小学奥数 5-5-6 中国剩余定理及余数性质拓展.教师版
1. 系统学习中国剩余定理和新中国剩余定理
2. 掌握中国剩余定理的核心思想，并灵活运用
一、中国剩余定理——中国古代趣题
（1）趣题一 中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。”
此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。
韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。
我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？
首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。
孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem ）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。
（2）趣题二
我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩
二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法：
“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．”
这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem ），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤：
三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘．
五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘．
七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘．
除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数．
此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得的
余数，把这3个结果加起来，如果它大于105，则减去105，所得的差如果仍比105大，则继续减去105，最后所得的整数就是所求．也就是270321215233?+?+?=，233105128-=，12810523-=
为什么70，21，15，105有此神奇效用？70，21，15，105是从何而来？
先看70，21，15，105的性质：70被3除余1，被5，7整除，所以70a 是一个被3除余a 而被5
与7整除的数；21是5除余1，被3与7整除的数，因此21b 是被5除余b ，被3与7整除的数；同理15c 是被7除余c ，被3、5整除的数，105是3，5，7的最小公倍数．也就是说，702115a b c ++是知识点拨
教学目标
5-5-4.中国剩余定理
及余数性质拓展
被3除余a ，被5除余b ，被7除余c 的数，这个数可能是解答，但不一定是最小的，因此还要减去它们的公倍数．
了解了“剩余定理”的秘密后，对类似于上面的题目，我们都可以用中国剩余定理来解答．
二、核心思想和方法
对于这一类问题，我们有一套看似繁琐但是一旦掌握便可一通百通的方法，下面我们就以《孙子算经》中的问题为例，分析此方法:
今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？
题目中我们可以知道，一个自然数分别除以3，5，7后，得到三个余数分别为2，3，2.那么我们首先构造一个数字，使得这个数字除以3余1，并且还是5和7的公倍数。
先由5735?=，即5和7的最小公倍数出发，先看35除以3余2，不符合要求，那么就继续看5和7的“下一个”倍数35270?=是否可以，很显然70除以3余1
类似的，我们再构造一个除以5余1，同时又是3和7的公倍数的数字，显然21可以符合要求。
最后再构造除以7余1，同时又是3，5公倍数的数字，45符合要求，那么所求的自然数可以这样计算： 270321245[3,5,7]233[3,5,7]k k ?+?+?±=-，其中k 是自然数。
也就是说满足上述关系的数有无穷多，如果根据实际情况对数的范围加以限制，那么我们就能找到所求的数。
例如对上面的问题加上限制条件“满足上面条件最小的自然数”，
那么我们可以计算2703212452[3,5,7]23?+?+?-?=得到所求
如果加上限制条件“满足上面条件最小的三位自然数”,
我们只要对最小的23加上[3,5,7]即可，即23+105=128。
模块一、余数性质综合
【例 1】 一个数除以3的余数是2，除以5的余数是1，则这个数除以15的余数是 。
【考点】余数性质综合 【难度】1星 【题型】填空
【关键词】希望杯，4年级，初赛，8题
【解析】 除以3余2的数有：2、5、8、11、14
除以5余1的数有：1、6、11、16、21观察得到符合条件的答案是11
【答案】11
【例 2】 有一群猴子正要分56个桃子．每只猴子可以分到同样个数的桃子。这时．又窜来4只猴子。只好
重新分配，但要使每只猴子分到同样个数的桃子，必须扔掉一个桃子．则最后每只猴子分到桃子___
个。
【考点】余数性质综合 【难度】2星 【题型】填空
【关键词】希望杯，六年级，初赛，第19题，6分
【解析】 56的约数有：1、2、4、7、8、14、28、56,
55的约数有：1、5、11、55，
其中只有11=7+4，所以原来有7只猴，后来有11只猴，每只猴子分到55÷11=5个.
【答案】5
【巩固】 一群猴子分桃，桃子共有56个，每只猴子可以分到同样多的桃子。但在它们正要分桃时，又来了4只猴子，于是重新分配这些桃子，结果每只猴子分到的桃子数量相同，那么最后每只猴子分到 个桃子。
【考点】余数性质综合 【难度】2星 【题型】填空
例题精讲
【关键词】希望杯，四年级，复赛，第7题，4分
【解析】56的因数有1，2，4，7，8，14，28，56，其中只有4和8相差4，所以最后有猴子8只，每只猴子分到56÷8＝7个桃子。
【答案】7
【例 3】一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是几？
【考点】余数性质综合【难度】3星【题型】解答
【解析】根据总结，我们发现这两个除数与余数的差都等于118=1310=3
--，观察发现这个数加上3后就能同时被11和13整除,所以[11、13]=143，所以这个数是143-3=140。
【答案】140
【巩固】不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；另一种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈。问最多有多少名同学?
【考点】余数性质综合【难度】3星【题型】填空
【关键词】华杯赛，初赛，第10题
【解析】此题实际是一个不足100的整数，减去5能被8整除，即除以8余5，减去8能被5整除，即除以5余3，求其最大值。13除以8余5，除以5余3，8和5的最小公倍数为40，13＋2×40＝93，
为满足条件的整数，即最多有93名同学。
【答案】93
【例 4】5年级3班同学上体育课，排成3行少1人，排成4行多3人，排成5行少1人，排成6排多5人，问上体育课的同学最少____人。
【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空
【关键词】小数报，初赛
【解析】题意相当于：除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，这样我们根据总结知道都只能“凑缺”，所以都缺1，这样班级人数就是[3、4、5、6]-1=60-1=59人。
【答案】59
【巩固】有一个自然数，除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，除以6余5，则这个数最小是。
【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空
【关键词】华杯赛，五年级，决赛，第7题，10分
【解析】这个数加1能同时被2，3，4，5，6整除，而[2，3，4，5，6]=60
所以这个数最小是60－1=59。
【答案】59
【巩固】n除以2余1，除以3余2，除以4余3，除以5余4，，除以16余15。n最小为。【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空
【关键词】走美杯，5年级，决赛，第1题，8分
【解析】n加上1后变成116
~的公倍数，所以1
?????=，n最小为720719。
n+最小为169571113720720
【答案】720719
【巩固】小朋友们要做一次“动物保护”宣传活动，若1人拿3个动物小玩具，则最后余下2个动物小玩具；
若1人拿4个动物小玩具，则最后余下3个动物小玩具；若1人拿5个动物小玩具，则最后余下4动物小玩具。那么这次活动中小朋友至少拿了______个动物小玩具。
【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空
【关键词】学而思杯，3年级，第9题
【解析】那么再加一个玩具，玩具总数就能同时被3,4,5整除，能同时被3,4,5整除最小整数位60。所以这次活动小朋友至少拿了59个玩具。
【答案】59
【巩固】小朋友们做游戏，若3人分成一组，则最后余下2人；若4人分成一组，则最后余下3人；若5人分成一组，则最后余下4人。那么一起做游戏的小朋友至少有人。
【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】填空
【关键词】希望杯，四年级，复赛，第15题，6分
【解析】这个数除以3余2，除以4余3，除以5余4，那么加上一个人这些小朋友的数量能整除3、4、5，3×4×5=60，那么小朋友至少59人
【答案】59
【例 5】一个自然数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，并且三个商数的和是570，求这个自然数．【考点】余数性质综合【难度】2星【题型】解答
【解析】这个数被7，8，9除的余数分别是1，2，3，所以这个数加上6后能被7，8，9整除，而[]
=，
7,8,9504所以这个数加上6后是504的倍数．由于这个数被7，8，9除的三个商数的和是570，那么这个数加上6后被被7，8，9除的三个商数的和是570111573
+++=，而
÷+÷+÷=?+?+?=，5731913
÷=，
504950485047787989191
所以这个数加上6等于504的3倍，这个数是504361506
?-=．
【答案】1506
【例 6】数119很奇特：当被2除时，余数为1；当被3除时，余数为2；当被4除时，余数为3；当被5除时，余数为4；当被6除时，余数为5．问：具有这种性质的三位数还有几个？
【考点】余数性质综合【难度】3星【题型】解答
【解析】[1，2，3，4，5，6]60
-=（个）．
=．三位数中60的倍数15个．所以，除了119外，还有15114
【答案】14
【巩固】有一批图书总数在1000本以内，若按24本书包成一捆，则最后一捆差2本；若按28本书包成一捆，最后一捆还是差2本书；若按32本包一捆，则最后一捆是30本．那么这批图书共有本．【考点】余数性质综合【难度】3星【题型】填空
【关键词】迎春杯，六年级，初赛，3题
【解析】由题意可知，这批书如果再多2本，那么按24本，28本，32本一捆全书时，都将恰好分成整数本.
