩形ABCD中，AE平分∠BAD，∠1＝15°． (1)求∠2的度数．(2)求证：BO＝BE． ※※※※※※ 密封线※※※※※※※※※※※※※※※ 密封线※※※※※※※※※※※※※※※※※※密封线※※※※※※※ --- ---答题线------------答题线------------答题线---------答题线------------ 4、如图：矩形ABCD中，AB=2 cm , BC=3 cm . M是BC的中点，求D点到AM的距离。
矩形的性质与判定练习题2018年经典
2018年矩形的性质与判定练习题 姓名：_________ 一．选择题 1．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，已知下列6个条件： ①AB∥DC；②AB=DC；③AC=BD；④∠ABC=90°；⑤OA=OC；⑥OB=OD． 则不能使四边形ABCD成为矩形的是（） A．①②③B．②③④C．②⑤⑥D．④⑤⑥ 2．下列关于四边形是矩形的判断中，正确的是（） A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线互相平分且垂直D．对角线互相平分且相等3．如图,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,CE∥BD,DE∥AC,若AC=4,则四边形OCED 的周长为（） 4．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为（）A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 1题图3题图4题图5题图6题图 5．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC 和BD的垂线，垂足为E、F，则PE+PF的值为（） A. 10 B. C. 6 D. 5 6．如图，在△ABC中，AB=6，AC=8，BC=10，P为边BC上一动点（且点P不与点B、C重合），PE⊥AB于E，PF⊥AC于F．则EF的最小值为（） A．4 B．C．D．6 7．如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=4cm．动点E从点B出发，沿着线路BC→CD→DA运动，在BC段的平均速度是1cm/s，在CD段的平均速度是2cm/s，在DA段的平均速度是4cm/s，到点A停止．设△ABE的面积为y（cm2），则y与点E的运动时间t（s）的函数关系图象大致是（） A. B. C. D. 7题图8题图10题图11题图 8．如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是（）
北师大版九年级数学上册教案《矩形的性质与判定》教学设计
《矩形的性质和判定》教学设计 第一课时：矩形的性质 教材分析: 本节是九年级的第一章第二节的内容，这个年龄段的学生已经具备自主探究和合作学习的能力，他们喜欢动手，喜欢思考一些有挑战性的问题，喜欢向别人展示自己的成果。部分学生对学习数学有较强的兴趣，具有一定的探究数学问题的能力和数学活动的经验，逻辑推理能力较强。但大部分学生要把解题的整个过程表述完整、清楚比较困难。 教学目标： 【知识与技能】 (1) 掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系。 (2)理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明; (3)会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力． 【过程与方法】 （1）经历探索矩形的概念和性质的过程，发展学生合情推理的意识； （2）通过灵活运用矩形的性质解决有关问题，掌握几何思维方法，并渗透运动联系、从量变到质变的观点． 【情感态度与价值观】 (1)在观察、测量、猜想、归纳、推理的过程中，体验数学活动充满探索性和创造性，感受证明的必要性，培养严谨的推理能力，体会逻辑推理的思维价值。
(2) 通过小组合作展示活动，培养学生的合作精神和学习自信心。 (3)从矩形与平行四边形的区别与联系中，体会特殊与一般的关系，渗透集合的思想。 教学重难点： 【教学重点】 掌握矩形的性质。 【教学难点】 运用综合法证明矩形的性质。 课前准备：多媒体，平行四边形教具，矩形纸片 教学过程： 一．创设情景，导入新课 活动内容：1、观察图形，都是一种特殊的平行四边形,说一说他们的特殊之处 2、探究矩形的定义 利用一个活动的平行四边形教具演示,使平行四边形的一个内角变化，让学生注意观察。在演示过程中让学生思考： （1）在运动过程中四边形还是平行四边形吗？ （2）在运动过程中四边形不变的是什么？ （3）在运动过程中四边形改变的是什么？ 不变：对边仍保持相等，对边仍分别平行，所以仍然是平行四边形 变：角的大小 （4）角的大小改变过程中有特殊值吗？这时的平行四边形是什么图形。（矩形） 矩形的定义：有一个内角是直角的平行四边形是矩形 活动：1.复习平行四边形的性质和菱形的性质 2.平行四边形的面积 【设计意图】从学生的已有的知识出发，通过教具演示，让学生经历了矩形概念的探究过程，自然而然地形成矩形的概念。 二、分组讨论，探究新知
