2017年广东省深圳市宝安区中考数学二模试卷

2017年广东省深圳市宝安区中考数学二模试卷

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

1．（3分）﹣5的倒数是（）

A．5 B．﹣5 C．D．﹣

2．（3分）国务院总理李克强在《2017年国务院政府工作报告》中提到，2016年新增第四代移动通信用户3.4亿，数据“3.4亿”用科学记数法表示为（）A．3.4×106B．3.4×108C．34×107D．3.4×109

3．（3分）下列各图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A．B．C．D．

4．（3分）下列运算正确的是（）

A．2a2?a3=2a6B．（3ab）2=6a2b2

C．2abc+ab=2 D．3a2b+ba2=4a2b

5．（3分）如图，直线AB∥CD，点E是BC上一点，连接AE，若∠DCB=35°，∠EAB=23°，则∠AEC的度数是（）

A．58°B．45°C．23°D．60°

6．（3分）深圳市统计局发布的2016年《深圳市气候数据每日观测记录》显示，2016年12月26日=﹣﹣31日这六天的平均相对湿度（百分数）分别是58，50，45，54，64，82，对于这组数据，以下说法正确的是（）

A．平均数是59 B．中位数是56 C．众数是82 D．方差是37

7．（3分）中国CBA篮球常规赛比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，今年某队在全部38场比赛中最少得到70分，那么这个队今年胜的场次至少是（）

A．6场 B．31场C．32场D．35场

8．（3分）定义一种新运算：a?b=a（a﹣b），例如，4?3=4×（4﹣3）=4，若x?2=3，

则x的值是（）

A．x=3 B．x=﹣1 C．x1=3，x2=1 D．x1=3，x2=﹣1

9．（3分）若方程mx+ny=6的两个解是，，则m，n的值为（）A．B．C．D．

10．（3分）如何求tan75°的值？按下列方法作图可解决问题，如图，在Rt△ABC 中，AC=k，∠ACB=90°，∠ABC=30°，延长CB至点M，在射线BM上截取线段BD，使BD=AB，连接AD，依据此图可求得tan75°的值为（）

A．2B．2+C．1+D．

11．（3分）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，连接OB，若∠1=37°，则∠2的度数是（）

A．52°B．51°C．53°D．50°

12．（3分）如图，直线l分别交x轴、y轴于点A、B，交双曲线y=（x＞0）于

=，则k的值为（）

点C，若AB：AC=1：3，且S

△AOB

A．B．2 C．D．

二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）

13．（3分）分解因式：m3﹣2m2+m=．

14．（3分）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，则两次取出的小球标号相同的概率为．

15．（3分）如图所示，每一个图形都是由形状相同的五角星按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有9个五角星，第②个图形中一共有17个五角星，第③个图形中一共有25个五角星，…，按此规律排列，则第n个图形中五角星的颗数为．

16．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是CD边的中点，延长BC至点F，使得CF=CE，连接BE，DF，将△BEC绕点C按顺时针方向旋转，当点E恰好落在DF上的点H处时，连接AG，DG，BG，则AG的长是．

三、解答题（本大题共7小题，共52分）

17．（5分）计算：cos45°+（）﹣1+﹣4sin60°．

18．（6分）先化简分式：（）÷，再从不等式组

的解集中选出合适的整数作为a的值，代入求值．

19．（8分）深圳市教育局在全市中小学开展“四点半活动”试点工作，某校为了了解学生参与“四点半活动”项目的情况，对初中的部分学生进行了随机调查，调查项目分为“科技创新”类，“体育活动”类，“艺术表演”类，“植物种植”类及“其它”类共五大类别，并根据调查的数据绘制了下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下面的问题．

（1）请求出此次被调查学生的总人数人；

（2）根据以上信息，补全频数分布直方图；

（3）求出扇形统计图中，“体育活动”α的圆心角等于度；

（4）如果本校初中部有1800名学生，请估计参与“艺术表演”类项目的学生大约多少人？

20．（8分）如图，在楼房MN前有两棵树与楼房在同一直线上，且垂直于地面，为了测量树AB、CD的高度，小明爬到楼房顶部M处，光线恰好可以经过树CD 的顶站C点到达树AB的底部B点，俯角为45°，此时小亮测得太阳光线恰好经过树CD的顶部C点到达楼房的底部N点，与地面的夹角为30°，树CD的影长DN为15米，请求出树AB、CD的高度．（结果保留根号）