所以这批书的本数加上2之后是24，28，32的公倍数，而[24,28,32]672
=，所以这批书的本数是k-(k是整数).由于这批书少于1000本，所以k只能为1，这批书有670本.
6722
【答案】670本
【例 7】某个自然数除以2余1，除以3余2，除以4余1，除以5也余1，则这个数最小是。【考点】余数性质综合【难度】3星【题型】填空
【关键词】希望杯，五年级，初赛，第5题，6分
【解析】除以2余1，除以4余1，除以5余1的最小的数减去1能被2、4、5整除，所以，所以这个数可以表示为20n+1,n是自然数，所以20n+1中除以3余2的最小数是41.
【答案】41
【例 8】一个大于10的自然数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，那么满足条件的自然数最小为多少？
【考点】余数性质综合【难度】4星【题型】解答
【解析】根据总结，我们发现三个数中前两个数的除数与余数的和都是53718
+=+=，这样我们可以把余数都处理成8，即一个数除以5余3相当于除以5余8，除以7余1相当于除以7余8，所以可以看成这个数除以5、7、9的余数都是8，那么它减去8之后是5、7、9的公倍数．而[]
=，
5,7,9315
+=．
所以这个数最小为3158323
【答案】323
【巩固】一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？【考点】余数性质综合【难度】4星【题型】解答
【解析】法一：仔细分析可以发现321527
?+=+=，所以这个数可以看成被3、5、11除余7，由于[]
=，所以这个数最小是1657172
3,5,11165
+=．
法二：事实上，如果没有“大于10”这个条件，7即可符合条件，所以只需要在7的基础上加上3、
5、11的最小公倍数，得到172即为所求的数．
【答案】172
【例 9】a是一个三位数.它的百位数字是4，9
a-能被9整除，问a是多少？
a+能被7整除，7
【考点】余数性质综合【难度】4星【题型】解答
【解析】9
a a
-+=+能被9
a-能被9整除，说明792
+-=+能被7整除；7
a+能被7整除，说明972
a a
整除；7963
?=，则63261
-=，则a可以写成这样的形式：
-=符合上述两个条件.(因63261
a=?+=.
63?61
a=?+).又a是一个百位数字是4的三位数，估算知，63661439
【答案】439
【例 10】一个八位数，它被3除余1，被4除余2，被11恰好整除，已知这个八位数的前6位是257633，那么它的后两位数字是__________。
【考点】余数性质综合【难度】4星【题型】填空
【关键词】101中学，入学测试
【解析】设后面这个两位数为ab，前面数字和为26除以3余2，所以补上的两位数数字和要除以3余2。
同理要满足除以4余2；八位数中奇数位数字和为（2+7+3+a）,偶数位数字和为（5+6+3+b）这样要求a=b+2，所以满足条件的只有86。
【答案】86
模块二、中国剩余定理
【例 11】“民间流传着一则故事——‘韩信点兵’．秦朝末年，楚汉相争．一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战．苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人．忽有后军来报，说有楚
军骑兵追来，韩信便急速点兵迎敌．他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一
排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名．韩信马上向将士们宣布：我军有
1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人．”根据故事中的条件，你能算出韩信有多少将士么？
【考点】中国剩余定理【难度】3星【题型】解答
【分析】也就是说：一个自然数在1000和1100之间，除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的数．
方法一：先列出除以3余2的数：2，5，8，11，14，17，20，23，26，；
再列出除以5余3的数：3，8，13，18，23，28，．
这两列数中，首先出现的公共数是8．3与5的最小公倍数是15．两个条件合并成一个就
是815
+?整数，列出这一串数是8，23，38，，再列出除以7余2的数2，9，16，23，30，，就得出符合题目条件的最小数是23．而[3，5，7]105
=，我们就把题目转化为：求1000~1100之间被105除余23的数．韩信有10510231073
?+=（个）将士．方法二：我们先找出被3除余2的数：2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，32，35，38，41，44；
被5除余3的数：3，8，13，18，23，28，33，38，43，48，53，58；
被7除余2的数：2，9，16，23，32，37，44，51．
三个条件都符合的最小的数是23，以后的是一次加上3，5，7的公倍数，直到加到1000
和1100之间．结果是23105101073
+?=．具体到实际的做题过程中时，从较大的除数开始做会方便一些．
方法三：利用程大位的解法，将题目转化为：求233加上105的倍数在1000~1100之间的数．通过尝试可以求出这个数是23310581073
+?=．
【答案】1073
【例 12】一个数除以3余2，除以5余3，除以7余4，问满足条件的最小自然数____.
【考点】中国剩余定理【难度】3星【题型】填空
【解析】方法一、根据总结，我们发现前面两种都不符合，所以我们只能用最普遍的“中国剩余定理”：
3、5的公倍数3、7的公倍数5、7的公倍数
15 21 35
30 42 70
45 63 105
60 84 140
… … …
找出除以7余4的除以5余3 除以3余2
可以找出分别是：60 63 35
可见60+63+35=158满足我们的条件，但不是最小的自然数，处理方法就是减去最小公倍数的若干倍，使结果在最小公倍数之内。所以答案为：158-105=53。
方法二：逐步构造符合条件的最小自然数，
首先求符合后面两个条件的最小自然数，依次用7的倍数加4，当4被加上两个7时得到18，恰好除以5余3，此时符合后两个条件；
再依次用7和5的最小公倍数的倍数加18，当18被加上1个35个，得到53，检验符合三个条件．所以所求的最小自然数就是53.