矩形的性质练习题 (1)
矩形的习题精选 一、性质 1、下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ） A 、对边相等 B 、对角相等 C 、对角线相等 D 、对边平行 2.在矩形ABCD 中，∠AOD=130°，则∠ACB=__ _ 3.已知矩形的一条对角线长是8cm ，两条对角线的一个交角为60°，则矩形的周长为______ 4.矩形ABCD 被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm ， 对角线是13cm ，那么矩形的周长是____________ 5.如图所示，矩形ABCD 中，AE ⊥BD 于E ，∠BAE=30°，BE=1cm ，那么DE 的长为_____ 6、直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm 和6cm ，则它的面积为___ 7、已知，在Rt △ABC 中，BD 为斜边AC 上的中线，若∠A=35°，那么∠DBC= 。 8、如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE ⊥AC 于E ，CF ⊥BD 于F. 求证：BE=CF. 9.如图，△ABC 中，∠ACB=900，点D 、E 分别为AC 、AB 的中点，点F 在 BC 延长线上，且∠CDF=∠A ，求证：四边形DECF 是平行四边形； 10.已知:如图，在△ABC 中，∠BAC ≠90° ∠ABC=2∠C ，AD ⊥AC ， 交BC 或CB 的延长线D 。试说明:DC=2AB. 11、在△ABC 中，∠C=90O ，AC=BC ，AD=BD ，PE ⊥AC 于点E ， PF ⊥BC
于点F。求证：DE=DF 二、判定 1、下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是（） A．测量两条对角线，是否相等B．测量两条对角线，是否互相平分 C．用曲尺测量门框的三个角，是否都是直角D．用曲尺测量对角线，是否互相垂直 2、平行四边形ABCD，E是CD的中点，△ABE是等边三角形，求证：四边形ABCD 是矩形 3、在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，EF过点O，且AF⊥BC，求 证：四边形AFCE是矩形 4、平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点Ｏ，点Ｐ是四边形外一点，且PA ⊥PC，PB⊥PD，垂足为Ｐ。求证：四边形ABCD为矩形 5、已知：如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于E、F、G、H，求 证：四边形EFGH为矩形． 6、如图，△ABC中，点O是AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠ BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F，(1)求证：OE=OF；(2)当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形，并证明你的结论。
矩形的性质和判定
矩形的性质和判定【知识梳理】 一、定义：有一个是直角的平行四边形是矩形。 二、性质： ①矩形的四个角都是直角 ②矩形的对角线相互平分且相等 ③矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴 ④矩形的面积S=长×宽 三、判定： ①有一个角是直角的平行四边形是矩形； ②有三个角是直角的四边形是矩形； ③对角线相等的平行四边形是矩形； ④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。 四、矩形与平行四边形的区别与联系： ①相同点 1、两组对边分别平行 2、两组对边分别相等 3、两组对角分别相等 4、对角线相互平分 ②区别 1、有一个角是直角的平行四边形矩形 2、对角线相互平分且相等 【例题精讲】 考点1 矩形的性质 【例1】已知：如图，在矩形ABCD中，BE=CF，求证：AF=DE。