21．（8分）某科技公司研发出一款多型号的智能手表，一家代理商出售该公司的A型智能手表，去年销售总额为80000元，今年A型智能手表的售价每只比去年降了600元，若售出的数量与去年相同，销售总额将比去年减少25%．

A型智能手表B型智能手表

进价1300元/只1500元/只

售价今年的售价2300元/只

（1）请问今年A型智能手表每只售价多少元？

（2）今年这家代理商准备新进一批A型智能手表和B型智能手表共100只，它们的进货价与销售价格如右表，若B型智能手表进货量不超过A型智能手表数量的3倍，所进智能手表可全部售完，请你设计出进货方案，使这批智能手表获利最多，并求出最大利润是多少元？

22．（8分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣，0），B（3，0），以AB为直径的⊙G交y轴于C、D两点．

（1）填空：请直接写出⊙G的半径r、圆心G的坐标：r=；G （，）；

（2）如图2，直线y=﹣x+5与x，y轴分别交于F，E两点，且经过圆上一点T（2，m），求证：直线EF是⊙G的切线．

（3）在（2）的条件下，如图3，点M是⊙G优弧上的一个动点（不包括A、T两点），连接AT、CM、TM，CM交AT于点N．试问，是否存在一个常数k，始终满足CN?CM=k？如果存在，求出k的值，如果不存在，请说明理由．

23．（9分）如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，且OC=3OA．点P是抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点D，连接PC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，当动点P只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P作PF⊥BC于点F，试问△PDF的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由．

（3）当点P在抛物线上运动时，将△CPD沿直线CP翻折，点D的对应点为点Q，试问，四边形CDPQ是否成为菱形？如果能，请求出此时点P的坐标，如果不能，请说明理由．

2017年广东省深圳市宝安区中考数学二模试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）

1．（3分）﹣5的倒数是（）

A．5 B．﹣5 C．D．﹣

【解答】解：﹣5的倒数是﹣．

故选：D．

2．（3分）国务院总理李克强在《2017年国务院政府工作报告》中提到，2016年新增第四代移动通信用户3.4亿，数据“3.4亿”用科学记数法表示为（）A．3.4×106B．3.4×108C．34×107D．3.4×109

【解答】解：3.4亿=3.4×108．

故选：B．

3．（3分）下列各图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A．B．C．D．

【解答】解：A、是轴对称图形．不是中心对称图形，因为找不到任何这样的一点，旋转180度后它的两部分能够重合；即不满足中心对称图形的定义．故此选项错误；

B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；

C、是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项正确；

D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误．

故选：C．

4．（3分）下列运算正确的是（）

A．2a2?a3=2a6B．（3ab）2=6a2b2

C．2abc+ab=2 D．3a2b+ba2=4a2b

【解答】解：（A）原式=2a5，故A错误；

（B）原式=9a2b2，故B错误；

（C）2abc与ab不是同类项，故C错误；

故选：D．

5．（3分）如图，直线AB∥CD，点E是BC上一点，连接AE，若∠DCB=35°，∠EAB=23°，则∠AEC的度数是（）

A．58°B．45°C．23°D．60°

【解答】解：∵AB∥CD，

∴∠B=∠C=35°，

∵∠A=23°，

∴∠AEC=∠A+∠B=58°，

故选：A．

6．（3分）深圳市统计局发布的2016年《深圳市气候数据每日观测记录》显示，2016年12月26日=﹣﹣31日这六天的平均相对湿度（百分数）分别是58，50，45，54，64，82，对于这组数据，以下说法正确的是（）

A．平均数是59 B．中位数是56 C．众数是82 D．方差是37

【解答】解：A．平均数=（58+50+45+54+64+82）÷6=58.8；故此选项错误；B．∵6个数据按大小排列后为：45，50，54，58，64，82；

∴中位数为：（54+58）÷2=56；故此选项正确；

C．无众数，故此选项错误；

D．方差不是整数，故此选项错误；

故选：B．

7．（3分）中国CBA篮球常规赛比赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜1场得2分，负1场得1分，今年某队在全部38场比赛中最少得到70分，那么这个队今年胜的场次至少是（）