【答案】53
【例 13】一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数．【考点】中国剩余定理【难度】3星【题型】解答
【解析】方法1：中国剩余定理
3、5的公倍数3、7的公倍数5、7的公倍数
15 21 35
30 42 70
45 63 105
60 84 140
… … …
找出除以7余3的除以5余2 除以3余1
可以找出分别是：45 42 70
可见45+42+70=157满足我们的条件，但不是1000到1200之间的数，处理方法就是加上最小公倍数的若干倍，使结果在最小公倍数之内。所以答案为：10510521102
?+=。
方法2：我们先找出被3除余1的数：
1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，37，40，43，46，49，52，…；
被5除余2的数：2，7，12，17，22，27，32，37，42，47，52，57，…；
被7除余3的数：3，10，17，24，31，38，45，52，…；
三个条件都符合的最小的数是52，其后的是一次加上3、5、7的最小公倍数，直到加到1000和
1200之间．结果是10510521102
?+=．
方法3：先列出除以3余1的数：1，4，7，10，13，16，…；
再列出除以5余2的数：2，7，12，17，22，27，…；
这两列数中，首先出现的公共数是7．3与5的最小公倍数是15．两个条件合并成一个就是
+?整数，列出这一串数是7，22，37，52，…；再列出除以7余3的数：
715
3，10，17，24，31，38，45，52，…；就得出符合题目条件的最小数是52．事实上，我
们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余52．那么这个数在1000和1200之间，应该是?+=．
10510521102
方法4：设这个自然数为a，被3除余1，被5除余2，可以理解为被3除余321
+，
?+，被5除与52所以满足前面两个条件的157
m+除以7余3，即15m除以7余3，
=+(m为自然数)，只需157
a m
而15721
?+=，÷=，只需m除以7余3，m最小为3，所以满足三个条件的最小自然数为315752其后的是一次加上3、5、7的最小公倍数，直到加到1000和1200之间．结果是10510521102
?+=．【答案】1102
【例 14】一个数除以3、5、7、11的余数分别是2、3、4、5，求符合条件的最小的数．
【考点】中国剩余定理【难度】3星【题型】解答
【解析】法一：将3、5、7、11这4个数3个3个一起分别计算公倍数，如表：
3、5、7的公倍数中被11除余5的数不太好找，但注意到210除以11余1，所以21051050
?=被11除余5，由此可知77069316510502678
+++=是符合条件的一个值，但不是最小值，还需要减去3、5、7、11的公倍数使得它小于它们的最小公倍数．由于3、5、7、11的最小
公倍数是1155，所以267811552368
-?=是符合条件的最小值．
法二：对于这种题目，也可以先求满足其中3个余数条件的，比如先求满足除以3、5、7的余数分别是2、3、4的，既可采用中国剩余定理，得到702213154263
?+?+?=是满足前3个余数条件的，从而其中最小的是263105253
-?=；由于53除以11的余数为9，105除以11的余数为6，可知96327
+?=是满足条件的最小
+?=除以11的余数为5，所以531053368
数．也可以直接观察发现这个数乘以2之后除以3、5、7的余数分别是4、6、8，也就是除
以3、5、7的余数都是1，所以满足前三个条件的数最小为(3571)253
??+÷=，后面的步骤与上面的解法相同．
【答案】53
【例 15】有连续的三个自然数a、1
a+、2
a+，它们恰好分别是9、8、7的倍数，求这三个自然数中最小的数至少是多少？
【考点】中国剩余定理【难度】3星【题型】解答
【解析】法一：
由1
a+是7的倍数，得到a被7除余5，现在相当于一个a+是8的倍数，得到a被8除余7，由2
数a除以9余0，除以8余7，除以7余5.运用中国剩余定理求a(用逐步满足的方法也可以)
7和8的公倍数中除以9余1的最小为280；7和9的公倍数中除以8余1的最小是441；8和9的公倍数中除以7余1的最小是288，根据中国剩余定理，
?+?+?=符合各个余数条件，但4527不是最小的，还需要减去7、8、9的公2800441728854527
倍数，可知()
-???=是满足各个余数条件的最小值，所以a至少是495．
45277898495
法二：
仔细观察，可知由于a、1
a++
a++、27
a+、2
a+、18
a+恰好分别是9、8、7的倍数，那么9
也分别是9、8、7的倍数，即9
a+的最小值是987504
??=，即a
a+是9、8、7的公倍数，那么9
至少是5049495
-=．
【答案】495
模块三、余数性质的拓展应用——新中国剩余定理
【例 16】有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？
【考点】余数性质的拓展应用——新中国剩余定理【难度】3星【题型】解答
【关键词】首师大附中，分班考试
【解析】方法一：除以3余2的数有：2，5，8，11，14，17，20，23，…；
它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11，…；
除以4余1的数有：1，5，9，13，17，21，25，29，…；
它们除以12的余数是：1，5，9，1，5，9，…；
一个数除以12的余数是唯一的．上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5．
方法二：一个数，除以3余2，除以4余1，可以理解为除以3余32
+，除以4余41+，所以这个数减去5后，既能被3整除，又能被4整除，设这个数为a，则125
=+，(m为自然数)所以这
a m
个数除以12余5
【答案】5
【例 17】如图，在一个圆圈上有几十个孔(不到100个)，小明像玩跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A孔．他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B孔．他
又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔．最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A孔，你知道这
个圆圈上共有多少个孔吗?
B A
【考点】余数性质的拓展应用——新中国剩余定理【难度】3星【题型】解答
【关键词】华杯赛
【解析】设想圆圈上的孔已按下面方式编了号：A孔编号为1，然后沿逆时针方向顺次编号为2，3，4，…，B孔的编号就是圆圈上的孔数．
我们先看每隔2孔跳一步时，小明跳在哪些孔上?很容易看出应在1，4，7，10，…上，也就是说，小明跳到的孔上的编号是3的倍数加1．按题意，小明最后跳到B孔，因此总孔数是3的倍数加1．同样道理，每隔4孔跳一步最后跳到B孔，就意味着总孔数是5的倍数加1；而每隔6孔跳一步最后跳回到A孔，就意味着总孔数是7的倍数．
如果将孔数减1，那么得数既是3的倍数也是5的倍数，因而是15的倍数．这个15的倍数加上1 就等于孔数，设孔数为a，则151
=+（m为非零自然数）而且a能被7整除．注意15被7除余1，
a m
所以156?被7除余6，15的6倍加1正好被7整除．我们还可以看出，15的其他(小于的7)倍数加1都不能被7整除，而157105
?=已经大于100．7以上的倍数都不必考虑，因此，总孔数只能是156191
?+=．
【答案】91
【例 18】 三个连续三位数的和能够被13整除，且这三个数中最大的数被9除余4，那么符合条件的三位数
中最小的数最大是 。
【考点】余数性质的拓展应用——新中国剩余定理 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，6年级
【解析】 设中间数是a ，三个连续自然数的和是中间数的3倍即3a ，由13|3a 得13|3a ，所以中间数能被13
整除，而其中最大的数被9除余4，说明中间数被9除余3，从1000往下试能被13整除的数为988，975，…，975符合两个条件。所以符合条件的三位数中的最小的数的最大是975-1=974.
【答案】974
【例 19】 某小学的六年级有一百多名学生．若按三人一行排队，则多出一人；若按五人一行排队，则多出二
人；若按七人一行排队，则多出一人．该年级的人数是 ．
【考点】余数性质的拓展应用——新中国剩余定理 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】希望杯，六年级，二试，第6题，5分
【解析】 符合第一、第三条条件的最少人数为3×7+1=22人，经检验，22也符合第二个条件，所以22也是
符合三个条件的最小值，但该小学有一百多名学生，所以学生总人数为22+3×5×7=127。
【答案】127
【例 20】 智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多名同学，老人请同学们按三人一行排队，结
果多出一人，按五人一行排队，结果多出二人，按七人一行排队，结果多出一人，老人说我知道你
们年级原人数应该是（ ）人。
【考点】余数性质的拓展应用——新中国剩余定理 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】华杯赛决赛第6题，10分
【解析】
根据条件，该数除以3余1，除以5余2，除以7余1，逐级满足法，令该数为a ， 则a ÷3….1 ①
a ÷5….2 ②
a ÷7….1 ③
符合条件①的有1，4，7，10，13，16….
符合条件②的有2，7，12….
同时满足①、②的最小值为7，以后a =7+15m 均满足①、②；
现在来看（7+15m ）÷7….1，则15m ÷7…..1，则m 最小取1，符合，最小的符合的数为a =22。
以后每隔 []3,5,7105=即符合。该年级有100多名学生，为22+1-5=127。
【答案】127
【例 21】 三个连续的自然数，从小到大依次是4、7、9的倍数，这三个自然数的和最小是 ．
【考点】余数性质的拓展应用——新中国剩余定理 【难度】3星 【题型】填空
【关键词】学而思杯，6年级，1试，第3题
【解析】 本题看起来是一个关于整除或约数、倍数的题，但实际上不大用得上被4、7、9整除的数的特征或
者约数、倍数的一些性质，而如果以这三个连续的自然数中的某一个为基础，比如以中间的那个数为基础，那么另外的两个数分别为这个数减1和这个数加1，那么题目变为：一个数除以4余1，除以9余8，且能被7整除，且这个数的最小可能值．这是一个余数问题，我们可以采用逐步满足法，也可以采用中国剩余定理来解．
方法一：逐步满足法．
除以4余1的数有：1，5，9，13，17，21，；
除以9余8的数有：8，17，26，．
可见同时满足这两条的数最小为17，由于[]4,936=，
那么满足除以4余1且除以9余8的数有：17，53，89，125，161，197……
其中能被7整除的数最小为161，所以所求的3个连续自然数的中间的那个数最小为161，
那么它们的和最小为1613483?=．
方法二：代数表示法．
根据题意，设这三个数分别为71k -、7k 、71k +（k 是整数），那么71k -是4的倍数，71
k +是9的倍数，由于()7181k k k -=-+，()71921k k k +=--，所以1k +是4的倍数，21
k -是9的倍数，由1k +是4的倍数知22k +是8的倍数，设219k n -=，那么
229383k n n n +=+=++，所以3n +是8的倍数，n 最小为5，相应地k 最小为23，那么
这三个自然数的和最小为7233483??=．
小结：本题并不难，以上四种解法中法1、法2是同余问题的解法，尤其是法2，是对中国
剩余定理的典型应用，需要学生掌握．而法3、法4则是采用代数方法来解，法3的关键
在于列出方程后要将三个未知数中的两个都用另一个未知数来表示，再对这一个未知数进
行确定，法4则是采用代数变形和同余定理来逐步缩小可能的范围．可以看出，法3和法
4中都有逐步满足的思想．
方法三：用不定方程来解．
设这三个数分别为4a ，7b ，9c ，那么741971b a c b -=??-= ?