【例2】如图，在矩形ABCD中，,E F分别是, BC AD上的点，且BE DF =。求证：ABE ?≌CDF ?。 【例3】如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，60 AOB ∠=?，2 AB=，则矩形的对角线AC的长是（）A．2B．4C．23D．43 【变式1】下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（） A、对边相等 B、对角相等 C、对角线相等 D、对边平行 【变式2】矩形ABCD的对角线AC、BD交于O，如果ABC ?的周长比AOB ?的周长大10cm，则边AD的长是。 【变式3】如图，矩形ABCD沿AE折叠，使D点落在BC边上的F点处，如果60 BAF ∠=?，则DAE ∠=。 F E D C B A 考点2 矩形的判定 【例4】如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形。求证：四边形ADCE是矩形。 【例5】如图，在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，△ABE是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形。 O D C B A D E F C A B
矩形的性质与判定(一)
矩形的性质与判定（一） 双流县西航港二中杜安兴 一、学情分析 ●学生已有知识和生活经验 学生已经学习了平行四边形的性质和判定，也学习了一种特殊的平行四边形——菱形的性质和判定，对于类似的问题有一定的学习经验和感受，同时学生在生活中接触过大量的与矩形有关的图案和物品，对矩形有较多的感性认识和实践经验，这将更有利于学生对本节课的学习. ●学生起点能力分析 通过初一阶段空间与图形的学习学生已经掌握了平面图形及其位置关系、平行线与相交线、三角形的相关知识，具有了一定的图形观察、分析、说理、探究的能力，并积累了初步的数学活动的经验，有一定的自主探究与合作交流的能力. 二、教材分析 《矩形的性质与判定（一）》是义务教育课程标准北师大版义务教科书九年级（上）第一章《特殊平行四边形》第2节. ●教材内容结构 本节课的内容首先是在平行四边形的基础上引入矩形的概念，然后利用平行四边形的不稳定性进行形状变化，探索变化过程中两条对角线间的关系，从而得出矩形性质，最后再加以对矩形的判定. ●教材的地位和作用 本节教材是继初一掌握简单平面图形、平行线、三角形及本章对平行四边形、菱形学习的基础上，通过类比的学习方法，探究，发现矩形的性质，判定，引导学生学会解决这类问题的一般方法，为后面学习正方形奠定基础. 三、目标分析 ●知识与技能目标 1.理解矩形的概念； 2.掌握矩形的有关性质； 3.掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. ●过程与方法目标 1.经历探索矩形性质和判别条件的过程，在直观操作活动和简单的说理过程中发展学生初步合情推理能力，主动探究习惯，逐步掌握说理的基本方法，培养学生用联系和发展的眼光去认识和研究事物.
矩形的性质
九年级（上）数学科集体备课教案 课题§1.2矩形的性质与判定（1）主备人执教课型新授课时 1 备课时间上课时间 教学目标知识与能力: 掌握矩形的概念、掌握矩形的有关性质。 过程与方法：经历探索矩形有关性质的过程，在直观操作活动中学会简单说理，发展初步的合情推理能力和主动探究习惯，逐步掌握 说理的基本方法。 情感态度与价值观：形成良好的几何感知，体会几何学的逻辑内涵，发展 思维。 重点矩形的性质及其应用。 难点矩形性质定理、推论及特殊三角形的性质的综合应用。教法引导、探究、合作、交流 教学过程 集体备课个案修改 一、创设问题情境，引入新课 1．教师出示教具：“一个活动的平行四边形木框”，? 用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上． 拉动一对不相邻的顶点A、C，立即改变平行四边形的 形状，如图所示． 以图形变化为引入，让学生从变化的平行四边形中体会 矩形，从而发现平行四边形与矩形之间的联系. 在演示过程中提问： （1）平行四边形在变化过程中还是平行四边形吗？ （2）观察平行四边形在变化过程中不变的是什么？改 变的又是什么？ （3）在变化过程中，有没有一个形状特殊的平行四边 形？怎样特殊？ （4）这时的平行四边形是什么图形。（矩形）
教 学 过 程 平行四边形矩形 定义 有两组对边分别 平行的四边形叫 做平行四边形 有一个角是直角的平行四边形是 矩形 性质 对称 性 中心对称图形 中心对称图形 轴对称图形 边对边平行且相等对边平行且相等 角 对角相等 邻角互补 四个角都是直角 对角 线 对角线互相平分对角线相等且互相平分 活动（二） 矩形ABCD中： 问题（一）：直角三角形分别是： . 它们的关系： . （二）：OB与AC的数量关系是： 归纳（二）： 直角三角形的一个性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 三、巩固练习 1．找一找如图在矩形ABCD中, (1)找出相等的线段. (2)找出相等的角. 2．填一填： 矩形ABCD中，AC，BD交于点O，若∠AOB=60°，则图 中相等的线段是：.若AB=4㎝，则 AC= .