A．6场 B．31场C．32场D．35场

【解答】解：设胜了x场，由题意得：

2x+（38﹣x）=70，

解得x=32．

答：这个队今年胜的场次至少是32场．

故选：C．

8．（3分）定义一种新运算：a?b=a（a﹣b），例如，4?3=4×（4﹣3）=4，若x?2=3，则x的值是（）

A．x=3 B．x=﹣1 C．x1=3，x2=1 D．x1=3，x2=﹣1

【解答】解：∵x?2=3，

∴x（x﹣2）=3，

整理得x2﹣2x﹣3=0，

（x﹣3）（x+1）=0，

x﹣3=0或x+1=0，

所以x1=3，x2=﹣1．

故选：D．

9．（3分）若方程mx+ny=6的两个解是，，则m，n的值为（）A．B．C．D．

【解答】解：根据题意得：，

①+②得：3m=12，

解得：m=4，

把m=4代入①得：n=2，

则方程组的解为，

故选：A．

10．（3分）如何求tan75°的值？按下列方法作图可解决问题，如图，在Rt△ABC 中，AC=k，∠ACB=90°，∠ABC=30°，延长CB至点M，在射线BM上截取线段BD，使BD=AB，连接AD，依据此图可求得tan75°的值为（）

A．2B．2+C．1+D．

【解答】解：在Rt△ABC中，AC=k，∠ACB=90°，∠ABC=30°，

∴AB=BD=2k，∠BAD=∠BDA=15°，BC=k，

∴∠CAD=∠CAB+∠BAD=75°，

在Rt△ACD中，CD=CB+BD=k+2k，

则tan75°=tan∠CAD===2+，

故选：B．

11．（3分）如图，点O是△ABC外接圆的圆心，连接OB，若∠1=37°，则∠2的度数是（）

A．52°B．51°C．53°D．50°

【解答】解：连接OC，

∵∠1=37°，

∴∠BOC=2∠1=74°．

∵OB=OC，

∴∠2==53°．

故选：C．

12．（3分）如图，直线l分别交x轴、y轴于点A、B，交双曲线y=（x＞0）于

点C，若AB：AC=1：3，且S

△AOB

=，则k的值为（）

A．B．2 C．D．

【解答】解：作CD⊥x轴于点D，

则△AOB∽△ADC，

∴，

∵AB：AC=1：3，且S

△AOB

=，OD

∴，

解得，，

连接OC，

∵S

△AOC +S

△COD

=S

△ADC

，AO：OD=AB：BC=1：2，

∴S

△OCD

=，

∴k=2×=，

故选：A．

二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）

13．（3分）分解因式：m3﹣2m2+m=m（m﹣1）2．

【解答】解：m3﹣2m2+m=m（m2﹣2m+1）=m（m﹣1）2．

故答案为m（m﹣1）2．

14．（3分）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球，则两次取出的小球标号相同的概率为．

【解答】解：如图：

两次取的小球的标号相同的情况有4种，

概率为P==．

故答案为：．

15．（3分）如图所示，每一个图形都是由形状相同的五角星按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有9个五角星，第②个图形中一共有17个五角星，第③个图形中一共有25个五角星，…，按此规律排列，则第n个图形中五角星的颗数为8n+1．

【解答】解：观察图形发现第一个图形有9个五角星，

第二个图形有9+8=17个五角星，

第三个图形有9+8×2=25个五角星，

…

第n个图形有9+8（n﹣1）=8n+1个五角星，

故答案为：8n+1．

16．（3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E是CD边的中点，延长BC至点F，使得CF=CE，连接BE，DF，将△BEC绕点C按顺时针方向旋转，当点E恰好落在DF上的点H处时，连接AG，DG，BG，则AG的长是2．