⑴⑵． 由⑴得713144b b a b --=
=+，所以314
b -是整数，b 为3，7，11，15，19，23，； 由⑵得712199b b
c b +-==-，所以219b -是整数，b 为5，14，23，32，． 可见b 最小为23，那么所求的三个自然数的和最小为7233483??=．
方法四：中国剩余定理．
一个数除以4余1，除以9余8，除以7余0，由于能被4、9整除且除以7余1的数最小
为36，能被4、7整除且除以9余1的数最小为28，能被7、9整除且除以4余1的数最
小为[7,9]3189?=，根据中国剩余定理，3602881891413?+?+?=满足除以4余1，除以
9余8，除以7余0，而[4,7,9]252=，所以413252161-=是满足条件的最小数，那么所求
的三个自然数的和最小为1613483?=．
以上是采用余数问题的方法来解，本题也可以采用不定方程和数的代数表示法来解．
【答案】483
【例 22】 在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大
的能被13整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？
【考点】余数性质的拓展应用——新中国剩余定理 【难度】3星 【题型】解答
【解析】 先找出两个连续自然数，第一个被3整除，第二个被7整除．例如，找出6和7，下一个连续自然
数是8．3和7的最小公倍数是21，考虑8加上21的整数倍，使加得的数能被13整除．82112260+?=，能被13整除，那么258，259，260这三个连续自然数，依次分别能被3，7，13整除，又恰好在200至300之间．由于3，7，13的最小公倍数为273，所以在200至300之间只有258，259，260这三个数满足条件．
【答案】258，259，260
【例 23】 有三个连续自然数，其中最小的能被15整除，中间的能被17整除，最大的能被19整除，请写出
一组这样的三个连续自然数．
【考点】余数性质的拓展应用——新中国剩余定理 【难度】4星 【题型】解答
【解析】 设三个连续自然数中最小的一个为n ，则其余两个自然数分别为1n +，2n +．依题意可知：15|n ，
()17|1n +，()19|2n +，根据整除的性质对这三个算式进行变换：
()()()()()()()()15|15|215|21517|117|2217|215[15,17,19]|21519|219|2419|215n n n n n n n n n n ?→→-?+→+→-?-??+→+→-?
从上面可以发现215n -应为15、17、
19的公倍数．由于[15,17,19]4845
n-是奇数)，
=，所以()
-=-(因为215
n k
215484521
可得48452415
n+=，22432
n+=，所以其中的一组自然数为
n=，12431
n k
k=时2430
=-．当1
2430、2431、2432．
【答案】2430、2431、2432
小学奥数----余数问题
余数问题 例1：被除数、除数、商和余数之和是2143，已知商事33，余数是52，求被除数和除数。 拓展1：有一个自然数，用它去除63、91、129得到3个余数和是25，这个自然数是多少？ 例2：一个自然数除以3余1，除以5余3，加上2就能被7整除，这个自然数最小是多少？ 拓展2：在1~200这200个自然数中，被3除或被7除都余2的数有多少个？ 例3：自然数a除以7余3，自然数b除以7余4，a加b的和除以7余几？ 拓展3：自然数a除以7余3，自然数b除以7余3，已知a 大于b，那么a减b的差除以7，余数是多少？ 例4：有一个整数，除300、262、205得到的余数相同，这个数是多少？ 例5：整数11111----111（2004个1）被6除余数是几？ 1、2100除以一个两位数得到的余数是56，那么这个两位数是（）。 2、在整数除法里，余数比除数小，那么从4到50的各整数除以4，余数是2的整数有（）个。 3、一个数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，这个数至少是（）。
4、清照小学鼓号队同学在操场上列队，已知人数在90~110人之间，排成3列没有剩余，排成5列不足2人，排成7列不足4人，共用（）人参加列队。 5、一个四位数2a75除以11后所得余数是1，那么a=（）。 6、用一个整数去除312、231、123、得到的3个余数之和是41，这个数是（）。 7、在1~400整数中，被3、5、7除都余2的数有（）个。 8、100个7组成一个一百位数，被13除后余数是（），商的各位数字之和是（）。 9、71427和19的积被7除余（）。 10、小刚在一次计算除法时，把被除数171错写成117，结果商少了3，而余数恰好相同，原题中的除数是（）。11、69、90、125被某个自然数除时，余数相同，这个自然数最大是（）。 12、1991和1769除以某一个自然数n，余数分别是2和1，那么n最小是（）。 13、一个十几岁的男孩，把自己的岁数写在父亲之后，组成一个四位数，从这个四位数中减去他们父子两人岁数的差得4289，男孩（）岁，父亲（）岁。 14甲、乙、丙三数之和为100，甲数除以乙数，或丙数除以甲数，都是上5余1，乙数是（）。
小学奥数公式大全
小学奥数公式大全 1 、每份数×份数＝总数总数÷每份数＝份数总数÷份数＝每份数 2 、1倍数×倍数＝几倍数几倍数÷1倍数＝倍数几倍数÷倍数＝1倍数 3 、速度×时间＝路程路程÷速度＝时间路程÷时间＝速度 4 、单价×数量＝总价总价÷单价＝数量总价÷数量＝单价 5 、工作效率×工作时间＝工作总量工作总量÷工作效率＝工作时间工作总量÷工作时间＝工作效率 6 、加数＋加数＝和和－一个加数＝另一个加数 7 、被减数－减数＝差被减数－差＝减数差＋减数＝被减数 8 、因数×因数＝积积÷一个因数＝另一个因数 9 、被除数÷除数＝商被除数÷商＝除数商×除数＝被除数 1 、正方形 C周长 S面积 a边长周长＝边长× 4 C=4a 面积=边长×边长S=a×a 表面积=棱长×棱长×6 S表=a×a×6体积=棱长×棱长×棱长V=a×a×a 3 、长方形 C周长 S面积 a边长周长=(长+宽)×2 C=2(a+b) 面积=长×宽 S=ab 4 、长方体 V:体积 s:面积 a:长 b: 宽 h:高 (1)表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2 S=2(ab+ah+bh) (2)体积=长×宽×高 V=abh 5 、三角形 s面积 a底 h高面积=底×高÷2s=ah÷2
三角形高=面积×2÷底三角形底=面积×2÷高 6 、平行四边形 s面积 a底 h高面积=底×高 s=ah 7 、梯形 s面积 a上底 b下底 h高面积=(上底+下底)×高÷2s=(a+b)× h÷2 8、圆形 S面积 C周长∏ d=直径 r=半径 (1)周长=直径×∏=2×∏×半径C=∏d=2∏r (2)面积=半径×半径×∏ 9 、圆柱体 v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 c:底面周长 (1)侧面积=底面周长×高 (2)表面积=侧面积+底面积×2 (3)体积=底面积×高（4）体积＝侧面积÷2×半径 10 、圆锥体 v:体积 h:高 s;底面积 r:底面半径 体积=底面积×高÷3总数÷总份数＝平均数 和差问题的公式 (和＋差)÷2＝大数 (和－差)÷2＝小数 和倍问题 和÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数 (或者和－小数＝大数) 差倍问题 差÷(倍数－1)＝小数小数×倍数＝大数 (或小数＋差＝大数) 植树问题 1 非封闭线路上的植树问题主要可分为以下三种情形:
五年级奥数.数论.中国剩余定理及弃九法(A级).学生版
一、 中国剩余定理——中国古代趣题 1) 趣题一 中国数学名著《孙子算经》里有这样的问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三。” 此类问题我们可以称为“物不知其数”类型，又被称为“韩信点兵”。 韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。 我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？ 首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。 孙子算经的作者及确实著作年代均不可考，不过根据考证，著作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem ）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。 2) 趣题二 我国明朝有位大数学家叫程大位，他在解答“物不知其数”问题（即：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？）时用四句诗概括出这类问题的优秀解法： “三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得知．” 这首诗就是解答此类问题的金钥匙，它被世界各国称为“中国剩余定理”（Chinese Remainder Theorem ），是我国古代数学的一项辉煌成果．诗中的每一句话都表示一个步骤： 三人同行七十稀，是说除以3所得的余数用70乘． 五树梅花廿一枝，是说除以5所得的余数用21乘． 七子团圆正月半，是说除以7所得的余数用15乘． 除百零五便得知，是说把上面乘得的3个积加起来，减去105的倍数，减得差就是所求的数． 此题的中国剩余定理的解法是：用70乘3除所得的余数，21乘5除所得的余数，15乘7除所得知识框架 中国剩余定理及弃九法