矩形的性质与判定
矩形的性质与判定 1．（1）矩形的定义中有两个条件：一是 ，二是 ． （2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为 、 、 、 ． 2．下列说法错误的是（ ）． A 、矩形的对角线互相平分B 、矩形的对角线相等 C 、有一个角是直角的四边形是矩形 D 、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 3.矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ）． A 、2对 B 、4对 C 、6对 D 、8对 4．已知矩形的一条对角线长为10cm ，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为______cm ， cm ， cm ， cm ． 5、已知：如图 ，矩形 ABCD 中，AB 长8 cm ，对角线比AD 边长4 cm ．求AD 的长及点A 到BD 的距离AE 的长． 6、 下列各句判定矩形的说法是否正确？为什么？ （1）有一个角是直角的四边形是矩形； （ ） （2）有四个角是直角的四边形是矩形； （ ） （3）四个角都相等的四边形是矩形； （ ） （4）对角线相等的四边形是矩形； （ ） （5）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； （ ） （6）对角线互相平分且相等的四边形是矩形； （ ） （7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； （ ） （8）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是矩形；（ ） （9）两组对边分别平行，且对角线相等的四边形是矩形． ( ) 7．工人师傅做铝合金窗框分下面三个步骤进行： ⑴ 先截出两对符合规格的铝合金窗料（如图①），使AB ＝CD ，EF ＝GH ； ⑵ 摆放成如图②的四边形，则这时窗框的形状是 形，根据的数学道理是： ； ⑶ 将直角尺靠紧窗框的一个角（如图③），调整窗框 的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时（如图④），说明窗框合格，这时窗框是 形，根据的数学道理是： ； 8．矩形的两条对角线的夹角为60°，对角线长为15cm ，较短边的长为（ ）． (A)12cm (B)10cm (C)7.5cm (D)5cm 9、如图，矩形ABCD 中，AC 与BD 交于O 点，BE AC ⊥于E ，CF BD ⊥于F 。求证BE=CF 。 10、已知，在矩形ABCD 中，AE 平分∠BAD ，∠1=45°，求证：BO=BE E A B C D O 1
2 矩形的性质与判定1 第1课时 矩形的性质
1.2 矩形的性质与判定 第1课时 矩形的性质 1．掌握矩形的定义，理解矩形与平行四边形的关系． 2．理解并掌握矩形的性质定理；会用矩形的性质定理进行推导证明．(重点) 3．会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力．(难点) 阅读教材P11～13，完成下列问题： (一)知识探究 1．有______________的平行四边形叫做矩形． 2．生活中你见到过的矩形有________、________. 3．矩形是________的平行四边形，具有平行四边形的________性质． 4．矩形的________都是直角． 5．矩形的对角线________． 6．直角三角形斜边上的中线等于斜边的________． (二)自学反馈 1．矩形是轴对称图形吗？如果是的话，它有几条对称轴？ 2．请用所学的知识诊断下面的语句，若正确请在括号里打“√”，若“有病”请开药方： (1)矩形是特殊的平行四边形，特殊之处就是有一个角是直角．( ) (2)平行四边形是矩形．( ) (3)平行四边形具有的性质(如平行四边形的对边平行且相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分)矩形也具有．( ) 3．已知△ABC 是直角三角形，∠ABC ＝90°，BD 是斜边AC 上的中线．若BD ＝3 cm ，则AC ＝________cm. 活动1 小组讨论 例 如图，在矩形ABCD 中，两条对角线相交于点O ，∠AOD ＝120°，AB ＝2.5 cm ，求矩形对角线的长． 证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AC ＝BD(矩形的对角线相等)，OA ＝OC ＝12AC ，OB ＝OD ＝12 BD. ∴OA ＝OD. ∵∠AOD ＝120°，∴∠ODA ＝∠OAD ＝12 ×(180°－120°)＝30°. 又∵∠DAB ＝90°(矩形的四个角都是直角)， ∴BD ＝2AB ＝2×2.5＝5. 利用矩形的对角线相等及直角三角形的性质是解决这类问题的关键． 活动2 跟踪训练 1．矩形具有一般平行四边形不具有的性质是( ) A ．对边相互平行 B ．对角线相等 C ．对角线相互平分 D ．对角相等
矩形的性质
《矩形的性质》导学案 设计人： 阚家中学 岳素娟 学习目标： 1．探索并掌握矩形的有关性质，感受定理的由来。 2．进一步培养学生的分析、综合的思考方法，及表达书写能力．发展学生演绎推理能力。 学习重点: 矩形的定义及其性质定理。 学习难点: 灵活运用矩形的性质定理解决矩形的有关问题。 课前预习学案 预习导学：（预习课本P13-15回答下列问题） 1.矩形定义：__________________________________叫做矩形(通常也叫_________)． 2． 归纳矩形的性质： ⑴具有平行四边形的一切性质。 ⑵矩形性质定理1： ____________________________． ⑶矩形性质定理2：____________________________． 3.直角三角形斜边上的中线等于_____________的一半． 课中实施学案 一、自主学习：（脑筋越用越灵活！） 探究1：矩形的四个角都是直角 （口述证明过程 ） 探究2：矩形的对角线相等 已知：如图， 求证： 证明： 探究3： 问题一 如图 ，矩形ABCD ，对角线相交于O ，观 察平行四边形的对角线所分成的三角形， 由性质2，你会发现有以下相等关系： AO=＿＿＿=＿＿＿=＿＿＿＿= 21＿＿＿=2 1 ＿＿＿． C