【解答】解：解法一：如图1，由旋转得：CG=CB，CH=CE，

∠GCH=∠BCD=90°，

∵CE=CF，BC=CD，

∴CH=CF，CD=CG，

∴，

∵∠DCH+∠HCF=∠DCH+∠GCD=90°，

∴∠HCF=∠GCD，

∴△GCD∽△HCF，

∴==2，

过G作GN⊥AD于N，过H作HM⊥BC于M，则HM∥DC，

∴∠FHM=∠CDF，

tan∠CDF=tan∠FHM===，

设FM=a，则HM=2a，CM=﹣a，

由勾股定理得：，

∴a=，

∴FH=a=2，

∴DG=2FH=4，

∵△GCD∽△HCF，

∴∠CDG=∠F，∠CDG+∠CDF=∠CDF+∠F=90°，

∵∠CDG+∠ADG=90°，

∴∠ADG=∠CDF，

同理设NG=x，DN=2x，则DG=x，

∴x=4，

x=，

∴DN=2x==，

∴AN=2﹣=，

∴AG===2．

解法二：如图，过C作CK⊥DF于K，过H作HM⊥CF于M，过G作PN⊥BC，交AD于P，交BC于N，

∵CD=2，CE=CF=，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°，

∴∠BCF=90°，

由勾股定理得：DF==5，

∵CK⊥DF，DC⊥CF，

∴∠FCK=∠CDF，

sin∠FCK=sin∠CDF=，

∴，

FK=1，

∴CK==2，

由旋转得：CH=CE=CF，

∵CK⊥FH，

∴HF=KF=1，

∴HF=2，

=CF?HM=HF?CK，

∴S

△CHF

HM=2×2，

HM=，

∴CM==，

∴tan∠HCF===，

设HM=4x，CM=3x，则CH=5x，

∵∠HCF=∠GCD=∠CGN，

∴cos∠CGN=cos∠HCF==，

∴GN=CG，

∵CG=BC=2，

∴GN=×=，

∴NC===，

∴GP=2﹣=，

∴AP=BN=BC﹣NC=2﹣=，

由勾股定理得：AG===2；

故答案为：2．

三、解答题（本大题共7小题，共52分）

17．（5分）计算：cos45°+（）﹣1+﹣4sin60°．

【解答】解：cos45°+（）﹣1+﹣4sin60°

=×+4+2﹣4×

=1+4+2﹣2

=5．

18．（6分）先化简分式：（）÷，再从不等式组的解集中选出合适的整数作为a的值，代入求值．

【解答】解：原式=[﹣]÷

=（﹣）?

=，

∵的解集是：﹣1＜a≤2，

其整数解为：0，1，2，由于a≠0，±2，

∴a只能取1，故当a=1时，

原式===．

19．（8分）深圳市教育局在全市中小学开展“四点半活动”试点工作，某校为了了解学生参与“四点半活动”项目的情况，对初中的部分学生进行了随机调查，调查项目分为“科技创新”类，“体育活动”类，“艺术表演”类，“植物种植”类及“其它”类共五大类别，并根据调查的数据绘制了下面两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下面的问题．

（1）请求出此次被调查学生的总人数200人；

（2）根据以上信息，补全频数分布直方图；

（3）求出扇形统计图中，“体育活动”α的圆心角等于108度；

（4）如果本校初中部有1800名学生，请估计参与“艺术表演”类项目的学生大约多少人？

【解答】解：（1）此次被调查学生的总人数为22÷11%=200（人）；

（2）补全频数分布直方图如图所示，

（3）体育活动”α的圆心角=360°×=108度；

（4）1800××100%=360（人），

答：参与“艺术表演”类项目的学生大约360人．

故答案为：200，108．

20．（8分）如图，在楼房MN前有两棵树与楼房在同一直线上，且垂直于地面，为了测量树AB、CD的高度，小明爬到楼房顶部M处，光线恰好可以经过树CD 的顶站C点到达树AB的底部B点，俯角为45°，此时小亮测得太阳光线恰好经过树CD的顶部C点到达楼房的底部N点，与地面的夹角为30°，树CD的影长DN为15米，请求出树AB、CD的高度．（结果保留根号）

【解答】解：在Rt△CDN中，

∵tan30°=，

∴CD=tan30°?DN=5，

∵∠CBD=∠EMB=45°，

∴BD=CD=5，

∴BN=DN+BD=15+5，

在Rt△ABN中，tan30°=，

∴AB=tan30°?BN=5+5，

∴树高AB是（5+5）米，树高CD是5米．

21．（8分）某科技公司研发出一款多型号的智能手表，一家代理商出售该公司的A型智能手表，去年销售总额为80000元，今年A型智能手表的售价每只比去年降了600元，若售出的数量与去年相同，销售总额将比去年减少25%．

A型智能手表B型智能手表

进价1300元/只1500元/只

售价今年的售价2300元/只

（1）请问今年A型智能手表每只售价多少元？

（2）今年这家代理商准备新进一批A型智能手表和B型智能手表共100只，它们的进货价与销售价格如右表，若B型智能手表进货量不超过A型智能手表数量的3倍，所进智能手表可全部售完，请你设计出进货方案，使这批智能手表获利最多，并求出最大利润是多少元？

【解答】解：（1）今年A型智能手表每只售价x元，去年售价每只为（x+600）元，

根据题意得=，

解得：x=1800，

经检验，x=1800是原方程的根，

答：今年A型智能手表每只售价1800元；

（2）设新进A型手表a只，全部售完利润是W元，则新进B型手表（100﹣a）只，

根据题意得，W=（1800﹣1300）a+（2300﹣1500）（100﹣a）=﹣300a+80000，∵100﹣a≤3a，