六年级上册奥数——余数问题练习题
. 精选 1.小东在计算除法时，把除法87写成78，结果得到的商是54，余数是8，求正确的商和余数。 2.智慧老人到小明的年级访问，小明说他们年级共一百多名同学，老人请同学们按三人一行排队，结果多出一人，按五人一行排队，结果多了二人，按七人一行排队，结果多出一人，老人说我知道你们年级的人数应该是多少人。你知道小明的年级有多少人吗？ 3.幼儿园有糖115糖，饼干148块，橘子74个，平均分给大班小朋友，结果糖多出7颗，饼干多出4块，橘子多出2人。问这个大班的小朋友最多有多少人？ 4.试求一个四位数，它被131除的余数是112，被132除的余数是98. 5.如果69、90、125被自然数N （N 不等于1）除，所得余数相同，求81被N 除的余数。 6.1×2×3×4×5×6×7×8×9×10除以11的余数是 。 7.自然数A 被1981除的余数是35，被1982除的余数也是35，它被14除的余数是多少？ 8.现有一堆糖果，它们不能被12个儿童平分，也不能被16个儿童或28个儿童平分。如果这堆糖块增加5块，则这堆糖块就能被以上三群儿童平分。求这堆糖至少有多少块？ 9.从和为55的10个不同的非零自然数中，取出3个数后，余下的数之和是55的 11 7，则取出的三个数的积最大等于（ ） A.280 B.270 C.252 D.216 10.4444344442120062008200620062006个????除以2007的余数是多少？ 11.从401到1000的所有整数中，被8除余数是1的数有多少个？ 12.有一张纸片，第一次将它撕成4小片，第二次将其中的一张又撕成4小片，以后每一次都将其中的一小张撕成更小的4小片，请问： （1）撕了五次后，一共得到多少张纸片？ （2）能否撕成1994张纸片？ 13.圆周上有83个空盒，顺时针依次编号为0,1,2,3，…，82，小明沿顺时针方向按如下规则向盒中放球：第一次在1号盒中放一个；第二次隔一个盒子，在3号盒中放一个；第三次隔两个盒子，在6号盒中放一个；……；第k 次向前隔k —1个盒子，在下一个盒子中放入一个球。如此共放了2005个球。问：有球的盒子中哪个盒子中球数最少？它里面有多少个球？ 14.11+22+33+4?+55+66+77+88+9 9除以3的余数是几？为什么？ 15.把自然数如下图排列，问2020位于哪个字母下面？ A B C D E F G H I 1 2 3 4 5 9 8 7 6 10 11 12 13 14 18 17 16 15 19 20 … 16.某商场向顾客发放9999张购物券，每张购物券上印有一个四位数的号码，从0001到9999号。如果号码的前两位数之和等于后两位数之和，则称这张购物券为“幸运券”，例如号码0734，因为0+7=3+4，所以这个号码的购物券是幸运券，试说明，这个商场所发的购物券中，所有幸运券的号码之和能被101整除。
五年级奥数带余数除法
带余数的除法 月日，宋老师带走进美妙的数学花园! 知识集锦 古代数学书《孙子算经》里，最引人瞩目的是“物不知其数”问题的算法。这种算法有很多种有趣的名称，如“秦王暗点兵”、“韩信点兵”等等，人们还编了许多美妙动人的故事。实质上，这些算法正是带余除法的表现形式。 两个整数相除时，不一定都能整除，当不能整除时，就出现了余数。被除数、除数、商和余数之间有下面关系： 被除数＝除数×商＋余数（0≤余数＜除数）。 例题集合 例1 两个数相除的商是15，余数是11，被除数、除数、商与余数的和是309，那么除数是多少？ 练习1 两个数相除的商是12，余数是26，被除数、除数、商与余数的和等于454，那么除数是多少？ 例2 自然数a除以7余3，自然数b除以7余3，已知a大于b，那么a减b的差除以7，余数是多少？
练习2 已知自然数a除以13余6，自然数b除以13余12。求a加b的和除以13，余数是多少？ 例3 一个三位数被37除余1，被36除余19，那么这个三位数是多少？ 练习3 一个四位数，它被131除时余112，被132除时余98，求这个四位数。 例4 已知一个布袋中装有小球若干个。如果每次取3个，最后剩1个；如果每次取5个或7个，最后都剩2个。布袋中至少有小球多少个？ 练习4 用卡车运货，每次运9袋余1袋，每次运8袋余3袋，每次运7袋余2袋.这批货至少有多少袋？
例5 某班同学买了310个本子，如果分给每个同学的数量相同，结果还剩下37本，且不能继续平分，问这个班有多少同学？ 练习5 有一篮苹果不足60个，平均分给5名小朋友，多出一个；若平均分给6名小朋友，最后多出3个；若平均分给7名小朋友，最后却多出2个。问这一篮苹果一共有多 少个？ 课堂练习 1、哪些数除以7能使商与余数相同？ 2、474除以一个两位数的余数是6，求适合这个条件的所有两位数。
(完整版)小学奥数公式汇总
奥数公式 和差倍问题: 年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的; ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 归一问题的基本特点： 问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度” 等词语来表示。关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量； 植树问题: 鸡兔同笼问题： 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来； 基本思路：
①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式： ①把所有鸡假设成兔子：鸡数=（兔脚数X总头数-总脚数）宁（兔脚数-鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数=（总脚数一鸡脚数X总头数）宁（兔脚数一鸡脚数） 关键问题：找出总量的差与单位量的差。 盈亏问题：基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于 分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量． 基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量．基本题型： ①一次有余数，另一次不足； 基本公式：总份数=（余数+不足数）宁两次每份数的差 ②当两次都有余数； 基本公式：总份数=（较大余数一较小余数）宁两次每份数的差 ③当两次都不足； 基本公式：总份数=（较大不足数一较小不足数）宁两次每份数的差 基本特点：对象总量和总的组数是不变的。 关键问题：确定对象总量和总的组数。 牛吃草问题：基本思路：假设每头牛吃草的速度为“ 1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。基本特点：原草量和新草生长速度是不变的； 关键问题：确定两个不变的量。 基本公式： 生长量=（较长时间X长时间牛头数-较短时间X短时间牛头数）+ （长时间-短时间）； 总草量二较长时间X长时间牛头数-较长时间X生长量； 周期循环与数表规律：周期现象：事物在运动变化的过程中，某些特征有规律循环出现。周期：我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。关键问题：确定循环周期。 闰年：一年有366 天； ①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，则年份必须能被400整除; 平年：一年有365 天。 ①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；平均数：基本公式：①平均数二总数量+总份数 总数量二平均数X总份数 总份数二总数量+平均数 ②平均数二基准数+每一个数与基准数差的和+总份数
五年级奥数.数论.中国剩余定理及弃九法(A