问题二 将目光锁定在Rt △ABC 中，你能发现直角三角形有什么特殊的性质吗？ 二、性质运用：（动手动脑，勤于思考） 1、合作交流：生自学课本第15页例1，探讨另一种解法。 （提示：用直角三角形中，30度的锐角所对的直角边等于斜边的一半来解） 解： 2、变式训练： 变式1：本题若将“∠BOC=120°”改为“∠BOC ∶∠BOA ＝2∶1”，你能求出BD 的长吗？ 变式2：本题若将“∠BOC=120°”改为“AC=2AB ”，你能获得有关这个矩形的哪些结论？ 三、知识巩固：（学数学是为了用数学!） 1.下列说法错误的是（ ）． A 、矩形的对角线互相平分 B 、矩形的对角线相等 C 、有一个角是直角的四边形是矩形 D 、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 2.矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ）． A 、2对 B 、4对 C 、6对 D 、8对 3．已知矩形的一条对角线长为10cm ，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为_________cm ， cm ， cm ， cm ．
矩形的性质与判定一
矩形的性质与判定（一)
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课时教学设计首页 课题 ２.矩形的性质与判定 (一) 课型新授授课时间２015.９ 教学目标１．掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系。理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明；会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题,进一步培养学生的分析能力. 2．经历探索矩形的概念和性质的过程,发展学生合情推理的意识；通过灵活运用矩形的性质解决有关问题,掌握几何思维方法，并渗透运动联系、从量变到质变的观点． ３.在观察、测量、猜想、归纳、推理的过程中，体验数学活动充满探索性和创造性,感受证明的必要性,培养严谨的推理能力，体会逻辑推理的思维价值。通过小组合作展示活动，培养学生的合作精神和学习自信心。 教学重点与难点重点:理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明；会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题,进一步培养学生的分析能力． 难点：通过灵活运用矩形的性质解决有关问题，掌握几何思维方法,并渗透运动联系、从量变到质变的观点. 教学 方法 任务驱动法
课时教学流程 教 师 行 为 学 生 行 为 使 用 教 材 构 想 《矩形的性质与判定》一课属于初中平面几何重点知识。本节是在学习了平行四边形的性质与判定以及菱形的基础上，在掌握了证明平行四边形有关内容及特殊平行四边形的一般研究方法后来学习的,它既是平行四边形的延伸，又为后面正方形的学习提供知识、方法的支持，为进一步研究其他图形奠定基础。依据新课标要求，《矩形的性质》不能只停留在知识教学上,而是要把经历探索图形的基本性质的过程，发展学生的基本的推理技能放在首要位置。矩形是的平行四边形中的一种特殊图形，在生活中有着广泛的应用,所以课本很多地方以图片形式呈现了矩形的“原型”，旨在唤起学生的生活经验，促进数学学习。 补充设计 ☆ ☆
矩形的性质练习题
【基础诊断】 1．矩形具有而一般的平行四边形不具有的性质是() A．对角相等B．对角线相等 C．对角线互相平分D．对边相等 2．如图18－2－1，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，以下说法不一定正确的是() A．∠ABC＝90°B．OD＝1 2AC C．∠OAB＝∠OBA D．OA＝AD 图18－2－1 图18－2－2 3．如图18－2－2，在直角三角形ABC中，斜边AB上的中线CD＝AC，则∠B的度数为________． 4．如图18－2－3所示，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠BOC＝120°，AC＝6. 求：(1)AB的长；(2)矩形ABCD的面积．
命题点1矩形的四个角都是直角 5．M为矩形ABCD中AB边上的中点，且AB＝2BC，那么∠BMC等于() A．30°B．45°C．60°D．75° 6．矩形ABCD的三个顶点的坐标分别是A(0，1)，B(0，0)和C(2，0)，则点D的坐标是() A．(1，0) B．(1，1) C．(2，2) D．(2，1) 7．矩形内有一点A，到各边的距离从小到大依次是1，2，3，4，则这个矩形的周长是() A．10 B．20 C．24 D．25 图18－2－4 8．如图18－2－4，矩形ABCD的面积为36 cm2，E，F，G分别为AB，BC，CD的中点，H为AD上任一点，则图中阴影部分的面积为() A．18 cm2B．16 cm2 C．20 cm2D．24 cm2 9．已知：如图18－2－5，P为矩形ABCD内一点，PC＝PD，求证：PA＝PB.