五年级奥数.数论?中国剩余定理及弃九法（A 【例门将1至2（X）8这2008个自然数，按从小到大的次序依次写出，得一个多位数； 12345678910111213 - 20072008,试求这个多位数除以9的余数. 【考氏】弃九法【堆废】3冕【題型】解察 【妙析】以19992000 IX个八伎数为例，它放9冷的余数等于（149厶949424040 + 0）被9除的余数，但是由于1999与（14-9 + 94-9）^ 9徐的余数相同，20CO与（2 4-04 04-0J被9除的余數相同，曲以19992000就与（iw 2（扌械9除的余数相同.由此可得.从1开於的自然数12345678910111213?- 2OO72OOS破9於的余数与荊2008个自然敷之和除以9的余秋相同.植猎等差数列求和公式，这个和为：（12008）、2008 =2017036 ,它秋9除的余數为1?另外还可以 2 利用连埃9个自然敛之和必能坡9楚冷逗个性质，籽腹多位数分成123456789, 101112131415161718? ................... . 199920002001200220032004200520062007. 2008 爭数，可见它放 9 除的余数与2008被9除的余数相同.因此，此数被9冷的余数为1? 【答案】1 I［矶固H连埃写出从I开始的自然敷,写到2009时停止,得到一个多位1234567891011-19992000, 请说明：这个多位数除以3,得到的余数是几？为什么？ 【考点】弁九法【难度】3星【题型】解答 【关坡词】第六屈，希空杯 ［分析】因为连续3个白然歎可以被3整除，而且最后一个白產數祁是3的信数，因为1998是3的倍數，所以123456789101 1…W9M是3的倍数，又因为 1234567?9101 1 I9992O 被除数÷除数=商＋余数（余数＜除数） 同余定理1 如果a，b除以c的余数相同，那么我们说a，b对于c是同余的。并且我们说a，b之间的差能被c整除。（a b c三个数都是自然数） 例1：有一个大于1的数，除45，59，101所得的余数相同，求这个数可能是多少？ 习题1：已知三个数127,99和一个小于30的两位数a除以一个一位数b的余数都是3,求a 和b的值. 同余定理2 a和b的积除以c的余数，等于a，b分别除以c的余数的积或者这个余数的积再除以c所得的余数。（a b c均为自然数） 例2：22003除以7的余数是多少？ 习题2：??的积,除以4的余数是_____. 例3：今有一类数，除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是2.试问这个类数最小那个又什么？（中国剩余定理） 分析：此题就是国际上有名的“中国剩余定理”，早在中国古代人们就中国人民就掌握了这种题型的解法。此题解法很多，在此介绍同余尝试法。在附录中有此种题型的一般解法。题目中给出的条件比较多，假如一开始就同时考虑三个条件，由于关系复杂很难一下子看出答案。所以应该先考虑其中的一个条件，进而考虑其中的两个条件，最后考虑三个条件，以求出最后答案。一般应该先考虑除数最大的那个条件，即找出除以7余2的数： 2 ，9 ，16 ，23，30，37，43，50，57…… 在此，我们必须在上面的数列中找出满足第二个条件的数，即除以5余3的数，显然， 23，23+5×7，23+5×7×2，23+5×7×3，23+5×7×4……以上数列都能满足前面两个要求。所以，能够满足‘除以7余2，除以5余3’这两个条件的数有 23，58，93，128，163，198，233，268，303，338…… 接下去，我们要继续考虑第三个条件，以上数列中满足除以3余数是2的数，显然 23，23+5×7×3，23+5×7×3×2，23+5×7×3×3…… 综上，我们发现 23，128，233，338，443…… 均能满足‘除以3余数是2，除以5余数是3，除以7余数是2’，其中最小的数是23。 以上的求解过程我们叫同余尝试法，难点在于尝试这个过程会导致计算量比较大，但是这种解题方法适应性强，条件可以无限制增加，方法不变。 五年级奥数__尾数和 余数 第6讲尾数和余数 一、知识要点 自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。 二、精讲精练 【例题1】写出除213后余3的全部两位数 【思路导航】因为213=210＋3.把210分解质因数：210=2×3×5×7，所以，符号题目要求的两位数有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21.5×7=35，2×3×5=30，2×3×7=42.一共有7个两位数。 练习1： 1.写出除109后余4的全部两位数。 2.178除以一个两位数后余数是 3.适合条件的两位数有哪些？ 3.写出除1290后余3的全部三位数。 【例题2】（1）125×125×125×……×125[100个125]积的尾数是几？ （2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是几？ 【思路导航】（1）因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125相乘，个位还是5； （2）每个括号里21乘26积的个位是6，我们只要分析100个6相乘，积的尾数是几就行了。因为个位6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少个（21×26）连乘，积的个位还是6。 练习2： 1.21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？ 2.1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几？ 3.（12×63）×（12×63）×（12×63）×……×（12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？ 【例题3】（1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？ （2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？ 【思路导航】（1）我们先列举前几个4的积，看看个位数在怎样变化，1个4个位就是4；4×4的个位是6；4×4×4的个位是4；4×4×4×4的个位是6……由此可见，积的尾数以“4，6”两个数字在不断重复出现。50÷2=25没有余数，说明50个4相乘，积的个位是6。 （2）用上面的方法可以发现，51个9相乘时，积的个位是以“9，1”两个数字不断重复，51÷2=25……1.余数是1.说明51个9本乘积的个位是9。 练习3： 1.24×24×24×…×24[2001个24]，积的尾数是多少？ 2.1×2×3×…×98×99，积的尾数是多少？ 1．和差倍问题 和差问题和倍问题差倍问题 已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数 一、和差倍问题 （一）和差问题：已知两个数的和及两个数的差;求这两个数。 方法①：（和－差）÷2= 较小数;和-较小数=较大数 方法②：（和+ 差）÷2=较大数;和- 较大数=较小数 例如：两个数的和是15;差是5;求这两个数。 方法：（15-5）÷2=5 ;（15+5）÷2=10 . （二）和倍问题：已知两个数的和及这两个数的倍数关系;求这两个数。 方法：和÷（倍数+1）=1倍数（较小数） 1倍数（较小数）×倍数=几倍数（较大数） 或和-1 倍数（较小数）= 几倍数（较大数） 例如：两个数的和为50;大数是小数的4倍;求这两个数。 方法：50÷（4+1）=10 10×4=40 （三）差倍问题：已知两个数的差及两个数的倍数关系;求这两个数。 方法：差÷（倍数-1 ）=1倍数（较小数） 1倍数（较小数）×倍数=几倍数（较大数） 或和-倍数（较小数）=几倍数（较大数） 例如：两个数的差为80;大数是小数的5倍;求这两个数。 方法：80÷（5-1）=20 20×5=100 和与差和与倍数差与倍数 2．年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的; ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的; ③两个人的年龄的倍数是发生变化的;两人年龄的倍数关系是变化的量; 解答年龄问题的一般方法是： 几年后年龄=大小年龄差÷倍数差-小年龄; 几年前年龄=小年龄-大小年龄差÷倍数差． 题目一般用“照3．归一问题的基本特点：问题中有一个不变的量;一般是那个“单一量”； 这样的速度”……等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量; 4．植树问题 基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树;两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树;两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树;只有一端植树封闭曲线上植树 三、植树问题 （一）不封闭型（直线）植树问题 1、直线两端植树：棵数=段数+1=全长÷株距+1 ; 全长=株距×（棵数-1 ）; 株距=全长÷（棵数-1 ）; 2、直线一端植树：全长=株距×棵数; 棵数=全长÷株距; 株距=全长÷棵数; 3 、直线两端都不植树：棵数=段数-1= 全长÷株距-1 ; 在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中的解同余式。 ① 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？ 解：除以3余2的数有：2， 5， 8， 11，14， 17， 20，23… 它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11… 除以4余1的数有：1， 5， 9， 13， 17， 21， 25，29… 它们除以12的余数是：1， 5， 9， 1， 5， 9，…. 一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5。