图18－2－5 10．如图18－2－6，四边形ABCD 是矩形，点E 在BC 边上，点F 在BC 的延长线上，且∠CDF ＝∠BAE ，求证：四边形AEFD 是平行四边形． 图18－2－6 命题点 2 矩形的对角线相等 11．如图18－2－7，矩形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，∠ADB ＝30°，AB ＝4，则OC 等于( ) A ．5 B ．4 C ． D ．3 12．如图18－2－8，在矩形ABCD 中，DE ⊥AC ，∠ADE ＝1 2∠CDE ，那么∠BDC 的度数为( ) A ．60° B ．45° C ．30° D ．° 18－2－7
第5课菱形和矩形的性质与判定的总结
O D C B A A B C D O D C B A D C B A 第5课 菱形和矩形的性质与判定的总结 一、归纳知识点： 1. 菱形的定义、性质及判定 定 义：有一组邻边相 等的平行四边形叫做菱形。 ABCD ABCD AB BC ? ??=? 平行四边形菱形 性 质 菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质． ①对边平行且四边都相等；②邻角互补，对角相等； ③对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角； ④是中心对称图形、轴对称图形． ① AB= BC=CD =AD ；②AC ⊥BD 且AC 、BD 分 别为DAB ∠、ABC ∠的角平分线． 面 积 ①菱形面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半． ②推广：对角线互相垂直的四边形，其面积就等于对 角线乘积的一半．（注：不能直接使用） ①1 2 ABCD S AC BD = ?菱形 ②1 2 ABCD S AC BD =?四边形 判 定 ① 一组邻边相等的平行四边形是菱形． ② 对角线互相垂直的平行四边形是菱形． ③ 四边相等的四边形是菱形． D′ 处，折痕为EF ．（1）求证：△ABE≌△AD′F； （2）连接CF ，判断四边形AECF 是什么特殊四边形证明你的结论. A B C D E F D
A B C D O A B C D O A B C 30° A B C O A B C D 2. 矩形的定义、性质及判定 定 义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 90ABCD ABCD B ? ??∠=?? 平行四边形矩形 性 质 矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的性质． ①对边平行且相等；②四个角都是直角； ③对角线互相平分且相等； ④是中心对称图形、轴对称图形． ①ABC BCD CDA DAB ∠=∠=∠=∠ =90°； ②AC=BD ． 推论 ①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． ②在直角三角形中，30?角所对的直角边等于斜边的一半． ① O 是AC 的中点，则1 2 BO AC =． ② 30B ∠=?，则1 2 AC AB = ． 判定 ① 有一个角是直角的平行四边形是矩形． ② 对角线相等的平行四边形是矩形． ③ 有三个角是直角的四边形是矩形． 例2.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB=33，BC=6，沿EF 折叠后，点C 落在AB 边上的点P 处，点D 落在点Q 处，AD 与PQ 相交于点H ，∠BPE=30° （1）求BE 、QF 的长（2）求四边形PEFH 的面积．