如果我们把①的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是5+12×整数，整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案. ②一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数。 解：先列出除以3余2的数：2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23，26… 再列出除以5余3的数：3， 8， 13， 18， 23，28… 这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8+15×整数，列出这一串数是8， 23， 38，…，再列出除以7余2的数 2， 9， 16， 23，30… 就得出符合题目条件的最小数是23. 事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23. 那么韩信点的兵在1000-1500之间，可能是105×10+23=1073人 问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三”术曰： 三三数剩一置几何？答曰：五乘七乘二得之七十。 五五数剩一复置几何？答曰，三乘七得之二十一是也。 七七数剩一又置几何？答曰，三乘五得之十五是也。 三乘五乘七，又得一百零五。 则可知已，又三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数 第四讲 余数问题 知识点： 1、在有余数的除法里，如果被除数和除数都能被同一自然数整除，那么余数也能被这个自然数整除。例如：60÷25=2……10，255,605，，那么一定有105 2、在有余数的除法里，如果除数和余数能被同一自然数整除，那么被除数也能被这个自然数整除。例如： 3、一个自然数被另一个自然数n 除时，余数只能是0，1，2，……（n-1)。例如： 4、如果两个整数被另一自然数n 除时（n 为整数），余数相同，则它们的差必定能被n 整除。例如： 5、如果整数a 和b 除以同一个自然数m ，所得的余数相同，c 和d 除以同一自然数m ，余数也相同，那么a+c ，b+d 除以m 所得的余数也相同。 例如： 一、例题讲解 例1、被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和余数。 例2、一个自然数除以3余1，除以5余3，加上2就能被7整除，这个自然数最小是多少？ 例3、自然数a 除以7余3，自然数b 除以7余4，（a+b ）除以7余几？ 例4、整数1111…111除以6的余数是几？ 2012个1 例5、2012个7组成一个2012位数，被13除后余数是多少？商的各位数字之和是多少？例6、1～400的整数中，被3、5、7除都余2的数共有多少个？ 二、拓展训练 1、有一个自然数，用它去除63、91、129得到3个余数的和是25，这个自然数是多少？ 2、在1～200这200个自然数中，被3或7除都余2的数有多少个？ 3、自然数a除以7余3，自然数b除以7余3，已知a大于b，那么a减去b的差除以7，余数是多少？ 4、有一个整数，除300、262、205得到相同的余数。这个数多少？ 五年级奥数第讲尾数和 余数 Document serial number【KK89K-LLS98YT-SS8CB-SSUT-SST108】 第2讲尾数和余数 一、知识要点 自然数的末位数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数的差叫作余数。尾数和余数在运算时是有规律可循的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。 二、精讲精练 【例题1】（1）9×9×9×……×9（51个9相乘）积的个位数是几？ （2）0.3×0.3×0.3×……0.3（204个0.3相乘）×25×25×25×……×25（1001个25）的个位数字是几？ 练习1： （1）61×61×61×……×61（2001个61相乘）积的尾数是几？ （2）（31×36）×（31×36）×……×（31×36）（共50个）积的尾数是几？ （3）0.7×0.7×0.7×……×0.7（2002个0.7）×0.6×0.6×0.6×……×0.6（2002个0.6）积的尾数是多少？ 【例题2】3×3×3×……3（2006个3相乘）+4×4×4×……4（2007个4相乘）的尾数是几？ 练习2： （1）5×5×5×......5（2000个5相乘）+6×6×6×......6（2001个6相乘）+7×7×7× (7) （2002个7相乘）的尾数是几？ （2）52×52×52×……52（33个52相乘）-32×32×32×……32（29个32相乘）的尾数是几？ 【例题3】444……4（100个4）÷6，当商是整数时，余数是几？ 练习3：当商是整数时，余数各是几？ （1）666……6（50个6）÷4（2）888……8（80个8）÷7 （3）444……4（1000个4）÷74（4）111……1（1000个1）÷5 【例题4】有一列数，前两个数是3与4，从第3个数开始，每一个数都是前面两个数的和。这一列数中第2001个数除以4，余数是多少？ 练习4： （1）有一串数排成一行，其中第一个数是3，第二个数是10.从第三个数七，每个数恰好是前面两个数的和。在这一串数种，第1991个数被3除，所得的余数是几？ （2）一列数1、2、4、7、11、16、22、29、……这一列数的规律是第二个数比第一个数多1；第三个数比第二个数多2；第四个数比第三个数多3，依次类推。这列数左起第1996个数被5除余 奥数公式 和差倍问题： 年龄问题的三个基本特征： ①两个人的年龄差是不变的； ②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的； ③两个人的年龄的倍数是发生变化的； 归一问题的基本特点： 问题中有一个不变的量，一般是那个“单一量”，题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。 关键问题：根据题目中的条件确定并求出单一量； 植树问题： 鸡兔同笼问题： 基本概念：鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题，就是把假设错的那部分置换出来； 基本思路： ①假设，即假设某种现象存在（甲和乙一样或者乙和甲一样）： ②假设后，发生了和题目条件不同的差，找出这个差是多少； ③每个事物造成的差是固定的，从而找出出现这个差的原因； ④再根据这两个差作适当的调整，消去出现的差。 基本公式： ①把所有鸡假设成兔子：鸡数＝（兔脚数×总头数－总脚数）÷（兔脚数－鸡脚数） ②把所有兔子假设成鸡：兔数＝（总脚数一鸡脚数×总头数）÷（兔脚数一鸡脚数） 关键问题：找出总量的差与单位量的差。 盈亏问题： 基本概念：一定量的对象，按照某种标准分组，产生一种结果：按照另一种标准分组，又产生一种结果，由于 分组的标准不同，造成结果的差异，由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量． 基本思路：先将两种分配方案进行比较，分析由于标准的差异造成结果的变化，根据这个关系求出参加分配的总份数，然后根据题意求出对象的总量． 基本题型： ①一次有余数，另一次不足； 基本公式：总份数＝（余数＋不足数）÷两次每份数的差 ②当两次都有余数； 基本公式：总份数＝（较大余数一较小余数）÷两次每份数的差 ③当两次都不足； 基本公式：总份数＝（较大不足数一较小不足数）÷两次每份数的差基本特点：对象总量和总的组数是不变的。 关键问题：确定对象总量和总的组数。 牛吃草问题： 基本思路：假设每头牛吃草的速度为“1”份，根据两次不同的吃法，求出其中的总草量的差；再找出造成这种差异的原因，即可确定草的生长速度和总草量。 基本特点：原草量和新草生长速度是不变的； . . 20181213小学奥数练习卷（知识点：孙子定理[中国 剩余定理]）含答案解析 小学奥数练习卷（知识点：孙子定理[ [ 中国剩余定理] ]） ） 题号 一 二 三 总分 得分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第 Ⅰ 卷（选择题） 评卷人 得 分 一．选择题（共 4 小题） 1．有一个整数，除以 3 余数是 2，除以 5 余数是 3，除以 7 余数是 4，这个数可能是（ ） A ．67 B ．73 C ．158 D ．22 2．给出一列数：23+m ，23+2m ，23+3m ，，23+2015m ，这 2015 个数的和除以14 的余数是（ ）（其中 m 为正整数） A ．9 B ．7 C ．5 D ．3 3．设 ɑ 是一个满足下列条件的最大的正整数：使得用 ɑ 除 64 的余数是 4；用 ɑ除 155 的余数是 5；用 ɑ 除 187 的余数是 7，则 ɑ=（ ） A ．10 B ．15 C ．30 D ．60 4．设 m 是一个满足下列条件的最大正整数；用 m 除 64 的余数是 4；用 m 除 55的余数是 5；用 m 除 187 的余数是 7；则 m=（ ） A ．10 B ．15 C ．30 D ．60 第 Ⅱ 卷（非选择题） 评卷人 得 分 二．填空题（共 43 小题） 5．被 4 除余 1，被 5 除余 2，被 6 除余 3 的最小自然数 是 ． 6．如果两个不同自然数的积被 5 除余 1，那么我们称这两个自然数互为模 5 的倒数．比如，37=21，被 5 除余 1，则 3 和 7 互为模 5 的倒数．即 3 与 7都是有模 5 的倒数的数．那么 8，9，10，11，12 中有模 5 的倒数的数为 ，最小的模 5 的倒数分别 为 ． 7．99799910011003 除以 13 的余数是 ． 8．一个自然数被 3 除余 2，被 5 除余 4，并且这个数大于 100 且小于 125，那么这个数是 ． 9．m ，n ，p 是三个不同的正整数，它们除以 13 的余数分别是 3，6，11 那么（m+n ﹣p ）（2m ﹣n+p ）除以 13 的余数是 ． 10．在 1 到 100 这 100 个数中，被 2，3，5 除都有非零的余数，且余数彼此不等的数有 个． 11．在小于 2016 的正整数中，被 63 除后，商和余数相同的数有 个． 12．某数加上 31 的和被 9 除的余数是 2，原来这个数被 9 除的余数是 ． 13．一个数除以 5 余 2，除以 6 余 2，除以 7 余 3，求能满足这三个条件的最小自然数是 ． 14．满足被 7 除余 3，被 9 除余 4，并且小于 100 的自然数有 ． 15．若 A 、B 、C 三种文具分别有 38 个，78 和 128 个，将每种文具都平均分给学生，分完后剩下 2 个 A ，6 个 B ，20 个 C ，则学生最多有 人． 16．有一筐苹果，甲班分，每人 3 个还剩 11 个；乙班分，每人 4 个还剩 10 个；丙班分，每人 5 个还剩 12 个．那么这筐苹果至少有 个． 17．幼儿园的老师给班里的小朋友送来 55 个苹果，114 块饼干，83 块巧克力，同样都平均分发完毕后，还剩 3 个苹果，10 块饼干，5 块巧克力．这个班最多有 位小朋友． 18．被 3 除余 2，被 5 除余 4，被 7 除余 4 的最小自然数是 ． 19．所有三... 二年级奥数：趣味数学一，余数问题同学们在平时的练习中会发现，有些题目和我们的生活紧密联系，非常有趣味性，但是又没有什么固定的模式去解答，总是一不小心就掉进了出题人的陷阱，要想解答这些题目，就需要发挥我们的聪明才智，有时还要打破常规去想。在我们解答这些带有迷惑性的题目时，一定要认真读题，领会题目的真实意思，再经过充分的分析和思考，运用自己的聪明才智巧妙地解决问题。下面我就通过一些典型的例题来打开大家的思路，希望对大家日后的学习带来帮助。 例题1 碰到例1这类可能性的问题，我们一定要认真读题，抓住重点，仔细思考题目出现的一些关键字或者词语的深层意思。 例题2 这题还是比较简单的，也许同学们会说我很容易就可以知道答案了，但是如果题目中的数字变大了的时候呢？所以我们要先列举一些情况，从中来找到规律。 例题3 此类问题非常具有迷惑性，初一看会觉得，这题还有解吗？30个小时后谁知道天气会怎样？但是如果你能够联系我们的生活实际，考虑到晚上不会有太阳出现的情况，那么就会非常容易了。还要注意时间前面说的是下午，不要弄错。 例题4 例题5 我相信大家都觉得例5非常的简单，但是以往老师的学生出错的，都是写的10。说明没有很好的审题，粗心会导致将20号也算了进去。因此在我们平时学习和练习过程中，开始没有思路的时候要反复读题，将已知条件在草稿本上先列出来，这样比已知条件藏在题目中更容易找到思路。 余数的除法，在有余数的除法里，余数要比除数小。利用有余数的除法里的余数，可以解决许多有趣的实际问题，就看你会不会巧妙地应用了。 要解决除数最小，余数最大的问题，最主要是掌握除数和余数的关系，余数必须比数数小，即除数必须比余数大，掌握了这一点才能找到正确答案。下面我就通过几个典型的例子来讲解一下这类问题。 第6讲尾数和余数 令狐采学 一、知识要点 自然数末位的数字称为自然数的尾数；除法中，被除数减去商与除数积的差叫做余数。尾数和余数在运算时是有规律可寻的，利用这种规律能解决一些看起来无从下手的问题。 二、精讲精练 【例题1】写出除213后余3的全部两位数 【思路导航】因为213=210＋3.把210分解质因数： 210=2×3×5×7，所以，符号题目要求的两位数有2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21.5×7=35，2×3×5=30， 2×3×7=42.一共有7个两位数。 练习1： 1.写出除109后余4的全部两位数。 2.178除以一个两位数后余数是 3.适合条件的两位数有哪些？ 3.写出除1290后余3的全部三位数。 【例题2】（1）125×125×125×……×125[100个125]积的尾数是几？ （2）（21×26）×（21×26）×……×（21×26）[100个（21×26）]积的尾数是几？ 【思路导航】（1）因为个位5乘5，积的个位仍然是5，所以不管多少个125相乘，个位还是5； （2）每个括号里21乘26积的个位是6，我们只要分析100个6相乘，积的尾数是几就行了。因为个位6乘6，积的个位仍然是6，所以不管多少个（21×26）连乘，积的个位还是6。 练习2： 1.21×21×21×……×21[50个21]积的尾数是几？ 2.1.5×1.5×1.5×……×1.5[200个1.5]积的尾数是几？ 3.（12×63）×（12×63）×（12×63）×……× （12×63）[1000个（12×63）]积的尾数是几？ 【例题3】（1）4×4×4×…×4[50个4]积的个位数是几？ （2）9×9×9×…×9[51个9]积的个位数是几？ 【思路导航】（1）我们先列举前几个4的积，看看个位数在怎样变化，1个4个位就是4；4×4的个位是6；4×4×4 六下奥数1 论述中国剩余定理的形成及对教育的影响 摘要：“中国剩余定理”是由秦九韶从“孙子定理”的基础上推广而来的，本文从论述中国剩余定理的形成到中国剩余定理的主要方法和对现代教育的影响来写。中国剩余定理在高中有初步的基础应用，在大学中的初等数论中该定理得到了仔细的讲解。中国剩余定理的思想方法和原则不仅有光辉的历史意义,而且在近代数学中仍然有着重大影响和作用。 引言 随着数学学科的发展，数学方面的知识得到了不断的更新和强化。 在数学发展史上，剩余问题（即：在整数除法里，一个数同时除以几个数，整数商后，均有剩余；已知各除数及其对应的余数，要求适合条件的这个被除数。这类问题统称剩余问题）曾经困扰过人们很长一段时间。这个问题的解决，是我们中国人迈出了开拓性的第一步。 如果说，一部中国数学发展史像一条源远流长的河流，那么几千年来祖先们取得的辉煌成就，就是这河流中耀眼的浪花。在祖先取得的成就中有一个“中国剩余定理”。大家都知道，“勾股定理”最早是由我国西周时期的商高发现的，但国外却称其为“毕达哥拉斯定理”，法国称为“驴桥定理”，埃及称为“埃及三角形”等。还有“增乘开方法”，最早是由我国宋代的贾宪发明的，但现代数学却称其为“霍纳法”，贾宪的发明比霍纳早了800年。而中国剩余定理则是唯一一个以我国国名命名的定理，大家一定对这个定理很感兴趣，很想知道关于这个定理的故事。现在我就为大家简单介绍一下“中国剩余定理”。 1、中国剩余定理的简介及形成 在我国古代劳动人民中，长期流传着“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”等数学游戏。有一首“孙子歌”，甚至远渡重洋，输入日本：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。”这些饶有趣味的数学游戏，以各种不同形式，介绍世界闻名的“孙子问题”的解法，通俗地反映了中国古代数学一项卓越的成就。“孙子问题”在现代数论中是一个一次同余问题，它最早出现在我国公元四世纪的数学著作《孙子算经》中。《孙子算经》是算经十书之一，又作《孙子算术》。现有传本《孙子算经》分上、中、下共3卷。该书作者和确切成书年代均无法考证，大约成书于公元400年前后。中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定理。又称中国剩余定理。 一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个数。《孙子算经》给出了一个非常有效的巧妙解法。术曰：“三、三数之剩二，置一百四十；五、五数之剩三，置六十三；七、七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三。以二百一十减之，即得。凡三、三数之剩一，则置七十；五、五数之剩一，则置二十一；七、七数之剩一，则置十五。一百六以上，一百五减之，即得。 在中国数学史上，广泛流传着一个“韩信点兵”的故事：韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立立下了卓绝的功劳。据说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3报数，然后记下最后一个士兵所报之数；再令士兵从1至5报数，也记下最后一个士兵所报之数；最后令士兵从1至7报数，又记下最后一个士兵所报之数；这样，他很快就算出了自己部队士兵的总人数，而敌人则始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵？因为《孙子算经》对这类问题的研究只是初具雏形，还远远谈不上完整，其不足之处在于： （1 ）没有把解法总结成文，致使后人研究多凭猜测；奥数 余数问题 中国剩余定理
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